2021届贵州省黔东南州高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2021年贵州省贵阳市、黔东南州部分重点高中高考数学联考试卷(理科)(附答案详解)
2021年贵州省贵阳市、黔东南州部分重点高中高考数学联考试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x −1<0}，B ={x|x 2−2x −8≥0}，则A ∩(∁R B)=( )A. {x|−2<x <1}B. {x|−4<x <1}C. {x|x ≤−2}D. {x|x ≤−4}2. 已知复数z =2+i 1+i ，则z −=( ) A. 32+12i B. 32−12i C. −32+12i D. −32−12i3. 棱长为2的正四面体的表面积是( )A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√34. 已知函数f(x)={2x −2,x >0x 2+1,x ≤0，若f(a)=2，则a =( ) A. 2B. 1C. 2或−1D. 1或−1 5. 已知(x 2−1x )4(1+ax)的展开式中常数项系数为4，则a =( )A. −4B. 1C. 12D. −16. 明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术--“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位.其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米(称一指)，木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米(称十二指).观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan2α=( )A. 1235B. 16C. 1237D. 137.在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失.2011～2020年上半年的票房走势如图所示，则下列说法正确的是()A. 自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加B. 自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年C. 2018年上半年的票房收入增速最大D. 2020年上半年的票房收入增速最小8.已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点，直线l过点F，且与x轴垂直，直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB 的面积为ab+3b2，则双曲线C的离心率是()A. 2B. √10C. 4D. 109.函数f(x)=sinx+cos2x的最大值是()A. 1B. 98C. 2D. 2√210.已知抛物线M：y=2px2(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为34的直线l与抛物线M交于A(点A在第二象限)，B两点，则|AF||AB|=()A. 15B. 14C. 4D. 511.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在棱DD1上，且2DE=ED1，F是线段BB1上一动点，现给出下列结论：①EF⊥AC；②存在一点F，使得AE//C1F；③三棱锥D1−AEF的体积与点F的位置无关．其中正确结论的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 312.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f′(x)，且对任意实数x都有f(x)+f′(x)>1，则不等式e x f(x)>e x−1的解集为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,1)D. (1,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(m,3)，b⃗ =(1,−2)，且(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，则m=______ ．14.设x，y满足约束条件{x+y−3≤02x−y+2≥0y≥0，则z=x+2y的最小值是______ ．15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA=1114，且△ABC的面积为5√3，则a的最小值为______ ．16.已知函数f(x)=|4x−3|+2，若函数g(x)=[f(x)]2−2mf(x)+m2−1有4个零点，则m的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在递增的等比数列{a n}中，a3=9，a2+a4=30．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=log3a2n，求数列{b n}的前n项和S n．18.随着社会经济的发展，人们生活水平的不断提高，越来越多的人选择投资“黄金”作为理财手段.下面随机抽取了100名把黄金作为理财产品的投资人，根据他们的年龄情况分为[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]五组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计把黄金作为理财产品的投资人年龄的中位数；(结果保留整数)(2)为了进一步了解该100名投资人投资黄金的具体额度情况，按照分层抽样的方法从年龄在[40,50)和[60,70)的投资人中随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取3人进行调查，X表示这3人中年龄在[40,50)的人数，求X的分布列及数学期望．