第六章 回归分析
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第六章 相关分析与回归分析
b＜0,y 有随 x 的增加而减少的趋势
●●●回归直线一定通过由观测值的平均值（x,y ）所组成的点：
∵ yˆ a bx
a y bx
∴ yˆ y bx bx y b(x x)
当 xx 时， yˆ y，即回归直线通过点（x,y ）
●直线回归方程配置的实例
实例：对表 6-1 的北碚大红番茄果实横径与果重进行回归分析
| r |愈接近于 1，相关愈密切 | r |愈接近于 0，相关愈不密切 0＜r＜1 时，为正相关 －1＜r＜0 时，为负相关 ●相关系数计算的实例： 实例：表 6-1 为番茄果实横径与果实重的观测值，求其相关性。
表 6-1 北碚大红番茄果实横径与果实重
果实横径（cm）
果重（g）
x
y
10.0
140
其中： r
n
[ x2 ( x)2 ][ y 2 ( y)2 ]
n
n
x、y——为两个变数的成对观测值 n——为观测值的对数（样本容量）
●●相关系数的性质：
●●●r 的符号取决于 x、y 离均差的乘积和（lxy 或 SP）；符号的
性质表示两个变数之间的相关性质，即
r＞0，表示正相关
r＜0，表示负相关
∑y2=133071.0
n=10
a=-23.834
b=16.425
r=0.9931
结论：北碚大红番茄果实横径与果实重量的回归方程为：
yˆ 23.834 16.425 x
●回归关系的显著性测定——有 3 种方法。 ●●直线回归方程的方差分析
●●●y 的总变异的分解
SS y lyy ( y y)2 [( y yˆ) ( yˆ y)]2 ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 2 ( y yˆ)(yˆ y) ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 其中： 2 ( y yˆ )( yˆ y) =0
第六章 多元回归分析
2
可决系数
ESS RSS R 1 TSS TSS
2
该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
调整的可决系数（adjusted coefficient of determination） 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使 得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和 与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除 变量个数对拟合优度的影响:
[ RSS ( RSS1 RSS2 )] / k F ~ Fk ,n1 n2 2 k ( RSS1 RSS2 ) /(n1 n2 2k )
例6-1：在一个F3，60分布中5%的临界值和拒绝域
面积＝0.95
面积＝0.05
0 2.76 拒绝区域
例6-2：考虑如下解释主要俱乐部棒球运动员薪水的模型：
6.2 参数的最小二乘估计
拟合值和残差的重要性质
（1）残差的样本均值为0； （2）每个自变量和OLS残差之间的样本协方差为0；拟合
值与残差之间的样本协方差也为0；
（3）点( X 2 , X 3 ,
, X k , Y ) 总位于OLS回归线上；
ˆ ˆ X ˆX Y 1 2 2 3 3
（i=2，3…k）
注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致
一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0： 2=0 进行检验;
另一方面，两个统计量之间有如下关系：
F
e
2 ˆ y i 2 i
n2 ˆ 2
e
ˆ 2 x2 2 i
2 i2) xi2
ˆX k k
随机误差项的均值为0，方差的估计量为：
ee ˆ nk
2
6.3 最小二乘估计量的性质
统计学06第六章相关与回归分析
-5.3339 -21.2729 -20.0669
0.02111209 -58.5559
0.0675121 -201.421
2019/11/7
第六章 相关与回归分析
20
2.2 相关系数的特征及判别标准
解法 1
n x y
Lxx
L yy
Lxy
2
xx
2
y y
xx
3559.59
22
2.2 相关系数的特征及判别标准
解法 2
n x y x2 y2 x y
10 6470 5.813 4814300 3.446609 3559.59
r
10 3559.59 6471 5.813
10 4814300 64702 10 3.446609 5.8132
第六章 相关与回归分析
第二节 简单线性相关分析
2.1 相关系数的计算公式 2.2 相关系数的特征及判别标准 2.3 相关系数的检验
2.1 相关系数的计算公式
相关系r数与计ρ算公式： X 、Y 的协方差
相总关样 系体数本：相关 系V数Caor是 vXX一，Va个 YrY统
计量。可以证明，样本相
y y
10 6470 5.813 628210 0.0675121 -201.421
r
201 .421
628210 0 .0675121
0 .978051034 0.9781
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第六章 相关与回归分析
21
2.2 相关系数的特征及判别标准
x
280 320 390 530 650 670 790 880 910 1050
第六章相关与回归分析
3. 有总体相关系数与样本相关系数之分：
• 总体相关系数ρ——根据总体数据计算的，
• 样本相关系数 r ——根据样本数据计算的。
6 - 12
统
计
相关关系的计算பைடு நூலகம்式
学
rSxy
(xx)y (y)
SxSy
(xx)2 (yy)2
或化简为
r
nx yxy
nx2x2 ny2y2
6 - 13
统
计
相关系数取值及其意义
相关图——也称为散点图。一对数据对应坐标图 上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图 的散点而形成的图。
编制相关表、图的意义——有助于分析者判断 相关的有无、方向、形态、密切程度。
6 - 10
统
计
相关关系的图示
学
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
2. 一元线性（总体）回归方程的形式如下：
3.
