第五章 统计与概率 5.3.5随机事件的独立性 (教案)
随机事件的独立性
【教学目标】
1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.
2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际应用问题.
【教学重难点】
1．独立性的概念.
2．独立性的应用.
【教学过程】
一、问题导入
五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，记事件A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天。
（1）直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B事件发生的概率吗？
（2）求出P（A），P（B），P（AB）的值，观察这三个值之间的关系.
二、新知探究
1．相互独立事件的判断
【例】从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，设事件A＝“抽到K”，事件B＝“抽到红牌”，事件C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
（1）A与B；
（2）C与A．
【解】（1）由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．
以下考虑它们是否为相互独立事件：
抽到K的概率为P（A）＝4
52＝
1
13，
抽到红牌的概率为P（B）＝26
52＝
1
2，
事件AB为“既抽到K又抽到红牌”，即“抽到红桃K或方块K”，故P(AB)＝2
52＝
1
26，从而
有P（A）P（B）＝P(AB)，因此A与B是相互独立事件．
（2）从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能
抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥，由于P （A ）＝113≠0.
P （C ）＝113≠0，P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，
故A 与C 并非对立事件．
【教师总结】
一般地，当P (AB )＝P （A ）P （B ）时，就称事件A 与B 相互独立(简称独立)．如果事件A
与B 相互独立，那么A －与B ，A 与B －，A －与B －也相互独立．
两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A 1，A 2，…，A n 相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”．
2．相互独立事件概率的求法
【例】小王某天乘火车从广州到上海去办事，若当天从广州到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．
【解】用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，
P （C ）＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1．
（1）由题意得A ，B ，C 之间相互独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A －BC )
＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P （B ）P （C ）＋P （A ）P (B －)P （C ）＋P （A ）P （B ）P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (ABC －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1
－0.2×0.3×0.1＝0.994．
3．相互独立事件的应用
【例】甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14
.求： （1）两人都能破译的概率；
（2）两人都不能破译的概率；
（3）恰有一人能破译的概率．
【解】设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A ，B 相互独立，从而A 与B －、
A －与
B ．A －与B －均相互独立．
（1）“两人都能破译”为事件AB ，则
P (AB )＝P （A ）·P （B ）＝13×14＝112.
（2）“两人都不能破译”为事件AB ，则
P (AB －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P （A ）]·[1－P （B ）]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－14＝12. （3）“恰有一人能破译”为事件((A B －)∪(A －B ))，
则P ((A B －)∪(A －B ))＝P (A B －)＋P (A －B )＝P （A ）·P (B －)＋P (A －)·P （B ）＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝512
. 三、课堂检测
1．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A ，“第2枚为正面”为事件B ，“2枚结果相同”为事件C ，有下列三个命题：
①事件A 与事件B 相互独立；
②事件B 与事件C 相互独立；
③事件C 与事件A 相互独立．
以上命题中，正确的个数是( )
A ．0))
B ．1
C ．2))
D ．3
解析：选D ．P （A ）＝12，P （B ）＝12，P （C ）＝12，P (AB )＝P (AC )＝P (BC )＝14，
因为P (AB )＝14＝P （A ）P （B ），故A ，B 相互独立；
因为P (AC )＝14＝P （A ）P （C ），故A ，C 相互独立；
因为P (BC )＝14＝P （B ）P （C ），故B ，C 相互独立；
综上，选D ．
2．(2019·四川省眉山市期末)三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将元件
T 2，T 3并联后再和元件T 1串联接入电路，如图所示，则此电路不发生故障的概率为________．
解析：记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，
P (A 3)＝34.
因为电路不发生故障的事件为(A 2＋A 3)A 1，
所以电路不发生故障的概率为
P ＝P [(A 2＋A 3)A 1]＝P (A 2＋A 3)P (A 1)＝[1－P (A －1)·P (A －3)]·P (A 1)＝(1－14×14)×12＝1532.