19.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点E，BD=8，AC=6，将△ACD沿AC折到△PAC的位置使得PD=4．(1)证明：PB⊥AC．(2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(1,√32)在椭圆C上，且△PF1F2的面积为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上存在A，B两点关于直线x=my+1对称，求m的取值范围．21.已知函数f(x)=ax2+sinx−1(a∈R)．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若对于任意的实数x恒有f(x)≥sinx−cosx，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =2sinθ(θ为参数)，把曲线C 上各点的横、纵坐标均压缩为原来的√22，得到曲线C 1.曲线C 2的参数方程为{x =√2cosφy =sinφ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1与C 2的极坐标方程；(2)设点P 是曲线C 2上的一点，此时参数φ=π4，记曲线C 1与y 轴正半轴的交点为T ，求△OTP 的面积．23. 已知函数f(x)=|x −2|+2|x −a|．(1)当a =0时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若对任意的x ∈[2,4]，不等式f(x)≤x +6恒成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x|x<1}，B={x|x≤−2或x≥4}，∴∁R B={x|−2<x<4}，A∩(∁R B)={x|−2<x<1}．故选：A．可求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，补集和交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z=2+i1+i =(2+i)(1−i)(1+i)(1−i)=32−12i，∴z−=32+12i，故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：棱长为2的正四面体的表面积是四个边长为2的正三角形面积之和，所以表面积为S=4×12×2×√22−12=4√3．故选：D．根据棱长为2的正四面体的表面积是四个边长为2的正三角形面积之和，求出即可．本题考查了正四面体的表面积计算问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：当a>0时，f(a)=2a−2=2，解得a=2；当a≤0时，f(a)=a2+1=2，解得a=−1；综上，a=2或a=−1；故选：C．通过讨论a的符号，代入函数的解析式，得到关于a的方程，解出即可．本题考查了求函数的零点问题，考查方程思想，是一道基础题．5.【答案】D【解析】解：(x2−1x)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r⋅(−1)r⋅x8−3r，故它的展开式中含有x的幂指数分别为：8，5，2，−1，−4，故要得到(x2−1x)4(1+ax)的展开式中常数项，必须r=3，故(x2−1x)4(1+ax)的常数项−C43⋅a=−4a=4，解得a=−1，故选：D．由(x2−1x)4(1+ax)的常数项−C43⋅a，结合条件可得−C43⋅a=4，由此求得a的值．本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：由题意知六指为2+5×24−212−1=12厘米，所以tanα=1272=16，所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×161−136=1235．故选：A．由等差数列的通项公式求出六指高度，再计算tanα和tan2α的值．本题考查了三角函数求值问题，也考查了运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：对于选项A：由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，所以选项A错误，对于选项B：由图易知自2011年以来，增速为负的有3年，所以选项B错误，对于选项C：2017年上半年的票房收入增速最大，所以选项C错误，对于选项D：2020年上半年的票房收入增速最小，所以选项D正确．故选：D．由统计图逐个分析选项即可判断出正误．本题主要考查了简单的合情推理，考查了统计图的应用，是基础题．8.【答案】B【解析】解：设F(c,0)，直线l 过点F ，且与x 轴垂直，直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，则|AB|=2bc a ，△OAB 的面积为12×2bc a ×c =ab +3b 2，整理得c 2=a 2+3ab ．因为c 2=a 2+b 2，所以a 2+b 2=a 2+3ab ，所以b =3a ，则双曲线C 的离心率e =√(b a )2+1=√10． 故选：B ．设F(c,0)，求出|AB|=2bc a ，结合三角形底面积推出b =3a ，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 9.【答案】B【解析】解：f(x)=sinx +cos2x =−2sin 2x +sinx +1，设t =sinx ∈[−1,1]，则y =−2t 2+t +1=−2(t −14)2+98≤98．故选：B ．设t =sinx ∈[−1,1]，利用二倍角公式，配方法可求函数解析式为f(x)=−2(t −14)2+98，利用二次函数的性质即可求解其最大值．