E( y ) = α + b x
▪ 方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ α 是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期 望值，是回归直线是起始值；
▪ b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值。
6 - 22
统
6 - 11
统
计 学
（二）相关系数和判定系数
1. 都是对变量之间关系密切程度的度量； 2. 判定系数=相关系数的平方； 3. 不同类型的相关,相关系数的计算方法也不同.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相 关系数（也称直线相关系数）,常简称相关系数.
此外还有复相关系数、非线性相关系数、偏相关系 数
• 总体相关系数ρ——根据总体数据计算的，
• 样本相关系数 r ——根据样本数据计算的。
6 - 12
统
计
相关关系的计算பைடு நூலகம்式
学
rSxy
(xx)y (y)
SxSy
(xx)2 (yy)2
或化简为
r
nx yxy
nx2x2 ny2y2
6 - 13
统
计
相关系数取值及其意义
相关图——也称为散点图。一对数据对应坐标图 上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图 的散点而形成的图。
编制相关表、图的意义——有助于分析者判断 相关的有无、方向、形态、密切程度。
6 - 10
统
计
相关关系的图示
学
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
2. 一元线性（总体）回归方程的形式如下：
3.
E( y ) = α + b x
▪ 方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ α 是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期 望值，是回归直线是起始值；
▪ b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值。
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统
6 - 11
统
计 学
（二）相关系数和判定系数
1. 都是对变量之间关系密切程度的度量； 2. 判定系数=相关系数的平方； 3. 不同类型的相关,相关系数的计算方法也不同.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相 关系数（也称直线相关系数）,常简称相关系数.
此外还有复相关系数、非线性相关系数、偏相关系 数
概率论 高等院校概率论课件JXHD6-1
第六章回归分析回归分析是研究变量间相关关系的一个统计分支，它主要解决以下面几个问题：（1）确定几个特定的变量之间是否存在相关关系，如果存在，找出它们之间合适的数学表达式；（2）根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且要知道这种预测或控制可达到什么样的精确度；（3）进行因素分析，在共同影响一个变量的许多变量(因素)之间找出哪些因素重要，哪些因素次要，这些因素之间有什么关系等。
回归分析一元线性回归多元线性回归逐步回归非线性回归与回归诊断一元线性回归建立模型参数估计显著性检验预测预报一.建立模型引例1.一个作匀速直线运动的质点，在时刻t 的位置是S ，则S a bt =+,其中 a 为质点在t =0时刻的初始位置,b 为平均速度。
观测到的数据是ε+=s y ,其中ε是随机误差（测量误差）。
于是我们有ε+=s y ε++=bt a （6-1） 其中t 是非随机的，ε是随机的，通常认为E ε=0，显然y 也是随机的。
为了估计a 、b ，现在 n 个不同时刻作观察，得n 组观察值)(i i y t ，n i ,21 ，，=。
即 y i =i i bt a ε++ (i n =12，，， )用向量矩阵形式表示如下：εβ+=X Y 其中，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y Y 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n εεεε 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n t t t X 21111，⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a β。
问题:如何利用Y X 、的观测值来估计参数a 、b ，进一步预测未来时刻t 质点的位置。
引例2.在硝酸钠（3NaNO ）的溶解度试验中，测得在不同温度C X 0下溶解于100份水中的硝酸钠份数y 数据见下表:x i 0 4 10 15 21 29 36 51 68y i 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125试找出X 与Y 之间的关系。
