第五章 统计与概率 5.3.5随机事件的独立性 (教案)

随机事件的独立性

【教学目标】

1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.

2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际应用问题.

【教学重难点】

1．独立性的概念.

2．独立性的应用.

【教学过程】

一、问题导入

五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，记事件A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天。

（1）直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B事件发生的概率吗？

（2）求出P（A），P（B），P（AB）的值，观察这三个值之间的关系.

二、新知探究

1．相互独立事件的判断

【例】从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，设事件A＝“抽到K”，事件B＝“抽到红牌”，事件C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？

（1）A与B；

（2）C与A．

【解】（1）由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．

以下考虑它们是否为相互独立事件：

抽到K的概率为P（A）＝4

52＝

1

13，

抽到红牌的概率为P（B）＝26

52＝

1

2，

事件AB为“既抽到K又抽到红牌”，即“抽到红桃K或方块K”，故P(AB)＝2

52＝

1

26，从而

有P（A）P（B）＝P(AB)，因此A与B是相互独立事件．

（2）从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能

抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥，由于P （A ）＝113≠0.

P （C ）＝113≠0，P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，

故A 与C 并非对立事件．

【教师总结】

一般地，当P (AB )＝P （A ）P （B ）时，就称事件A 与B 相互独立(简称独立)．如果事件A

与B 相互独立，那么A －与B ，A 与B －，A －与B －也相互独立．

两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A 1，A 2，…，A n 相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”．

2．相互独立事件概率的求法

【例】小王某天乘火车从广州到上海去办事，若当天从广州到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：

（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．

【解】用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，

P （C ）＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1．

（1）由题意得A ，B ，C 之间相互独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A －BC )

＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P （B ）P （C ）＋P （A ）P (B －)P （C ）＋P （A ）P （B ）P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．

（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (ABC －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1

－0.2×0.3×0.1＝0.994．

3．相互独立事件的应用

【例】甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14

.求： （1）两人都能破译的概率；

（2）两人都不能破译的概率；

（3）恰有一人能破译的概率．

【解】设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A ，B 相互独立，从而A 与B －、

A －与

B ．A －与B －均相互独立．

（1）“两人都能破译”为事件AB ，则

P (AB )＝P （A ）·P （B ）＝13×14＝112.

（2）“两人都不能破译”为事件AB ，则

P (AB －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P （A ）]·[1－P （B ）]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－14＝12. （3）“恰有一人能破译”为事件((A B －)∪(A －B ))，

则P ((A B －)∪(A －B ))＝P (A B －)＋P (A －B )＝P （A ）·P (B －)＋P (A －)·P （B ）＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝512

. 三、课堂检测

1．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A ，“第2枚为正面”为事件B ，“2枚结果相同”为事件C ，有下列三个命题：

①事件A 与事件B 相互独立；

②事件B 与事件C 相互独立；

③事件C 与事件A 相互独立．

以上命题中，正确的个数是( )

A ．0))

B ．1

C ．2))

D ．3

解析：选D ．P （A ）＝12，P （B ）＝12，P （C ）＝12，P (AB )＝P (AC )＝P (BC )＝14，

因为P (AB )＝14＝P （A ）P （B ），故A ，B 相互独立；

因为P (AC )＝14＝P （A ）P （C ），故A ，C 相互独立；

因为P (BC )＝14＝P （B ）P （C ），故B ，C 相互独立；

综上，选D ．

2．(2019·四川省眉山市期末)三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将元件

T 2，T 3并联后再和元件T 1串联接入电路，如图所示，则此电路不发生故障的概率为________．

解析：记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，