本题主要考查了二倍角公式的应用，考查了二次函数的性质，考查了配方法的应用，属于基础题． 10.【答案】A【解析】解：如图，直线CD 为抛物线M 的准线，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，AE ⊥BD ． 设|BE|=3x ，则|AB|=5x ，|BE|=|BD|−|AC|=|BF|−|AF|=3x ，|AB|=|AF|+|BF|=5x ，解得|AF|=x ，故|AF||AB|=x 5x =15．故选：A．画出图形，设出|BE|=3x，则|AB|=5x，利用相似比，求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11.【答案】D【解析】解：如图，连接BD.易证AC⊥平面BDEF，则AC⊥EF，故①正确．在AA1上取一点H，使得A1H=2AH，连接EC1，EH，HB1，易证四边形B1C1EH为平行四边形，则C1E//B1H，C1E=B1H.若BF=2B1F，易证四边形AHB1F为平行四边形，则AF//B1H，AF=B1H，从而AF//C1E，AF=C1E，故四边形AEC1F为平行四边形，于是AE//C1F，故②正确．设AB=a，三棱锥D1−AEF的体积与三棱锥F−AD1E的体积相等，则V D1−AEF=V F−AD1E =13×12×2a3×a×a=a39，即三棱锥D1−AEF的体积与正方体的棱长有关，与点F的位置无关，故③正确．故选：D．连接BD.推出AC⊥EF，判断①.在AA1上取一点H，使得A1H=2AH，连接EC1，EH，HB1，转化证明AE//C1F，判断②.设AB=a，通过三棱锥D1−AEF的体积与三棱锥F−AD1E 的体积相等，推出三棱锥D1−AEF的体积与正方体的棱长有关，与点F的位置无关，判断③．本题考查命题的真假的判断与应用，空间几何体的体积的求法，直线与平面垂直以及平面的基本性质的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力．12.【答案】B【解析】解：设g(x)=e x [f(x)−1]，则g′(x)=e x f(x)+e x f′(x)−e x ． 因为f(x)+f′(x)>1，所以e x f(x)+e x f′(x)>e x ， 即e x f(x)+e x f′(x)−e x >0，故g(x)在R 上单调递增． 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)=0， 所以g(0)=−1，不等式e x f(x)>e x −1， 即g(x)>g(0)，则x >0． 故选：B ．利用函数的导数判断函数的单调性，结合函数的奇偶性转化求解即可． 本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：根据题意，向量a ⃗ =(m,3)，b ⃗ =(1,−2)，则a ⃗ +b ⃗ =(m +1,1)． 因为(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，所以(a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =m +1−2=0，解得m =1， 故答案为：1．根据题意，求出向量a ⃗ +b ⃗ 的坐标，进而由数量积的计算公式可得(a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =m +1−2=0，解可得m 的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量数量积的坐标计算，属于基础题．14.【答案】−1【解析】解：由约束条件{x +y −3≤02x −y +2≥0y ≥0画出可行域如图，化z =x +2y 为y =−x 2+z2，由图可知，当直线y =−x2+z2经过点A(−1,0)时，z 取最小值，且最小值是−1．故答案为：−1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．15.【答案】2√3【解析】解：因为cosA =1114，所以sinA =5√314， 所以△ABC 的面积为12bcsinA =5√328bc =5√3，则bc =28．由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2−2bccosA ≥2bc −117bc =3bc 7=12，则a ≥2√3(当且仅当b =c =2√7时，等号成立)． 故答案为：2√3．由已知结合同角平方关系先求出sin A ，然后结合三角形的面积公式可求bc ，再由余弦定理及基本不等式可求．本题考查余弦定理在求解三角形中的应用，涉及同角三角函数的基本关系式的应用，属于中档题．16.【答案】(3,4)【解析】解：g(x)=[f(x)]2−2mf(x)+m 2−1=0， 即[f(x)−(m +1)][f(x)−(m −1)]=0，解得f(x)=m −1或f(x)=m +1． 由f(x)的图象， 可得{2<m −1<52<1+m <5，解得3<m <4，即m 的取值范围是(3,4)． 故答案为：(3,4)．通过g(x)=0，推出f(x)的范围，结合函数的图象，列出不等式组，转化求解m 的范围即可．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，则有{a 3=a 1q 2=3a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=30q >1，解可得a 1=1，q =3， 故a n =3n−1，(2)由(1)可得a 2n =32n−1，则b n =log 3a 2n =2n −1， 故S n =1+3+5+⋯+2n −1=(1+2n−1)n2=n 2．【解析】(1)根据题意，由等比数列的通项公式可得{a 3=a 1q 2=3a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=30q >1，解可得a 1与q ，即可得答案，(2)由对数的运算性质可得b n =log 3a 2n =2n −1，由等差数列的前n 项和公式计算可得答案．