因式分解法解一元二次方程12
_一元二次方程的解法(直接开平方法配方法公式法因式分解)--
观察(1)(2)看所填的常 数与一次项系数之间
有什么关系?
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
1.会用直接开平方法解形如(x a)2 b(b 0)
的方程. 2.灵活运用因式分解法解一元二次方程. 3.了解转化、降次思想在解方程中的运用。
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练 地解一元二次方程。
a x 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a
解：（1） χ2=25
（2）移项，得χ2=900
直接开平方，得χ=±5 直接开平方，得χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0
（2） 12（20 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析：我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
χ1=－1,χ2=1.
利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。
1、利用因式分解法解下列方程： 1) χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25； 3）（2χ+3）2－25=0.
解：1）方程左边分解因式，得χ（χ－3）=0.
∴ χ=0,或χ－3=0，
解得 χ1=0，χ2=3. 2) 方程移项，得16χ2－25=0
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且
面积为16 m2 , 场地的长和宽应各是多少?
解:设场地的宽xm,长(x+6)m,根据矩形面积
为16 m2 ,列方程
X(x+6)=16
即x2 6x 16 0
怎样解?
想x2一想6x解 1方6 程 0x2 6x 16 0的流程怎样?
北师大版九年级上册数学同步培优第二章一元二次方程 用因式分解法求解一元二次方程
直接开平方法→因式分解法→公式法，如无特殊要 求一般不用配方法． 解：x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0. x－3＝0或x＋1＝0. ∴x1＝3，x2＝－1.
(2)【2021·常德】x2－x－2＝0；
解：x2－x－2＝0，(x－2)(x＋1)＝0， x－2＝0或x＋1＝0. ∴x1＝2，x2＝－1.
∴x＝
－b±
b2－4ac 2a
－2± 9 －2±3 ＝__2_×_1____＝____2____，
∴x1＝___12_____，x2＝__－__52____.
(4)用因式分解法解方程：x(x＋2)＝3x＋6. 解：移项，得__x_(x_＋__2_)_－__3_(_x_＋__2_)＝__0____， 因式分解，得__(_x_＋__2_)(_x_－__3_)_＝__0___， 于是得_x_＋__2_＝__0_或__x_－__3_＝__0___， 解得x1＝___－__2___，x2＝__3______.
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9．【2021·嘉兴】小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x －3)2的过程如下框： 小霞：
小敏： 移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
两边同除以(x－3)，得 提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0.
3＝x－3， 则x－3＝0或3－x－3＝0，
则x＝6. 解得x1＝3，x2＝0.
解：原方程化成__(_x_－__3_)2_＝__3__， 开平方，得__x_－__3_＝__±__3__． ∴x1＝_3_＋___3___，x2＝_3_－___3___.
(2)用配方法解方程：3x2－x－4＝0.
解：移项，得_3_x_2_－__x_＝__4___， 二次项系数化为1，得_x_2_－__13_x_＝__43_． 配方，得_x_2_－__13_x_＋__16__2_＝__43_＋__31_6__，即_x_－__16__2_＝__43_96__． 开平方，得__x_－__16_＝__±_76___．
一元二次方程的解法
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
1
1
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项系数与常数项
2
7
②交叉相乘，和相加为一次项系数
1
③检验确定，横写因式
1 7 6
试一试：
3x 4 x - 15 ( x 3)(3x 5)
方法叫做配方法.
