2014年北京市中学生数学竞赛(初二)
恒等证明-第1讲联赛班学生版
①配方法：分项配方：()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a⎡⎤++±±±=±+±+±⎣⎦ 整体配方：()2222222a b c ab bc ca a b c +++++=++②低次代数式的因式分解：常见形式：22ax bxy cy ++、xy ax by ab +++、22ax bxy cy dx ey f +++++等．③常见高次代数式的因式分解：()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---()()()()444222222222a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c ++---=++---+---+ ()()10211201n n n n n n a b a b a b a b a b a b -----=-++++当n 为奇数时有：()()1021321201n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b -----+=+-+--+ ④1a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1n n a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的关系． 222112a a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭、22114a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 12121111n n n n n n a a a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ⑤根式的化简：有理化分子或分母后比较大小；根号内配方化简； 构造等式：x a b =+()()()22222x a x a b a b a b x ax b a ⇒-=+-=-⇒-=-． ⑥大除法与因式定理．第1讲北京市初二数学竞赛专项训练【例 1】 已知0abc ≠，且0a b c ++=， 则代数式 222a b c bc ca ab++的值是_______． A ．3． B ．2． C ．1． D ．0．【例 2】 设a ，b 是不相等的任意正数，又()21b x a +=，()21a y b+=，则这两个数一定（ ）． A ．都不大于2； B ．都不小于2；C ．至少有1个大于2；D ．至少有1个小于2．【例 3】 若22m n =+，22n m =+（m n ≠），则332m mn n -+的值为 （ ）A ．1．B ．0．C ．1-．D ．2-．【例 4】 若实数a 满足322331132a a a a a a +-+=--，则1a a+=______．【例 5】 设512a -=，则5432322a a a a a a a+---+=-______．板块二：常见题型 板块一：选择题常用技巧【例 6】 （2004年全国初中数学联合竞赛试题）如果2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则23a b c ++的值是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18．【例 7】 a b c ，，是实数．若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为1-．【例 8】 已知非零实数a b c ，，满足0a b c ++=，求证：9a b b c c a c a b ca b a b b c c a ---⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭．习题 1． 若01a <<，则()22111211a a a a ⎛⎫+-÷+⨯ ⎪+⎝⎭可以化简成（ ）A ．11a a -+B ．11a a -+C ．21a -D ．21a +习题 2． 若21310x x -+=，则44x x --的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7习题 3． （2007年北京市中学生数学竞赛）化简：1111111111111111a b a c a b d a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=______．习题 4． 已知443253x <<+-，那么满足上述不等式的整数x 的个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7习题 5． 实数a 、b 满足1ab =，记1111M a b =+++，11a b N a b=+++，则M 与N 的关系是：（ ） A ．M N > B ．M N = C ．M N < D ．不确定习题 6． 当119942x +=时，多项式()20013419971994x x --的值为＿＿＿． A ．1 B ．1- C ．20012 D ．20012-小镜子的妙用有一天，一位以研究反射变换而闻名世界的德国代数学家在桌面上用几根火柴棒搭出了两个不平凡的“等式”：接着，这位教授笑眯眯地对身旁的青年实验员说：“小伙子，看到这两个式子了吗?它们显然是不成立的。
2014年北京市中学生数学竞赛(初二)