本题考查等差数列的前n 项和公式以及等比数列的通项公式，关键是求出等比数列的通项公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为(0.007+0.018)×10=0.25<0.5，(0.007+0.0018+0.030)×10=0.55>0.5， 所以年龄的中位数在[40,50)内． 设中位数为m ，则m−4010×0.3+0.25=0.5，解得m ≈48．(2)由题意可知，100名投资人中，年龄在[40,50)的有30名，年龄在[60,70)的有20名，则利用分层抽样抽取的5人中，年龄在[40,50)的有3名，在[60,70)的有2名， 则X 的可能取值为1，2，3， P(X =1)=C 31C 22C 53=310,P(X =2)=C 32C 21C 53=35,P(X =3)=C 33C 20C 53=110．X 的分布列为故E(X)=1×310+2×35+3×110=95．【解析】(1)判断年龄的中位数在[40,50)内．然后通过m−4010×0.3+0.25=0.5，求解m ．(2)X 的可能取值为1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】(1)证明：因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，则BE ⊥AC ，PE ⊥AC ．因为BE ⊂平面PBE ，PE ⊂平面PBE ，且BE ∩PE =E ，所以AC ⊥平面PBE ． 因为PB ⊂平面PBE ，所以PB ⊥AC ．(2)解：取DE 的中点O ，连接OP ，取CD 的中点F ，连接OF ． 因为BD =8，所以DE =PE =4．因为PD =4，所以PD =PE ，所以PO ⊥DE ．由(1)可知AC ⊥平面PBE ，所以平面PBD ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD ． 故以O 为坐标原点，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz.由题中数据可得A(−3,−2,0)，B(0,−6,0)，C(3,−2,0)，D(0,2，0)，P(0,0,2√3)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6,2√3)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2√3)．设平面PAB 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x 1−4y 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =6y 1+2√3z 1=0，令x 1=4，得m ⃗⃗⃗ =(4,3,−3√3)．设平面PCD 的法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{n⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x 2−4y 2=0n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y 2+2√3z 2=0，令x 2=4，得n ⃗ =(4,3,√3)． 设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=√3×√3√42+32+(−3√3)2×√42+32+(√3)2=4√9191．【解析】(1)证明AC ⊥BD ，推出BE ⊥AC ，PE ⊥AC.然后证明AC ⊥平面PBE.即可证明PB ⊥AC ．(2)取DE 的中点O ，连接OP ，取CD 的中点F ，连接OF.以O 为坐标原点，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz.求出平面PAB 的法向量，平面PCD 的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力转化思想以及计算能力．20.【答案】解：(1)由题意可得{ 1a 2+34b 2=1√3c 2=32a 2=b 2+c 2， 解得a =2，b =1， 故椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，因为直线x =my +1过定点N(1,0)，所以|AN|=|BN|，即(x 1−1)2+y 12=(x 2−1)2+y 22． 因为A ，B 在椭圆上，所以x 124+y 12=1,x 224+y 22=1，所以(x 1−1)2+1−x 124=(x 2−1)2+1−x 224，整理得x 12−x 224=(x 1−x 2)(x 1+x 2−2)，所以x 1+x 2=83，所以x 0=43，因为点M 在直线x =my +1上，所以x 0=my 0+1，则y 0=13m ，由{x 24+y 2=1x =43，得y =±√53，则−√53<13m <0或0<13m <√53，解得m <−√55或m >√55， 故m 的取值范围为(−∞,−√55)∪(√55,+∞)．【解析】(1)根据已知点P 的坐标以及焦点三角形的面积和a ，b ，c 的恒等式关系即可求解；(2)设出A ，B 的坐标以及AB 的中点M 的坐标，再由直线过定点N 可得|AN|=|BN|，然后把A ，B 的坐标代入椭圆方程，由此可求出M 的横坐标，代入直线即可求出M 的纵坐标，再把M 的横坐标代入椭圆方程，根据椭圆的范围即可求出m 的范围． 本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的运算推理能力，涉及到范围问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=x 2+sinx −1，则f′(x)=2x +cosx ．