答案：1532
3．在某段时间内，甲地不下雨的概率为P 1(0<P 1<1)，乙地不下雨的概率为P 2(0<P 2<1)，若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为( )
A ．P 1P 2))
B ．1－P 1P 2
C ．P 1(1－P 2)))
D ．(1－P 1)(1－P 2)
解析：选D ．因为甲地不下雨的概率为P 1，乙地不下雨的概率为P 2，且在这段时间内两地下雨相互独立，
所以这段时间内两地都下雨的概率为P ＝(1－P 1)(1－P 2)．故选D ．
4．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮
猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互
不影响．假设“星队”参加两轮活动，则“星队”至少猜对3个成语的概率为________．
解析：记事件A ：“甲第一轮猜对”，事件B ：“乙第一轮猜对”，
事件C ：“甲第二轮猜对”，事件D ：“乙第二轮猜对”，事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意知，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －.
由事件的独立性与互斥性，得
P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)
＝P （A ）P （B ）P （C ）P （D ）＋P (A －)P （B ）P （C ）P （D ）＋P （A ）P (B －)·P （C ）P
（D ）＋P （A ）P （B ）P (C －)P （D ）＋P （A ）P （B ）P （C ）P (D －)
＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛14×23×34×23＋34×13× ⎭
⎪⎫34×23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.
答案：23。
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册
B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白
球”,B=“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事
件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B ( )
×
3 4
×
1 3
=
110.
(2)三人都不合格的概率
P0=P(������
������
������)=P(������)·P(������)·P(������)=35
×
1 4
×
2 3
=
110.
(3)恰有两人合格的概率
P2=P(AB������)+P(A������C)+P(������BC)=25
×
3 4
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
相互独立事件同时发生的概率
例2根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种
保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
分析:根据相互独立事件的概率公式求解. 解:记 A 表示事件“购买甲种保险”,B 表示事件“购买乙种保险”,则
×
2 3
+
2 5
×
1 4
×
1 3
+
3 5
×
3 4
×
1 3
=
2630.
恰有一人合格的概率
【新教材】高中数学 新人教B版(2019)必修第二册 5.3.5随机事件的独立性 课件
解析：记事件 A：“甲第一轮猜对”，事件 B：“乙第一轮猜 对”， 事件 C：“甲第二轮猜对”，事件 D：“乙第二轮猜对”，事 件 E：“‘星队’至少猜对 3 个成语”． 由题意知，E＝ABCD＋－A BCD＋A－B CD＋AB－C D＋ABC－D . 由事件的独立性与互斥性，得
P(E) ＝ P(ABCD) ＋ P( －A BCD) ＋ P(A －B CD) ＋ P(AB －C D) ＋ P(ABC－D ) ＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(－A )P(B)P(C)P(D)＋ P(A)P(－B )·P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(－C )P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(－D )
＝34×23×34×23＋2×14×23×34×23＋34×13× 34×23＝23. 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为23. 答案：23
答案：152
相互独立事件的判断 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，设事件 A＝ “抽到 K”，事件 B＝“抽到红牌”，事件 C＝“抽到 J”，那么 下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ (1)A 与 B； (2)C 与 A.
【解】 (1)由于事件 A 为“抽到 K”，事件 B 为“抽到红牌”，故 抽到红牌中有可能抽到红桃 K 或方块 K，即有可能抽到 K，故事件 A，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事 件． 以下考虑它们是否为相互独立事件： 抽到 K 的概率为 P(A)＝542＝113， 抽到红牌的概率为 P(B)＝2562＝12，
(2)“两人都不能破译”为事件A－B，则 P(A－B)＝P(－A )·P(－B )＝[1－P(A)]·[1－P(B)]＝1－13×1－14＝12. (3)“恰有一人能破译”为事件((A－B )∪(－A B))， 则 P((A－B )∪(－A B))＝P(A－B )＋P(－A B)＝P(A)·P(－B )＋P(－A )·P(B) ＝13×1－14＋1－13×14＝152.
