2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破练习小题专题练一集合常用逻辑用语函数与导数不等式
第一部分|小题限时专练
小题专题练
小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
一、选择题
1．(2019·兰州模拟)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ≥0}，集合N ＝{x |x 2<1}，则M ∩(?U N )＝( )
A ．(0，1)
B ．[0，1]
C ．[1，＋∞)
D ．(1，＋∞)
2．(2019·唐山模拟)命题“?x >0，ln x ≥1－1x ”的否定是( )
A ．?x 0≤0，ln x 0≥1－1
x 0
B ．?x 0≤0，ln x 0<1－1
x 0
C ．?x 0>0，ln x 0≥1－1
x 0
D ．?x 0>0，ln x 0<1－1
x 0
3．(2019·重庆模拟)设集合M ＝{x |x <3}，集合N ＝{x |0 D ．M ∩N ＝M 4．(2019·江西八所重点中学联考)已知p ：1x <1，q ：2 019x >2 019，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．(2019·长春模拟)设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1 f （x ），且当x ∈[－3，－ 2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)＝( ) A ．10 B.110 C ．－10 D ．－110 6．(2019·汉中模拟)函数f (x )＝ln x 2 x 的图象的大致形状是( ) 7．已知x ＞0，y ＞0，a ＝(x ，1)，b ＝(1，y －1)，若a ⊥b ，则1x ＋4 y 的最小值为( ) A ．4 B ．9 C ．8 D ．10 8．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )＞2的解集为( ) A ．(2，＋∞) B.????0，1 2∪(2，＋∞) C.? ?? ? 0， 22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞) 9．已知函数f (x )＝? ????|x ＋1|，－7≤x ≤0， ln x ，e －2 ≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C ．[－1，3] D ．(－∞，3] 10．(2019·四省八校双教研联考)设f (x )＝e x －（2a －1）x －1 x ，若存在唯一的整数x 使得 f (x )<1，则实数a 的取值范围是( ) A.????e －12，＋∞ B.????e －12，e 2 －14 C.????e －12，e 2 －14 D.? ???－∞，e 2 －14 11．(多选)下列命题正确的是( ) A ．“a ＞1”是“1a ＜1”的充分不必要条件 B ．命题“?x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“?x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1” C ．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的必要不充分条件 D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 12．(多选)已知3a ＝5b ＝15，则a ，b 不可能满足的关系是( ) A ．a ＋b ＞4 B ．ab ＞4 C ．(a －1)2＋(b －1)2＞2 D ．a 2＋b 2＜8 13．(多选)如果定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，对于任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数y ＝f (x )为“H 函数”．下列函数为“H 函数”的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝3x －???? 13x C ．f (x )＝x 3－3x D ．f (x )＝x |x | 二、填空题 14．(2019·广州市综合检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ????12＝________． 15．(2019·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝? ????x 2 ，x >0， x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，若f (a )＋f (g (2))＝0，则 实数a 的值为________． 16．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －2，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________． 17．(2019·安庆模拟)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈R 都有f (1－x )－2f (x )＝x 2－1，则f (－1)＝________，曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为________． 参考答案与解析 第一部分|小题限时专练 小题专题练 小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 1．解析：选C.N ＝{x |x 2<1}＝{x |－1 2．解析：选D.若命题为?x ∈M ，P (x )，则其否定为?x 0∈M ，綈P (x 0)．所以“?x >0，ln x ≥1－1x ”的否定是?x 0>0，ln x 0<1－1 x 0 ，故选D. 3．解析：选B.因为集合M ＝{x |x <3}，集合N ＝{x |0 4．解析：选B.由1x <1得，1－x x <0，即x －1x >0，得x <0或x >1，故p ：x <0或x >1；由2 019x >2 019得，x >1，故q ：x >1，所以p 是q 的必要不充分条件． 5．解析：选B.因为f (x ＋3)＝－1f （x ），故有f (x ＋6)＝－1 f （x ＋3） ＝－ 1 － 1f （x ） ＝f (x )．所 以函数f (x )是以6为周期的函数．f (107.5)＝f (6×17＋5.5)＝f (5.5)＝－1f （2.5）＝－1 f （－2.5）＝ － 14×（－2.5）＝1 10 .故选B. 6．解析：选A.函数的定义域为 {x |x >0}，由f (x )＝0，解得x ＝1，即函数只有一个零点，排除B ，D. f ′(x )＝?? ??2ln x x ′＝2－ln x x x ， 由f ′(x )>0得2－ln x >0，即0 由f ′(x )<0得2－ln x <0，即x >e 2，此时函数为减函数，排除C ，故选A. 7．解析：选B.法一：因为a ⊥b ，所以x ＋y ＝1，所以1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4（x ＋y ）y ＝5＋y x ＋ 4x y ≥9，当且仅当x ＝13，y ＝2 3 时取等号．