拓展1
例、用配方法解下列方程：
(1)
(2)
x 6x 7 0
2
2 x 3x 1 0
2
请归纳配方法解一元 二次方程的步骤
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两 边都除以二次项系数)； 2、把常数项移到方程右边； 3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方， 使左边成为完全平方； 4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方 法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无解。
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边不为零的化为 零（化成一般式） 。 2o将方程左边分解成两个一次因式的乘 积。 3o至少 有一个一次因式为零，得到两 个一元一次方程。 一元一次方程的解就是原方程的 4o两个 解。
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+2x－8 =0 (x－2)(x+4)=0 左边分解成两个一次因式 的乘积 x－2=0或x+4=0 至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 两个一元一次方程的解就是原方程的 ∴ x1=2 ,x2=-4 解
• 补充： • 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)
1、方程x2- 4=0，这个方程可以化成x2 = 4，所以方程的根 x1=2，x2= - 2
一元二次方程的解法因式分解和因式分解
一元二次方程的解法因式分解和因式分解一元二次方程是代数学中非常重要的一个概念，它在解决实际问题中有广泛的应用。
在解一元二次方程的过程中，我们可以运用因式分解和求根公式两种方法。
本文将从这两个方面来详细介绍一元二次方程的解法。
我们来介绍因式分解法。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
我们可以通过因式分解将其转化为两个一次方程的乘积形式，进而求解方程。
以一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0为例，我们首先要找到两个数的和为5，乘积为6的特性。
根据这个特性，我们可以将方程分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
通过零乘积法则，我们得到x + 2 = 0或x + 3 = 0，进而解得x的值分别为-2和-3。
所以，原方程的解为x = -2或x = -3。
通过这个例子，我们可以看到因式分解法可以将原方程转化为两个一次方程，从而更容易求解。
但需要注意的是，并不是每个一元二次方程都可以通过因式分解法求解，因为它要求方程的系数能够被分解成两个数的乘积。
接下来，我们来介绍另一种解一元二次方程的方法——求根公式法。
求根公式是利用二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0中的系数a、b、c计算方程的解。
具体求根公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a。
同样以一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0为例，我们可以根据求根公式计算出方程的解。
将a、b、c代入公式中，得到x = (-5 ± √(5^2 - 4*1*6)) / 2*1，化简后可得x = -2或x = -3，与因式分解法得到的结果一致。
通过这个例子，我们可以看到求根公式法可以直接利用方程的系数计算出解，不需要进行因式分解的步骤。
但需要注意的是，在使用求根公式时，我们需要保证方程中的判别式b^2 - 4ac大于等于0，否则方程将无实数解。
因式分解法和求根公式法是解一元二次方程常用的两种方法。
一元二次方程的解法—因式分解
∴x+6=0，或x-4=0． ∴x1=-6， x2=4．
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式：
1 x2 4x 4 原式 x 22 2 a2 6a 9 原式 x 32 3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
注意： 1．用分解因式法的条件是：方程左边易于分解， 而右边等于零; 2．关键是熟练掌握因式分解的知识; 3．理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么 至少有一个因式等于零．”
我思 我进步
分解因式的方法有那些？
（1）提取公因式法： am+bm+cm=m（a+b+c）．
（2）公式法： 平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0来自 x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗？
我思 我进步
分解因式法
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫 做分解因式．
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解 因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次 方程的方法称为分解因式法．
解一元二次方程的方法：
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
例题欣赏 ☞
例3 解下列方程：
（1）x（x-2）+x-2=0；（2）5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：x(x 2) x 2 0， 解：移项，合并同类项，得：
x 2 x 1 0.
x 2 0，或x 1 0.
小颖，小明，小亮都设这个数为x，根据题意得 x2 3x.
因式分解法解一元二次方程例题
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x-9 = 0 或 1-x = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1 = 3， x2 = 1.
练习
2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场
例 解下列方程：
(1)x(x-2)+x-2=0；
(2)5x²-2x- =x²-2x+ .
解：(1)因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x-2)(x+1)=0.
于是得
x-2＝0或x+1=0，
4x²-1=0
因式分解，得 (2x＋1)(2x-1)=0.
即
2x＋1=0或2x-1=0，
解得
解得
x1=2，x2=-1.
则有 2x + 11 = 0 或 2x -11= 0，
x1=- ，x2= .
练习
1.解下列方程：
(5)3x(2x+1)=4x+2
(1)x²+x=0；
解：化为一般式为
(2)x²-2 x=0；
6x2 - x -2 = 0.
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( 3x-2 )(2x + 1) = 0.
作业
解下列方程：
(1)x²=3x
(1)x1 = 0， x2 = 3.
(2)5(x²-x)=3(x²+x)
人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 因式分解法
(4)x(x－4)＋4＝0； 解：x1＝x2＝2 (5)(2020·徐州)2x2－5x＋3＝0.
