第六章相关与回归分析
第六章 相关分析与回归分析
b＜0,y 有随 x 的增加而减少的趋势
●●●回归直线一定通过由观测值的平均值（x,y ）所组成的点：
∵ yˆ a bx
a y bx
∴ yˆ y bx bx y b(x x)
当 xx 时， yˆ y，即回归直线通过点（x,y ）
●直线回归方程配置的实例
实例：对表 6-1 的北碚大红番茄果实横径与果重进行回归分析
| r |愈接近于 1，相关愈密切 | r |愈接近于 0，相关愈不密切 0＜r＜1 时，为正相关 －1＜r＜0 时，为负相关 ●相关系数计算的实例： 实例：表 6-1 为番茄果实横径与果实重的观测值，求其相关性。
表 6-1 北碚大红番茄果实横径与果实重
果实横径（cm）
果重（g）
x
y
10.0
140
其中： r
n
[ x2 ( x)2 ][ y 2 ( y)2 ]
n
n
x、y——为两个变数的成对观测值 n——为观测值的对数（样本容量）
●●相关系数的性质：
●●●r 的符号取决于 x、y 离均差的乘积和（lxy 或 SP）；符号的
性质表示两个变数之间的相关性质，即
r＞0，表示正相关
r＜0，表示负相关
∑y2=133071.0
n=10
a=-23.834
b=16.425
r=0.9931
结论：北碚大红番茄果实横径与果实重量的回归方程为：
yˆ 23.834 16.425 x
●回归关系的显著性测定——有 3 种方法。 ●●直线回归方程的方差分析
●●●y 的总变异的分解
SS y lyy ( y y)2 [( y yˆ) ( yˆ y)]2 ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 2 ( y yˆ)(yˆ y) ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 其中： 2 ( y yˆ )( yˆ y) =0
第六章相关及回归分析方式
第六章 相关与回归分析方式第一部份 习题一、单项选择题1.单位产品本钱与其产量的相关；单位产品本钱与单位产品原材料消耗量的相关 ( )。
A.前者是正相关，后者是负相关 B.前者是负相关，后者是正相关2.样本相关系数r 的取值范围( )。
∞＜r ＜+∞≤r ≤1 C. -l ＜r ＜1 D. 0≤r ≤101y x ββ=+上，那么x 与y 之间的相关系数( )。
A.r ＝0B.r ＝1C.r ＝-1D.|r|＝14.相关分析与回归分析，在是不是需要确信自变量和因变量的问题上( )。
A.前者无需确信，后者需要确信 B.前者需要确信，后者无需确信5.直线相关系数的绝对值接近1时，说明两变量相关关系的紧密程度是( )。
6.年劳动生产率x(千元)和工人工资y(元)之间的回归方程为y=10+70x ，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均( )。
7.下面的几个式子中，错误的选项是( )。
8.以下关系中，属于正相关关系的有( )。
9.直线相关分析与直线回归分析的联系表现为( )。
10.进行相关分析，要求相关的两个变量( )。
A.都是随机的B.都不是随机的11.相关关系的要紧特点是( )。
B.某一现象的标志与另外的标志之间存在着必然的关系，但它们不是确信的关系12.相关分析是研究( )。
13.现象之间彼此依存关系的程度越低，那么相关系数( )。
01y x ββ=+中，假设10β<，那么x 与y 之间的相关系数( )。
A. r=0B. r=1C. 0＜r ＜1D. —l ＜r ＜0 15.当相关系数r=0时，说明( )。
A.现象之间完全无关B.相关程度较小16.已知x 与y 两变量间存在线性相关关系，且210,8,7,100xy xy n σσσ===-=，那么x 与y 之间存在着( )。
17.计算估量标准误差的依据是( )。
A.因变量的数列B.因变量的总变差18.两个变量间的相关关系称为( )。
第6章 相关与回归分析习题解答
第六章 相关与回归分析思考与练习一、判断题1.产品的单位成本随着产量增加而下降，这种现象属于函数关系。
答：错。
应是相关关系。
