第二章递归与分治策略(1)
4
常见的递归形式
• 除基本的递归形式外，其它常见的递归 形式有四种，它们是： • 多变元递归； • 多步递归； • 嵌套递归； • 联立递归
5
多变元递归
•• 多例变2：元整递数归划就分是问递题归：元将多一于个一正个整的数递n归表。示为 一系列正整数之和， n = n1 + n2 +…+nk 其中n1≥n2≥…≥nk≥1, k≥1。
• 正 例整 如ρ数(6n)的=一11个，这即种整表数示6的称划为分正数整为数1n1的种一：个 划6, 分。5+正1, 整4数+2n,的4+不1+同1的, 划3+分3,的3+个2+数1,成3+为1正+1整+1 数2+n2的+2划, 2分+2数+1，+1记, 2作+1ρ+(n1)+。1+1， 1+1+1+1+1+1
其中Q也不包含P，B为递归终止条件。
3
递归元
• 递归算法的思想是将对较大规模的对象的操作 归结为对较小规模的对象实施同样的操作。
• 这种规模的变化就体现在递归算法的变元中的 一类(一个或几个)变元上，这类变元被称之为 递归元。
• 递归元的变化是在递归定义中确定的，它的变 化应能导致递归算法的终止。
13
递归小结
解决方法：在递归算法中消除递归调用，使其转化为 非递归算法。 1、采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作 栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人 工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。 2、用递推来实现递归函数。 3、通过变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求 出结果。
6
正整数的划分
• 有时候，问题本身具有比较明显的递归 关系，因而容易用递归函数直接求解。
• 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分 数，则难以直接找到递归关系。
7
正整数的划分
• 因此考虑增加一个自变量：在正整数的所有
不同划分中，将最大加数n1不大于m的划分个 数记为q(n, m)，可以建立如下的二递元归递关归系函：数：
后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适 用范围有限。
14
分治法
15
算法总体思想
• •对小到将 子这，问要问k则题个求题再规子解。划模问的分足题较为够分大k小别个规，求子模很解问的容。题问易如，题求果如分出子此割其问递成解题归k为个的的止更规进。小模行规仍下模然去的不，够直
T(n)
=n
T(n/2)
2
递归的概念
• 简单地说，递归就是用自己来定义自己。递归 算法是一个直接或间接地调用自己的算法。
• 一般地说，一个递归过程P可以表示为基语句 S(不含P)和P自身的组合β：
P β(S, P)
• 这样的表示包含了过程不终止的可能，因此递 归算法应更准确地表述为
P if B then Q else β(S, P)
• i最nt简q(单int情n,形i1n：t m(1)) q(n, 1)=1，q(1, mn )==11或n, m≥=11;
• •
{递 产q(iin归 生ff,((mnn关 的)=<系 新==1)情：1q1)||况(|((+|nm2(,：)qmm<(qn–=(1,n1=)n,)–+n11))q)(=rrnee–1ttumu+rrn,nqm0(1n;);, nnn＞–≤1m)m，＞n1＞1;
n+2
n >= 2, m=0
A(A(n-1, m), m-1) n, m >= 1
Ackermann函数是一个双重的递归函数。
10
联立递归
• 联立递归是同时定义几个函数，它们彼 此相互调用，从而形成递归，又称间接 递归。
11
递归方法小结
• 递归方法是将复杂的问题分解为一些较为简单 的子问题的组合。这些子问题均与其相应的原 问题相同。
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
16
算法总体思想
• 对将这求k出个的子小问规题模分的别问求题解的。解如合果并子为问一题个的更规大模规仍模然的不问够 小题，的则解再，划自分底为向k上个逐子步问求题出，原如来此问递题归的的解进。行下去，直 到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
第二章
递归与分治策略
1
Hanoi塔问题
• 例Ha1n：oi塔Ha的no解i塔可问以题很：自有然A地、看B、成C这三样根一柱个子过。程A： 上有n个圆盘，自下而上由大到小地叠在一起。
(个(11(12个)3现盘(圆不压(个盘)先13)再最盘))盘移要 移 盘 允 在将每 圆将后移移至将 到 ； 许 较A盘次A将至上C至上将 小AB(只只。C2B面B上剩上)上。较 的。任能能n下，的的–大圆何移在1的n并全的盘–时动A要部、圆上于v刻一o求圆是iB盘；d都个、：可H{}a得nio到fi((如HMHinnAaato>下nnnv0ooe,的)ii(i((Fn{nn程tr––oF序11,,,rBT,A：Foirns)os;t,,TTAoos,,si,FnCTrtooA));}s) C三个柱子间移动。