5.3.5随机事件的独立性高一下学期数学人教B版必修第二册课件
数学人教B版 必修第二册
(2)从一副牌(52 张)中任取一张，抽到老 K 就不可能抽到 J， 抽到 J 就不可能抽到老 K，故事件 C 与事件 A 不可能同时发生， A 与 C 互斥，又抽不到老 K 不一定抽到 J，故 A 与 C 并非对立事 件．
第16页
数学人教B版 必修第二册
题型二 相互独立事件及互斥事件的概率
第19页
数学人教B版 必修第二册
【解析】 (2)记“空气质量为轻度污染”为事件 B，由题意 知 P(B)＝130，则 P(－B )＝170，
记“三天中恰有一天空气质量轻度污染”为事件 C， 则 P(C)＝130×170×170＋170×130×170＋170×170×130＝0.441. 故三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率为 0.441.
第11页
数学人教B版 必修第二册
【讲评】 事实上①组为对立事件，②组为互斥事件，③组 为独立事件，但不互斥，④组既不互斥也不独立．由此可知，独 立事件一定不互斥，互斥事件一定不独立．
第12页
数学人教B版 必修第二册
探究 1 如何判定两事件相互独立： (1)由定义，若 P(AB)＝P(A)·P(B)，则 A，B 相互独立，即如 果 A，B 同时成立时的概率等于事件 A 的概率与事件 B 的概率的 积，那么可得出事件 A，B 为相互独立事件． (2)有些事件根本没有必要通过概率的计算就能判定其独立 性，如有放回的两次抽奖，掷 5 次同一枚硬币等等，由事件本身 的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出相互独立与否．
第10页
数学人教B版 必修第二册
【解析】 ①∵P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝0， ∴A 与 B 不独立． ②∵P(A)＝12，P(B)＝16，P(AB)＝0， ∴A 与 B 不独立． ③∵P(A)＝12，P(B)＝13，P(AB)＝16， ∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴A 与 B 独立． ④∵P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝16， ∴P(AB)≠P(A)·P(B)，∴A 与 B 不独立．
高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.5随机事件的独立性教学1b高一必修第二册数学
2．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1
表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( )
A．相互独立事件
B．不相互独立事件
C．互斥事件
D．对立事件
12/13/2021
3．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目
标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(
)
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
12/13/2021
相互独立事件同时发生的概率
【例2】 高二某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次 考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85. 求：
所以 P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16. 所以 P(AB)＝P(A)P(B)， 所以事件 A 与 B 相互独立．
12/13/2021
判断事件是否相互独立的方法 1定义法：事件A，B相互独立⇔PAB＝PA·PB. 2直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互 影响.
12/13/2021
1．(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(
)
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为
反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸
到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为 偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
5.3.5随机事件的独立性课件高一下学期数学人教B版
辩一辩 互斥事件、对立事件和相互独立相互独立事件
不可能同时发生的 不可能同时发生 如果事件A（或B）是否发
概 两个事件且必有一 的两个事件叫做 生对事件B（或A）发生的
念 个发生的两个互斥 互斥事件.
概率没有影响，这样的两
事件叫对立事件
个事件叫做相互独立事件
符
号
计算 公式
判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环； 互斥
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙射中8环； 相互独立
(3)已知P(A) 0.6, P(B) 0.4, P(AB) 0.24 则事件A与B；
相互独立
（4）在一次数学学考中，“甲的成绩为A”与“乙的成
绩为B”
相互独立
解: 设 “ 第 一 次 抽 到 指 定 号 码 ” 为 事 件 A , “第二次抽到指定号码”为事件 B. “两次都抽到指定号码”则为事件AB. 事件 A 与 B 相互独立.