图6-1bx a +εy =+(6-2)20406080100120140020406080 Y X =+βε 问题：如何利用观测值来估计参数a 、b ，从而确定y 与x 的近似线性关系。
第六章 回归分析
第六章Excel在回归分析中的应用6.1 概述现实世界中大多数现象表现为相关关系，人们通过大量观察，将现象之间的相关关系抽象概括为函数关系，并用函数形式或模型来描述与推断现象间的具体变动关系，用一个或一组变量的变化来估计与推算另一个变量的变化。
这种分析方法称为回归分析。
回归分析的主要内容▪回归参数估计▪方程拟合效果评价▪回归参数的推断6.2 图表分析与回归函数分析例近年来国家教育部决定将各高校的后勤社会化。
某从事饮食业的企业家认为这是一个很好的投资机会，他得到十组高校人数与周边饭店的季销售额的数据资料，并想根据高校的数据决策其投资规模。
操作过程：①打开“饭店.xls”工作簿，选择“饭店”工作表，如下图所示。
②从“插入”菜单中选择“图表”选项，打开“图表向导”对话框如下图所示。
在“图表类型”列表中选择XY散点图，单击“下一步”按钮。
③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产生在——列”，如下图所示，单击“下一步”按钮。
④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如下图所示。
⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图所示。
250200150100500510********⑥如图1所示，用鼠标激活散点图，把鼠标放在任一数据点上，单击鼠标右键，打开菜单，在菜单栏里选择“填加趋势线”选项，打开趋势线对话框如图2所示。
⑦打开“类型”页面，选择“线性”选项，Excel将显示一条拟合数据点的直线。
⑧打开“选项”页面如图3所示，在对话框下部选择“显示公式”和“显示R平方根”选项，单击“确定”按钮，便得到趋势回归图如图4所示。
y = 5x + 60R 2 = 0.9027501001502002500510********回归分析中的工作表函数▪截距函数INTERCEPT功能：利用已知的x 值与y 值计算回归直线在y 轴的截距。
语法结构：INTERCEPT(known_y's,known_x's)▪斜率函数SLOPE功能：返回根据known_y‘s 和known_x’s 中的数据点拟合的线性回归直线的斜率。
第六章回归分析误差理论与数据处理费业泰-PPT课件
第一节
回归分析的基本概念
二、回归分析思路
1、由数据确定变量之间的数学表达式－回归方程或经 验公式； 2、 对回归方程的可信度进行统计检验； 3、 因素分析。
合肥工业大学
误差理论与数据处理
第二节
一、回归方程的确定
19.1
76.30
一元线性回归
一元线性回归：确定两个变量之间的线性关系，即 直线拟合问题。
N
一元线性回归
x
t 1 N t 1
N
t
y
t
t
(x
t 1 N
x)
2
N
t 1
1 N xt ( xt ) 2 N t 1
2
(x
t 1 N
t
x )( yt y )
N
t 1
N 1 N x t y t ( x t )( y t ) N t 1 t 1
Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残 余误差，即其它因素对y变差的影响。
合肥工业大学 误差理论与数据处理
第二节
一元线性回归
（二）回归方程显著性检验— F检验法 基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越 大Q越小说明y与x的线性关系愈密切。 计算统计量F
U / U F Q / Q
例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：
25.0
77.80
30.1
79.75
36.0
80.80
40.0
82.35
46.5
83.90
50.0
85.10
散点图：
84 82 80 78 76 2025 30 35 40 45 50 误差理论与数据处理
MATLAB程序设计 第6章 回归分析和方差分析
参数估计和假设检验
（1）区间估计 ❖例：有一大批糖果，现从中随机地取16袋,称得质量(单位:g)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496
参数估计和假设检验
❖计算的MATLAB程序如下：
x0 = [506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496]; x0 = x0( : ); alpha = 0.05; mu = mean( x0); sig = std( x0 ); n =length(x0 ); t =[mu -sig/sqrt(n)*tinv(1-alpha /2,n-1),mu+ sig/sqrt(n)*tinv(1 -alpha/2,n-1)]; %以下命令ttest的返回值ci就直接给出了置信区间估计 [h,p,ci] =ttest(x0, mu,0.05)%通过假设检验也可求得置信区间