因为f(π2)=π24，f′(π2)=π，所以y =f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程为y −π24=π(x −π2)，即πx −y −π24=0，令x =0,y =−π24，令y =0,x =π4，则该切线与两坐标轴围成的三角形面积为12×π4×π24=π332．(2)设g(x)=f(x)−sinx +cosx =ax 2+cosx −1，则g′(x)=2ax −sinx ，g(x)是偶函数．设ℎ(x)=g′(x)=2ax −sinx ，则ℎ′(x)=2a −cosx ．①当a ≥12时，ℎ′(x)=2a −cosx ≥0，所以ℎ(x)是增函数，即g′(x)是增函数． 又g′(0)=0，所以g(x)在[0,+∞)上是增函数，因为g(0)=0，g(x)是偶函数，故g(x)≥0恒成立，即a ≥12符合题意．②当a ≤−12时，ℎ′(x)=2a −cosx ≤0，所以ℎ(x)是减函数，即g′(x)是减函数． 因为g′(0)=0，所以g(x)在(0,+∞)上是减函数，因为g(0)=0，所以当x >0时，g(x)<0，则a ≤−12不符合题意． ③当−12<a <12时，存在唯一x 0∈(0,π)，使得ℎ′(x 0)=0， 因为ℎ′(x)=2a −cosx 在[0,π]上是增函数，所以当x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)<0，即g′(x)在(0,x 0)上为减函数．因为g′(0)=0，所以当x ∈(0,x 0)时，g′(x)<0，即g(x)在(0,x 0)上为减函数， 因为g(0)=0，所以当x ∈(0,x 0)时，g(x)<0，则−12<a <12不符合题意． 综上，a 的取值范围是[12,+∞)．【解析】(1)当a =1时，f(x)=x 2+sinx −1，则f′(x)=2x +cosx. 求出切点坐标，切线的斜率，得到切线方程，然后求解三角形的面积即可．(2)设g(x)=f(x)−sinx +cosx =ax 2+cosx −1，则g′(x)=2ax −sinx ，g(x)是偶函数．设ℎ(x)=g′(x)=2ax −sinx ，则ℎ′(x)=2a −cosx.通过①当a ≥12时，②当a ≤−12时，③当−12<a <12时，判断函数的单调性，函数的奇偶性求解函数的最值，然后推出a 的取值范围．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的极值以及函数的单调性的判断，构造法的应用，考查分类讨论转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)由题意知曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =2sinθ(θ为参数)，则曲线C 1的普通方程为x 2+y 2=2，故曲线C 1的极坐标方程为ρ=√2． 由题意可得曲线C 2的普通方程为x 22+y 2=1，则曲线C 2的极坐标方程为ρ2(1+sin 2θ)=2． (2)由题设知P(1,√22),T(0,√2)，故△OTP 的面积为12|OT|⋅x P =12×√2×1=√22．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和普通方程之间进行转换； (2)利用极径和三角形的面积公式，求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径，三角形的面积公式，主要考查运算能力，属于基础题．23.【答案】解：已知函数f(x)=|x −2|+2|x −a|．(1)当a =0时，f(x)=|x −2|+2|x|，则不等式f(x)≥4等价于{x ≤0−3x +2≥4或{0<x ≤2x +2≥4或{x >23x −2≥4，解得x ≤−23或x =2或x >2．故不等式f(x)≥4的解集为(−∞,−23]∪[2,+∞)． (2)不等式f(x)≤x +6可化为|x −2|+2|x −a|≤x +6．因为不等式|x −2|+2|x −a|≤x +6在x ∈[2,4]上恒成立，所以x −2+2|x −a|≤x +6，即|x −a|≤4，即a −4≤x ≤a +4， 则{a −4≤2a +4≥4， 解得0≤a ≤6．故答案为：a 的取值范围为[0,6]．【解析】(1)当a =0时，化简函数f(x)，求不等式f(x)≥4的解集即等价于{x ≤0−3x +2≥4或{0<x ≤2x +2≥4或{x >23x −2≥4求解； (2)若对任意的x ∈[2,4]，不等式f(x)≤x +6恒成立，利用x ∈[2,4]上恒成立，所以x −2+2|x −a|≤x +6，去绝对值，可得含参数绝对值中a 的取值范围．本题考查含绝对值的函数，利用转化法求解函数解不等式，考查含参数不等式恒成立问题，去绝对值是关键，属于中档题．。
2021届贵州黔东南州高三高考第一次模拟考试数学(文)试题word版含解析
2021届贵州黔东南州高三高考第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题1．设全集{}1,2,3,4,5,6U =， {}1,2A =， {}2,3,4B =，则()U A C B ⋂= ( ) A. {}1,2,5,6 B. {}1 C. {}2 D. {}1,2,3,4 【答案】B【解析】由{}1,2,3,4,5,6U =， {}2,3,4B =得： {}1,5,6U C B =，则(){}1U A C B ⋂=，故选B.2．若复数则复数对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B 【解析】由，其对应的点的坐标为，故复数对应的点所在的象限为第二象限，故选B.3．某几何体三视图如右图所示，图中三个等腰直角三角形的直角边长都是， 该几何体的体积为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：该几何体是底面是等腰直角三角形的三棱锥，顶点在底面的射影是底面直角顶点，所以几何体的体积是．