解：x1＝32 ，x2＝1
7．(巴中中考)解方程：3x(x－2)＝x－2. 解：x1＝2，x2＝13
8．如果关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为3，－5，那么二
次三项式x2＋ax＋b可分解为( A) A．(x＋5)(x－3) B．(x－5)(x＋3)
C．(x－5)(x－3) D．(x＋5)(x＋3)
9．若实数x，y满足(x2＋y2＋2)(x2＋y2－1)＝0，则x2＋y2的值是(A )
A．1
B．－2
C．2或－1 D．－2或1
10．已知x＝1是关于x的一元二次方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根， 则常数k的值为_0___．
解：x1＝0，x2＝
5 2
解：x1＝－5，x2＝10
(2)4x2－20x＋25＝0； 解：x1＝x2＝52
(4)(齐齐哈尔中考)2(x－3)＝3x(3－x). 解：x1＝3，x2＝－23
6．用适当的方法解下列方程： (1)2(x－1)2－4＝0；
(3)x2－7x＋14＝0； 解：方程没有实数根
解：x1＝1＋ 2 ，x2＝1－ 2
C．x2－4x－4＝0
D．4x2－1＝4x
3．(Байду номын сангаас020·镇江)一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为__x_1_＝__0_，__x_2＝__2___． 4．方程3y2＝y的解是_y_1_＝__0_，__y_2＝__13____．
5．用因式分解法解下列方程：
(1)2x2－ 5 x＝0；
(3)x2－25＝5(x＋5)；
一元二次方程配方法,公式法,因式分解法
锲而不舍，胆大心细让我们陪伴着你的成长！一元二次方程的根一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 例1下面哪些数是方程 2χ210χ • 12 =O 的根？—4、一 3、一 2、一 1、0、1、2、3、4分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可.复习a b 2 =a 2 2ab b 22 2 2(a - b) = a - 2ab b像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。
2⑵ X 12X T5= 0根据公式完成下面的练习:解: 解：由已知，得： X 32=22方程两边同时除以3,得X直接开平方，得：X - 2即 X 3 = 2 , X 3 = - 2所以，方程的两根X 1 = -3 ∙・、2 , X 2 = -3 - I 2 2所以,2配方，得X49 36Q 2方程的两根×1=-- 6 6=2 , X 2(1) X 28X = 9让我们陪伴着你的成长!2(4) 3X 8x - 3 = 02(5)2X -9X 8=02⑹ X 2 -8X锲而不舍，胆大心细 让我们陪伴着你的成长！锲而不舍，胆大心细 练一练 一、选择题1•方程x x -1 =2的两根为（）.方程ax X -b ］亠∣b -X = 0的根是（若X 2 —4x + P =（x +q 2 ,那么p 、q 的值分别是（、填空题2 21 •如果X -81 =O ,那么X -81 =0的两个根分别是2. 已知方程5x +mx-6=0的一个根是X =3 ,贝U m 的值为 _______________________ .3. __________________________________________________ 方程（x+1 丫 + J2x （x+1）=θ ,那么方程的根 X i = ; X 2= ____________________________________________________ .24 •若8x -16 =0 ,则X 的值是 __________________ .5•如果方程2（x-3f =72,那么，这个一元二次方程的两根是 _________________________ .6.如果a 、b 为实数，满足∙√'3a+4+b 2 T2b+36 = 0 ,那么ab 的值是 ________________________ .三、综合提高题如果关于X 的一元二次方程 ax 2 bx ∙c = 0a=0中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证:-1必是该方程的一个根.A . X 1 = 0, X 2 = 1B . X 1 =0,X 2C . X 1 = 1, X 2 = 2D . X 1 = -1, X 2 = 2A . x^b, X ? =aB . X 1 =b, X 2C . X 1 =a,X 2D . x 1 = a 2,x 2 =b 2已知X- -1是方程2axf a Cb b b ^0=().A . p=4,q=2B . p= 4,q ι-2C . P = -4, q = 2D . P = -4, q = -2A . 3B .- -3C . ± 3D .无实数根 26.用配方法解方程X2 一―X +1 =0正确的解法是（ ).3f 1Y8 1 2^2A .X — — I = -,X = 二— +BI 3丿 93 3x-1t-8 ,原方程无解 .3 9C .x1√5+ 2 - 3 -x2√5 - 2D . Ffr ι,χ^f,χ2xI= ______ ,x2= ________25 .方程3x ∙ 9 =0的根为().让我们陪伴着你的成长!一元二次方程公式法一元二次方程ax2∙ bx ∙ c = O a = O 的根由方程的系数 a 、b 、C 而定，因此：★ (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2 ∙ bx ∙ c = O a = O ,当b 2 - 4ac _ O 时，？将■ 2一 b 十b — 4aca 、b 、C 代入式子X就得到方程的根。
用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案【范本模板】
