第六章直线回归与相关
直线相关和直线回归
查 t 值表， t 0.05/2(14)= 2.145, tr =5.6623>2.145，则P＜0.05， 按 =0.05水准拒绝H0，接受H1,差异有统计学意义,可认为 体重和胸围之间有正相关关系。
查表法
r =0.8343, ν=16-2=14，查r 界值表r0.05(14)=0.497
l xx X
2
( X ) n
2
l yy Y
2
( Y ) n
n
2
l xy XY
( X )( Y )
r
l xy l xx l yy
( X )( Y ) XY n 2 2 ( X ) ( Y ) 2 2 X n Y n
366 926.6 21332.38 16 r 0.8343 366 2 926.6 2 8548.30 16 53813.56 16
= 0.05
b =0.2041, n =13, Sb =0.03098 代入公式:
b 0.2041 tb 6.59 sb 0.03098
13 2 11
查 t 值表， t 0.05/2(11)= 2.201, tb=6.59>2.201，则P＜0.05， 按 =0.05水准拒绝 H0 ，接受H1 ,可认为该地8岁男孩体重 与心脏横径间直线关系存在,所求线性回归方程成立。
H0 ： = 0 ,即7岁男孩体重和胸围间无直线相关关系 H1 ： ≠0 ,即7岁男孩体重和胸围间有直线相关关系
= 0.05
r = 0.8343, n =16, 代入公式:
tr r 1 r 2 n2 0.8343 1 (0.8343) 2 16 2 5.6623
[教育学]第六章 相关与回归分析
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902 902 902 902 915 915 915 915 915 915
853 869 872 873 850 859 863 868 875 898
（二）分组相关表 分组相关表是将原始资料分组后编制而成 的表格，分组相关表有单变量分组相关表 和双变量分组相关表之分。 1、单变量分组相关表 单变量分组相关表是将自变量分组并计算 次数，对应的因变量计算其平均值制成的 表格。
y
x
例：
1、商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 2、商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 3、粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、 温度(x3)之间的关系 4、收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 5、父亲身高(y)与子女身高(之间的关系
三、相关分析的主要内容 （一）确定现象之间有无关系，确定相关关系 的表现形式。这是相关分析的出发点。 主要根据经验、相关图表和相关系数。 （二）确定相关关系的密切程度。 相关系数能从数量上明确说明关系的密切程 度。 （三）测定两个变量之间的一般的关系值。 （四）测定因变量估计值和实际值之间的差异， 用来反映因变量估计值的可靠性。
求解a、b两个参数 统计中采用的是最小平方法。
y yc min
2
利用此法求解a、b的标准方程式为：
y na bx 2 xy a x b x
对其进行数学变换可得：
a y b x nxy xy b 2 2 n x ( x )
例，某地区1997-2001年各年的职工生活费收入 和商品销售额的资料如表6-4所示。计算职工生活 费收入与商品销售额的相关关系
直线相关与直线回归
案例二：医学研究
总结词
医学研究中，利用直线相关和回归分析探究疾病与危险因素之间的关系。
详细描述
在医学研究中，直线相关和回归分析常被用于研究疾病与危险因素之间的关系。 例如，通过分析吸烟、饮酒、饮食等危险因素与肺癌发病率之间的关系，可以 建立线性模型，从而为预防和治疗提供依据。
案例三：农业研究
总结词
通过假设检验的方法，检验两个变量之间是否存在显著的线性关系。常用的假设检验方法 包括t检验、F检验等。
直线相关系数
直线相关系数是用来量化两个变量之间线性关 系的强度和方向的一个数值，其取值范围为-1 到1。
相关系数的值为1表示完全正相关，值为-1表示 完全负相关，值为0表示无直线相关。
相关系数的绝对值越大，说明两个变量之间的 线性关系越强。