【考点】三视图4．设曲线2ln y ax x a =--在点(1,0)处的切线方程为()21y x =-，则a =（ ）A. 0B. 12C. 1D.32【答案】D【解析】2lny ax x a=--的导数为1'2y axx=-，可得在点（10，）处的切线斜率为21k a=-，由5．若实数,x y满足50{03x yx yx-+≥+≥≤,则22z x y=+的最大值是( )A. 43B.522C. 73D. 32【答案】C【解析】先根据约束条件50{03x yx yx-+≥+≥≤画出可行域，而22z x y=+OP，点P在蓝色区域里运动时，点P跑到点B时OP最大，由3{50xx y=-+=，可得38B（，），当在点38B（，）时，z最大，223873+=，故选C.点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题，解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义；先根据条件画出可行域，22z x y=+，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到z最大值即可.6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】该程序框图是循环结构,经第一次循环得到12i a ==，；经第二次循环得到2i =，5a =；经第三次循环得到3i =， 16a =；经第四次循环得到4i =， 65a =满足判断框的条件，执行是，输出4，故选B.7．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（ ）A. 6πB. 3πC. 23πD. 56π【答案】A【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB ，∵sinB ≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB=12，∵a ＞b ，∴∠A ＞∠B ，∴∠B=6π【考点】8．在区间[-5，5]内随机地取出一个数a ，使得221{|20}x x ax a ∈+->的概率为( )A.310 B. 320 C. 35 D. 12 【答案】A【解析】由题意{}22120x x ax a ∈+-，故有220a a +->，解得12a -<<，由几何概率模型的知识知，总的测度，区间[]55-，的长度为10，随机地取出一个数a ，使得{}22120x x ax a ∈+-这个事件的测度为3，故区间[]55-，内随机地取出一个数a ，使得{}22120x x ax a ∈+-的概率为310，故选A. 9．过点(－2,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5相交于M 、N 两点，且线段MN=2，则直线l 的斜率为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】设直线的斜率为，则直线的方程为，圆的圆心，半径，圆心到直线：的距离，∵过点的直线与圆相交于、两点，且线段，∴由勾股定理得，即，解得，故选C.10．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为()(),f x g x ，过点R 的直线交抛物线于()0g x ≠两点，过点()()()()f x g x f x g x <''作准线()()()0,1x f x a g x a a =>≠且的垂线，垂足为()()()()115112f f g g -+=-，当()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭点的坐标为()13,y 时， AEF 为正三角形，则此时AEF 的面积为（ ） 234333【答案】D【解析】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，∵△AEF 为正三角形， 32322p p+=-（），解得2p =，∴4AE =，∴144sin60432AEFS=⨯⨯⨯︒= D. 11．在平行四边形ABCD 中， 0AC CB ⋅=, 2,1AC BC ==,若将其沿AC 折成直二面角D AC B --,三棱锥D ABC -的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A. 16π B. 8π C. 4π D. 2π 【答案】C【解析】平行四边形ABCD 中，∵0AC CB ⋅=，∴AC CB ⊥，沿AC 折成直二面角D AC B --，∴平面DAC ⊥平面ACB ，三棱锥D ACB -的外接球的直径为DB ，∵2,1AC BC ==，∴22222224BD AD AC BC BC AC =++=+=∴外接球的半径为1，故表面积是4π，故选C.点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，平面向量数量积的运算，其中根据已知求出三棱锥D-ACB 的外接球的半径是解答的关键；由已知可得AC CB ⊥，沿AC 折成直二面角D AC B --，可得三棱锥A BCD -的外接球的直径为BD ，进而根据2,1AC BC ==，求出三棱锥D ACB -的外接球的半径，可得三棱锥D ACB -的外接球的表面积.12．若函数()ln f x x x a =-有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. 1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】函数的定义域为0+∞（，），由()ln 0f x x x a =-=，得ln x x a =，设()ln g x x x =，则()'ln 1g x x =+，由()'ln 10g x x =+>得1x e>，此时函数单调递增，由()'ln 10g x x =+<得10x e <<，此时函数单调递减，即当1x e =时，函数()g x 取得极小值1111ln g e e ee ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当0x →时()0g x →，∴要使函数()lnf x x x a =-有两个零点，即方程ln x x a =有两个不同的根，即函数()g x 和y a =有两个不同的交点，则10a e-<<，故选C.点睛：本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键；根据函数零点的定义， ()ln 0f x x x a =-=，得ln x x a =，设函数()ln g x x x =，利用导数研究函数的极值即可得到结论.二、填空题13．设向量a ,b 满足10a b +=， 6a b -=，则a b ⋅=__________。
