1992年北京市初二数学竞赛初赛试题

1992年北京市初二数学竞赛初赛试题

一、选择题：

1．设x =y =z =x y 、、z 的大小关系是 （ ）

A ．x y z ≤≤

B ．y z x ≤≤

C ．z x y ≤≤

D ．z y x ≤≤

【解析】 D 0a ≤，于是991992993a a a ≥≥，因此x y z ≥≥．

2．凸1992边形的内角中，非锐角的个数至少有（ ）． A ．1988个 B ．1989个 C ．1990个 D ．1991个 【解析】 B ．因为凸n 边形的外角和为360︒，所以为钝角的外角至多有3个，也就是说至多只有3个锐

角内角．因此凸1992边形非锐角的内角至少有1989个．

3．若12x x 、是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）． A ．正数

B ．负数

C ．零

D ．不小于0的数

【解析】 D ．()2

2212121222242222x x x x x x k k +-=+--=+-=+．

而440k =+△≥，∴1k -≥ ∴22122x x +-≥0

4．给出以下四个命题：

（Ⅰ）若0a b <<，则4a b <-． （Ⅱ）若22a b <，则a b <．

(1)a b =-，则0a ≥且1b ≥． （Ⅳ）若22x x +=--，则0x <． 其中正确命题的个数是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

【解析】 B ．只有（I ）（IV ）正确．

5．若1x <等于（ ）． A ．1

B ．32x -

C ．23x -

D ．2-

【解析】 B 1232x x x =-+-=-．

6．设b 取1~11间的偶数，c 取任意正整数，则可以组成有两个不等的实数根的一元二次方程20x bx c ++=的个数是（ ）． A ．50个 B ．55个

C ．57个

D ．58个

【解析】 A ．方程2

0x bx c ++=有两个不等的实数根即2

40b c =->△，也即2

2b c ⎛⎫

< ⎪⎝⎭

．

于是所有形如20x bx c ++=的方程有22222112131415150-+-+-+-+-=个．

二、填空题：

1．如图，在ABC △中，100ABC ∠=︒，AM AN CN CP ==，

，求MNP ∠的度数． A

B

M N

P

C

【解析】

180MNP ANM PNC ∠=︒-∠-∠ ()()11

180********A C =︒-︒-∠-︒-∠

()1

2A C =∠+∠ ()1

1802B =︒-∠ 40=︒

2．设x y z 、、都是实数，并且()()

2111x a y a a a =-=---，，试求21x y a +++的值等于多少？

【解析】 ∵()()2

10

110

a a a a -⎧⎪⎨---⎪⎩≥≥，而210a a --<，∴10a -=，1a = 于是0x =，0y =，1a =，212x y a +++=．

3．若a b c 、、为非零实数，且0a b c ++=，试求

a b b c c a a b

b c

c a

++的值．

【解析】 不妨设a b c ≥≥，则由303c a b c a ++=≤≤得0a >，0c <．

因此

11a b b c c a b

b a b b

c c a b b

++=--=-

4．在浓度为%x 的盐水中加入一定数量的水，则变为浓度是20%的新溶液，在此新溶液中再加入与前次所加入的水重量相等的盐，溶液浓度变为30%，求x =？ 【解析】 设第一次加入水和第二次加入盐的相对重量为m ，则

20100100

301002100x

m x m m ⎧=⎪⎪+⎨

+⎪=⎪+⎩，解得x =7023.333≈．

5．若x 、y 的值满足方程组3234571103

177543897

x y x y +=⎧⎨+=⎩，求4224199245x x y y ++=？

【解析】 解得2x =，1y =，于是4224199245x x y y ++19921616531893=⨯++=．

6．若0m >，0n >，实数a b c d 、、

、满

足a b c d +++=，2ac bd n ==，试求

d a 的值（用m n ，

表示）．

【解析】

7．凸四边形ABCD 中，105ADB ABC ∠=∠=︒，45DAB DCB ∠=∠=︒，若A 点到直线BD 的距离为101，试求线段CD 的长度． 【解析】 ∵30ABD ∠=︒，∴202AB =

在ABD △中，sin sin AB BD

ADB DAB =

∠∠； 在BCD △中，sin sin BD CD

BCD DBC

=

∠∠ ∴sin sin AB CD ADB DBC =∠∠，即202sin105sin 75CD =︒︒，∴202CD =．

8．立方体的每个面上都写有一个自然数，并且相对的两个面上所写的二数之和都相等，若18的对面写的是质数a ，14的对面写的是质数b ，35的对面写的是质数c ．试求222a b c ab bc ca ++---的值．

1835

14

【解析】

181435a b c +=+=+， ∴222a b c ab bc ca ++---()()()222

12a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣

⎦

222

1421173732⎡⎤=++=⎣

⎦．