2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题一、选择题（每小题5分，共25分）1.若5=+b a ，则ab b ab a b b a a 3224224+++++=（ ） A ．5 B. 253 C. 52 D. 255 2.已知一个面积为S 且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A 的小正六边形的顶点. 则S A =（ ） A ．41 B. 31 C. 22 D. 23 3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ）A ．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 9984.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x y 1=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3512=-x x . 则=∆AOB S （ ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14132 5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ）A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008二、填空题（每小题7分，共35分）1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个.2.=⨯+++]2015[]2014[]2016[]2015[]2014[]2013[ （][x 表示不超过实数x 的最大整数）.3.在四边形ABCD 中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= .4.已知M 是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M 的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M 的“好数”.则M 的好数有 个.5.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -的最大值为 .三、（10分）已知0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a .证明：a ，b ，c 三个数中至少有两个相等.四、（15分）在凸四边形ABCD 中，已知∠BAC=30°，∠ADC=150°，且AB=DB.证明：AC 平分∠BCD.五、（15分）某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？参考答案一、选择题（每小题5分，共25分）5.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到.二、填空题（每小题7分，共35分）4.M=1311753223⨯⨯⨯⨯⨯，则M 的约数中恰能被这15个自然数中的14个整除的有四个，即2M 、3M 、11M 、13M . 5.由题意记S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32.三、由左边进行因式分解得到0))()((=---c a c b b a 即可.四、提示：作点B 关于AC 的对称点E ，连接AE 、BE 、DE.则△ABE 为正三角形，下面证明E 、D 、C 三点共线即可.可设∠DBE=θ，可得到∠EDA=30°.五、设该校共有n 名选手参赛，其准考证号依次为20141121=<<<<=-n n x x x x . 依题意知+∈=--++=Z n k n x x x x S k n k ),,2,1(121 . 对任意)1(,n j i j i ≤<≤均有+∈--=-Z n x x S S ij j i 1. 于是，1-≥-n x x i j .故2122111)1()()()(-≥-++-+-=----n x x x x x x x x n n n n n 452013)1(12≤⇒=-≤-⇒n x x n n . 由于112014--n 为整数，从而，1-n 为2013的约数. 注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，n 的最大值为34，即参赛选手最多有34名.这样的34名选手的号码是可以实现的.如2014),33,,2,1(323334==-=x i i x i . 因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.。
因式分解在初中数学竞赛中的应用_王盛裕
因为 a ! 均为正整数 ,所以 ,不妨设 a < 友 b 解得
(a ,6 ,e ) 二 ,解 ,2 ) , (8 ,15 ,17 ) , (9 ,12 , 15 ). (7 5
4.振石丽万 + 沁" 1 一 4涯的 是 值
(20 9 , 北京市中学生数学竞赛复赛 (高 0
一)) 提 示 :参见本 刊 20 r 年第 5 期. o
的 多项 式 因式 分解 问 题 , 通 常 采 用 选择 主元
n (n + l ) (n + 2 ) (n + 3 ) + l = (n, + 3 n ) (n , + 3n + 2 ) + l
二(n, + 3 n )2 + 2 (n, + 3n ) + l = ( n, + 3n + l ) .. 所 以 ,k = 3 .
(20 0 , 我 爱 数 学 初 中 生 夏 令 营 数 学 竞 1
赛)
= 分析 >给出的条件等式与求值代数式
结构 一致 , 根据 已知条 件 等式 又 无法 确 定 a !
条件和所求代数式的整体结构的分析后得到
的正确 判 断 , 是 解 题 经 验 的 积 累 和 试 验 的 结 果.