直线相关结果通常以相关系数和散点图等 形式呈现，而直线回归结果则以回归方程 、系数表和预测值等形式呈现。
联系
理论基础
直线相关和回归都基于线性关 系假设，即两个变量之间存在
一条直线的趋势。
应用场景
在某些情况下，直线相关和回 归可以相互转换，例如当一个 变量是另一个变量的函数时。
相互支持
在数据分析过程中，可以先进 行直线相关分析，再基于相关 系数进行直线回归分析，或者 反之。
结果解释
在某些情况下，直线相关和回 归的结果可能相似或一致，例 如当两个变量之间的线性关系
很强时。
04
直线相关与回归的应用
经济预测
预测市场趋势
通过分析历史数据，利用直线相关或回归分析来预测市场趋势， 如股票价格、商品需求等。
评估经济政策效果
通过分析政策实施前后的经济数据，利用直线相关或回归分析来评 估政策效果，为政策制定提供依据。
6_第六讲_2011硕士直线回归相关与等级相关
（四）、直线回归方程的应用
描述两变量之间的依存关系：利用直线回归方 程即可定量描述两个变量间的依存关系。 利用回归方程进行预测：把预报因子（即自变 量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进 行估计，即可得到个体Y值的容许区间。
ŷ=a + b x
利用回归方程进行统计控制：规定Y值的变化， 通过控制x的范围实现统计控制的目标。
– 观察的样本必须是同质（组别、测量时点不同，
不宜混在一起）的，否则会产生实际上不存在 的回归或者忽略了确实存在的回归关系。
男 女 Y Y
x
x
– 回归直线不要外延，一般以自变量的取值范
围为限。均应经过假设检验：p<0.01”与 “ p<0.05”的含义，两者的结论均为直线 回归关系成立。 – 非线性观察值的处理 • 变量变换：符合条件后，再做线性分析。 • 分段进行直线回归分析。 • 多分类回归 • 非线性回归。
呈曲线不通；异常/极端值。 •相关的解释应慎重：可以是因果关系，也可以只是伴 随关系。相关显著只是表明两变量间存在直线关系。 不能说明存在内在联系，或因果关系，只能为理论研 究提供线索。 •双变量正态应同时满足：单变量偏态分布或有极端值 时，或者通过变量变换转化成正态化；或者计算等级 相关系数。
实例分析（例1）
•
•
体重与肺活量为双变量正态分布，符合直 线相关的应用条件。 散点图：无极端值与异常值。
主要结果
•
•
•
相关系数r = 0.7495， p= 0.005 r2=0.562（决定系数阐明关联强度） 相关系数95%可信区间为： 0.3081 - 0.9254 检验表明相关系数有统计学意义，体重与肺 活量总体上具有直线相关关系；据此并结合 专业知识，确定有无实际意义。
直线相关与回归-PPT
相关得类型
相关与回归
25
相关系数概念
相关系数(correlation coefficient), 又称simple correlation coefficient, coefficient of product – moment correlation, 或 Pearson’s correlation coefficient 、
相关与回归
6
相关与回归
图 1078对父子身高间得关系
7
直线回归就就是用来描述一个变量 如何依赖于另一个变量得统计方法。
dependent variable(应变量) indepentent variable(自变量)
相关与回归
8
回归方程
❖ 直线回归得任务就就是要找出因变量随自变量变 化得直线方程,我们把这个直线方程叫做直线回归 方程。
14
(1)回归系数得方差分析
P(X ,Y)
Y
总情况(Y Y )
(Y Yˆ)剩余部分
(Yˆ Y )回归部分
y
X
Y Y Y Yˆ Yˆ Y
相关与回归
15
Y得离均差平方和得分解
由于：(Y Y ) (Y Yˆ) (Yˆ Y ) 可以证明：
(Y Y ) 2 (Y Yˆ)2 (Yˆ Y )2
5、相关、回归若无统计学意义,不等于无任何关系。
相关与回归
36
相关与回归得区别
❖ 1、应用 :研究两变量得相互关系,用相关分析,即在两个变量中,任何一个得变
化都会引起另一个得变化,就是一种双向变化得关系。回归就是反映两个变量得 依存关系,一个变量得改变会引起另一个变量得变化,就是一种单向得关系。
❖ 2、资料要求:回归分析要求Y呈正态分布;相关分析要求资料呈双变量正态分布
第六章 相关与回归分析(2)