用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式时,例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为（x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3）（x －3）等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3）(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A＝0或B ＝0．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式,而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时,要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时,一般不用配方法．而在以后的学习中,会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：（1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t （2t －1)＝3（2t －1)； （3）(2x －1)（x －1）＝1． 解：（1)方程可变形为（y ＋1)（y ＋6）＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6． （2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0,(2t －1)(t －3）＝0,2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3．（3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x （2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0． ∴x 1＝0，x 2＝23． 说明：(1）在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2）应用因式分解法解形如（x －a )(x －b ）＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e ）（x －f ）＝0的形式,这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如（3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．（3）在方程(2）中，为什么方程两边不能同除以(2t －1），请同学们思考？ 例2：用适当方法解下列方程:（1)3(1－x )2＝27；（2）x 2－6x －19＝0；（3）3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ；（5）5x （x －3）－(x －3)（x ＋1)＝0；（6）4（3x ＋1)2＝25(x －2）2．剖析：方程(1）用直接开平方法，方程（2)用配方法,方程（3)用公式法，方程(4）化成一般式后用因式分解法,而方程（5）、(6）不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解:(1）（1－x ）2＝9，（x －1）2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3．（2）移项，得x 2－6x ＝19,配方，得x 2－6x ＋(－3）2＝19＋（－3）2，(x －3)2＝28，x －3＝±27， ∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27． （3)移项，得3x 2－4x －1＝0， ∵a ＝3,b ＝－4,c ＝－1，∴x ＝37232)1(34)4()4(2±=⨯-⨯⨯--±--， ∴x 1＝372+，x 2＝372-． (4）移项，得y 2－2y －15＝0,把方程左边因式分解，得(y －5）（y ＋3）＝0； ∴y －5＝0或y ＋3＝0，∴y 1＝5，y 2＝－3．（5)将方程左边因式分解，得(x －3）［5x －（x ＋1)］＝0，(x －3)(4x －1)＝0， ∴x －3＝0或4x －1＝0, ∴x 1＝3,x 2＝41． (6)移项,得4(3x ＋1）2－25（x －2）2＝0， ［2(3x ＋1)]2－［5(x －2)]2＝0，[2(3x ＋1)＋5（x －2)]·［2(3x ＋1)－5(x －2)］＝0， （11x －8）(x ＋12)＝0， ∴11x －8＝0或x ＋12＝0，∴x 1＝118，x 2＝－12． 说明：（1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．（2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解:(1）当a 2－b 2＝0,即｜a ｜＝｜b |时，方程为－4abx ＝0． 当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当|a ｜＝｜b ｜≠0时,x ＝0． (2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时,方程为一元二次方程． 分解因式，得[（a ＋b )x ＋(a －b ）］[（a －b ）x －(a ＋b ）］＝0, ∵a ＋b ≠0且a －b ≠0, ∴x 1＝b a a b +-，x 2＝ba ba -+． 说明：解字母系数的方程,要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例4:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252yxy x y xy x ++--的值． 剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x 与y 的比值．解:由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y ）（x ＋y ）＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时,135y 13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--． 当x ＝－y 时，21y 4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2． 说明:因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用．【同步达纲练习】 1．选择题（1)方程（x －16)（x ＋8）＝0的根是( ） A ．x 1＝－16，x 2＝8 B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16,x 2＝8D ．x 1＝－16,x 2＝－8（2）下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0,13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( ） A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1（3）方程5x (x ＋3）＝3(x ＋3)解为（ )A ．