单位成本与产量间不存在确定的数值对应关系。
2.相关系数为0表明两个变量之间不存在任何关系。
答：.错。
相关系数为零，只表明两个变量之间不存在线性关系，并不意味着两者间不存在其他类型的关系。
3.单纯依靠相关与回归分析，无法判断事物之间存在的因果关系。
答：对，因果关系的判断还有赖于实质性科学的理论分析。
4.圆的直径越大，其周长也越大，两者之间的关系属于正相关关系。
答：错。
两者是精确的函数关系。
5.总体回归函数中的回归系数是常数，样本回归函数中的回归系数的估计量是随机变量。
答：对。
6.当抽取的样本不同时，对同一总体回归模型估计的结果也有所不同。
答：对。
因为，估计量属于随机变量，抽取的样本不同，具体的观察值也不同，尽管使用的公式相同，估计的结果仍然不一样。
二、选择题1.变量之间的关系按相关程度分可分为：b 、c 、da.正相关；b. 不相关；c. 完全相关；d.不完全相关； 2.复相关系数的取值区间为：aa. 10≤≤R ；b.11≤≤-R ；c.1≤≤∞-R ；d.∞≤≤-R 1 3.修正自由度的决定系数a 、b 、da.22R R ≤； b.有时小于0 ； c. 102≤≤R ；d.比2R 更适合作为衡量回归方程拟合程度的指标 4.回归预测误差的大小与下列因素有关：a 、b 、c 、da 样本容量；b 自变量预测值与自变量样本平均数的离差c 自变量预测误差；d 随机误差项的方差三、问答题1．请举一实例说明什么是单相关和偏相关？以及它们之间的差别。
答：例如夏季冷饮店冰激凌与汽水的消费量，简单地就两者之间的相关关系进行考察，就是一种单相关，考察的结果很可能存在正相关关系，即冰激凌消费越多，汽水消费也越多。
然而，如果我们仔细观察，可以发现一般来说，消费者会在两者中选择一种消费，也就是两者之间事实上应该是负相关。
第六章-相关与回归
间相关程度的比较。
（2）1≤r≤1，0≤|r|≤1。 |r|越接近于1，说明两变量的相关程度越强； |r|越接近于0，两变量的相关程度越差。
（3）r=0表示x与y无相关， r＜0表示负相关， r＞0表示正相关， |r|=1为完全相关。
二、样本相关系数的计算
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）。
前面已经指出，要研究两种变量间的关系，最简单的方 法是把一系列观测数据在坐标中用散点图表示，如果散点 大致分布在一条直线附件，就可以判断两者为直线回归关 系。这种关系可用直线回归方程表示。则总体直线回归方 程为：
yi xi i （i=1，2，…，n） i服 N 0 从 ，2，且相互独
相关变量间的关系一般分为两种: 一种是平行关系，是研究变量间关系的强弱程度，此
时我们不关心在它们之间是谁影响了谁，谁是因，谁是果， 变量间的地位是平等的。如黄牛的体长和胸围之间的关系， 猪的背膘厚度和眼肌面积之间的关系等都属于平行关系。
另一种是因果关系，即一个变量的变化受另一个或几 个变量的影响。如仔猪的生长速度受遗传特性、营养水平、 饲养管理条件等因素的影响，子代的体高受亲本体高的影 响。
N 1N 1 (XX X)Y ( Y Y)
(XX)Y (Y) (XX)2 (YY)2
r SP xy
xy(x)n(y)
SSxSSy
x2(nx)2y2(ny)2
其中：
SPxy— 变量x和变量y的离均差乘积和简称乘积和 SSx — 变量x 的离均差平方和 SSy — 变量y 的离均差平方和
相关系数r 的特点:
变量。
例如，进行药物疗效试验 时，应用不同的剂量 （x），分析疗效（y）如 何受到药物剂量的影响及 其变化规律。这里规定的
统计学原理-第六章--相关与回归分析习题
第六章相关与回归分析习题一、填空题1．现象之间的相关关系按相关的程度分为、和；按相关的形式分为和；按影响因素的多少分为和。
2．两个相关现象之间，当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量，这种相关称为正相关；当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量，这种相关称为负相关。