4 解方 程 (组 ) 例5 求方程
二(a 一 ) (ab + be + ea ) = O # b 又 a 护b , 则 ab + 6e + ea = O #
故 " (a + 6 ) 一6, ( "+ " , ) = ( "一b ) (a6 + be + ea ) = 0 # 因此 , "(a + 6) = 6, (a + " = 2 0 10 . , ) 例4 设 实数 x ! ! 同时满足 y :
八年级数学(竞赛)因式分解
第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。
2018年北京市中学生数学竞赛初二年级获奖名单
2018年北京市中学生数学竞赛初二年级获奖名单一等奖（94名）姓名学校年级姓名学校年级唐锦琪人大附中初一樊骏一人大附中初一袁浩然人大附中初二杨丽鸿清华附中初二陈竞帆人大附中初二段睿思清华附中初二关乃粼人大附中早六宋知轩清华附中初一张世奇人大附中初二沈芸伍清华附中初二张世潇北师大实验中学初一许易清华附中初二赵亦阳十一学校初二张一锐清华附中初二王浩霖人大附中初一潘宇锐北京一零一中初二廖昱博人大附中初一陈昕宇北京一零一中初二李永一人大附中初一李昊轩人大附中初一王原北大附中初二苗硕人大附中初二邹听雨十一学校初一黄安辀人大附中初一张书豪十一学校初二梁恒睿人大附中分校初一黄亦骐人大附中早六王俣涵北大附中初二宋嘉玺人大附中初二武正坤人大附中初一胡殊闻人大附中早六卢远人大附中初一王誉墨北师大实验中学初二谢昊霖人大附中初一贾博暄人大附中初二黄鹤鸣人大附中初一黄子萌北师大实验中学初二曲兆轩牛栏山一中实验学校初二张涵之人大附中初二阮宗泽人大附中初一陈嘉雪人大附中初二王慕涵人大附中初二徐健十一学校初一许睿泽北师大实验中学初二徐文昕人大附中初一许远航北京一零一中初二周亚琪清华附中初二刘若易北师大实验中学初二肖子健清华附中初一李海峰清华附中初一孙胤博人大附中初一许子涵人大附中初一王小龙人大附中早六朱祎然北京二中分校初二陈吉轲人大附中初二张元之清华附中初二李思学北大附中初二郭逸远北京一零一中初一廖原北京五中分校初二吴迪北师大实验中学初二王默涵清华附中初一钟沐阳人大附中初二刘星彤清华附中初二陈宇轩人大附中早六张皓翔北京一零一中初一蓝漩十一学校初二张章北京一零一中初二邓宇晨人大附中初一修时雨人大附中初二邓怡馨人大附中初一游天宇人大附中初一刘馨阳人大附中初一孙晓森清华附中初二吕博涵清华附中初二刘睿韬清华附中初一高子昂清华附中初一邹岳桐人大附中初二虞明达清华附中初一何翰韬十一学校初一李祖豫人大附中早六徐烨堃十一学校初二王中天人大附中初二张翔宇人大附中初二左泽成北师大实验中学初二张皓天北师大实验中学初一吴紫菱北师大实验中学初二张远洋人大附中初一罗天择人大附中初二高梓博人大附中初二卢天戈北大附中初二陈坤宁人大附中初二范唯楚清华附中初一张庭语人大附中初一付紫成人大附中初一二等奖（144名）姓名学校年级姓名学校年级范天舒人大附中初二齐锴人大附中初一张家铭人大附中初二李安之北京二中分校初二蔡振浩人大附中初二肖翊宸人大附中初一王凤怡人大附中初二袁籁人大附中初一孟博彰人大附中初一张泰然人大附中初一晁一沣人大附中初二彦昕人大附中初一王培阳清华附中初一孙嘉鸿人大附中初一毛嘉琛人大附中初一郭尉含章人大附中初二刘一铭清华附中初一栗选丞人大附中早六陈胤彤清华附中初二葛皓天人大附中初一李汝诚清华附中初二董亦麟人大附中初二曾广宇清华附中初二查益清华附中初二曹硕清华附中六年顾芸萌北师大实验中学初二张邵博清华附中初一丛诗雨北京一零一中初二张智清人大附中初二于天润北京一零一中初二王梓畅人大附中初一王梓翔人大附中初一杨昊源北京一零一中初二刘俊宏人大附中初一李宗润北师大实验中学初二洪维清华附中初一张一博北师大实验中学初二蒋辰昊人大附中初一刘以诺清华附中初二高慈欣北京一零一中初二吴梦晗清华附中初二董昀翱人大附中初一刘嫁新清华附中初二张天意北师大实验中学初二孙嘉阳清华附中初一翟凌飞人大附中早六夏海闻北师大实验中学初一朱泽睿人大附中初二陈宇奇人大附中初一周以端十一学校初二董天诺人大附中初二张煦恒人大附中初一吴飞扬人大附中初二李易铭人大附中初一段文博人大附中初二李飞跃十一学校初二郑元彬人大附中初二王羽健十一学校初二夏一桐人大附中初一斯文人大附中初二苗可明人大附中初一吴奕涵人大附中初一钱海天人大附中初一赵宸宇北京二中分校初二陆雪松人大附中初二李佳俊清华附中初二肖旭磊十一学校初一陈彦旭清华附中初二李春进人大附中早六王子兮清华附中初二乔铎北京亦庄实验中学初二李子豪清华附中初一郭俊游人大附中早六常三思人大附中初一黄俊维人大附中早六吕逍依人大附中初一王雨晗十一学校初二王镜廷人大附中早六龙韬智十一学