故选B. 法二：由题意，知x ＋y ＝1，设f (x )＝1x ＋4y ＝1x ＋4 1－x (0＜x ＜1)，f ′(x )＝（3x －1）（x ＋1）（x －x 2）2 ， 当13＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当0＜x ＜1 3时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )min ＝f ????13＝9.故选B. 8．解析：选B.因为f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )＞2＝f (1)?f (|log 2x |)＞f (1)?|log 2x |＞1?log 2x ＞1或log 2x ＜－1?x ＞2或0＜x ＜1 2 .故选B. 9．解析：选C.当－7≤x ≤0时，f (x )＝|x ＋1|∈[0，6]，当e － 2≤x ≤e 时，f (x )＝ln x 单调递 增，得f (x )∈[－2，1]，综上，f (x )∈[－2，6]．若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则有－2≤2g (a )≤6，即－1≤a 2－2a ≤3?－1≤a ≤3.故选C. 10．解析：选B.由题意知，存在唯一的整数x 使e x －（2a －1）x －1 x <1成立，当x <0时， e x >2ax ＋1，不合题意；当x >0时，得e x <2ax ＋1，令h (x )＝e x ，m (x )＝2ax ＋1，则m (x )的图象 过定点(0，1)，显然只有x ＝1符合题意，所以?????h （1） ，解得 e －1 2 4 ，故选B. 11．解析：选ABD.若1a ＜1，则a ＞1或a ＜0，则“a ＞1”是“1 a ＜1”的充分不必要条件， 故A 正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“?x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“?x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，故B 正确；当x ≥2且y ≥2时，x 2＋y 2≥4，当x 2＋y 2≥4时却不一定有x ≥2且y ≥2，如x ＝5，y ＝0，因此“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件，故C 错误；因为“ab ＝0”是“a ＝0”的必要不充分条件，所以“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，故D 正确．故选ABD. 12．解析：选ABC.因为3a ＝5b ＝15，所以(3a )b ＝15b ，(5b )a ＝15a ，所以3ab ＝15b ，5ba ＝15a ，所以3ab ·5ba ＝15b ·15a ，所以15ab ＝15a ＋ b ，所以ab ＝a ＋b .则ab ＝a ＋b ≥2ab ，因为a ≠b ， 所以ab ＞2ab ，所以a ＋b ＝ab ＞4，所以(a －1)2＋(b －1)2＝a 2＋b 2－2(a ＋b )＋2＞2ab －2(a ＋b )＋2＝2，所以a 2＋b 2＞2ab ＞8，故选ABC. 13．解析：选BD.根据题意，对于任意两个不相等实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立，即函数f (x )是定义在R 上的增函数，则“H 函数”为奇函数且在R 上为增函数．对于A ，f (x )＝sin x 为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B ，f (－x )＝3－ x －3x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数，由指数函数性质可得 f (x )在R 上单调递增，符合题意；对于C ，f (x )＝x 3－3x 为奇函数，但在R 上不是增函数，不 符合题意；对于D ，f (x )＝x |x |＝? ????x 2 ，x ≥0， －x 2，x ＜0为奇函数且在R 上为增函数，符合题意．故选BD. 14．解析：由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以f ????12＝18＋a log 312＝18－a log 3 2＝1 8＋ 2log 32×log 32＝17 8. 答案：178 15．解析：因为函数f (x )＝? ????x 2，x >0， x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，所以g (2)＝log 22＝1，f (g (2))＝f (1) ＝1，由f (a )＋f (g (2))＝0，得f (a )＝－1.当a >0时，因为f (a )＝a 2≠－1，所以此时不符合题意；当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－1，解得a ＝－2. 答案：－2 16．解析：由题意得，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2 －1x .令f ′(x )＝0，解得x ＝±1 2 .又因为x >0，所以 x ＝12.因为y ＝f (x )在(k －2，k ＋1)上不是单调函数，所以0≤k －2<12 2 . 答案：??? ?2，5 2 17．解析：由题可得?????f （1－x ）－2f （x ）＝x 2－1，f （x ）－2f （1－x ）＝（1－x ）2－1， 解得f (x )＝－x 2＋23x ＋2 3.所以f (－ 1)＝－1，f ′(x )＝－2x ＋23，所以f ′(－1)＝8 3，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方 程为y ＋1＝8 3 (x ＋1)，即8x －3y ＋5＝0. 答案：－1 8x －3y ＋5＝0 1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f . 数学归纳法 每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 结合起来看效果更好 体会绝妙解题思路 建立强大数学模型 感受数学思想魅力 品味学习数学快乐 数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+… +n(n+1)2= 12)1 ( n n (an2+bn+c). ●案例探究 ［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：a n+c n＞2b n. 命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a . 