高中数学人教A版【精品习题】选修1-1考前过关训练 第三课 导数及其应用 Word含答案
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 3.3.2 含解析
3.3.2函数的极值与导数课时过关·能力提升基础巩固1.设x0为可导函数f(x)的极值点,则下列说法正确的是()A.必有f'(x0)=0B.f(x0)为极大值C.f(x0)为极小值D.f'(x0)可能不为02.已知可导函数f(x),x∈R有唯一极值,且当x=1时,f(x)存在极小值,则()A.当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0B.当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0C.当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0D.当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0(x)在x=1时存在极小值,则当x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.3.下列四个函数中,能在x=0处取得极值的是()①y=x3;②y=x2+1;③y=x2-1;④y=2x.A.①②B.②③C.③④D.①③为单调函数,不存在极值.4.函数y=f(x)的定义域为(a,b),y=f'(x)的图象如图,则函数y=f(x)在开区间(a,b)内取得极小值的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个f'(x)=0的点,左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0时,该点为极小值点.观察题图,只有一个极小值点.5.已知f (x )=x 3+ax 2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a 的取值范围为( )A.-1<a<2B.-3<a<6C.a<-1或a>2D.a<-3或a>6(x )=3x 2+2ax+(a+6),因为f (x )既有极大值又有极小值,所以Δ=(2a )2-4×3×(a+6)>0,解得a>6或a<-3.6.已知f (x )=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴切于(1,0),则f (x )的极值情况是( )A.极大值为f (13),极小值为f(1) B.极大值为f (1),极小值为f (13) C.极大值为f (13),没有极小值D.极小值为f (1),没有极大值7.函数y=2x 3-6x 2-18x+7的极大值为 ,极小值为 .(x )=6(x+1)(x-3),由f'(x )=0,得x=-1或x=3.进而求得f (-1)是极大值,f (3)是极小值.-478.函数f (x )=a+lnx x (a ∈R )的极大值为 .(x )=1-(a+lnx )x 2, 令f'(x )=0,得x=e 1-a . 当x<e 1-a 时,f'(x )>0;当x>e 1-a 时,f'(x )<0,所以函数的极大值为f (e 1-a )=1e 1-a =ea −1.a-19.已知函数y=ax 3+bx 2,当x=1时,有极大值3,则a= ,b= .3ax 2+2bx ,由题意,得当x=1时,y'|x=1=3a+2b=0,y|x=1=a+b=3,即{3a +2b =0,a +b =3,解得a=-6,b=9.6910.已知函数f(x)=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,求c的值.(x)=3x2-3,由f'(x)>0,得3x2-3>0,解得x<-1或x>1;由f'(x)<0,得3x2-3<0,解得-1<x<1.∴f(x)在(-∞,-1)内单调递增,在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.∴当x=-1时,f(x)取极大值c+2;当x=1时,f(x)取极小值c-2.结合图象,要使函数f(x)的图象与x轴恰有两个公共点,则c+2=0或c-2=0,即c=-2或2.能力提升1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是(),当x<-2时,f'(x)<0,∴xf'(x)>0;当-2<x<0时,f'(x)>0,∴xf'(x)<0.又当x=-2时,xf'(x)=0,x=0时,xf'(x)=0,故选C.2.已知函数f(x)=x2-2(-1)k ln x(k∈N*)存在极值,则k的取值集合是()A.{2,4,6,8,…}B.{0,2,4,6,8,…}C.{1,3,5,7,…}D.N*(x)=2x−2(-1)kx =2[x2-(-1)k]x,若k为奇数,则f'(x)=2(x2+1)x>0,f(x)在定义域内是增函数,无极值.若k为偶数,则f'(x)=2(x 2-1)x.f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,在x=1处取极小值.3.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是()A.1<a<2B.1<a<4C.2<a<4D.a>4或a<13x 2-3a ,当a ≤0时,y'≥0,函数y=x 3-3ax+a 为单调函数,不合题意,舍去;当a>0时,y'=3x 2-3a=0⇒x=±√a,不难分析,当1<√a <2,即1<a<4时,函数y=x 3-3ax+a 在(1,2)内有极小值.4.函数y=x 3-6x+a 的极大值为 ,极小值为 .3x 2-6,令y'=0,得x=±√2. 当x<−√2或x >√2时,y'>0;当−√2<x <√2时,y'<0.故函数在x=−√2时取得极大值a+4√2,在x =√2时取得极小值a-4√2.4√2 a −4√25.若函数f (x )=a ln x+bx 2+3x 的极值点为x 1=1,x 2=2,则a= ,b= .(x )=a x +2bx +3=2bx 2+3x+a x. ∵函数的极值点为x 1=1,x 2=2,∴x 1=1,x 2=2是方程f'(x )=2bx 2+3x+ax =0的两根,也即2bx 2+3x+a=0的两根.∴由根与系数的关系知{-32b =1+2,a =1×2,解得{a =-2,b =-1.2 −12★6.若函数f (x )=x 3+x 2-ax-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a 的取值范围为 .(x )=3x 2+2x-a.∵f (x )在(-1,1)内恰有一个极值点,∴f'(x )在(-1,1)内有一个变号零点,∴f'(-1)f'(1)≤0,即(a-5)(a-1)≤0,∴1≤a ≤5. 当a=5时,由3x 2+2x-5=0,得x=1或x=−53,不合题意.当a=1时,由3x 2+2x-1=0,得x=-1或x =13,符合题意,∴1≤a<5.7.已知函数f (x )=ax(x+r )2(a >0,r >0).(1)求f (x )的定义域,并讨论f (x )的单调性;(2)若ar =400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.由题意知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).f(x)=ax(x+r)2=axx2+2rx+r2,f'(x)=a(x 2+2rx+r2)-ax(2x+2r)(x2+2rx+r2)2=a(r-x)(x+r)(x+r)4,所以当x<-r或x>r时,f'(x)<0.当-r<x<r时,f'(x)>0.因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f'(r)=0,f(x)在(0,r)内单调递增,在(r,+∞)内单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点.所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)=ar(2r)2=a4r=4004=100.★8.当a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根?有没有可能无实根?f(x)=x3-3x2,则f(x)的定义域为R.由f'(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2,所以当x<0或x>2时,f'(x)>0;当0<x<2时,f'(x)<0.函数f(x)在x=0处有极大值0,在x=2处有极小值-4.如图,故当a>0或a<-4时,原方程有一个根;当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根;当-4<a<0时,原方程有三个不等实根;由图象可知,原方程不可能无实根.。
2017-2019学年高中数学人教a版选修1-1练习：第3章 导数及其应用3.3.3 含解析