• 例如Fibonacci函数：
1
n=0
F(n) = 1
n=1
F(n–1) + F(n–2) n > 1
Fibonacci函数是一个两步的递归函数。
9
嵌套递归
• 所谓嵌套递归是指递归调用中又含有递归调用， 又称为多重递归。
• 例如Ackermann函数：
2
n=1, m=0
A(n, m) = 1
m>= 0, n = 0
• (3i)f(qn(n<, m) r=etqu(rnn, qm(–n,1n) )+; q(n–m, m), n＞m＞1 • (4ir)feqt(u(nnrn=, =mq()mn=,)mq(–rn1e,t)un+r)n,q1n(n＜+–mmq(,。nm, n);–1);
}
8
多步递归
• 若递归函数f(x, y)，其中y是递归元，不仅与 f(x, y–1)有关，而且与f(x, y–2)，……，乃至 f(x, 0)有关，则称为多步递归。
• 递归算法一定要有一个或几个最简单情况的计 算(非递归分支)，如果缺少将造成递归不终止。
• 递归算法是有层次的，低层子问题的解组合成 高层问题的解。各层之间最好通过参数传递来 交流信息，如使用全局量，则要注意全局量的 及时修而且容易用 数学归纳法来证明算法的正确性，因此它 为设计算法、调试程序带来很大方便。 缺点：递归算法的运行效率较低，无论是 耗费的计算时间还是占用的存储空间都比 非递归算法要多。
第2章 递归与分治_作业答案讲解
具体执行过程：求最大值
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5 0 1 2 3 4 5 6 24 -13 29 113 87 65 -9 0 1 2 3 24 -13 29 113 0 1 24 -13 2 3 29 113 4 5 6 87 65 -9 7 8 9 10 11 12 13 36 14 76 44 83 67 5 7 8 9 10 36 14 76 44 7 8 36 14 7 36 9 10 76 44 11 12 13 83 67 5 11 12 83 67 11 83 12 67 13 5
课后练习
• 练习2：分析如下时间函数的复杂度，并说明 原因。 1. 利用递归树说明以下时间函数的复杂度：
O(1) T ( n) 3T ( n ) O( n) 4 n1 n1
2. 利用主定理说明以下时间函数的复杂度：
T(n) = 16T(n/4) + n
T(n) = T(3n/7) + 1
课后练习
• 练习1：给定数组a[0:n-1]， 1. 试设计一个分治法算法，找出a[0:n-1]中元素最 大值和最小值； 2. 写出该算法时间函数T(n)的递推关系式； 3. 分析该算法的时间复杂度和空间复杂度。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5
• 递归公式：
– 设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由 m个非空子集组成的集合。 F(n,m) = 1, when n=0, n=m, n=1, or m=1 F(n,m) = 0, when n<m 否则 F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)
算法分析与设计习题集整理
算法分析与设计习题集整理第一章算法引论一、填空题：一、算法运行所需要的计算机资源的量，称为算法复杂性，主要包括时间复杂度和空间复杂度。
二、多项式10()mm A n a n a n a =+++的上界为O(n m )。
3、算法的大体特征：输入、输出、肯定性、有限性。
4、如何从两个方面评价一个算法的好坏：时间复杂度、空间复杂度。
五、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 3) 。
for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++) {c[i][j]=0; for(k=1;k<=n;k++) c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; }六、描述算法常常利用的方式：自然语言、伪代码、程序设计语言、流程图、盒图、PAD 图。
7、算法设计的大体要求：正确性 和 可读性。
八、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 2) 。
for （i ＝1；i<n; i++）{ y=y+1; for （j ＝0；j <=2n ；j++ ） x ＋＋； }九、计算机求解问题的步骤：问题分析、数学模型成立、算法设计与选择、算法表示、算法分析、算法实现、程序调试、结果整理文档编制。
10、算法是指解决问题的 方式或进程 。