证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =q b ,c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2 c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，由2(a 2 +c 2 )＞(a +c )2 ，∴222)2 (2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2 (2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时， 4 1 211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41 (a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2 c a +)k +1 ［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －2 1 成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，S k =－ 3 21 -k 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{ n S 1}是以{11S }为首项，2 1 为公差的等差数列， 高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是 （）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线 外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直 线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线 关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为 ，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作 已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在 ?0 ③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 . 典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹． 说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线． 典型例题四 例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？ 分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ，即 25 21< 绝密★考试结束前 2017年4月浙江省普通高校招生选考科目考试 物理试题 姓名：___________ 准考证号：__________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分100分，考试时间90分钟．其中加试题部分为30分，用【加试题】标出． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 3．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹签字笔或钢笔描黑．4．可能用到的相关公式或参数：重力加速度g均取10m/s2． 选择题部分 一、选择题 I（本题共13小题，每小题3分，共39分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．下列物理量及对应的国际单位制位符号，正确的是 A．力，kg B．功率，J C．电场强度，C/N D．电压，V 2．下列各组物理量中均为矢量的是 A．路程和位移B．速度和加速度 C．力和功D．电场强度和电势 3．下列描述正确的是 A．开普勒提出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 B．牛顿通过实验测出了万有引力常数 C．库仑通过扭秤实验测定了电子的电荷量 D．法拉第发现了电流的磁效应 4．拿一个长约1.5m的玻璃筒，一端封闭，另一端有开关，把金属片和小羽毛放到玻璃筒里。把玻璃筒倒立过来，观察它们下落的情况。然后把玻璃筒里的空气抽出，再把玻璃筒倒立过来，再次观察它们下落的情况。下列说法正确的是 A．玻璃筒充满空气时，金属片和小羽毛下落一样快 B．玻璃筒充满空气时，金属片和小羽毛均做自由落体运动 C．玻璃筒抽出空气后，金属片和小羽毛下落—样快 D．玻璃筒抽出空气后，金属片比小羽毛下落快 典型例题一 例1 若10< 说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快． 典型例题二 例2 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a > 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式． 证明：b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ，∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a ， ∴.a b b a b a b a >. 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步 骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ，求证 444 ()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：2 2 2a b ab +≥出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明：∵ 222a b ab +≥（当且仅当22 a b =时取等号） 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+， 即： 44222 ()22 a b a b ++≥ （1） 又：∵ 22 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 两边同加2 2 2 2 2 ():2()()a b a b a b ++≥+ 如何由递推公式求通项公式 高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。 下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。 类型一：1()n n a a f n +-= 或 1 () n n a g n a += 分析：利用迭加或迭乘方法。即：112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+…… 或1 21 121n n n n n a a a a a a a a ---=…… 例1.(1) 已知数列{}n a 满足11211 ,2n n a a a n n +==++，求数列{}n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 满足1(1)1,2n n n a a s += =，求数列{}n a 的通项公式。 