第三章 3.3 3.3.3A级基础巩固一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是导学号 03624868( A )A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[解析] y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴ymax ＝12，ymin＝－8.故选A．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)导学号 03624869( D )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值[解析] f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f ′(x)<0，即函数在(－1,1)上是单调递减的，∴既无最大值，也无最小值．3．函数f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)的最大值为导学号 03624870( B ) A．18 B．2C．0 D．－18[解析] f ′(x)＝3－3x2，令f ′(x)＝0，得x＝±1，－3≤x<－1时，f ′(x)<0，－1<x<1时，f ′(x)>0,1<x≤3时，f ′(x)<0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－3)＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max ＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为导学号 03624871( D ) A．2 B．4C．18 D．20[解析] f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.f(0)＝－a, f(1)＝－2－a, f(3)＝18－a，∴f(x)max ＝18－a，f(x)min＝－2－a，∴18－a－(－2－a)＝20.5．下列说法正确的是导学号 03624872( D )A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值[解析] 根据最大值、最小值的概念可知选项D正确．6．函数f(x)＝ln x－x在区间[0，e]上的最大值为导学号 03624873 ( A )A．－1 B．1－eC．－e D．0[解析] f′(x)＝1x－1＝1－xx，令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得1<x<e，∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x＝1时，f(x)取极大值，这个极大值也是最大值．∴f(x)max＝f(1)＝－1.二、填空题7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝x2e x的值域是__[0，e]__.导学号 03624874[解析] f′(x)＝2x·e x－x2·e x(e x)2＝2x－x2e x，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.f(－1)＝e, f(0)＝0, f(1)＝1 e ，∴f(x)max ＝e, f(x)min＝0，故函数f(x)的值域为[0，e]．8．若函数f(x)＝3x－x3＋a，－3≤x≤3的最小值为8，则a的值是__26__.导学号 03624875[解析] f ′(x)＝3－3x2，令f ′(x)＝0，得x＝±1.f(1)＝2＋a，f(－1)＝－2＋a.又f(－3)＝a，f(3)＝－18＋a.∴f(x)min＝－18＋a.由－18＋a＝8.得a＝26.三、解答题9．(2016·福建宁德市高二检测)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋3ax在x＝1时取得极值.导学号 03624876(1)求a的值；(2)若关于x的不等式f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立，求实数k的取值范围．[解析] (1)f′(x)＝3x2－4ax＋3a，由题意得f′(1)＝3－4a＋3a＝0，∴a＝3.经检验可知，当a＝3时f(x)在x＝1时取得极值．(2)由(1)知， f(x)＝x3－6x2＋9x，∵f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立，∴k≥f(x)max即可．f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x＋3)＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)>0，得3<x<4或0<x<1，令f′(x)<0，得1<x<3.∴f(x)在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，∴当x＝1时， f(x)取极大值f(1)＝4，当x＝3时， f(x)取极小值f(3)＝0.。
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
高中数学人教A版选修1-1练习第3章 导数及其应用3.3.1 Word版含解析
第三章级基础巩固一、选择题．函数()＝－＋的递减区间是( )．()．(－∞，)．(，＋∞)．(－∞，) [解析]′()＝－，令′()＝－<，解得<<，所以函数()＝－＋的递减区间是()．．函数()＝－在(－∞，＋∞)上( )．是增函数．是减函数．在(，＋∞)上增，在(－∞，)上减．在(，＋∞)上减，在(－∞，)上增[解析]′()＝－>在(－∞，＋∞)上恒成立．．(·江西抚州高二检测)函数＝＋＋＋是上的单调函数，则实数的取值范围是( )．(－∞，)．(，＋∞)．(－∞，)．[，＋∞)[解析]′＝＋＋，由题意知＋＋≥在上恒成立，∴Δ＝－≤，∴≥.．设′()是函数()的导函数，＝′()的图象如图所示，则＝()的图象最有可能的是( )[思路分析]由导函数′()的图象位于轴上方(下方)，确定()的单调性，对比()的图象，用排除法求解．[解析]由′()的图象知，∈(－∞，)时，′()>，()为增函数，∈()时，′()<，()为减函数，∈(，＋∞)时，′()>，()为增函数．只有符合题意，故选．．(·贵州贵阳一中月考)函数＝在()上的单调性是( )．单调递增．单调递减．在(，)上单调递减，在(，)上单调递增．在(，)上单调递增，在(，)上单调递减[解析]函数的定义域为(，＋∞)．∵′＝＋，令′>，得>.令′<，得<<.∴函数＝在(，)上单调递减，在(，)上单调递增．．若函数()＝－在区间(，＋∞)上单调递增，则的取值范围是( )．(－∞，－]．(－∞，－]．[，＋∞)．[，＋∞) [解析]由条件知′()＝－≥在(，＋∞)上恒成立，∴≥.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．二、填空题，－．函数＝－－的单调递增区间为(－∞)∞)，(，＋[解析]∵′＝－－＝(＋)(－)，∴由′>得，>或<－.．若函数()＝＋＋＋的单调减区间为(－)，则＝－－，＝[解析]′()＝＋＋，由条件知(\\(′(－(＝′((＝))，即(\\(－＋＝＋＋＝))，解得＝－，＝－.三、解答题．(·北京昌平区高二检测)设函数()＝＋＋的导函数′()，且′()＝.()求函数()在点(，())处的切线方程；()求函数()的单调区间[解析]()′()＝＋，∴′()＝＋＝，∴＝.∴()＝＋＋，∴()＝.∴切线方程为－＝(－)，即－＋＝.()′()＝＋＝(＋)，。
2019秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 3.3.3 Word版含解析.docx
3.3.3函数的最大(小)值与导数课时过关·能力提升基础巩固1.函数y=x-sin x,x∈的最大值是A.π-1 BC.πD.π+1y'=1-cos x,x∈≥0.∴y=x-sin x在上是增函数.∴当x=π时,y max=π.2.函数f(x)=4x-x4在x∈[-1,2]上的最大值、最小值分别是()A.f(1)与f(-1)B.f(1)与f(2)C.f(-1)与f(2)D.f(2)与f(-1)(x)=4-4x3,由f'(x)>0,得x<1,由f'(x)<0,得x>1,所以f(x)=4x-x4在x=1时取极大值f(1)=3.而f(-1)=-5,f(2)=-8,所以f(x)=4x-x4在[-1,2]上的最大值为f(1),最小值为f(2).3.函数y=x3-3x+3在区间[-3,3]上的最小值是()A.1B.5C.12D.-153x2-3,令y'=0,得3x2-3=0,解得x=1或x=-1.∵当-1<x<1时,y'<0;当x>1或x<-1时,y'>0.∴y极小值=y|x=1=1,y极大值=y|x=-1=5,而端点值y|x=-3=-15,y|x=3=21,∴y min=-15.4.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,则此函数在[-2,2]上的最小值是()A.-37B.-29C.-5D.-11f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)=0,解得x=0或x=2.因为f(0)=m,f(2)=m-8,f(-2)=m-40,所以f(x)max=m=3,f(x)min=f(-2)=m-40=3-40=-37.5.设函数f(x)=ax3+3bx(a,b为实数,a<0,b>0),当x∈[0,1]时,有f(x)∈[0,1],则b的最大值是()A6.函数f(x)=x2的最小值是f'(x)=2x得x=-3,当x<-3时,f'(x)<0,当-3<x<0时,f'(x)>0,故当x=-3时,f(x)取得极小值,也为最小值,f(x)min=27.7.函数f(x)在上的最小值是(x)-由f'(x)>0,得x<1.∴f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,4)内单调递减.∵f(0)=0,f(4)∴f(x)在[0,4]上的最小值为0.8.已知函数f(x)若当时≥2恒成立,则实数a的取值范围是.f(x)x,得f'(x)-又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,令f'(x)=0,得x=舍去)或x当0<x时,f'(x)<0;当x时,f'(x)>0,故x是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f a+1.要使f(x ≥2恒成立,需ln a+1≥2恒成立,则a≥e.+∞)9.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+k,对任意x∈[-4,4],f(x ≥0 求实数k的取值范围.(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).由f'(x)=0,得x=3或x=-1.∵f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20.∴f(x)min=k-76.由k-76≥0 得k≥76.∴k的取值范围是[76,+∞).10.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax(1)求f(x)的最小值;(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y求的值f(x)的导数f'(x)=a-当x时,f'(x)>0,f(x)在内单调递增;当0<x时,f'(x)<0,f(x)在内单调递减.故当x时,f(x)取最小值为2+b.