3．相关系数的取值范围是。
4．完全相关即是关系，其相关系数为。
5．相关系数，用于反映条件下，两变量相关关系的密切程度和方向的统计指标。
6．直线相关系数等于零，说明两变量之间；直线相关系数等1，说明两变量之间；直线相关系数等于—1，说明两变量之间。
7．对现象之间变量的研究，统计是从两个方面进行的，一方面是研究变量之间关系的，这种研究称为相关关系；另一方面是研究关于自变量和因变量之间的变动关系，用数学方程式表达，称为。
8．回归方程y=a+bx中的参数a是，b是。
在统计中估计待定参数的常用方法是。
9. 分析要确定哪个是自变量哪个是因变量，在这点上它与不同。
10．求两个变量之间非线性关系的回归线比较复杂，在许多情况下，非线性回归问题可以通过化成来解决。
11．用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标是。
二、单项选择题1．下面的函数关系是( )A销售人员测验成绩与销售额大小的关系B圆周的长度决定于它的半径C家庭的收入和消费的关系D数学成绩与统计学成绩的关系2．相关系数r的取值范围( )A -∞<r<+∞B -1≤r≤+1C -1<r<+1D 0≤r≤+13．年劳动生产率z(干元)和工人工资y=10+70x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均( )A增加70元B减少70元C增加80元D减少80元4．假设要证明两变量之间线性相关程度是高的，则计算出的相关系数应接近于( )A+1 B 0 C 0．5 D [1]5．回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象( )A线性相关还是非线性相关B正相关还是负相关C完全相关还是不完全相关D单相关还是复相关6．某校经济管理类的学生学习统计学的时间(x)与考试成绩(y)之间建立线性回归方程y =a+b x。
生统：第六章一元回归及简单相关分析
S XX
17 . 92
a y b x 108 . 57 11 . 16 2 . 4 81 . 79
2回0归21方/6程/19：
Yˆ 81 . 79 11 . 16 X
20
• 图10-4为该例的散点图和回归线。
2021/6/19
21
• 例：下表为某品系小麦的穗长与穗重的数据，根据 表中数据求回归方程，并预测穗长40厘米的麦穗 重。
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6
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7
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8
图a和b两变量间关系是直线型，图c曲线型。图a的两个变 量关系较图b密切，且正向，图b负向。
散点图表示两个变量间关系的定性研究。
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9
P177-179
表10-1、图10-1单位叶面积干物质和NaCl含量之 间呈直线关系，点不完全在一直线上。 表10-2、图10-2增加每一NaCl含量下的观测次数， 取平均数做散点图基本为一直线。 实际中，不能进行多次的重复，在有限点上，用回 归方法将其理论关系推导出来。
间的关系。
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1
1、按两变量相关的程度分类
（1）完全相关：一变量的值定后，另一变量的值可 通过某公式求出来，即一个变量的值可由另一个变 量所完全决定。
（2）不相关：变量之间完全没有任何关系。一个变 量的值不能提供另一个变量的任何信息。
（3）统计相关(不完全相关) ：介于上述两种情况之
12
回归分析需满足以下假定：
(1) X 的任一观测值都对应着 一个 Y的分布，
Y ~ N （ X , 2） （2）随机误差 是给定 X ， Y的观测值与直
线 Y .X 的离差 , 是相互独立 , 且作正态分布。
6.2第六章 多元回归和相关、偏相关.