记
多元线性回归
（2）参数估计 理论模型中的参数 β0 ，β1，…，βm用最小二乘法估计，即应选取估计值
， j=0，1，…，m 时，误差平方和达到最小。
，使当
令
得
整理化为正规方程组
多元线性回归
正规方程组的矩阵形式为
，
当矩阵 X列满秩时，XT X 为可逆方阵，
将 代回原模型得到 y 的估计值，
而这组数据的拟合值为，
非线性回归
非线性回归是指因变量 y对回归系数 β1 ,…, βm (而不是自变量)是非线性的。 MATLAB统计工具箱中的命令 nlinfit、nlparci、nlpredci、nlintool，不仅可以给出 拟合的回归系数及其置信 区间，而且可以给出预测值及其置信区间等。
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第三节
两个变量都具有误差时线性回 归方程的确定
式中，0 ' b0， ' b b b
根据戴明推广的最小二乘原理，点( xt , yt ') 到回归直线的
垂直距离 d t ' 的平方和
b0、b 是最佳估计值。
回归直线的距离 d t ' 为
d '为最小条件下所求得的回归系数 y'
t 1 t
N
( xt , yt ') dt ' ˆ ˆ y b0 bx
由解析几何可知，点 ( xt , yt ') 到
dt '
式中，
yt ' b0 ' b ' xt 1 b '2
1 b 2
dt
dt yt b0 bxt
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x
第三节
两个变量都具有误差时线性回 归方程的确定
第六章 回归分析
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教学目标
本章主要阐述回归分析的基本概念，并 重点介绍一元线性回归和非线性回归的基本 方法，给出回归方程的方差分析和显著性检 验。从而使学生掌握回归分析方法的基本原 理，学会从实际测量中寻求两个变量和多个 变量之间的内在关系。
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合肥工业大学 误差理论与数据处理
第二节
设得到的回归方程
一元线性回归
ˆ y b0 bx
残差方程为
ˆ vi yt y yt b0 bxt , t 1,2,, N
根据最小二乘原理可求得回归系数b0和b。 对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令
y1 y2 Y y N
所求回归方程为
ˆ ˆ y b0 bx
式中，ˆ、y、b0、b 分别为 x、y、0、 的估计值。 x ˆ x、y 的误差在求回归方程式具有等价性，令 x2 / y 2 为使 y ' y，则回归方程可写成
ˆ ˆ y ' b0 ' b ' x '
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Q l yy bl xy S l yy
方差
－
F
F U /1 Q /( N 2)
显著性
F (1, N 2)
－
总计
N-1
－
－
三、重复试验情况
1、重复试验的意义 “回归方程显著”：只表明因素x的一次项对y的影响 显著；难以确定影响y的是否还有其它不可忽略的 因素？x和y是否线性? 不表明该方程拟合得很好。
yk 1 b0 bxk 1 y b bx 0 N N
将两组观测方程分别相加，得
k k yt kb0 b xt t 1 t 1 N N y ( N k )b0 b xt t 1 t t k 1 k
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第一节
回归分析的基本概念
二、回归分析思路
1、由数据确定变量之间的数学表达式－回归方程或经 验公式； 2、 对回归方程的可信度进行统计检验； 3、 因素分析。
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第二节
一元线性回归
一元线性回归：确定两个变量之间的线性关系，即 直线拟合问题。
一、回归方程的确定
1 N l yy ( yt y ) yt ( yt ) 2 N t 1 t 1 t 1
2 2
N
N
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第二节
一元线性回归
二、回归方程的方差分析及显著性检验
问题：这条回归直线是否符合y 与x之间的客 观规律？回归直线的预报精度如何？ 方差分析法
F0.05 (1, N 2) F F0.01 (1, N 2), 回归在0.05的水平上显著。
F0.10 (1, N 2) F F0.05 (1, N 2),回归在0.1的水平上显著。
F F0.10 (1, N 2), 回归不显著。
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第三节
两个变量都具有误差时线性回 归方程的确定
变量 x、y 的方差可用下式估计：
x
2
1 N 2 1 b 2
y2
x2
dt t 1