(2)f'(x)=a由题设知,f'(1)=a解得a=2或a=不合题意,舍去).将a=2代入f(1)=a解得b=-1.故a=2,b=-1.能力提升1.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()A.12,-15B.-4,-15C.12,-4D.5,-15(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f'(x)=0,得x=-1或x=2.因为f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,所以f(2)<f(3)<f(0).所以f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-15.2.已知a≤-对任意恒成立则的最大值是A.0B.1C.2D.3f(x)-x,则f'(x)---令f'(x)=0,解得x=1.当x∈时,f'(x)<0,故函数f(x)在上单调递减;当x∈(1,2]时,f'(x)>0,故函数f(x)在(1,2]内单调递增,∴f(x)min=f(1)=0,∴a≤0 即a的最大值为0.3.若函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是()A.[0,1)B.(0,1)C.(-1,1) D(x)=3x2-3a=3(x2-a).若a≤0 则f'(x)>0,即f(x)在(0,1)内单调递增,f(x)无最小值.若a>0,由f'(x)>0,得x则f(x)在(0内单调递减,在内单调递增.若≥1 则f(x)在(0,1)内单调递减,f(x)无最小值.故此时,f(x)在(0内单调递减,在内单调递增,当x时,f(x)取最小值.4.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为()A.1 B,由图可以看出|MN|=y=t2-ln t(t>0).-y'=2t-当0<t时,y'<0,可知y在内单调递减;当t时,y'>0,可知y在内单调递增.故当t时,|MN|有最小值.5.已知定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf'(2)+15,在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是.★6.已知函数f(x)的定义域为[-2,6],x与f(x)的部分对应值如表,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.给出下列说法:①函数f(x)在(0,3)内是增函数;②曲线y=f(x)在x=4处的切线可能与y轴垂直;③如果当x∈[-2,t]时,f(x)的最小值是-2,那么t的最大值为5;④∀x1,x2∈[-2,6],都有|f(x1)-f(x2)|≤a恒成立,则实数a的最小值是5.正确的个数是.7.已知函数f(x)=(x-k)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.f'(x)=(x-k+1)e x.由f'(x)>0,得x>k-1.所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞).(2)当k-1≤0 即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,由(1)知f(x)在[0,k-1)内单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;当k-1≥1 即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.★8.已知函数f(x)=ax4ln x+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值;(2)讨论函数f(x)的单调区间;(3)若对任意x>0,不等式f(x ≥-2c2恒成立,求c的取值范围.∵f(1)=-3-c,即b-c=-3-c,∴b=-3.又f'(x)=4ax3ln x+ax3+4bx3=x3(4a ln x+a+4b),由f'(1)=0,得a+4b=0,∴a=12.(2)由(1)知,f'(x)=48x3·ln x(x>0).由f'(x)>0,得x>1.∴f(x)在(0,1)内是减函数,在(1,+∞)内是增函数.∴f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).(3)由(2)知f(x)在x=1处取最小值-3-c,要使f(x ≥-2c2恒成立,只需-3-c≥-2c2,即2c2-c-3≥0 解得c≥或c≤-1.故c的取值范围是(-∞,-1]∪。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1练习：第3章 导数及其应用3.3.1 Word版含解析
第三章 3.3 3.3.1A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的递减区间是导学号 03624791( B ) A ．(－∞，0) B ．(0,2) C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)[解析] f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝3x 2－6x <0，解得0<x <2，所以函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的递减区间是(0,2)．2．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上导学号 03624792( A ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增[解析] f ′(x )＝2－cos x >0在(－∞，＋∞)上恒成立．3．(2016·江西抚州高二检测)函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是导学号 03624793( C )A ．(13，＋∞)B ．(－∞，13)C ．[13，＋∞)D ．(－∞，13)[解析] y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由题意知3x 2＋2x ＋m ≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.4．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是导学号 03624794( C )[思路分析] 由导函数f ′(x )的图象位于x 轴上方(下方)，确定f (x )的单调性，对比f (x )的图象，用排除法求解．[解析] 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C ．5．(2016·贵州贵阳一中月考)函数y ＝x ln x 在(0,5)上的单调性是导学号 03624795( C )A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0，1e )上单调递减，在(1e ，5)上单调递增D ．在(0，1e )上单调递增，在(1e ，5)上单调递减[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)． ∵y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >1e .令y ′<0，得0<x <1e.∴函数y ＝x ln x 在(0，1e )上单调递减，在(1e，5)上单调递增．6．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是导学号 03624796( D )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 由条件知f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．7．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为 (－∞，－13)，(1，＋∞) .导学号 03624797[解析] ∵y ′＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)， ∴由y ′>0得，x >1或x <－13.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，则b ＝__－3__，c ＝__－9__.导学号 03624798[解析] f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0f ′(3)＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝027＋6b ＋c ＝0，解得b ＝－3，c ＝－9. 三、解答题9．(2016·北京昌平区高二检测)设函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋1的导函数f ′(x )，且f ′(1)＝3.(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间.导学号 03624799 [解析] (1)f ′(x )＝x 2＋2mx ， ∴f ′(x )＝1＋2m ＝3，∴m ＝1. ∴f (x )＝13x 3＋x 2＋1，∴f (1)＝73.∴切线方程为y －73＝3(x －1)，即3x －3y ＋4＝0.(2)f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)， 令f ′(x )>0，得x >0或x <－2， 令f ′(x )<0，得－2<x <0，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，递减区间为(－2,0)．B 级 素养提升1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是导学号 03624800( D )[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D ．