( 2 )“ 恰 有 一 次 抽 到 指 定 号 码 ” 为 事 件(AB)(AB), 则 P((AB)(AB)) P(AB) P(AB) P(A)P(B) P(A)P(B)
思考1：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取， 事件A为“第一名同学没有抽到奖券”，事件B“最后一名同学抽到奖 券”，事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？
思考2：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学有放回地抽取， 事件A为“第一名同学没有抽到奖券”，事件B“最后一名同学抽到奖 券”，事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？
例(补充). 一个同学投篮一次的命中率是 0.6, 他连投 3 次, 假设每次投中与否互不影响, 计算: (1) 3 次都投中的概率; (2) 只第二次不中的概率;
5.3.5事件的独立性教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第二册
课题事件的独立性课时安排一课时课前准备学案、课件教材内容分析本节课随机事件的独立性是概率论非常重要的概念之一，它的引进极大地推动了概率论的发展，概率论中很多重要的结论大都是在独立论地假定下获得的.对于高中阶段的概率知识来说，独立性的概念的引入，一方面很大程度上简化了多个事件同时发生的概率的求法，另一方面也为后续二项分布等的介绍做铺垫.不过，需要注意的是，随机事件的独立性是一个比较抽象的概念，要对独立性产生准确理解，并不是一件容易的事.本节课的教学重点是通过实例，让学生理解两个随机事件的独立性的意义，培养学生数学抽象的核心素养，并掌握相互独立事件的概率乘法公式，运用公式求事件的概率，提升数学运算，逻辑推理的核心素养.设计理念本节课文字较多，以PPT课件为载体，赣教云电子书展示，让学生直观感知如何用数学符号和语文来刻画事件的独立性。
学情分析学习本课之前，学生已经学习了概率部分的基础部分，系统掌握了基本的概率知识，如概率的性质、互斥事件的概率、会利用古典概型求解简单的概率问题，这些都为本节课的学习提供了知识和能力上的准备。
同时，学生刚刚学习完条件概率，使得学生对事件独立性的学习建立在自己的最近发展区上，总体而言，学习这节内容不会有太大的困难。
赣教学目标1、结合实例，理解两个随机事件独立的意义，并会判断两个事件的独立性，培养学生数学抽象的数学素养；2、理解概率的乘法公式，提升学生数学逻辑推理的数学素养；3、掌握并综合运用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式解题，提升学生数学运算的数学素养.教学重难点教学重点：独立事件的定义、概率的乘法公式、互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式教学难点：判断两个随机事件的独立性，互斥和独立的区别与联系教学环节（一）师生活动1、整体概览问题：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本（赣教云打开电子书），老师指导学生概括总结本节的内容.设计意图通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.教学环节（二）师生活动2.新课导入（出示）五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天.记事件A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天.（1）直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B事件发生的概率吗？（2）求出()P A，()P B，()P AB的值，观察这三个值之间的关系.追问：（1）如果用(,)i j表示甲选的是第i天，乙选的是第j天，请写出样本空间；（2）请分别写出事件A、事件B以及事件AB包含的样本点；（3）请分别算出()P A，()P B，()P AB的值.师生活动：学生自主解答，尝试给出答案.设计意图给出了学生直观上来理解独立性的情景，因为甲、乙都是随机选择，因此他们事先是没有商量的，从而可以知道事件是否发生是不会影响事件是否发生的概率.教学环节（三）师生活动3、形成定义一般地，事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即()()()P AB P A P B=.事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.（1）如果事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立.（2）对于n个事件A1，A2，…，A n，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，A n相互独立．则1212(...)()()...()n nP A A A P A P A P A=⋅⋅师生活动：推导独立事件的概率乘法公式设计意图让学生体会相互独立的概念.要让学生体会到利用独立性解题带来的便利：有了独立性之后，可以不写出二维的样本空间，只要考查两个一维样本空间就可以了。