二、简答题：1、依照时间复杂度从低到高排列：O( 4n 2)、O( logn)、O( 3n )、O( 20n)、O( 2)、O( n 2/3), O( n!)应该排在哪一名？答：O( 2)，O( logn)，O( n 2/3)，O( 20n)，O( 4n 2)，O( 3n)，O( n!)2、什么是算法？算法的特征有哪些？答：1）算法：指在解决问题时，依照某种机械步骤必然可以取得问题结果的处置进程。
通俗讲，算法：就是解决问题的方式或进程。
2）特征：1)算法有零个或多个输入；２)算法有一个或多个输出； 3)肯定性 ； ４)有穷性3、给出算法的概念？何谓算法的复杂性？ 计算下例在最坏情况下的时间复杂性？for(j=1;j<=n;j++) (1)for(i=1;i<=n;i++) (2) {c[i][j]=0; (3) for(k=1;k<=n;k++) (4) c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; } (5)答：1）概念：指在解决问题时，依照某种机械步骤必然可以取得问题结果的处置进程。
《算法设计与分析》实验报告实验一...
《算法设计与分析》实验报告实验一递归与分治策略应用基础学号：**************姓名：*************班级：*************日期：2014-2015学年第1学期第九周一、实验目的1、理解递归的概念和分治法的基本思想2、了解适用递归与分治策略的问题类型，并能设计相应的分治策略算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析，以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务：以下题目要求应用递归与分治策略设计解决方案，本次实验成绩按百分制计，完成各小题的得分如下，每小题要求算法描述准确且程序运行正确。
1、求n个元素的全排。
（30分）2、解决一个2k*2k的特殊棋牌上的L型骨牌覆盖问题。
（30分）3、设有n=2k个运动员要进行网球循环赛。
设计一个满足要求的比赛日程表。
（40分）提交结果：算法设计分析思路、源代码及其分析说明和测试运行报告。
三、设计分析四、算法描述及程序五、测试与分析六、实验总结与体会#include "iostream"using namespace std;#define N 100void Perm(int* list, int k, int m){if (k == m){for (int i=0; i<m; i++)cout << list[i] << " ";cout << endl;return;}else{for (int i=m; i<k; i++){swap(list[m], list[i]);Perm(list, k, m+1);swap(list[m], list[i]);}}}void swap(int a,int b){int temp;temp=a;a=b;b=temp;}int main(){int i,n;int a[N];cout<<"请输入排列数据总个数：";cin>>n;cout<<"请输入数据：";for(i=0;i<n;i++){cin>>a[i];}cout<<"该数据的全排列："<<endl;Perm(a,n,0);return 0;}《算法设计与分析》实验报告实验二递归与分治策略应用提高学号：**************姓名：*************班级：*************日期：2014-2015学年第1学期一、实验目的1、深入理解递归的概念和分治法的基本思想2、正确使用递归与分治策略设计相应的问题的算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析，以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务：从以下题目中任选一题完成，要求应用递归与分治策略设计解决方案。
士兵站队问题
如何确定X轴方向上的最佳的“最终位置”？
n个士兵他们相应的X轴坐标为：X0，X1，X2…Xn-1 设“最终位置”的X轴坐标值为：k，k+1，k+2…k+（n-1） 则最优步数：S=|X0-k|+|X1-(k+1)|+|X2-(k+2)|+…+|Xn-1-(k+(n-1))| 经过变形：S=|X0-k|+|(X1-1)-k|+|(X2-2)-k|+…+|(Xn-1-(n-1))-k|
第二章：递归与分治策略 ---士兵站队问题
问题描述：
• 在一个划分成网格的操场上，n个士兵散乱地 站在网格点上。网格点由整数坐标(x,y)表示。士 兵们可以沿网格边上、下、左、右移动一步，但 在同一时刻任一网格点上只能有一名士兵。按照 军官的命令，士兵们要整齐地列成一个水平队列， 即排列成(x,y),(x+1,y),…,(x+n-1,y)。如何选 择x和y的值才能使士兵们以最少的总移动步数排 成一列。
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