二、 用OLS (Ordinary Least Square）估计出回归系数 的值 出回归系数a,b的值 ）估计出回归系数 OLS最小二乘法的中心思想 是通过数学模型， 最小二乘法的中心思想， 1、 OLS最小二乘法的中心思想，是通过数学模型，配合一条较为理想的趋 势线。这条趋势线必须满足下列两点要求： 势线。这条趋势线必须满足下列两点要求： 原数列的观测值与模型估计值的离差平方和为最小； （1）原数列的观测值与模型估计值的离差平方和为最小； 原数列的观测值与模型估计值的离差总和为0 （2）原数列的观测值与模型估计值的离差总和为0。
第六章 回归分析
6.2 简单线性相关与回归分析
一、一元线性回归模型 为自变量， 1、设x为自变量，
y为因变量，y与x之间存在某种线性关系， 为因变量， 之间存在某种线性关系，
即一元线性回归模型为： 即一元线性回归模型为：
y i = a + bxi + ε i
i
其中Y为因变量，是预测目标； 为自变量； 其中Y为因变量，是预测目标；X为自变量； y a,b为待定系数 为待定系数， a,b为待定系数， ε 为随机变量数值
第六章 回归分析
三、预测区间
点估计
在一元线性回归模型中，对于自变量x的一个给定值， 在一元线性回归模型中，对于自变量x的一个给定值，代 入回归模型，就可以求得一个对应的回归预测值， 入回归模型，就可以求得一个对应的回归预测值，又称为点 估计值。 估计值。 区间估计 所谓预测区间就是指在一定的显著性水平上， 所谓预测区间就是指在一定的显著性水平上，依据数理统 计方法计算出的包含预测对象未来真实值的某一区间范围。 计方法计算出的包含预测对象未来真实值的某一区间范围。
2 2 i =1 i =1 i =1
第6章相关分析与回归分析
参数的显著性检验
通过了总体效果的检验，只能说明Y与k个自变量 X从整体上看线性关系显著，并不表明每个Xj都与 Y有显著的线性关系，因此还需检验每个Xj是否显 著，换句话说，就是Xj的系数bj是否显著不为 零，作进一步检验。 k=1时问题是要检验原假设
H 0 : j 0, H 1 : j 0
简单线性模型参数的最小二乘估计
对简单线性回归模型可以写为
Yi 0 1 X i u i , i 1,2, , n
给定的 0 , 1 模型残差平方和
L( 0 , 1) (Yi 0 1 X i ) 2
对上式求偏导数经整理可以得到正规方程组
ˆ ˆ X Y n i i 0 1 ˆ X ˆ X 2 Y X i i i i 0 1
案例分析
设总体表示某地死于癌症人数X(万人) 和钢铁产量Y(万吨)，近5年内的观测值见 教材。
r 22.6 2 2.8 14.8 2 2 35.6 2.8 2 0.9819
这两个指标，从数量上看高度相关， 但显然，死于癌症人数和钢铁产量高度相 关的结论是不合理的。
注
2 Sy
Yi Y
2
2 Sy
当k=1时，残差平方和可利用已知结果计算
2 Se y 2 a y b xy
判决系数一定在0~1之间，越接近1说明回归 直线模拟样本数据越好，也可说自变量解 释因变量的能力越强。
模型总体效果检验
原假设： H 0 : 1 k 0 ,
rXY t 0.990 0.990 * 0.993 0.072 (1 0.99^ 2)(1 0.993^ 2)
第六章相关与回归分析
第六章相关与回归分析第六章相关于回归分析⼀、单项选择题1．进⾏简单直线回归分析时，总是假定（）。
A、⾃变量是⾮随机变量，因变量是随机变量B、⾃变量是随机变量，因变量是⾮随机变量C、两变量都是随机变量D、两变量都是⾮随机变量2．在因变量的总离差平⽅和中，如果回归平⽅和所占⽐重达，剩余平⽅和所占⽐重⼩，则两者之间( )。
A、相关程度⾼B、相关程度低C、完全相关D、完全不相关3．当⼀个现象的数量由⼩变⼤，⽽另⼀个现象的数量由⼤变⼩时，这种相关关系称为（）A、线性相关B、⾮线性相关C、正相关D、负相关4．直线趋势y e=a+bt中a 和b的意义是（）。
A、a 是截距，b 表⽰x=0 时的趋势值B、a 是最初发展⽔平的趋势值，b 表⽰平均发展⽔平C、a 是最初发展⽔平的趋势值，b 表⽰平均发展速度D、a 表⽰直线的截距，表⽰最初发展⽔平的趋势值，b 是直线的斜率，表⽰按最⼩平⽅法计算的平均增长量5．当所有观察值y都落在回归直线y?= a + bx上，则x 与y之间的相关系数（）。
A、r=1B、-1C、r=1或r=-1D、06．已知某⼯⼚甲产品产量和⽣产成本有直线关系，在这条直线上，当产量为1000 时，其⽣产成本为30000，其中不变成本为6000元，则成本总额对产量的回归⽅程是（）。