《随机事件的独立性》 教学设计
《随机事件的独立性》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解随机事件独立性的概念。
（2）掌握判断两个随机事件是否独立的方法。
（3）能运用随机事件独立性解决实际问题。
2、过程与方法目标（1）通过实例分析，培养学生观察、分析和归纳的能力。
（2）引导学生进行逻辑推理，提高学生的数学思维能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点（1）随机事件独立性的概念。
（2）独立事件概率的计算方法。
2、教学难点（1）对随机事件独立性概念的理解。
（2）判断两个随机事件是否独立。
三、教学方法讲授法、讨论法、案例分析法、练习法四、教学过程1、课程导入（约 5 分钟）通过展示一些生活中的随机现象，如抽奖、掷骰子等，引导学生思考这些事件之间的关系，从而引出随机事件独立性的概念。
例如：在抽奖活动中，先抽和后抽是否会影响中奖的概率？2、概念讲解（约 15 分钟）（1）定义：设 A、B 是两个随机事件，如果 P(AB) ＝ P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立。
（2）解释：如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生与否也不影响事件 A 发生的概率，那么 A 和 B 就是相互独立的事件。
通过简单的例子帮助学生理解，如：抛一枚硬币两次，第一次抛硬币正面朝上（事件 A）和第二次抛硬币正面朝上（事件 B），这两个事件就是相互独立的。
（1）例 1：一个袋子里有 3 个红球和 2 个白球，从中先后取出两个球，设事件 A 为“第一次取出红球”，事件 B 为“第二次取出红球”，判断 A、B 是否独立。
分析：第一次取出球后，袋子里球的数量和种类发生了变化，所以P(B|A) ≠ P(B)，A、B 不是独立事件。
（2）例 2：同时掷两个骰子，设事件 A 为“第一个骰子点数为1”，事件 B 为“两个骰子点数之和为8”，判断 A、B 是否独立。
第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性（教案）
第五章统计与概率5.3.5随机事件的独⽴性（教案）随机事件的独⽴性【教学⽬标】1．在具体情境中，了解两个事件相互独⽴的概念.2．能利⽤相互独⽴事件同时发⽣的概率公式解决⼀些简单的实际应⽤问题.【教学重难点】1．独⽴性的概念.2．独⽴性的应⽤.【教学过程】⼀、问题导⼊五⼀劳动节学校放假三天，甲、⼄两名同学都打算去敬⽼院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选⼀天，⼄同学准备在前两天中随机选⼀天，记事件A：甲选的是第⼀天，B：⼄选的是第⼀天。
（1）直觉上，你觉得A事件是否发⽣会影响B事件发⽣的概率吗？（2）求出P（A），P（B），P（AB）的值，观察这三个值之间的关系.⼆、新知探究1．相互独⽴事件的判断【例】从⼀副扑克牌(去掉⼤、⼩王)中任取⼀张，设事件A＝“抽到K”，事件B＝“抽到红牌”，事件C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独⽴？是否互斥？是否对⽴？为什么？（1）A与B；（2）C与A．【解】（1）由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或⽅块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发⽣，显然它们不是互斥事件，更加不是对⽴事件．以下考虑它们是否为相互独⽴事件：抽到K的概率为P（A）＝452＝113，抽到红牌的概率为P（B）＝2652＝12，事件AB为“既抽到K⼜抽到红牌”，即“抽到红桃K或⽅块K”，故P(AB)＝252＝126，从⽽有P（A）P（B）＝P(AB)，因此A与B是相互独⽴事件．（2）从⼀副扑克牌(去掉⼤、⼩王)中任取⼀张，抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发⽣，A 与C 互斥，由于P （A ）＝113≠0.P （C ）＝113≠0，P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独⽴事件，⼜抽不到K 不⼀定抽到J ，故A 与C 并⾮对⽴事件．【教师总结】⼀般地，当P (AB )＝P （A ）P （B ）时，就称事件A 与B 相互独⽴(简称独⽴)．如果事件A与B 相互独⽴，那么A －与B ，A 与B －，A －与B －也相互独⽴．两个事件相互独⽴的概念也可以推⼴到有限个事件，即“A 1，A 2，…，A n 相互独⽴”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发⽣的概率都等于它们各⾃发⽣的概率之积”．2．相互独⽴事件概率的求法【例】⼩王某天乘⽕车从⼴州到上海去办事，若当天从⼴州到上海的三列⽕车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列⽕车之间是否正点到达互不影响．求：（1）这三列⽕车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列⽕车⾄少有⼀列正点到达的概率．