N 2
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第四节
一、求解思路
一元非线性回归
t 1
N
t 1 N
U 1
Q N 2
U—回归平方和，反映总变差中由于x和y的线性关 系而引起 y变化的部分。
Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残 余误差，即其它因素对y变差的影响。
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第二节
一元线性回归
（二）回归方程显著性检验— F检验法 基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小， U越大，Q越小，说明y与x的线性关 系愈密切。
d '为最小，即求解
t 1 t N
根据最小二乘原理，为使
N
得
( dt ') t 1 0 b0 N ( dt ') t 1 0 b l yy lxx (l yy lxx ) 2 4l yy 2 b 2l yy b0 y bx
总的离差平方和（即N个观测值之间的变差）
S ( yt y ) 2 l yy
t 1 N
S N 1
可以证明：
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第二节
其中
一元线性回归
S=U+Q
U ( yt y ) 2 bl xy
ˆ Q ( yt yt ) 2 l yy bl xy
第二节
一元线性回归
（三）残余方差与残余标准差 残余方差：排除了x 对y的线性影响后，衡量y 随机波动的特征量。
2
残余标准差：
Q N 2
Q N 2
含义： 越小，回归直线的精度越高。
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第二节
（四）方差分析表
来源
回归 残余
一元线性回归
自由度
1 N-2
平方和
U bl xy
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1 1 X 1
x1 x2 xN
v1 ˆ b0 V v2 b b v N
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第二节
一元线性回归
ˆ Y Xb V
则误差方程的矩阵形式为
U / U F Q / Q 对一元线性回归，应为 U /1 F Q /( N 2) 查F分布表，根据给定的显著性水平 和已知的 自由度1和N-2进行检验：
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计算统计量F
第二节
若
F F0.01 (1, N 2),
一元线性回归
回归在0.01的水平上高度显著。
N N N 2 t
l xy l xx
b0
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( x )( yt ) ( xt )( xt yt )
t 1
N
N xt2 ( xt ) 2
t 1 t 1
t 1 N
t 1 N
t 1
y bx
误差理论与数据处理
第二节
其中
1 x N 1 y N
N
一元线性回归
第二节
一元线性回归
从散点图可以看出：电阻与温度大致成线性关系。 设测量数据有如下结构形式：
yt 0 xt t , t 1,2,, N
式中，1 , 2 ,, N 分别表示其它随机因素对电阻值 y1 , y2 ,, y N 影响的总和。 思路：要求电阻y与x的关系，即根据测量数据要求出 0 和 的估计值。根据测量数据，可以得到 7个测量方程，结合前面所学，未知数有两个， 而方程个数大于未知数的个数，适合于用最小 二乘法求解。
2）方差分析
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误差理论与数据处理
第二节
来源 回归 失拟 平方和
U mblxy QL mlyy U
N m t 1 i 1
一元线性回归
方差
U / U QL / L
自由度
F
U / U QE / E Q / F1 L L QE / E F
显著性
F ( U , E ) F ( L , E )
对N个观测值与其算术平均值之差的平方 和进行分解； 从量值上区别对Ｎ个观测值的影响因素； 用F检验法对所求回归方程进行显著性检 验。
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第二节
一元线性回归
（一）回归方程的方差分析 1、引起变差的原因： A、自变量x取值的不同； B、其它因素（包括试验误差）的影响。 2、方差分析
2 误差 QE ( yti yt )
U 1 L N 2 E N (m 1)
S Nm 1
QE / E
总计
S U QE QL
－
－
－
3）方差检验
F
F1 F2
U / U QE / E
QL / L QE / E
:判断一元回归方程拟合效果 :判断失拟平方和对试验误差的影响
x
t 1 N t 1
N
t
y
t N
1 N l xx ( xt x) xt ( xt ) 2 N t 1 t 1 t 1