若依变数Y 同时受到m 个自变数X1、X2、…、Xm 的 影响，且这m 个自变数皆与Y 成线性关系，则这m+1 个变数的关系就形成m 元线性回归。
一个m元线性回归总体的线性模型为：
Y j 0 X 0 1 X 1 j 2 X 2 j m X mj j
Ry·12…m的存在区间为[0，1]。
(二) 多元相关系数的假设测验
令总体的多元相关系数为 ，则对多元相关系数的
假设测验为H0： 0 对HA： 0 ，
F 测验 ：
F
2R2 1(1 R 2 )
（10·16）
其中的
1 =m， 2
=n-(m+1)，R2为
t bi i
sbi
(10·11)
服从 n (m 1) 的 t 分布，可测验 bi 的显著性。
2. F 测验
U Pi
bi2 c(i 1)(i 1)
U Pi 就是y对xi的偏回归平方和， 1 。
F
U Pi Q y/12m /[n (m
1)]
c11 c12 c1M
R 1
(cij ) M M
c 2 1 cM 1
c 2 2 cM 2
c2M
c MM
令xi 和xj 的偏相关系数为rij·，解得 cij 后即有
rij·cij cii cjj
③评定各个自变数对依变数的相对重要性，以便研 究者抓住关键，能动地调控依变数的响应量。
第一节 多元回归
一、多元回归方程 二、多元回归的假设测验 三、最优多元线性回归方程的统计选择 四、自变数的相对重要性
06第六章 相关与回归分析
3 r — 只是对线性相关关系的 度量 。
2014-3-30
第六章 相关与回归分析
17
2.2 相关系数的特征及判别标准
2. 相关关系密切程度的划分 — 无直线相关； 1 r 0 . 3 2 0 . 3 r 0 . 5 — 低度相关； 3 0 . 5 r 0 . 8 — 显著相关 — 高度相关 4 r 0 . 8
2
y y
0.1017 0.00937 0.0827 0.0677 -0.0143 0.0207 -0.0373 -0.0913 -0.0763 -0.1453
y y x x y y
2
0.01034289 0.00877969 0.00651249 0.00458329 0.00020449 0.00042849 0.00139129 0.00833567 0.00582169 0.02111209
ˆ yi
x n ，y n
残差平方和
Q x1 ，y1
0
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y
i
ˆ yi
2
2 ˆ ˆ yi yˆ y ！！！ β0 β2 xi i i — 1最小的直线
x
第六章 相关与回归分析
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3.2 一元线性回归模型的参数估计
最小二（平方）乘法：
别 自、因变量—随机变量 因变量是随机变量
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第六章 相关与回归分析
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1.5 相关分析与回归分析的关系
注意：
1. 进行相关和回归分析时要坚持定性分
析和定量分析相结合的原则，在定性 分析的基础上开展定量分析。
2. 只有当变量间存在高度相关时，才进
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
4
函数关系的例子
▪ 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关 系可表示为 y = p x (p 为单价)
▪ 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S =
r2
▪ 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产 量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可 表示为y = x1 x2 x3
1
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
相关与回归分析的基本概念 简单线性相关分析 线性回归分析 多元线性相关与回归分析*** 非线性相关与回归分析***
2
第一节 相关与回归分析的基本 概念
一、函数关系与相关关系
1.函数关系
当一个或几个变量取一定的值 时，另一个变量有确定值与之 相对应，我们称这种关系为确 定性的函数关系。
3
（函数关系）
（1）是一一对应的确定关系
（2）设有两个变量 x 和 y ， y
变量 y 随变量 x 一起变化，
并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确
定的关系取相应的值，则 称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变
பைடு நூலகம்
量，y 称为因变量
（3）各观测点落在一条线上
温度(x3)之间的关系 ▪ 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 ▪ 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