【解】⽤A ，B ，C 分别表⽰这三列⽕车正点到达的事件，则P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，P （C ）＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1．（1）由题意得A ，B ，C 之间相互独⽴，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P （B ）P （C ）＋P （A ）P (B －)P （C ）＋P （A ）P （B ）P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．（2）这三列⽕车⾄少有⼀列正点到达的概率为P 2＝1－P (ABC －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．3．相互独⽴事件的应⽤【例】甲、⼄两⼈破译⼀密码，他们能破译的概率分别为13和14.求：（1）两⼈都能破译的概率；（2）两⼈都不能破译的概率；（3）恰有⼀⼈能破译的概率．【解】设“甲能破译”为事件A ，“⼄能破译”为事件B ，则A ，B 相互独⽴，从⽽A 与B －、A －与B ．A －与B －均相互独⽴．（1）“两⼈都能破译”为事件AB ，则P (AB )＝P （A ）·P （B ）＝13×14＝112.（2）“两⼈都不能破译”为事件AB ，则P (AB －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P （A ）]·[1－P （B ）]＝? ????1－13×? ??1－14＝12. （3）“恰有⼀⼈能破译”为事件((A B －)∪(A －B ))，则P ((A B －)∪(A －B ))＝P (A B －)＋P (A －B )＝P （A ）·P (B －)＋P (A －)·P （B ）＝13×? ????1－14＋? ????1－13×14＝512. 三、课堂检测1．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正⾯”为事件A ，“第2枚为正⾯”为事件B ，“2枚结果相同”为事件C ，有下列三个命题：①事件A 与事件B 相互独⽴；②事件B 与事件C 相互独⽴；③事件C 与事件A 相互独⽴．以上命题中，正确的个数是( )A ．0))B ．1C ．2))D ．3解析：选D ．P （A ）＝12，P （B ）＝12，P （C ）＝12，P (AB )＝P (AC )＝P (BC )＝14，因为P (AB )＝14＝P （A ）P （B ），故A ，B 相互独⽴；因为P (AC )＝14＝P （A ）P （C ），故A ，C 相互独⽴；因为P (BC )＝14＝P （B ）P （C ），故B ，C 相互独⽴；综上，选D ．2．(2019·四川省眉⼭市期末)三个元件T 1，T 2，T 3正常⼯作的概率分别为12，34，34，将元件T 2，T 3并联后再和元件T 1串联接⼊电路，如图所⽰，则此电路不发⽣故障的概率为________．解析：记“三个元件T 1，T 2，T 3正常⼯作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34.因为电路不发⽣故障的事件为(A 2＋A 3)A 1，所以电路不发⽣故障的概率为P ＝P [(A 2＋A 3)A 1]＝P (A 2＋A 3)P (A 1)＝[1－P (A －1)·P (A －3)]·P (A 1)＝(1－14×14)×12＝1532.答案：15323．在某段时间内，甲地不下⾬的概率为P 1(0A ．P 1P 2))B ．1－P 1P 2C ．P 1(1－P 2)))D ．(1－P 1)(1－P 2)解析：选D ．因为甲地不下⾬的概率为P 1，⼄地不下⾬的概率为P 2，且在这段时间内两地下⾬相互独⽴，所以这段时间内两地都下⾬的概率为P ＝(1－P 1)(1－P 2)．故选D ．4．甲、⼄两⼈组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、⼄各猜⼀个成语．已知甲每轮猜对的概率是34，⼄每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、⼄猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，则“星队”⾄少猜对3个成语的概率为________．解析：记事件A ：“甲第⼀轮猜对”，事件B ：“⼄第⼀轮猜对”，事件C ：“甲第⼆轮猜对”，事件D ：“⼄第⼆轮猜对”，事件E ：“‘星队’⾄少猜对3个成语”．由题意知，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －.由事件的独⽴性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)＝P （A ）P （B ）P （C ）P （D ）＋P (A －)P （B ）P （C ）P （D ）＋P （A ）P (B －)·P （C ）P （D ）＋P （A ）P （B ）P (C －)P （D ）＋P （A ）P （B ）P （C ）P (D －)＝34×23×34×23＋2×? ?14×23×34×23＋34×13× ?34×23＝23. 所以“星队”⾄少猜对3个成语的概率为23.答案：23。