2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是导学号 03624801( C ) A ．y ＝2－3x 2 B ．y ＝ln x C ．y ＝1x －2D ．y ＝sin x[解析] A 中，y ′＝－6x ，当－1<x <0时，y ′>0，当0<x <1时，y ′<0，故函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上不是减函数，B 中，y ＝ln x 在x ＝0处无意义；C 中，y ′＝－1(x －2)2<0对x ∈(－1,1)恒成立，∴函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数；D 中，y ′＝cos x >0对x ∈(－1，1)恒成立，∴函数y ＝sin x 在(－1,1)上是增函数．3．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是导学号 03624802( C )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定[解析] 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，∴f (1)>f (2)． 当x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数， ∴f (0)<f (1)．因此f (0)＋f (2)<2f (1)．4．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0，有f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时，有导学号 03624803( B )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0′，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0[解析] 由已知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∵x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0， ∴f (x )，g (x )在(0，＋∞)上递增． ∴x <0时，f (x )递增，g (x )递减． ∴x <0时f ′(x )>0，g ′(x )<0.5．(2016·湛江一模)若函数f (x )＝x ＋b x (b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是导学号 03624804( D )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)[解析] 由题意知，f ′(x )＝1－bx2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－bx 2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)，令f ′(x )>0，解得x <－b 或x >b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)， ∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．故选D ． 二、填空题6．(2016·山东潍坊一中高二期末)函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为 (π3，π) .导学号 03624805[解析] 由f ′(x )＝1－2cos x >0得cos x <12，又x ∈(0，π)，所以π3<x <π，故函数f (x )的单调递增区间为(π3，π)．7．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是 (－∞，12) .导学号 03624806 [解析] f ′(x )＝a (x ＋2)－ax －1(x ＋2)2＝2a －1(x ＋2)2，由题意得x <－2时，f ′(x )≤0恒成立， ∴2a －1≤0，∴a ≤12.又当a ＝12时，f (x )＝12x ＋1x ＋2＝12，此时，函数f (x )在(－2，＋∞)上不是减函数，∴a ≠12.综上可知，a 的取值范围为(－∞，12)．三、解答题8．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11). 导学号 03624807(1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .因为f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3； 又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数； 当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．C 级 能力提高1．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是__(－∞，0]__.导学号 03624808[解析] ∵f (x )＝x 3－ax 2－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3， 又因为f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数， f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1f ′(1)＝3×12－2a －3≥0，解得a ≤0，故答案为(－∞，0]．2．(2016·广东汕头高二质检)函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点P (2,0)，且在点P 处有相同的切线.导学号 03624809(1)求实数a 、b 、c 的值；(2)设函数F (x )＝f (x )＋g (x )，求F (x )的单调区间． [解析] (1)∵函数f (x )、g (x )的图象都过点P (2,0)， ∴f (2)＝16＋2a ＝0，解得a ＝－8，g (2)＝4b ＋c ＝0.又f (x )、g (x )的图象在点P 处有相同的切线，且f ′(x )＝6x 2－8, g ′(x )＝2bx ， ∴f ′(2)＝g ′(2)，∴4b ＝16，∴b ＝4，c ＝－16. ∴a ＝－8，b ＝4，c ＝－16.(2)由(1)知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16， ∴F (x )＝2x 3＋4x 2－8x －16，∴F ′(x )＝6x 2＋8x －8＝6(x ＋2)(x －23)．令F ′(x )＝6(x ＋2)(x －23)>0，得x <－2或x >23，∴函数F (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(23，＋∞)．令F ′(x )＝6(x ＋2)(x －23)<0，得－2<x <23，∴函数F (x )的单调递减区间为(－2，23)．综上，F (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(23，＋∞)，单调递减区间为(－2，23)．。
高中数学人教A版选修1-1练习：第3章 导数及其应用3.1.3 Word版含解析
第三章 3.1 3.1.3A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是导学号 03624674( C ) A ．在点x 0处的斜率B ．在点(x 0，f (x 0))处的切线与x 轴所夹的锐角的正切值C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率D ．点(x 0，f (x 0))与点(0,0)连线的斜率[解析] 由导数的几何意义可知函数y ＝f (x )在x ＝x 0的导数f ′(x 0)，即为曲线在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为导学号 03624675( B ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)[解析] ∵y ＝x 3，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx ＝lim Δx →0 Δx 3＋3x ·Δx 2＋3x 2·ΔxΔx＝lim Δx →0(Δx 2＋3x ·Δx ＋3x 2)＝3x 2.令3x 2＝3，得x ＝±1，∴点P 的坐标为(1,1)，(－1，－1)．3．(2016·重庆一中高二月考)已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)及f ′(5)分别为导学号 03624676( B )A ．3,3B ．3，－1C ．－1,3D ．－1，－1[解析] 由已知得f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1，故选B ．4．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为导学号 03624677( A ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2[解析] ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (Δx ＋x )3－2(Δx ＋x )＋1－x 3＋2x －1Δx＝lim Δx →0 Δx 3＋3x ·Δx 2＋3x 2·Δx －2ΔxΔx＝lim Δx →0(Δx 2＋3x ·Δx ＋3x 2－2)＝3x 2－2，∴f ′(1)＝3－2＝1，∴切线的方程为y ＝x －1.5．