变型鸡兔同笼问题与假设法详细典型题型

第三讲变型鸡兔同笼问题与假设法

【专题知识点概述】1500大约在问题吗？这个问题，是我国古代着名

趣题之一。你以前听说过“鸡兔同笼”年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一只脚。求笼中各有几

只鸡和兔？个头；从下面数，有94个笼子里，从上面数，有35古人常用的这

种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设

“鸡兔同笼”问题基本解题公式

1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（=兔数；每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）-（总脚数=鸡数。总头数-兔数

鸡数；-每只鸡脚数）=或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数兔数。-鸡数=总头数）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用式（2 兔数；每只兔的脚数）=（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+ =鸡数-总头数兔数=鸡数；鸡兔脚数之差）

÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）+或（每只兔脚数×总头数兔数。-总头数鸡数= ）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。（3 =每只兔的脚数）兔数；（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+

鸡数。兔数总头数-=

鸡每只兔的脚数）=鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数或（每只兔的脚数×总头数-+ 数；兔数。=鸡数-总头数

（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：

（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。

或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。

（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。

【重点难点解析】

1.通过不同的方法研究解决鸡兔同笼问题

2.对“假设法”的理解和应用，渗透假设的思想方法

【竞赛考点挖掘】

1.假设法的应用

2.理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的的算理

【习题精讲】

【例1】（难度等级※）

工人运青瓷花瓶250个，规定完整运一个到目的地给运费20元，损坏一个要倒赔100元，运完这批花瓶后，工人共得4400元.问共损坏了几个花瓶？

【分析与解】

假设250个能够完整运达目的地。将得运费250×20=5000（元），与实际所得相差5000-4400=600（元）。损坏个数600÷（100+20）=5（个）。

【例2】（难度等级※※）

松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个.它一连几天采了112个松果，平均每天采14个.问这几天中有几个雨天？

【分析与解】．

因松鼠妈妈共采松果112个，平均每天采14个，所以实际用了112÷14＝8（天）.假设这8天全是晴天，松鼠妈妈应采松果20×8＝160（个），比实际采的多了160－112＝48（个），因雨天比晴天少采20－12＝8（个），所以共有雨天48÷8＝6（天）.

【例3】（难度等级※※）

四年级四班有60个学生参加下棋活动老师准备了象棋、跳棋20副，2人下一幅象棋，6人下一副跳棋，问象棋和跳棋各多少副？

【分析与解】

假设20副均为象棋，共有20×2=40（人）在玩，还有20人没参加活动。跳

棋数20÷（6-2）=5（副），象棋数20-5=15（副）。

【例4】（难度等级※※）

实验小学四年级举行数学竞赛，一共出了10道题目，答对一道得10分，答错一题反扣5分（没有不答的情况）。张华得了70分，他答对了几道题？

【分析与解】

假设所有问题全部答对，得分10×10=100（分），比实际得分多100-70=30（分），错题数：30÷（10+5）=2（道），正确题数：10-2-8（道）。

【例5】（难度等级※※※）

蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各几只？

【分析与解】

因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种。

利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数(118－6×18)÷(8－6)＝5(只)。

因此就知道6条腿的小虫共18－5＝13(只)。

也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。

蝉数(13×2－20)÷(2－1)＝6(只)。

因此蜻蜓数是13－6＝7(只)。

【例6】（难度等级※※※）

一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时？

【分析与解】

我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份).

现在把甲打字的时间看成兔头数,乙打字的时间看成鸡头数,总头数是?兔的脚数是?鸡的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成鸡兔同笼问题了.

根据前面的公式

(5-3) =4.5,

÷7)×=(30-3数兔

鸡数=7-4.5 =2.5,

也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.

【例7】（难度等级※※※※）

有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位？【分析与解】

由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍. 如果有30人乘电车, 110-1.2×30=74(元).

还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.

如果有40人乘电车110-1.2×40=62(元).

还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有35是5的整数倍.

现在又可以转化成鸡兔同笼了:

总头数50-35=15, 总脚数110-1.2×35=68.

因此,乘小巴前往的人数是(6×15-68)÷(6-4)=11.

【例8】（难度等级※※※※）

商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买