解：（1）由题知：121 1 1 1 (1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++…… 1111111 ()()()121122 n n n n =-+-++-+---…… 312n = - （2）2(1)n n s n a =+Q 112(2)n n s na n --∴=≥ 两式相减得：12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥ 即：1(2) 1n n a n n a n -=≥- 12 1 121 n n n n n a a a a a a a a ---∴=??…… 121 121n n n n -=??--…… 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 2019年上半年浙江省普通高校招生选考科目考试 物理试题 姓名：准考证号： 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共7页，满分100分，考试时间90分钟。其中加试题部分为30分，用【加试题】标出。 可能用到的相关公式或参数：重力加速度g均取10m/s2.。 选择题部分 一、选择题Ⅰ（本题共13小题，每小题3分，共39分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目 要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．下列物理量属于基本量且单位属于国际单位制中基本单位的是 A．功／焦耳B．质量／千克C．电荷量／库仑D．力／牛顿 2．下列器件中是电容器的是 3．下列式子属于比值定义物理量的是 A．B．a =C．D． 4．下列陈述与事实相符的是 A．牛顿测定了引力常量B．法拉第发现了电流周围存在磁场 C．安培发现了静电荷间的相互作用规律D．伽利略指出了力不是维持物体运动的原因 5．在磁场中的同一位置放置一条直导线，导线的方向与磁场方向垂直，则下列描述导线受到的安培力F 的大小与通过导线的电流的关系图象正确的是 6．如图所示，小明撑杆使船离岸，则下列说法正确的是 A．小明与船之间存在摩擦力 B．杆的弯曲是由于受到杆对小明的力 C．杆对岸的力大于岸对杆的力 D．小明对杆的力和岸对杆的力是一对相互作用力 7．某颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星（即卫星相对于地面静止）。则此卫星的A．线速度大于第一宇宙速度B．周期小于同步卫星的周期 C．角速度大于月球绕地球运行的角速度D．向心加速度大于地面的重力加速度 8．电动机与小电珠串联接人电路，电动机正常工作时，小电珠的电阻为R1，两端电压为U1，流过的电流为I1；电动机的内电阻为R2，两端电压为U2，流过的电流为12。则 1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-，则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 高考数学典型题归纳 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，M ＝{1，4}，N ＝{2，3}，则集合等于 A ．{2，3} B ．{2，3，5，6} C ．{1，4} D ．{1，4，5，6} 2．设复数满足，则z 的共轭复数z = A ． B ． C ． D ． 3. “x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．抛物线()2 40y ax a = ≠的焦点坐标是 A. ()0,a B. (),0a C. 10,16a ? ? ??? D. 1,016 a ?? ??? 5. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是 A. 4 3 3cm B. 833cm C.33cm D.4 3cm 7. 已知实数满足约束条件11y x x y y ≤?? +≤??≥-? ，则的 最大为 A . B. C. D. 8. 若执行如图所示的程序框图，则输出的值是 ,x y 2z x y =+3323 2 -3-k ()N M 高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域. 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由? ??<<-< ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2 典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹． 2018年4月浙江省普通高校招生选考科目考试 物理试题 姓名：_____________准考证号：_______________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分100分，考试时间90分钟。其中加试题部分为30分，用【加试题】标出。 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题纸规定的位置上。 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无效。 3．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内。作图时先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。 4．可能用到的相关参数：重力加速度g 均取10m/s 2。 选择题部分 一、 选择题I （本题共13小题，每小题3分，共39分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1.通过理想斜面实验得出“力不是维持物体运动的原因”的科学家是（ ） A.亚里士多德 B.伽利略 C.笛卡尔 D.牛顿 2.某驾驶员使用定速巡航，在高速公路上以时速110公里行驶了200公里。其中“时速110公里”、“行驶200公里”分别是指（ ） A.速度、位移 B.速度、路程 C.速率、位移 D.速率、路程 3.用国际单位制的基本单位表示能量的单位，下列正确的是（ ） A.kg.m 2/s 2 B. kg.m/s 2 C.N/m D. N.m 4.A 、B 两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图），在相同 的时间内，它们通过的路程之比是4:3,运动方向改变的角度 之比是3:2，则它们（ ） A.线速度大小之比为4:3 B.角速度大小之比为3:4 C.圆周运动的半径之比为2:1 D.向心加速度大小之比为1:2 第4题图 5.杭州市正将主干道上的部分高压钠灯换成LED 灯，已知高压钠灯功率为400w ，LED 灯功率为180W ，若更换4000盏，则一个月可节约的电能约为（ ） A.9×102 kW.h B. 3×105kW.h C. 6×105 kW.h D. 1×1012 kW.h 6.真空中两个完全相同、带等量同种电荷的金属小球A 和B （可视为点电荷），分别固定在两处，它们之间的静电力为F 。用一个不带电的同样金属球C 先后与A 、B 球接触，然后移开球C ，此时A 、B 球间的静电力为（ ） A. 3F B. 4F C. 83F D. 2 F 例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q 的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析利用韦达定理转换． 解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5． 