A、y?= 6000 + 24xB、y?= 6 + 0.24xC、y?= 24000 + 6xD、y?= 24 + 6000x7．两个变量的相关系数为0时，可以肯定正确的结论是（）。
A、两个变量没有相关关系只有函数关系B、两个变量还可能有线性关系C、两个变量还可能有⾮线性关系D、两个变量没有任何关系8、在直线相关和回归分析中（）。
A、根据同⼀资料，相关系数只能计算⼀个B、根据同⼀资料，回归⽅程只能配合⼀个C、根据同⼀资料，回归⽅程随⾃变量与因变量的确定不同，可能配合两个D、回归⽅程和相关系数均与⾃变量和因变量的确定⽆关9、确定直线回归⽅程必须满⾜的条件是（）。
应用统计学教案第6章-相关分析与回归分析
设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x取某个数值时，y程度、方向、形态。
依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f (x)。
如y=2x就是两个变量之间的函数关系，可以用图6.1表示。
图6.1 函数关系2. 相关关系相关关系是指变量间的关系在数量上存在不确定的依存关系，一个变量的取值不能唯一地由另一个变量来确定，但它仍按某种规律在一定的范围内变化。
若将现象用变量进行表示，则相关关系可表现为以下形式。
当变量x取某个值时，与之相关的变量y的取值可能有若干个。
如某个班学生的身高x（cm）与体重y（kg）之间的关系就是相关关系，如图6.2所示。
图6.2 相关关系下面几种变量之间的关系均是常见的相关关系。
居民可支配收入与支出之间的关系。
学习时间和学习成绩之间的关系。
企业研发投入和研发产出之间的关系。
6.1.2 相关关系的类型1. 按相关的程度不同划分按相关的程度不同，可将相关关系分为完全相关、不相关、不完全相关。
在统计学中，相关分析与回归分析主要研究不完全相关现象。
１２３图6.3 正相关关系2.相关表相关表是指将一个变量按大小顺序排序，将另外变量对应排列而成的表格。
相关表可以大致根据变量的数值变化判断出变量之间的相关关系。
3.相关系数（1）相关系数的测定相关系数r 能用来反映变量之间的线性关系的密切程度，因此又称其为线性相关系数，又因其是由英国统计学家皮尔逊（Pearson ）提出，故也称为Pearson 积矩相关系数。
根据相关表中的变量数据，相关系数r 可以使用积差法进行计算。
222221()()()()()()()()xyx yx x y y n r x x y y n n x x y y x x y y σσσ--==----=--∑∑∑∑∑∑（6.1）为了根据原始数据计算r ，可由式（6.1）推导出下面的简化计算公式，也称简捷法，该方法较为常用。
()2222()n xy x y r n x x n y y -=--∑∑∑∑∑∑∑ （6.2）（2）相关系数r 的取值范围及相关意义由式（6.2）可以看出，相关系数r 是一个无量纲的值，其取值范围为[-1,1]。
(吉大)经济统计学 第六章相关与回归分析
断
：
|r|＝0，不相关（或非直线相关）； |r|＝1完全相关。 |r| < 0.3，弱相关； 0.3 ≤|r| < 0.5，低相关； 0.5≤|r|<0.8，显著相关； 0.8 ≤|r|<1， 高度相关 。
四、一元直线回归分析
（一）、回归分析的涵义和特点 英国人口学家Galton首先提出了回归的 概念，即一定身高的父母所生的子女的 平均身高，有着朝整个总体平均身高移 动（或回归）的倾向，即回归到中等水 平。
2
2
根据给定的显著水平和自由度（n-2）查t 分布表得到临界值 ，若
t | t |
t
对和 的区间估计
以样本指标值b对总体指标值进行区间 估计，的区间为： b t Sb b t Sb 同样的估计区间为
a t S a a t S a
Y ab 取对数，有 lg y lg a x lg b 设Y lg y , A lg a , B lg b , 则有：Y A Bx
如何确定曲线模型
1.绘制散点图,观察数据曲线的形态 2.差分法识别,如:
y a bx y a b x cx 2
总体一元线 性模型 样本一元线 性模型
Y X
Y a bX e
最小二乘法 用最小二乘法得到的a、b称为、的最 小二乘估计，他们所确定的直线 称为Y对X的线性回归方程。
ˆ Yi a bXi
求a、b的方法（原理）：
ˆ (Y Y) 2 Q min (Y a bX) 2 Q min Q 2 (Y a bX)(1) 0 a Q 2 (Y a bX)(X) 0 b