x 1＝53,x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53,x 2＝－3(4）方程(y －5)（y ＋2）＝1的根为（ ) A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对（5)方程（x －1）2－4(x ＋2)2＝0的根为( ) A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为（ )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7）已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是（ ） A ．5B ．5或11C ．6D ．11(8）方程x 2－3｜x －1｜＝1的不同解的个数是( ） A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1）方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2）方程（2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________． （3)方程(2y ＋1）2＋3（2y ＋1）＋2＝0的解为__________． （4）关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________． (5）方程x (x －5）＝5 －x 的解为__________． 3．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋12x ＝0; (2)4x 2－1＝0；（3）x 2＝7x ；（4）x 2－4x －21＝0； (5）（x －1）(x ＋3）＝12； （6）3x 2＋2x －1＝0;（7）10x2－x－3＝0；(8）（x－1)2－4(x－1）－21＝0．4．用适当方法解下列方程：（1）x2－4x＋3＝0; (2)（x－2）2＝256；(3）x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0；（5）(2t＋3)2＝3(2t＋3）；（6）(3－y)2＋y2＝9；（7）(1＋2）x2－(1－2)x＝0；（8)5x2－(52＋1）x＋10＝0；（9)2x2－8x＝7（精确到0．01);（10）（x＋5)2－2(x＋5）－8＝0．5．解关于x的方程:（1)x2－4ax＋3a2＝1－2a；（2）x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；(3)x2－2mx－8m2＝0；（4）x2＋(2m＋1）x＋m2＋m＝0．6．已知x 2＋3xy －4y 2＝0（y ≠0)，试求yx yx +-的值．7．已知(x 2＋y 2）（x 2－1＋y 2）－12＝0．求x 2＋y 2的值．8．请你用三种方法解方程：x （x ＋12)＝864．9．已知x 2＋3x ＋5的值为9,试求3x 2＋9x －2的值．10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t （单位:秒)的关系式h ＝－5(t －2)(t ＋1）．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程(x 2－1）2－5(x 2－1）＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1）2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2． 当y ＝4时，x 2－1＝4,x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2,x 2＝2，x 3＝－5,x 4＝5． 以上方法就叫换元法,达到了降次的目的,体现了转化的思想． （1)运用上述方法解方程:x 4－3x 2－4＝0．（2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参考答案【同步达纲练习】1．(1)B （2)C （3)D (4）D （5）B (6）A (7)A (8）D2．（1)t 1＝－7，t 2＝4（2)x 1＝－21,x 2＝－2（3）y 1＝－1,y 2＝－23(4）x 1＝－m ，x 2＝－n (5)x 1＝5,x 2＝－1 3．（1)x 1＝0，x 2＝－12；（2)x 1＝－21,x 2＝21；(3)x 1＝0，x 2＝7；(4)x 1＝7，x 2＝－3；（5)x 1＝－5，x 2＝3；（6)x 1＝－1，x 2＝31;(7）x 1＝53,x 2＝－21；（8）x 1＝8，x 2＝－2．4．（1）x 1＝1，x 2＝3;(2)x 1＝18,x 2＝－14；（3)x 1＝253+，x 2＝253-;(4)x 1＝3，x 2＝－1；(5）t 1＝0，t 2＝－23；(6）y 1＝0，y 2＝3；(7)x 1＝0，x 2＝22－3；(8)x 1＝55，x 2＝10；(9）x 1≈7.24，x 2＝－3。
一元二次方程因式分解法的四种方法
一元二次方程因式分解法的四种方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、一元二次方程的概述三、因式分解法概述四、四种因式分解方法1.提取公因式法2.完全平方公式法3.平方差公式法4.完全平方公式与平方差公式的结合法五、每种方法的例题解析六、总结正文（篇1）一、引言在解决一元二次方程时，因式分解法是一种常用的方法，它可以帮助我们快速找到方程的解。
本文将为大家介绍四种因式分解的方法，以帮助大家更好地理解和运用这一方法。
二、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。
在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
三、因式分解法概述因式分解法是将一元二次方程的左边化为两个一次因式的积的形式，从而得到方程的解。
通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，从而简化了解题过程。
四、四种因式分解方法1.提取公因式法提取公因式法是指在方程的两边同时提取公因式，以达到简化方程的目的。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 为零的情况。
2.完全平方公式法完全平方公式法是指利用完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的二次项系数 a 为 1 的情况。
3.平方差公式法平方差公式法是指利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 不等于零且二次项系数 a 不等于 1 的情况。
4.完全平方公式与平方差公式的结合法当方程的二次项系数 a 不为 1，一次项系数 b 不为 0 时，我们可以将完全平方公式和平方差公式结合使用，以达到因式分解的目的。
五、每种方法的例题解析这里我们分别对四种因式分解方法进行例题解析，以便大家更好地理解和掌握这些方法。
六、总结因式分解法是一种解决一元二次方程的有效方法，掌握四种因式分解方法有助于我们在解题过程中更加灵活地选择合适的方法。