#include <iostream> #include <math.h> #include <stdlib.h> using namespace std; void Swap(int &a,int &b)//交换函数 { int temp;//定义一个交换的临时变量 temp=a; a=b; b=temp; } int partition(int *a,int low,int high)//确定一个基准元素以对数组元素进行划分 { int key = a[low];//key初始化为a的首元素 while(low<high) { while(low<high && a[high]>=key) high--; a[low] = a[high]; while(low<high && a[low]<=key) low++; a[high]=a[low]; } a[low]=key; return low; }
《算法设计与分析》(全)
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
巢湖学院计算机科学与技术系
第1章 算法引论
计算机专业课《算法》_第二章 递归与分治策略
“Hanoi 塔”问题演示 a 初始 a 步骤1 a
c
b
c
“Hanoi 塔”问题程序
void hanoi(int n,a,b,c)
{ if n == 1 move( 1, a, b );
else { hanoi( n-1, a, c, b );
move(n, a, b ); hanoi( n-1, c,b, a) ;
• 递归优点：结构清晰，可读性强
• 递归缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗 费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算 法要多。
整数划分问题的递归关系q(n,m)
如设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系 • q(n,m):正整数n的不同的划分中，最大加数不 大于m的划分个数个数 q(n,m)=
1 q(n,n) 1+q(n,n-1) q(n,m-1)+q(n-m,m) n=1, m=1 n<m n=m n>m>1
递归函数举例(5)
学习要点
理解递归的概念。 掌握设计有效算法的分治策略。
通过典型范例，学习分治策略设计技巧。
2.1 递归的概念
• 递归算法：一个直接或间接地调用自身的算法 • 递归方程：对于递归算法，一般可把时间代 价表示为一个递归方程 • 递归函数：使用函数自身给出定义的函数 • 解递归方程最常用的方法是进行递归扩展
递归函数举例(1)
• 阶乘函数 n ！=
1 n(n-1)！ n=1 n>1
• Fibonacci数列
1 n=0
F(n)=
1 F(n-1)+F(n-2)
n=1 n>1
初始条件与递归方程是递归函数的二个要素
算法分析设计期末复习
通过解递归方程
logm n1
T (n) nlogm k k j f (n / m j ) j0
学习要点: 理解递归的概念。 掌握设计有效算法的分治策略。 通过下面的范例学习分治策略设计技巧。 （1）二分搜索技术； （2）大整数乘法； （3）Strassen矩阵乘法； （4）棋盘覆盖； （5）合并排序和快速排序； （6）线性时间选择； （7）最接近点对问题； （8）循环赛日程表。
基本运算Oi的执行次数ei分别进行统计分析。 – T(N,I)还需进一步简化，只在某些有代表性的合法输
入中去统计相应的ei来评价其复杂性。 – 一般只考虑三种情况下的时间性：最坏情况、最好
情况和平均情况下的复杂性，分别记为Tmax(N)、 Tmin(N)和Tavg(N)
四种渐近意义下的符号
• 四种渐近意义下的符号 –O –Ω –θ –o
}
----------------------------------------------------------------------------------------
CheckNum( T , p , q , element): ▹计算T[p..q]中element出现的次数
{ cnt ← 0
• 思路二:直接统计各 元素出现的次数,用 某一线性数据结构 存储统计结果(例如 用一个辅助数组存 储统计结果,统计时 用数组下标对应相 应元素)
第三章:动态规划
动态规划算法的基本思想
• 动态规划算法的基本思想
– 其基本思想与分治算法的思想类似——分而治之 – 与分治法的不同之处
• 分解后的子问题往往不互相独立； • 采用记录表的方法来保存所有已解决问题的答案
考虑时间 资源
算法之2章递归与分治
算法分析(第二章)：递归与分治法一、递归的概念知识再现：等比数列求和公式：1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
2、与分治法的关系：由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
3、递推方程：(1)定义：设序列01,....na a a简记为{na}，把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。
