哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案

高等数学期末考试试题（4）

一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）

1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32

z

x y ?=?? ．

3、曲面2

2

9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．

4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．

5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则

()L

x y ds +=? ．

※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

1、 求曲线222

222

239

3x y z z x y

?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程．

2、 求由曲面2

2

22z x y =+及2

2

6z x y =--所围成的立体体积．

3、 判定级数1

1

(1)ln

n n n n

∞

=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

4、 设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,

z z

x x y

?????．

5、 计算曲面积分,dS z ∑

??其中∑是球面2222

x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．

三、（本题满分9分）

抛物面2

2

z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．

四、 （本题满分10分）

计算曲线积分

(sin )(cos )x x L

e y m dx e y mx dy -+-?

，

其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2

2

(0)x y ax a +=>．

五、（本题满分10分）

求幂级数1

3n

n n x n ∞

=?∑的收敛域及和函数．

六、（本题满分10分）

计算曲面积分332

223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑

=

++-??， 其中∑为曲面2

2

1(0)z x y z =--≥的上侧．

七、（本题满分6分）

设()f x 为连续函数，(0)f a =，2

22()[()]t F t z f x

y z dv Ω=

+++???，其中t Ω

是由曲面z =

与z = 3

()

lim t F t t +

→．

2012高等数学期末考试试题【A 卷】

参考解答与评分标准 2009年6月

一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21

y

-；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5

二、试解下列各题【每小题7分，共35分】

1、解：方程两边对x 求导，得323dy

dz y z x dx dx dy dz y z x

dx

dx ?+=-????-=-??， 从而54dy x dx y =-

，74dz x dx z =…………..【4】 该曲线在

()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488

T ==…………..【5】 故所求的切线方程为

1128107

x y z -+-==………………..【6】 法平面方程为

()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)

２、解：22

22

226z x y z x y

?=+??=--?222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22

:2xy D x y +≤．…..【2】 故所求的体积为V

dv Ω

=

???22

2620

20

2(63)6d d dz d πρρ

θρπρρπ-==-=??

(7)

３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10n

n n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1

n n u ∞

=∑发散 (3)

又111||ln(1)ln(1)||1n

n u u n n +=+>+=+,1lim ||lim ln(1)0n n n u n

→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】

４、解：

121211

()0z f y f yf f x y y

?''''=?+?+=+?， …………………………………【3】 2111

122212222211[()][()]z x x

f y f x f f f x f x y y y y y ?''''''''''=+?+?--+?+?-??111222231.x f xyf f f y y

''''''=+--【7】 ５、解：∑

的方程为z =，∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．

=…..………【３】

故

22222200xy D dS adxdy d a d z a x y a π

ρρθρ∑

==---?????

220

12ln()2ln 2a

a a a h

πρπ?=--=????..【7】

三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M

到原点的距离为d =

【1】

令2

2

2

2

2

(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-，

则由22

220

220201x y z L x x L y y L z z x y x y z λμλμλμ=-+=??=-+=??=++=??=+?

++=??

，解得12x y -==

，23z =．于是得到两个可能极值点

121111(

,(,2222

M M --+---+…………………【7】 又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．

故max

2min 1||||d OM d OM ==== (9)

四、【10分】 解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得

22(sin )(cos )8

x x D

L OA

I e y m dx e y mx dy m d ma π

σ+=

-+-=-=-

???． (5)

而1

(sin )(cos )a

x x

OA

I e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-?? (8)

∴221(sin )(cos ).8

x x L

e y m dx e y mx dy I I ma ma π

-+-=-=-

? (10)

五、【10分】解：()1131

lim

lim 3133n n n n n n a n R a n ρ++→∞→∞===?=+，收敛区间为 (3,3)-…………【2】 又当3x =时，级数成为1

1

n n ∞

=∑，发散；当3x =-时，级数成为()11n

n n ∞

=-∑，收敛． (4)

故该幂级数的收敛域为

[)3,3- (5)

令()13

n

n n x s x n ∞

==∑（33x -≤<），则

11111111

()()3

3331/33n n n n n x x s x x x -∞

∞-=='====

--∑∑, (||3x <) (8)

于是()()00

0()()ln 3ln 3ln 33x x

x dx

s x s x dx x x x '=

==--=---?

?

，（33x -≤<） (10)

六、【10分】解：取1∑为22

0(1)z x y =+≤的下侧，记∑与1∑所围成的空间闭区域为Ω，则由高斯公式，

有()()1

332222

22316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω

=

++-=++??

??? (5)

()221

12

62d d z dz πρθρρ

ρπ-=+=???

(7)

而()()221

1

33221

1

2231313

3x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤=++-=-==??????

(9)

2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)

七、【6分】解：()()22

24

0sin cos t

F t d d r f r r dr π

πθ?????=+?

??

??….… 【2】 ()32244

00002sin cos sin t t d r dr d f r r dr ππ

π???????=+????

????

(()4

22

028

t

t r f r dr π??=+-????

?….… 【4】 故(

)(

3222320002()222lim

lim lim ().333

t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→??+??

-??=== 【6】