已知曲线f (x )＝12x 2＋2x 的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为导学号 03624678( D )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[解析] Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝12(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－12x 2－2x ＝x ·Δx ＋12(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx ＝x ＋12Δx ＋2，∴f ′(x )＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝x ＋2. 设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝x 0＋2. 由已知x 0＋2＝4，∴x 0＝2，故选D ．6．(2016·山东临沂一中高二检测)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是导学号 03624679( B )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)[解析] 从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f ′(3)<f ′(2)，此两点处的斜率f (3)－f (2)3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小，比f (x )在x ＝3处的切线的斜率大，所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B ．二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝__12__.导学号 03624680 [解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3＋2－23－2Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx －2)[(2＋Δx )2＋(2＋Δx )·2＋22]Δx＝lim Δx →0[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4]＝lim Δx →0[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12.8．设函数y ＝f (x )，f ′(x 0)>0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2 .导学号 03624681[解析] 由于f ′(x 0)>0，说明y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率大于0，故倾斜角为锐角．三、解答题9．已知曲线方程为y ＝x 2，求过点A (2,4)且与曲线相切的直线方程.导学号 03624682 [解析] ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 2Δx ·x ＋Δx 2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ，又点A (2,4)在曲线y ＝x 2上，∴f ′(2)＝4，∴所求切线的斜率k ＝4， 故所求切线的方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.B 级 素养提升一、选择题1．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于导学号 03624683( A )A ．1B ．12C ．－12D ．－1[解析] ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →1a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.2．(2016·天津南开中学检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2与直线y ＝2x ＋b 相切，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝导学号 03624684( D )A ．－1B ．2C ．－12D ．1[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋by ＝x 2消去y ，得x 2－2x －b ＝0，①∵抛物线y ＝x 2与直线y ＝2x ＋b 相切，∴Δ＝4＋4b ＝0，解得b ＝－1.此时，方程①的根为x ＝1，∴切点坐标为(1,1)．由导数的几何意义得f ′(1)＝2，∴x 0＝1.3．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 为导学号 03624685( D )A ．23B ．－23C ．13D ．－13[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3， 由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为导学号 03624686( C )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(2,8)或(－1，－4) [解析]f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0(3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4，设P 0(x 0，y 0)，有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4.解得x 0＝±1，这时P 0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)．5．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为导学号 03624687( A ) A ．⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．⎣⎡⎦⎤12，1[解析] 设点P (x 0，y 0)，则 f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 [(x 0＋Δx )2＋2(x 0＋Δx )＋3]－(x 20＋2x 0＋3)Δx＝lim Δx →0 2x 0Δx ＋(Δx )2＋2Δx＝lim Δx →0(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.结合导数的几何意义可知0≤2x 0＋2≤1， 解得－1≤x 0≤－12，选A ．二、填空题6．(2016·山东青岛期末)曲线f (x )＝x 2＋1在点P (1,2)处的切线方程为__y ＝2x __.导学号 03624688[解析] 设曲线f (x )＝x 2＋1在点P (1,2)处的切线的斜率为k ， 则k ＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 (1＋Δx )2＋1－(12＋1)Δx＝lim Δx →02Δx ＋(Δx )2Δx ＝2.所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .7．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、x ＝2所围成的三角形的面积为 83.导学号 03624689 [解析] y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2，所以k ＝y ′|x ＝1＝3×1＝3，所以在点(1,1)处的切线方程为y ＝3x －2，它与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23，0，与x ＝2的交点为(2,4)，所以S ＝12×⎝⎛⎭⎫2－23×4＝83. 三、解答题8．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切． (1)求切点的坐标；(2)求a 的值.导学号 03624690[解析] (1)设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点． f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 当x 0＝1时，y 0＝1，此时a ＝0(舍去) 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327. (2)当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，a ＝3227. ∴a 的值为3227.C 级 能力提高1．若抛物线y ＝x 2与直线2x ＋y ＋m ＝0相切，则m ＝__1__.导学号 03624691 [解析] 设切点为P (x 0，y 0)，易知，y ′|x ＝x 0＝2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＝－2y 0＝x 20，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝1，即P (－1,1)，又P (－1,1)在直线2x ＋y ＋m ＝0上， 故2×(－1)＋1＋m ＝0，即m ＝1.2．已知曲线C ：y ＝1t －x 经过点P (2，－1)，求(1)曲线在点P 处的切线的斜率.导学号 03624692 (2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x.∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴lim Δx →0Δy Δx ＝1(1－x )2， ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1. (2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)， 即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y＝4x.。