贵州省黔东南州高考数学第一次模拟考试试题理(含解析)(2021年整理)
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黔东南州2016年高考模拟考试试卷数学(理科)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1. 已知集合，，则集合=（）A. B。
C. D。
【答案】D【解析】∵集合，，∴集合，故选D。
2. 若复数则的共轭复数对应的点所在的象限为( ）A。
第一象限 B. 第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限【答案】C【解析】由,其对应的点的坐标为，故复数对应的点所在的象限为第二象限,故选B。
3. 某几何体三视图如右图所示，图中三个等腰直角三角形的直角边长都是，该几何体的体积为 ( )A. B. C。
D.【答案】A【解析】试题分析：该几何体是底面是等腰直角三角形的三棱锥,顶点在底面的射影是底面直角顶点，所以几何体的体积是．考点：三视图4。
下列命题中正确的是( ）A。
是的充分必要条件B. 函数的零点是和C。
设随机变量服从正态分布，若，则D. 若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差会改变【答案】C【解析】A．由得，则是的充分不必要条件,故A错误;B．由得，则，即或，即函数的零点是和，故B错误；C．随机变量服从正态分布,则图象关于轴对称，若，则，即，故C正确;D．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不会改变，故D错误,故选C.5. 若是等差数列，公差成等比数列,则该等比数列的公比为（）A。
2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析
2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。
2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。
4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
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2021届贵州省黔东南州高三第一次模拟考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，故，故选C． 2. 对于复数，若，则（ ） A. 0 B. 2 C. -2 D. -1 【答案】C 【解析】由 得，解得，故选C． 3. 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误．．的是（ ）
A. 旅游总人数逐年增加 B. 2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和 C. 年份数与旅游总人数成正相关 D. 从2014年起旅游总人数增长加快 【答案】B 【解析】从图表中看出，旅游的总人数逐年增加时正确的；年份数与旅游总人数成正相关，是正确的；从2014年起旅游总人数增长加快是正确的；其中选项明显错误，故选B． 4. 在等差数列中，若，则（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】设的公差为，由 得，所以， 则，故选A． 5. 某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由正视图知，该正三棱锥的底边长为，高为，则侧视图是一个底边长为 ， 高为的三角形，其面积为，故选D． 6. 我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ） A. 3步 B. 6步 C. 4步 D. 8步 【答案】B 【解析】由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为， 设其内切圆半径为，则有 (等积法)， 解得，故其直径为 (步)，故选B． 7. 在展开式中存在常数项，则正整数可以是（ ） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 【答案】C 【解析】由通项， 依题意得，解得，故是的倍数，只有选项符合要求，故选C． 8. 执行如图的程序框图，当输入的时，输出的（ ）