校初二祝世博十一学校初二吴青阳人大附中初二陆洲锋北京二中分校初二龚云锋牛栏山一中实验学校初二黄兆屹人大附中分校初二方郑琦牛栏山一中实验学校初二张广源清华附中初一徐定坤人大附中初二刘一晨北京一零一中初二周蔚然人大附中初二张致远北京二中分校初二崔焱扬北京二中分校初二陈炫东北大附中初二张逸轩北大附中初一赵泽昕人大附中分校初二陈灵钧北京五中分校初二肖惠文清华附中六年黎丹宇北大附中初二张殊赫北京一零一中初二申君皓清华附中初二李依桐北京一零一中初二赵培源清华附中初二汪远北京一零一中初二韩羽霄清华附中初二姚亦嵩北京一零一中初二关清元人大附中初一李思颖北京一零一中初二余凌越清华附中初二李奕含北师大实验中学初二卞皓晨北师大实验中学初二吕彦荣北师大实验中学初二陈霁芸人大附中早六田昊霖人大附中初一耳昶玮人大附中初二孟晙阳北京二中分校初二王子初北京二中分校初二刘语玹人大附中初二刘任达北京四中初二郭晟毓十一学校初二申奕坤人大附中初二徐皓天人大附中初二马迹昀十一学校初一胡晓君人大附中初二阮家琪人大附中初一张子睿人大附中分校初一王子鸣人大附中初一徐金人大附中初二吴雨轩人大附中初二王子涵人大附中早六李铭泽清华附中初一陈智谦人大附中初二徐启鑫清华附中初一董雪瑞北大附中初二郑睿阳清华附中初二杨子谦北京五中分校初二杨舒涵清华附中初二付浩辰十一学校初二刘语涵清华附中初一赵柯人大附中初一荆明健清华附中初二蒋穆清人大附中初一李浩明北师大实验中学初一许景粟人大附中初一张涵钰清华附中初一郑睿阳清华附中初二三等奖（123名）姓名学校年级姓名学校年级刘相卿清华附中初二赵天珺十一学校-初二杜胤臻清华附中初二杨成科人大附中初一钱铭阳清华附中初二李卓言北京五中分校初二张文健清华附中初二李天圣北大附中初一陈楚瑜清华附中初二陈桢懿北大附中初二董予人大附中初一陈灿首师大附中初二赵一辰北师大实验中学初二张逸扬北京二中分校初二陈誉霄人大附中初二蔡泊屹北大附中初一周子昂人大附中初二马昊宇十一学校初二张雪桢北京二中分校初二苗瀚文人大附中初一王帅烨人大附中早六鲍俊辰清华附中初二张冰喆人大附中初一张宁远清华附中初二王泽尘人大附中初二张天翼清华附中初二田笑冰北京五中分校初二贺家琦北师大实验中学初一李昀濠清华附中初一张雨桐北京一零一中初二李金宸清华附中初一余瑶北师大实验中学初二孙一文清华附中初一张杰辰北京一零一中初二陆宜行十一学校初二杨谨毓北京一零一中初一周雪阳清华附中初一梁毓北师大实验中学初二孙家瑞人大附中初二杨博涵北师大实验中学初二李一申北京五中分校初二诸晨岳清华附中初二韩沛瑾人大附中初一郭馨锴清华附中初二康恺文牛栏山实验中学初二王一飞清华附中初二梁宸菲牛栏山实验中学初二关澜清华附中初二张喆人大附中初二宋清岳清华附中初二李诗均北大附中初一许赫男清华附中初一杜恒奕北京二中分校初二杨凡楷清华附中初二卢思翰人大附中早六吕桉驰清华附中初二杨紫雄人大附中初二汪佳萱北师大实验中学初二朱炯亦首师大附中初一李子闻北师大实验中学初一匡天一北京二中分校初二杨润欣北师大实验中学初一王彦翔北京四中初二刘孟歆北师大实验中学初一石家霖人大附中初二徐鼎新人大附中分校初一徐隽镕人大附中早六姬奕晨北京一零一中初二罗嘉祺北京一零一中初二高飞人大附中初二张亦鑫人大附中初一张沁月北大附中初二汪宁北京二中分校初二贾天歌人大附中初一王雨桉北京四中初二吴道宁人大附中初一张童开首师大附中初二李思海人大附中初一丁牧云北京市第十二中学初二魏梦萱人大附中初一刘涵柞人大附中初二邢琬瑜人大附中早六高欢瑜人大附中早六方大容人大附中初一何思远清华附中初二陈瑞泽首师大附中初一任墨也人大附中初二郑文博首师大附中初二王禹腾清华附中初二里正阳北京四中初二陈禹铭清华附中初二何阳松人大附中初二侯博文十一学校初一许昊翔人大附中早六东紫昭十一学校初二丁天岚人大附中初一王润山十一学校初一王泽芃北京四中初二隋远昊十一学校初一陈子璐北京一零一中初二史洪毓人大附中初一高江山清华附中初二杨佳营北京五中分校初二纪明悦清华附中初二迟嘉会北京五中分校初二李熙民北师大实验中学初二张语轩人大附中初二战治成师达中学初二王众一人大附中初二张斗和人大附中初二温雪岭人大附中初二王心睿人大附中初二刘羿镝人大附中初二孟繁钰人大附中初二张皓翔人大附中初二张婧婷十一学校初一刘俊扬人大附中初一闫岳霖牛栏山一中实验学校初二张戈飞人大附中早六张天艺牛栏山一中实验学校初二侯梓超人大附中初二杨卓然首师大附中初二陈含哲北京一零一中初二。
2014年全国初中数学联合竞赛(初二组)初赛试题参考答案及评分标准