5.3.5随机事件的独立性教学设计2024-2025学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
5.3.5《随机事件的独立性》教学设计教材分析：概率论是研究和揭示随机现象规律性的数学分支。
它的理论和方法渗透到现实世界的各个领域，应用极为广泛。
而在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算。
相互独立事件同时发生的概率与前面学习的等可能性事件、互斥事件有一个发生的概率，是三类典型的概率模型。
将复杂问题分解为这三种基本形式，是处理概率问题的基本方法。
本节内容是普通高中课程标准数学人教版《随机事件的独立性》，事件的相互独立性这部分内容是在学过互斥事件和对立事件的基础上进一步了解事件之间的关系，事件的相互独立性也是概率论中极其重要的概念，它能起到简化概率计算的作用。
在教学中通过具体事例直观解释独立性概念，两个事件相互独立与两个事件互斥学生容易混淆，因此在教学中要让学生对两个概念进行比。
本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材。
在本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，为下一节起铺垫作用。
教学主题：事件的相互独立性教学目标：数学抽象、逻辑推理：理解两个事件相互独立的概念，能进行与事件独立性有关的概率的计算．数学建模、直观想象：通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，提高解决实际问题的能力．数学运算、数据分析：通过对实例的分析，问题的探究，学会合作，提高学习数学的兴趣．教学重点：两个事件相互独立的直观意义及定义，利用事件的独立性解决问题．教学难点：在实际问题情景中判断事件的独立性。
课前活动：学生在昨天的晚自习中预习本节内容，提出疑问，课代表总结问题交至任课教师处。
教学过程：一、引入主题：教学内容：1、思考问题：①事件 A、B互斥，则 P(A+B)=P （A）+P(B)，那么对于积事件 AB发生的概率与事件 A、B发生的概率有什么关系？2、观看视频：《赌徒谬误》引导学生思考事件的独立性具体是什么含义？教师活动：教师提出问题，引导学生思考，大胆说出自己的想法。
新教材高中数学第五章统计与概率3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册 课件(共13张PPT)
问题 1.如果乙要连胜四局,比赛应如何进行? 提示:若要乙连胜四局,则对阵情况是第一局:甲对乙,乙胜;第二局:乙对丙,乙胜;第 三局:乙对甲,乙胜;第四局:乙对丙,乙胜. 2.要求出乙连胜四局时的概率需要用到哪些概率知识?如何求? 提示:应用事件的独立性知识,按照每局乙胜的情况分析,所求概率为P=(1-0.4)2×0. 52=0.32=0.09.
求复杂事件的概率一般可分三步进行: (1)列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们; (2)理清各事件之间的关系,用事件间的“并”“交”恰当地表示所求事件; (3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算. 注意:当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件 的概率,再求出符合条件的事件的概率.
∩F)+P( D∩E∩F)=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.55. 解法二:“红队中至少有两名队员获胜”与“红队中最多有一名队员获胜”为对 立事件,而红队都不获胜的事件为 D∩ E ∩ F ,且P( D∩ E ∩ F )=0.4×0.5×0.5=0.1. 则红队中至少有两名队员获胜的概率P2=1-P1-P( D∩ E ∩ F )=1-0.35-0.1=0.55. 方法总结 处理事件的独立性问题主要用直接法和间接法.当遇到“至少”“至 多”问题时可以考虑间接法.
解析 设甲胜A为事件D,乙胜B为事件E,丙胜C为事件F,则 D, E , F 分别表示A胜 甲、B胜乙、C胜丙. 因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 所以由对立事件的概率公式知P( D)=0.4,P( E )=0.5,P( F )=0.5. (1)红队中有且只有一名队员获胜的事件有D∩ E ∩ F , D∩E∩ F , D∩ E ∩F,以上 3个事件彼此互斥且相互独立. 所以红队中有且只有一名队员获胜的概率P1=P[(D∩ E ∩ F )∪( D∩E∩ F )∪( D ∩ E ∩F)]=P(D∩ E ∩ F )+P( D∩E∩ F )+P( D∩ E ∩F)=0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+ 0.4×0.5×0.5=0.35. (2)解法一:红队中至少有两名队员获胜的事件有D∩E∩F,D∩E∩ F ,D∩ E ∩F, D ∩E∩F,由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队中至少有两名队员获胜的概率P2=P(D∩E∩F)+P(D∩E∩ F )+P(D∩ E