A. 355 B. 354 C. 353 D. 352 【答案】B 【解析】 由题意，①，则，， 成立，，； ②成立，，； ③成立，，； ④不成立，所以输出，故选． 9. 给出函数 ，点，是其一条对称轴上距离为的两点，函数的图象关于点对称，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由是其一条对称轴上距离的零点，所以函数的最小正周期为， 则点到直线距离的最小值为，从而得到面积的最小值为，故选B． 10. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆的圆心为，半径为.点到的准线的距离与之积为25，则（ ） A. 40 B. 30 C. 25 D. 20 【答案】A 【解析】由抛物线的性质知，点到的准线的距离为， 依题意得，又点到的准线的距离为， ... ... ... ... ... ... 则有，故，故选A． 11. 已知、，如果函数的图象上存在点，使，则称是线段的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段的“和谐函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由于线段的垂直平分线方程为，则函数是线段的“和谐函数”则与直线有公共点，即函数有零点． 利用导函数的性质，经检验知， 只有函数的图像上存在点满足上上述条件，故选D． 点睛：本题主要考查了函数的新定理的理解与应用问题，其中解答中正确理解函数的新定义，把线段的“和谐函数”，转化为函数与直线有公共点，得到函数有零点是解答点关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题． 12. 在中，角、、所对的边分别为、、.、是线段上满足条件，的点，若，则当角为钝角时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】依题意知分别是线段上的两个三等分点， 则有， ， 则，而，
则，得， 由为钝角知，又 ， 则有 ，故选． 点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算和三角形中正、余弦定理的应用，对于平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 若实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】11 【解析】 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 把目标函数化为， 由，解得， 当目标函数经过点时，取得最大值，此时最大值为．
14. 已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间内，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】因为在上单调递增，因为函数的零点在区间内， 所以，即， 解得，所以实数的取值范围是． 15. 已知、分别是棱长为2的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段长度的最小值是________． 【答案】 【解析】依题意知，该正方体的内切球半径为，外接球的半径为， 且这两个球同心，则线段长度的最小值是． 点睛：本题考查了空间几何体的结构特征以及组合体的结构问题，着重考查了空间想象能力和转化与化归思想的应用，对于多面体的外接球问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
16. 已知点是双曲线：右支上一点，的左、右顶点分别为、，的右焦点为，记，，当，且时，双曲线的离心率__________． 【答案】 【解析】由已知得，，则 又，则有或（舍）． 点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程式解得关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 各项均为正数的等比数列的前项和为.已知，. （Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】试题分析：(Ⅰ)设的公比为，由，，解得，即可求解数列的通项公式； (Ⅱ)由(Ⅰ)得，可得，利用等比数列的求和公式，即可求解数列的前项和． 试题解析： (Ⅰ)设的公比为，由，得 ， 于是，解得（不符合题意，舍去） 故．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，则， 则…
． 18. 为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这8名导游中随机选择4人 参加比赛. （Ⅰ）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率. （Ⅱ）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1);(2)见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法，当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解事件发生的概率； (Ⅱ)由题意，得随机变量的所有可能取值为，求得随便取每个值的概率，列出分布列，利用公式求解随机变量的期望． 试题解析： (Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法； 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，则
，所以事件发生的概率为 . (Ⅱ)随机变量的所有可能取值为1，2，3，4． ，， ，． 所以,随机变量的分布列为 1[来源:Z.X.X.K] 2 3 4
则随机变量的数学期望（人）． 19. 如图所示，在三棱锥中，平面，，，、分别为线段、上的点，且，.
（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由平面，证得，再由为等腰直角三角形，得到，即可利用线面垂直的判定定理，证得平面． (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，又平面的法向量可取，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值． 试题解析： (Ⅰ)证明：由平面，平面，故 由，得为等腰直角三角形，故