2014年全国初中数学联合竞赛（初二组）初赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、C2、B3、B4、D5、D6、C二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、41n -2、43、14、3三、（本大题满分20分）解不等式13|2|-<-x x解：（1）当2<x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得43>x 故此时243<<x ；（10分） （2）当2≥x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得21->x 故此时2≥x ． （15分） 综上所述，不等式的解为：34x >．（20分）四、（本大题满分25分） 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，DE BC ⊥于E .若3,5DE BD ==， 求梯形ABCD 的面积．解：在直角△BDE 中，由勾股定理有：422=-=DE BD BE ；（5分）过D 作AC 的平行线交BC 的延长线于F ，连接DF 、CF ，则ACFD 是平行四边形，故CF =AD ，DF AC BD ==，所以DE 是等腰△DBF 底边上的高，故28BF BE ==（15分） 所以1221)(21=⋅=+=DE BF DE AD BC S ABCD （25分）．五、（本大题满分25分）已知正整数a 、b 满足332)(b a b a +=+，试求a 、b 的值．解：由已知得b a b ab a +=+-22，（5分）则2)1()1()(222=-+-+-b a b a ．（10分）因为a 、b 均为正整数，故01≥-a ，01≥-b ，（1）当a=b 时，1)1()1(22=-=-b a ，即a =b=2；（15分）（2）当a b ≠时，2()1a b -=，从而2(1)1a -=且2(1)0b -=；或者2(1)0a -=且2(1)1b -=； 所以，2,1a b ==，或者1,2a b ==．（20分）综上所述，所求,a b 的值是：2a b ==；或者1,2a b ==；或者2,1a b ==．（25分）。
北京市初二数学竞赛学生版
【题 9】△ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，高线 AD 与 BE 相交于 H，若 AB=1，求四边形 CDHE 的面 积_________．
x
一点，则 OP 的最小值是（ ）
A.1
B. 2
C. 3
D.2
O
B M
Ax
【题 4】已知 a 555555 ，则 a 除以 84 所得余数是（ ）
2016个5
A.0
B.21
C.42
D.63
【题 5】一张三角形纸片的长为 1 的边仅与一个边长为 1 的正 12 边形纸片的一条边重合，平放在桌面上， 则所得到的凸多边形的边数一定不是（ ）
A.11
B.12
C.13
D.14
【题 6】已知 24 t2 8 t2 2 ，求 24 t2 8 t2 的值为_______．
【题 7】正数 a，b，c 使得等式 a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 a a 1 bb 1 c c 1 成立，试确定
1956a2 1986b2 2016c2 的值为________．
A C1 C2
B2 B1
B A1 A2 C
【题 13】一个自然数 n 若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也恰等于 1，则称 n 为“金 猴数”，比如 2 4 8 8 22 且 1 1 1 1 1 ，22 就是一个“金猴数” 2488
（1）证明：11 与 28 是两个“金猴数”； （2）证明：如果 n 是“金猴数”，则 2n 2 、 2n 9 也是“金猴数”； （3）请你判定：2016 也是“金猴数”．
【精品】2014北京市初二数学竞赛获奖名单
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2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题
一、选择题（每小题5分，共25分）
1.若5=+b a ，则ab b
ab a b b a a 32
2
4
224+++++=（ ） A ．5 B.
253 C. 52 D. 2
5
5 2.已知一个面积为S 且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A 的小正六边形的顶点. 则
S
A
=（ ） A ．41 B. 3