因此选A． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析逐个验证命题是否等价． 解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件； 对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； D p q q p p q p q D ??? 对．且，即，是的充要条件．选． 说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解． 例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析通过B、C作为桥梁联系A、D． 解∵A是B的充分条件，∴A B① ∵D是C成立的必要条件，∴C D② ? ∵是成立的充要条件，∴③ C B C B 由①③得A C④ 由②④得A D． ∴D 是A 成立的必要条件．选B ． 说明：要注意利用推出符号的传递性． 例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定． 解 解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5． ∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A ． 说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ． 当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件； A B A B ?? 当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件． 例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A (B ∪C)，条件A B 是 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图． ∴A (B ∪C)． 但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A (B ∪C)，但A B 不成立， 综上所述：“A B ”“A (B ∪C)”，而 “A (B ∪C)” “A B ”． 即“A B ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ． 说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况． 例6 给出下列各组条件： (1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0； (2)p ：xy ≥0，q ：|x|＋|y|＝|x ＋y|； (3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根； (4)p ：|x －1|＞2，q ：x ＜－1． 其中p 是q 的充要条件的有 [ ] A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 2016年4月浙江学考选考 物理试题 姓名：准考证号： 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分100分，考试时间90分钟。其中加试题部分为30分．用【加试题】标出。 选择题部分 一、选择题I(本题共13小题，每小题3分，共39分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分) 1．某同学绕操场一周跑了400m，用时65s。这两个物理量分别是 A．路程、时刻B．位移、时刻 C．路程、时间D．位移、时间 2．如图所示是某人在投飞镖，飞镖在飞行途中受到的力有 A．推力B．重力、空气阻力 C．重力、推力D．重力、推力、空气阻力 3．下列说法正确的是 A．物体在完全失重的状态下没有惯性 B．运动是绝对的，但运动的描述是相对的 C．电流强度有大小和方向，所以是矢量 D．研究月球绕地球运行轨迹时不能把月球看成质点 4．物理学中的自由落体规律、万有引力定律、静止点电荷之间的相互作用规律和电流磁效应分别由不同的物理学家探究发现，他们依次是 A．伽利略、牛顿、库仑和奥斯特B．牛顿、安培、洛伦兹和奥斯特 C．伽利略、卡文迪许、库仑和安培D．开普勒、伽利略、库仑和洛伦兹 5．如图为某中国运动员在短道速滑比赛中勇夺金牌的精彩瞬间。 假定此时他正沿圆弧形弯道匀速率滑行，则他 A．所受的合力为零，做匀速运动 B．所受的合力恒定，做匀加速运动 C．所受的合力恒定，做变加速运动 D．所受的合力变化，做变加速运动 6．宇航员在月球上离月球表面高10m处由静止释放一片羽毛，羽毛落到月球表面上的时间大约是 A．1.0s B．1.4s C．3.5s D．12s 7．关于电容器，下列说法正确的是 A ．在充电过程中电流恒定 B ．在放电过程中电容减小 C ．能储存电荷，但不能储存电能 D ．两个彼此绝缘又靠近的导体可视为电容器 8．密立根油滴实验原理如图所示。两块水平放置的金属板分别与电源的正负极相接，板间电压为U ，形成竖直向下场强为E 的匀强电场。用喷雾器从上板中间的小孔喷入大小、质量和电荷量各不相同的油滴。通过显微镜可找到悬浮不动的油滴，若此悬浮油滴的质量为m ，则下列说法正确的是 A ．悬浮油滴带正电 B ．悬浮油滴的电荷量为mg U C ．增大场强，悬浮油滴将向上运动 D ．油滴的电荷量不一定是电子电量的整数倍 9．法拉第电动机原理如图所示。条形磁铁竖直固定在圆形水银槽中 心，N 极向上。一根金属杆斜插在水银中，杆的上端与固定在水银槽圆 心正上方的铰链相连。电源负极与金属杆上端相连，与电源正极连接的 导线插入水银中。从上往下看，金属杆 A ．向左摆动 B ．向右摆动 C ．顺时针转动 D ．逆时针转动 10．某卡车在公路上与路旁障碍物相撞。处理事故的警察在泥地中发现了一个小的金属物体，经判断，它是相撞瞬间车顶上一个松脱的零件被抛出而陷在泥里的。为了判断卡车是否超速，需要测量的量是 A ．车的长度，车的重量 B ．车的高度．车的重量 C ．车的长度，零件脱落点与陷落点的水平距离 D ．车的高度，零件脱落点与陷落点的水平距离 11．2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为 5.0×102 km 的预定轨道。“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为 匀速圆周运动。已知地球半径R =6.4×103km 。下列说法正确的是 A ．“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小 B ．“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小 C ．“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小 D ．“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小 12．图示中的路灯为太阳能路灯，每只路灯的光伏电池板有效 采光面积约0.3m 2。晴天时电池板上每平方米每小时接收到的太高考数学大题经典习题
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