(2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。
4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
二、递归算法改进：1、迭代法：(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例：-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−（1）=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−（1）2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代：(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解（关于k 的函数）转换成关于n 的函数4、举例：---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0（1）换元：假设2kn =，递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−（0）=0（2）迭代求解：12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+（3）解的正确性—归纳验证： 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−（1）=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法：数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程，则（）---------------快速排序--------------------->>>平均工作量：假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简，然后迭代(1)差消化简：利用两个方程相减，将右边的项尽可能消去，以达到降阶的目的。
大学_计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答案下载
计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答
案下载
计算机算法设计与分析第4版内容简介
第1章算法概述
1.1 算法与程序
1.2 算法复杂性分析
1.3 NP完全性理论
算法分析题1
算法实现题1
第2章递归与分治策略
2.1 递归的概念
2.2 分治法的基本思想
2.3 二分搜索技术
2.4 大整数的乘法
2.5 Strassen矩阵乘法
2.6 棋盘覆盖
2.7 合并排序
2.8 快速排序
2.9 线性时间选择
2.10 最接近点对问题
第3章动态规划
第4章贪心算法
第5章回溯法
第6章分支限界法
第7章随机化算法
第8章线性规划与网络流
附录A C++概要
参考文献
计算机算法设计与分析第4版目录
本书是普通高等教育“十一五”__规划教材和国家精品课程教材。
全书以算法设计策略为知识单元，系统介绍计算机算法的设计方法与分析技巧。
主要内容包括：算法概述、递归与分治策略、动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法、__化算法、线性规划与网络流等。
书中既涉及经典与实用算法及实例分析，又包括算法热点领域追踪。
为突出教材的`可读性和可用性，章首增加了学习要点提示，章末配有难易适度的算法分析题和算法实现题;配套出版了《计算机算法设计与分析习题解答(第2版)》;并免费提供电子课件和教学服务。
递归
17
n
n-1 n-1
n-1
……
n-2 n-2
n-2
n-2 n-2
n-2
…… 例4 排列问题
1
n0
F
(n)
1
n 1
F (n 1) F (n 2) n 1
边界条件 递归方程
非递归定义：
F(n)
1 5
1
2
5 n1
1
2
5
n1
7
第n个Fibonacci数可递归地计算如下： int fibonacci(int n)
{ if (n <= 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
q(6,1) q(6,2) q(6,3) q(6,4) q(6,5) q(6,6)
28
用栈模拟q(6,6)的递归计算过程。
q(4,1) q(4,2) q(6,2) q(6,3) q(6,4) q(6,5) q(6,6)
29
用栈模拟q(6,6)的递归计算过程。
q( q(6,5) q(6,6)
第2章 递归与分治策略
学习要点: • 理解递归的概念。 • 掌握设计有效算法的分治策略。 • 通过下面的范例学习分治策略设计技巧。 （1）二分搜索技术； （2）大整数乘法； （3）Strassen矩阵乘法； （4）棋盘覆盖； （5）合并排序和快速排序； （6）线性时间选择； （7）最接近点对问题； （8）循环赛日程表。