高中数学新人教A版选修1-1练习导数及其应用
回扣验收特训(三) 导数及其应用1.下面求导运算正确的是()A. (2x)'= 2x log2eB. (x3sin x)'= 3x2cosx1贝U △= 1—4c>0,解得cv 1.43.已知函数f(x)= 2x3+ ax2+ 36x—24在x = 2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A. (2,3)B. (3,+s )C. (2 ,+^ )D.(―汽3)解析：选B 因为函数f(x) = 2x3+ ax2+ 36x—24在x = 2处有极值，又f' (x)= 6x2+ 2ax+ 36,所以f' (2) = 0 解得a=—15.令f' (x)> 0，解得x> 3 或x v 2,所以函数的一个递增区间是(3, + s).4.已知f(x) = 3x2+ ln x,贝V li A xm>0 f " 2&&f 1- & =( )A. 7時C . 21D . —21解析：选 C T f' (x) = 6x +1,f 1 + 2 A x —f 1 — A x/■ li mA x f0 A xf(1 + 2 A x fd —Z\ ,=3li m = 3f' (1) = 21.3 Ac ^0 3 A x1sin x, 1D. (x+ 1。
眇)=1+ 而解析：选 D (2x)' = 2x ln 2, (x3sin x)' 2 3=3x sin x+ x cosx,osx cosx+ xsin x离，(x+ log3x)' = 1+ xln 32.已知函数1 if(x)= 3x3—2x2+ cx+ d有极值，则c的取值范围为()3 2iA. c v 4 B.C< 11 C. c>41 c> 4解析：选A 由题意得f' (x)= x2—x + c,若函数f(x)有极值,C.5. 函数y= In x—x在x€ (0, e]上的最大值为()A. eB. 1C. —1D. —e解析：选C 函数y= ln x —x的定义域为(0 ,+^),1 1 一x又y' = -—1 = ------ ，令y' = 0 得x= 1,x x当x € (0,1)时，y' >0，函数单调递增；当x€ (1, e)时，y' <0，函数单调递减.当x = 1时，函数取得最大值一1,故选C.1 e c 一一6. 已知函数f(x)=—;x3+ 2x2+ 2x，若存在满足0W x°w 3的实数x°,使得曲线y= f(x)3在点(X0, f(X0))处的切线与直线x+ my—10 = 0垂直，则实数m的取值范围是()A. [6,+^ )B. ( — 8, 2]C . [2,6]D . [5,6]解析：选 C f' (x)=—x2+ 4x+ 2 =—(x —2)2+ 6,因为x°€ [0,3]，所以f' (x°)€[2,6],又因为切线与直线x + my—10= 0垂直，所以切线的斜率为m,所以m的取值范围是[2,6].7. _______________________________________________ 曲线y= C OS x在点M n, 0 '处的切线方程为_______________________________________________ .“ ,iCosx、—xsin x—cosx解析：y'=亍'= --------------- x2 --------- ,•••切线的斜率k= y' x=n =—2.2 n•所求切线的方程为y—0=—ni x—n即y= —2x +1.n答案：y= —2x+1n8. _________________________________________________ 函数f(x) = 12x —x3在区间[—3,3]上的最小值是__________________________________________ .解析：f' (x)= 12—3x2.令f' (x)= 0，得x= 2 或x =—2.因为f(—3) =—9, f( —2) =—16, f(2) = 16, f(3) = 9,所以函数f(x)在区间[—3,3]上的最小值是一16.答案：—169.设X i, X2是函数f(x) = x3—2ax2+ a2x的两个极值点，若x i< 2v x?,则实数a的取值范围是_________ .解析：由题意得f' (x)= 3x2—4ax+ a2的两个零点X i, X2满足X i< 2< X2, 所以f' (2) = 12—8a+ a2< 0,解得2< a< 6.答案：(2,6)10. 已知函数f(x) = e x(ax+ b) —x2+ 4x，曲线y= f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y= 2x—3.(1) 求a, b的值；⑵讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极小值.解：(1)f' (x)= e x(ax+ a+ b)—2x + 4.•••曲线在点(0, f(0))处的切线方程为y= 2x —3.••• f(0) = —3, f' (0) = 2,b= —3, b=—3,•解得a + b+ 4= 2, |a= 1.x 2(2) 由(1)知f(x) = e(x—3) —x + 4x,f' (x)= e x(x—2)—2x+ 4 = (x—2)(e x—2).令f' (x)= 0，得x= In 2 或x = 2.•••当x € (—a, In 2) U (2 ,+s)时，f' (x)> 0;当x € (In 2,2)时，f' (x)< 0,故f(x)在(—a, in 2), (2, + a)上单调递增，在(In 2,2)上单调递减.•••当x = 2时，函数f(x)取得极小值，且极小值为f(2) = 4—e2.11. 某工厂某种产品的年产量为 1 000x 吨，其中x € [20,100],需要投入的成本为C(x)(单位：万元)，当x€ [20,80]时，C(x)= 土2—30x + 500;当x€ (80,100]时，C(x)=四輕.若每吨商品售价为血万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于x的函数关系式;(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L(x)= 1 000ln x—C(x) =9.设X i, X2是函数f(x) = x3—2ax2+ a2x的两个极值点，若x i< 2v x?,则实数a的取000ln x —x —30x + 500 , x€ [20, 80],1 000ln x —, x € 80, 100].⑵当x€•••L(x)在［20,50)上单调递增，在［50,80)上单调递减, •••当 x = 50 时，L(x)max = 1 000ln 50 - 250; 当 x € (80,100]时，L(x)= 1 000ln x - 20 000单调递增, px• L(x)max = 1 000ln 100 - 2 000.•/ 1 000ln 50 - 250 - (1 000ln 100 - 2 000) =1 750 -1 000ln 2 > 1 750 - 1 000 > 0,•••当x = 50,即年产量为 50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50 - 250)万元.12.已知函数f(x)= ax 3 + bx 1 2 + cx的导函数为h(x), f(x)的图象在点(一2, f( - 2))处的切 0，又直线y = x 是函数g(x)= kxe x 的图象的一条切线.(1)求函数f(x)的解析式及k 的值;⑵若f(x)w g(x)- m + 1对于任意x € [0,+^ )恒成立，求 m 的取值范围. 解：(1)由 f(x)= ax 3 + bx 2 + cx , 可知 h(x)= f ' (x)= 3ax 2+ 2bx + c.由f(x)在(-2, f(-2))处的切线方程为 3x -y + 4= 0可知， f( - 2)=- 8a + 4b - 2c =- 2, f ' (- 2)= 12a -4b + c = 3, 又由 h ' (x)= 6ax + 2b 可知,4a + 2b = 0,1由①②③，解得 a =云，b = 1, c = 1,xp (x) = e — x — 1,再令 0(x)= e x — x — 1, / (x)= e x — 1 = 0,解得 x = 0.1所以f(x)的解析式为f(x) = ?x 3+ x 2+ x.由题意，g(x)= kxe x 与y = x 相切可知函数在原点或 (—In k ,- In k)处切线斜率为1.因为 g ' (x)= k(e x + xe x ),所以 g ' (0) = k = 1 或 g ' (- ln k)= 1，得 k = 1. 综上可得k 的值为1.⑵若f(x)w g(x)- m + 1对任意x € [0, + g )恒成立, 即 £X 3+ x 2+ x < xe x - m + 1 恒成立， 2则 m - 1 w xe x - ^x 3 — x 2- x 恒成立. 设 q(x)= xe x -^x 3- x 2- x = x e x -护-x - 1 , x ：2线方程为3x - y + 4 = 0,且h '2 =所以当x€ ［0,+ g)时，(x)>0,所以g x)在［0, + g)上单调递增，所以g x)》机0) = 0,即卩p' (x) > 0,所以p(x)在［0，+ g)上单调递增，所以p(x)> p(0) = 0, 所以当x€ ［0,+g)时，q(x)>0恒成立，且q(0) = 0, 因此，m— 1 < 0即可，贝U m W 1.故m 的取值范围为(—g, 1］．。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 3.1.3 含解析