1
C. 22
D. 23
3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ）
A ．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 998
4.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x
y 1
=
在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3
5
12=-x x . 则=∆AOB S （ ）
A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14132
5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ） A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008 二、填空题（每小题7分，共35分）
1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个.
2.
=⨯+++]
2015[]2014[]
2016[]2015[]2014[]2013[ （][x 表示不超过实
数x 的最大整数）.
3.在四边形ABCD 中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= .
4.已知M 是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M 的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M 的“好数”.则M 的好数有 个.
5.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则
21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -的最大值为 .
三、（10分）已知0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a .证明：a ，b ，c 三个数中至少有两个相等.
四、（15分）在凸四边形ABCD 中，已知∠BAC=30°，∠ADC=150°，且AB=DB.证明：AC 平分∠BCD.
五、（15分）某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？
参考答案
一、选择题（每小题5分，共25分）
5.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到. 二、填空题（每小题7分，共35分）
4.M=1311753223⨯⨯⨯⨯⨯，则M 的约数中恰能被这15个自然数中的14个整除的有四个，即2M 、3M 、11M 、13
M
. 5.由题意记
S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32. 三、由左边进行因式分解得到0))()((=---c a c b b a 即可.
四、提示：作点B 关于AC 的对称点E ，连接AE 、BE 、DE.则△ABE 为正三角形，下面证明E 、D 、C 三点共线即可.可设∠DBE=θ，可得到∠EDA=30°. 五、设该校共有n 名选手参赛，其准考证号依次为
20141121=<<<<=-n n x x x x .
依题意知+∈=--++=
Z n k n x x x x S k
n k ),,2,1(1
21 .
对任意)1(,n j i j i ≤<≤均有+∈--=
-Z n x x S S i j j i 1
.
于是，1-≥-n x x i j .
故2122111)1()()()(-≥-++-+-=----n x x x x x x x x n n n n n
452013)1(12≤⇒=-≤-⇒n x x n n .
由于
1
1
2014--n 为整数，从而，1-n 为2013的约数. 注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，n 的最大值为34，即参赛选手最多有34名.
这样的34名选手的号码是可以实现的.如2014),33,,2,1(323334==-=x i i x i . 因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.。