8
二、相关关系的种类
(1)
(2)
(3)
(4)
图中（1）、（2）为线性相关，（3）、（4）为非线性相关。
9
1.按相关关系的程度划分可分为 完全相关，不完全相关和不相关。
2.按相关形式划分可分为 线性相关和非线性相关。
16
简单说：
1、相关分析是回归分析的基础 和前提； 2、回归分析是相关分析的深入 和继续。
17
第二节 简单线性相关分析
一、相关关系的判断
定性分析：是依据研究者的理论知识和实 践经验，对客观现象之间是否存在相关关 系，以及何种相关关系作出判断。
定量分析：在定性分析的基础上，通过编 制相关表、绘制相关图、计算相关系数等 方法，来判断现象之间相关的方向、形态 及密切程度。
一个变量唯一确定；
y
（3）当变量 x 取某个值时，变 量 y 的取值可能有几个；
（4）各观测点分布在直线周围。
x
7
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 ▪ 商品的消费量(y)与物价(x)之间的关系 ▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 ▪ 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、
消费 物价 收入
12
三、相关分析与回归分析
（一）概念：
就是用一个指标来表明现象间相互
1.相关分析 依存关系的密切程度。广义的相关
分析包括相关关系的分析（狭义的 相关分析）和回归分析。
2.回归分析
是指对具有相关关系的现象，根据 其相关关系的具体形态，选择一个 合适的数学模型（称为回归方程 式），用来近似地表达变量间的平 均变化关系的一种统计分析方法。
3.按相关的方向划分可分为 正相关和负相关
4.按相关关系涉及的变量多少划分可分为 单相关、复相关和偏相关。
5.按相关性质划分可分为 “真实相关”和“虚假相关”。
10
说明: 正相关：两个相关现象间，当一个变量的数
值增加（或减少）时，另一个变量的数值也 随之增加（或减少），即同方向变化。 例如收入与消费的关系。 负相关：当一个变量的数值增加（或减少） 时，而另一个变量的数值相反地呈减少（或 增加）趋势变化，即反方向变化。 例如物价与消费的关系。
11
两个变量之间的相关，称为单相关。
当所研究的是一个变量对两个及以上其他变 量的相关关系时，称为复相关。
例如，某种商品的需求与其价格水平以及收 入水平之间的相关关系便是一种复相关。
在某一现象与多种现象相关的场合，假定其 他变量不变，专门考察其中两个变量的相关 关系称为偏相关。
例如，在假定人们的收入水平不变的条件下， 某种商品的需求与其价格水平的关系就是一 种偏相关。
5
2. 相关关系：
当一个或几个相互联系的变量取 一定数值时，与之相对应的另一变量 的值虽然不确定，但它仍按某种规律 在一定的范围内变化。
现象之间客观存在的不严格、不 确定的数量依存关系，称为具有不确 定性的相关关系。
6
（相关关系）
（1）变量间关系不能用函数关 系精确表达；
（2）一个变量的取值不能由另
14
3.相关分析所涉及的变量一般都是随 机变量，而回归分析中因变量是随机 的，自变量则作为研究时给定的非随 机变量。
15
（三）相关分析与回归分析的联系
相关分析和回归分析有着密切的联系，它 们不仅具有共同的研究对象，而且在具体 应用时，常常必须互相补充。相关分析需 要依靠回归分析来表明现象数量相关的具 体形式，而回归分析则需要依靠相关分析 来表明现象数量变化的相关程度。只有当 变量之间存在着高度相关时，进行回归分 析寻求其相关的具体形式才有意义。
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（二）相关分析与回归分析的区别
1.在相关分析中，不必确定自变量和因变 量；而在回归分析中，必须事先确定自变量、 因变量，而且只能从自变量去推测因变量， 不能从因变量去推断自变量。
2.相关分析不能指出变量间相互关系的具体 形式；而回归分析能确切的指出变量之间相 互关系的具体形式，它可根据回归模型从已 知量估计和预测未知量。
第六章 相关与回归分析
相关与回归分析，是研究具有非确定性依 存关系现象的一种统计分析方法。广义说， 相关分析包括回归分析，二者在内容和方 法上都非常接近，严格说，二者有区别， 又相辅相成。
相关分析侧重研究具有非确定性依存关系 的变量间关系的紧密程度和相关方向。
回归分析主要研究如何用数学方程式描述 具有非确定性依存关系的变量间关系。
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定量分析
相关表：将自变量x的数值按照从小到 大的顺序，并配合因变量y的数值一一 对应而平行排列的表。 例：为了研究分析某种劳务产品完成 量与其单位产品成本之间的关系，调 查30个同类服务公司得到的原始数据 如表。
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完成量（小时） 20 30 20 20 40 30 40 80 80 50 40 30 20 80 50 单位成本（元/小时）18 16 16 15 16 15 15 14 14 15 15 16 18 14 14