3.1.3 导数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1.若曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为3x+y+5=0,则( )A.f'(x 0)>0B.f'(x 0)<0C.f'(x )=0D.f'(x 0)不存在2.已知曲线y =12x2−2上一点P (1,-32),则过点P 的切线的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.135°D.165°y =1x2−2,∴y'=limΔx →012(x+Δx )2-2-(12x 2-2)Δx =limΔx →012(Δx )2+x ·ΔxΔx=lim Δx →0(x +12Δx)=x.∴y'|x=1=1.∴点P (1,-32)处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45°. 3.曲线y=x 3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2x=1=lim Δx →0(1+Δx )3-2(1+Δx )+1-(13-2×1+1)Δx=1,因此曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1. 4.若曲线y=ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a 等于( ) A.1 B .12C.−12D.−1y'=limΔx→0a(1+Δx)2-a×12Δx=limΔx→0(2a+aΔx)=2a,∴2a=2,∴a=1.又直线2x-y-6=0不过(1,1)点,∴a=1即为所求.5.函数y=f(x)的图象如图,下列数值排序正确的是()A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3).由图可知f'(3)<f'(2).作出过A(2,f(2))与B(3,f(3))两点的直线,斜率k AB=f(3)-f(2)3-2=f(3)−f(2).设点(2,f(2))处的切线斜率为k1,点(3,f(3))处的切线斜率为k2, 由图可得k2<k AB<k1.6.曲线y=x2-2x+2在点(2,2)处的切线方程为.Δy=(2+Δx)2-2(2+Δx)+2-(22-2×2+2)=2Δx+(Δx)2,∴ΔyΔx=2+Δx.∴y'|x=2=limΔx→0(2+Δx)=2.∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2.∴切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.x-y-2=07.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=12x+2,则f(1)+f′(1)=.M处的切线方程y=12x+2,得f(1)=12×1+2=52,f′(1)=12,则f(1)+f'(1)=52+12=3.8.已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3在点x0处的切线平行,则x0=.y=x2-1,得y′|x=x0=2x0,由y=1-x3,得y′|x=x0=−3x02.由题意得2x0=-3x02,即3x02+2x0=0.解得x0=0或x0=−23.或−239.在抛物线y=x2上求一点P,使在该点处的切线垂直于直线2x-6y+5=0.P的坐标为(x0,y0),则抛物线y=x2在点P处的切线斜率为y′|x=x0=limΔx→0(x0+Δx)2-x02Δx=2x0.直线2x-6y+5=0的斜率为1,由题设知2x0·1=−1,解得x0=−3,此时y0=94,故点P的坐标为(-32,94).10.若函数f(x)=x−1,求它与x轴交点处的切线的方程.f(x)=x−1=0,得x=±1,即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).∵f'(x)=limΔx→0(x+Δx)-1x+Δx-x+1xΔx=limΔx→0[1+1x(x+Δx)]=1+1x2,∴切线的斜率k=1+1=2.∴切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1),即2x-y-2=0或2x-y+2=0.能力提升1.设f(x)为可导函数且满足lim-2x→0f(1)-f(1-2x)2x=−1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为()A.2B.-1C.1D.-2lim →0f(1)-f(1-2x)=lim-2x→0f(1-2x)-f(1)-2x=lim-2x→0f[1+(-2x)]-f(1)-2x=f′(1)=−1.2.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)(x)=limΔx→0(x+Δx)3+(x+Δx)-2-(x3+x-2)Δx=limΔx→0(3x2+1)·Δx+3x(Δx)2+(Δx)3Δx=3x2+1.因为曲线f(x)=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在点P0处的导数值等于4.设点P0(x0,y0),有f'(x0)=3x02+1=4,解得x0=±1,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).3.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1切点(0,b)在切线x-y+1=0上,∴b=1.∴y=x2+ax+1.∵y'=limΔx→0(x+Δx)2+a(x+Δx)+1-x2-ax-1=limΔx→02x·Δx+(Δx)2+aΔx=limΔx→0(2x+Δx+a)=2x+a,∴y'|x=0=a=1.4.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为[π4,π2 ],则点P的横坐标的取值范围为()A.(-∞,12]B.[−1,0]C.[0,1]D.[-12,+∞)5.已知曲线y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba=.★6.曲线y=1x和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是.7.已知直线l:y=4x+a和曲线C:f(x)=x3-2x2+3相切.求切点的坐标及a的值.l与曲线C相切于点P(x0,y0),f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)=limΔx→0(x+Δx)3-2(x+Δx)2+3-(x3-2x2+3)Δx=3x2-4x.由题意可知k=4,即3x02−4x0=4,解得x0=−23或x0=2.因此切点坐标为(-23,4927)或(2,3),当切点为(-23,4927)时,有4927=4×(-23)+a,解得a=12127.当切点为(2,3)时,有3=4×2+a, 解得a=-5.故切点为(-23,4927),a=12127或切点为(2,3),a=-5.★8.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.ΔyΔx=(x+Δx)2+1-(x2+1)Δx=2x+Δx,得y'=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(2x+Δx)=2x.设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=y′|x=x0=2x0,由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).又因为切线过点(1,a),y0=x02+1,所以a-(x02+1)=2x0(1−x0),即x02−2x0+a−1=0.因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是(-∞,2).。
2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 3.2
3.2 导数的计算课时过关·能力提升基础巩固1.函数f(x)=(2πx)2的导数是( )A.f'(x)=4πxB.f'(x)=4π2xC.f'(x)=8π2xD.f'(x)=16πx解析:∵f(x)=4π2x2,∴f'(x)=2×4π2x=8π2x.答案:C2.已知函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a的值为( )A.1B.2C.‒1D.0解析:f'(x)=2ax,由f'(1)=2知2a=2,∴a=1.答案:A3.曲线y=x ln x在点(1,0)处的切线方程为( )A.y=2x+2B.y=2x-2C.y=x-1D.y=x+1解析:∵y=x ln x,∴y'=ln x+1,则切线斜率k=y'|x=1=1.∴切线方程为y=x-1.答案:C4.下列结论不正确的是( )A.若y=3,则y'=0B.若f(x)=3x+1,则f'(1)=3C.若y=‒x+x,则y'=‒12x+1D.若y=sin x+cos x,则y'=cos x+sin x解析:利用求导公式和导数的加、减运算法则求解.D项,∵y=sin x+cos x,∴y'=(sin x)'+(cos x)'=cos x-sin x.答案:D5.正弦曲线y=sin x上切线的斜率等于12的点为( )A.(π3,32)B.(-π3,-32)或(π3,32)C ∈Z ).(2kπ+π3,32)(k D ∈Z )∈Z ).(2kπ+π3,32)(k 或(2kπ-π3,-32)(k 解析:y'=cos x ,y x 0x 0=2k π∈Z ),y 0x 0=2k π∈Z ),y 0='|x =x 0=cos =12,则+π3(k =32或‒π3(k ‒32.答案:D6.已知f (x )=x 2+e x ,则f'(0)= ;[f (1)]'= . 解析:∵f'(x )=2x+e x ,∴f'(0)=1.∵f (1)=1+e,∴[f (1)]'=0.答案:1 07.已知f (x )=cos x ,g (x )=x ,则关于x 的不等式f'(x )+g'(x )≤0的解集为 .答案:{x |x =π2+2kπ,k ∈Z }8.在曲线y =4x 2上求一点P ,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则点P 坐标为 . 解析:设点P (x 0,y 0),∵y'=(4x 2)'=(4x ‒2)'=‒8x ‒3,∴tan 135°=-1=-8x -30,∴x 0=2.∴y 0=1.答案:(2,1)9.曲线y=ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率为 ,切线的方程为 .解析:∵y'=(ln x )'y=ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率为k =1x ,∴y'|x =e =1e .∴曲线=1e.∴切线方程为y-1x-e y=0.=1e (x ‒e),即答案:1e x ‒ey =010.求下列函数的导数:(1)y=sin x-x+1;(2)y=-2e x ·x 3;(3)y =lnx x +1‒2x .解:(1)y'=(sin x-x+1)'=cos x-1.(2)y'=(-2e x ·x 3)'=(-2e x )'x 3+(-2e x )·(x 3)'=-2x 3e x -6x 2e x .(3)y'=(lnx x +1-2x )'=(lnx x +1)'‒(2x )'2=1x (x +1)-lnx(x +1)2‒2xln 2.=1x ‒1x +1‒lnx (x +1)2‒2xln 11.已知两条曲线y=sin x ,y=cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直?若存在,求出此公共点的坐标;若不存在,请说明理由.解:不存在.理由如下:设y=sin x ,y=cos x 这两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0),则这两条曲线在点P (x 0,y 0)处的切线斜率分别为k 1=cos x 0,k 2=-sin x 0.若使两条切线互相垂直,必须有cos x 0·(-sin x 0)=-1,即cos x 0·sin x 0=1,也就是sin 2x 0=2,这是不可能的,所以不存在公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.能力提升1.当函数y =x 2+a 2x (a >0)在x =x 0处的导数为0时,x 0的值为( )A.aB.±aC.-aD.a 2解析:y'=(x 2+a 2x )'=2x ·x -(x 2+a 2)x 2=x 2-a 2x 2,x 0=±a.由x 20‒a 2=0,得答案:B2.已知直线y=kx 是曲线y=e x 的切线,则实数k 的值为( )A .1e B.‒1eC.‒eD.e 解析:y'=e x ,设切点为(x0,y 0),则{y 0=kx 0,y 0=e x 0,k =e x 0,·x 0,∴x 0=1,∴k=e .∴ex 0=e x 0答案:D 3.观察(x 2)'=2x ,(x 4)'=4x 3,(cos x )'=-sin x ,可推得:若定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=f (x ),记g (x )为f (x )的导函数,则g (-x )等于( )A.f (x )B.-f (x )C.g (x )D.-g (x )解析:由所给三个函数的导数知,一个偶函数的导函数是奇函数.∵f (x )是偶函数,∴g (x )是奇函数.∴g (-x )=-g (x ).答案:D 4.若函数f (x )=log a x ,f'(1)=-1,则a= .答案:1e5.已知y ∈(-π,π),当y'=2时,x= .=sinx 1+cosx ,x 解析:y'=(sinx )'(1+cosx )-sinx (1+cosx )'(1+cosx )2=cosx (1+cosx )-sinx (-sinx )(1+cosx )2=cosx +cos 2x +sin 2x (1+cosx )2=cosx +1(1+cosx )2=11+cosx .cos x=令11+cosx =2,则‒12.又x ∈(-π,π),故x=±2π3.答案:±2π36.若f 0(x )=sin x ,f 1(x )=f 0'(x ),f 2(x )=f 1'(x ),…,f n+1(x )=f n '(x ),n ∈N ,则f 2 016(x )= . 解析:因为f 1(x )=(sin x )'=cos x ,f 2(x )=(cos x )'=-sin x ,f 3(x )=(-sin x )'=-cos x ,f 4(x )=(-cos x )'=sin x ,f 5(x )=(sin x )'=cos x ,所以循环周期为4,因此f 2 016(x )=f 4(x )=sin x.答案:sin x★7.已知f (x )=x 2+2f '(-13)x ,则f'(-13)= . 解析:f'(x )=2x+2f'(-13),令x=f ‒13,则'(-13)=‒23+2f'(-13),所以f'(-13)=23.答案:238.求下列函数的导数:(1)f (x )=(x 3+1)(2x 2+8x-5);(2)f (x )=lnx +2xx 2.解:(1)∵f (x )=2x 5+8x 4-5x 3+2x 2+8x-5,∴f'(x )=10x 4+32x 3-15x 2+4x+8.(2)f'(x )=(lnx x 2+2x x 2)'=(lnx x 2)'+(2x x 2)'=1x·x 2-lnx ·2x x 4+2x (ln2·x 2-2x )x 4=(1-2lnx )x +(ln2·x 2-2x )·2x x 4=1-2lnx +(ln2·x -2)2xx 3.★9.设曲线y=x n (1-x )(n ∈N *)在(2,-2n )处的切线与x 轴交点的横坐标为a n ,求a 1·a 2·a 3·…·a n 的值.解:∵y=x n (1-x )=x n -x n+1,∴y'=(x n )'-(x n+1)'=nx n-1-(n+1)x n .∴当x=2时,导函数值为n ·2n-1-(n+1)·2n =n ·2n-1-2(n+1)·2n-1=-(n+2)·2n-1,即曲线在x=2处的切线斜率为-(n+2)·2n-1.∴曲线在(2,-2n )处的切线方程为y+2n =-(n+2)·2n-1(x-2).令y=0,得a n =2(n +1)n +2.∴a 1·a 2·a 3·…·a n =2×23×2×34×2×45×…×2(n +1)n +2=2n ·2n +2=2n +1n +2.。
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考前过关训练(三)
导数及其应用
(30分钟50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2016·临沂高二检测)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程是( )
A.y=3x-1
B.y=-3x+5
C.y=3x+5
D.y=2x
【解析】选A.y′=-3x2+6x,曲线在点(1,2)处的切线斜率k=-3×12+6×1=3,又切线过点(1,2),则切线方程为y-2=3(x-1),整理得:y=3x-1.
【补偿训练】若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程
为( )
A.4x-y-3=0
B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0
D.x+4y+3=0
【解析】选A.与直线x+4y-8=0垂直的直线l为4x-y+m=0,即y=x4在某一点的导数为4.而y′=4x3,所以y=x4在(1,1)处导数为4,此点处的切线方程为4x-y-3=0.
2.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为( )
1
1
【解析】选D.原函数的单调性是:当x<0时,增;当x>0时,单调性变化依次为增、减、增.故当x<0时,f ′(x)>0;当x>0时,f ′(x)的符号变化依次为+,-,+.
3.如图所示是函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象,则x 12+x 22
等于 ( )
A.23
B.43
C.83
D.163
【解析】选C.由图象知f(x)=0的根为0,1,2, 所以d=0.
所以f(x)=x 3+bx 2+cx=x(x 2+bx+c). 所以x 2+bx+c=0的两根为1和2. 所以b=-3,c=2.
所以f(x)=x 3-3x 2+2x,则f ′(x)=3x 2-6x+2. 因为x 1,x 2是方程f ′(x)=0的两根, 所以x 1+x 2=2,x 1x 2=2
3
.
所以x 12+x 22
=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=22-2×23=83
.
4.(2016·聊城高三模拟)f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf ′(x)+f(x)≤0对任意正数a,b,若a<b,则必有 ( ) A.af(a)≤f(b) B.bf(b)≤f(a) C.af(b)≤bf(a)
D.bf(a)≤af(b)
【解析】选C.设
g(x)=xf(x),
1
则由g ′(x)=xf ′(x)+f(x)≤0, 知g(x)在(0,+∞)上递减. 又0<a<b,f(x)≥0, 所以bf(b)<af(a),
所以af(b)<bf(b)<af(a)<bf(a). 当f(x)=0时,f(b)=f(a)=0, 所以af(b)≤bf(a).
5.(2016·山东高考)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两 点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是
( )
A.y=sinx
B.y=lnx
C.y=e x
D.y=x 3
【解题指南】利用基本初等函数的导数公式,求导后,表示出两“切线”的斜率,判断它们的乘积是否为-1.
【解析】选A.对于A,函数y=sinx,y ′=cosx,设图象上存在这样两点(x 1,sinx 1),(x 2,sinx 2),那么两切线的斜率k 1=cosx 1,k 2=cosx 2,令k 1·k 2=cosx 1·cosx 2=-1,则x 1=2k π,x 2=2k π+π(x 2=2k π,x 1=2k π+π),k ∈Z,即存在这样的两点,所以具有T 性质.
对于B,函数y=lnx,y ′=1x ,k 1·k 2=1x 1·1
x 2,而x 1>0,x 2>0,所以k 1·k 2≠-1,所以函数y=lnx 不具有T
性质.
对于C,函数y=e x ,y ′=e x ,k 1=e x 1,k 2=e x
2,显然均大于0.所以函数y=e x 不具有T 性质. 对于D,函数y=x 3,y ′=3x 2,k 1=3x 12,k 2=3x 22
,显然k 1·k 2≠-1,所以函数y=x 3不具有T 性质. 6.把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为 ( ) A.1∶2
B.1∶π
C.2∶1
D.2∶π。