2012.7.15新预科班数学试题(张桂清)
预科高等数学习题参考答案上学期
第一章函数与极限1.1数列的极限1 (1) 对任意的自然数n 有 7)1(5750++<+<n n ，所以有07)1(51751>++>+n n ，即01>>+n n x x ，因此数列}{n x 是单调递减数列．显然对于任意的自然数n 有 175>+n ，因而有17510<+=<n x n ．进而存在1=M ，对任意的自然数n 有，M x x n n =<=1，所以数列}{n x 是有界的．综上数列是单调递减有界数列，因此必有极限．观察出0lim =∞→nn x．nn n x x n n 1517510<<+==-．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n x n 10，故0lim =∞→n n x ． (2) 对任意的自然数n 有 5)1(2520++<+<n n ，所以有10+<<n n x x ，因此数列}{n x 是单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}25,1max{0⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=M n ，使得M n x n >+=5200，因此数列}{n x 是无界的．综上数列是单调递增无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在．(3) 从数列的前几项 ,5,0,3,0,154321==-===x x x x x 可以看出数列}{n x 既非单调递减数列也非单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}21,1max{0⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=M k ，使得M k k k x k >-=--=-122)12(sin)12(000120π，因此数列}{n x 是无界的．综上数列既不是单调数列也不是无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在． 2 分析 用“N -ε”语言证明数列极限A xnn =∞→lim 的步骤如下：(1) 化简A x n -(往往需将它适当放大后)得)(n f ；(2) 逆序分析求N ．0>∀ε，要使ε<)(n f ，(解不等式后知))(εg n >，于是取正整数[])(εg N ≥；(3) 按定义作结论 则当N n >时，就有ε<-A x n ．故A xnn =∞→lim ．证明 (1)nn n 110144<=-．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 1014，故014lim =∞→n n ．(2)nn n n 1241231213<+=-++．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-++n n n 1231213，故231213lim=++∞→n n n ． (3) nn C C C C nn n n n n n n n 1919991)91(11011999.022109<<++++=+==-个． 0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 11999.09个，故1999.09lim =∞→ 个n n ． 3证明222222656112136561121365611213lim limlim lim limlim lim limnn n n nn n n n n n n n n n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→++++=++++=++++6130060013=++++=．4 证明 当0=q 时，显然00lim lim==∞→∞→n n n q ；当0≠q 时，显然nnq q =-0．0>∀ε(10<<ε)，要使ε<nq ，由于10<<q ，因此只要εq n l o g >，于是取正整数[]εqN l o g ≥．则当N n >时，就有ε<=-nn q q 0，故0lim =∞→n n q ．综上所述，当1<q 时，0lim =∞→nn q．5证明 (N -ε定义证明)令01>-=n n n h ，则有n n h n )1(+=，即nn n n n n n n h nh h n n nh h n +++-++=+=-122)1(1)1( ， 进而22)1(n h n n n ->，即)1(12>-<n n h n ． 0>∀ε，要使ε<-<=-121n h n n n ，只要212ε<-n ，即1112>+>εn ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥112εN ．则当N n >时，就有ε<-<-121n n n，故1lim =∞→nn n ．(夹逼定理证明) 由于nn n n n n n n n n nn n 2211111111212-+=+++++≤⋅⋅⋅⋅⋅=≤--个个， 并且122lim=-+∞→n n n n ，因此1lim =∞→nn n ．5 证明 由数列}{n x 有界知，0>∃M ，使得数列}{n x 的每一项都有M x n ≤． 又0lim=∞→n n y ，则有0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，My y n n ε<=-0．进而当N n >时，εε=⋅<=-MM y x y x n n n n 0．因此0lim =∞→n n n y x ．1.2 函数的极限1证明 0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，ε<=-0c c ．因此c c x x =→lim 0．2证明)1sin (1sin 0sin ≤≤=-x xx x x x．0>∀ε，要使ε<x 1，只要ε1>x ，于是取正数ε1≥M ．则当M x >时，就有ε<≤-x x x 10sin ，故0sin lim =∞→x x x ． 343434343433412313412313423lim lim lim lim lim lim lim limx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+-+-=+-+-=+-+- 0001000=+-+-=．4解()()()()()()3212223213212321limlim44+++-+++-+=--+→→x x x x x x x x x x ()()()()()()34381242321223214242lim lim 44=+++=+++=++-+-=→→x x x x x x x x ．5解a x ax a x a x a x ax ax -+-=--→→2cos2sin2sin sin lim lima a a x a x a x ax cos cos 12cos 22sinlim =⋅=+⋅--=→． 另解a x aa a x a x a x ax ax --+-=--→→sin ])sin[(sin sin lim limax aa a x a a x ax ---+-=→sin sin )cos(cos )sin(lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅--=→a a x a x a a x a x a x sin 1)cos(cos )sin(lim⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅-⋅--⋅--=→a a x a x a a x a x a x sin 2sin 22sin cos )sin(lim a a a cos sin 01cos 1=⋅⋅-⋅=．6 因为0)1()(lim lim00=-=++→→x x x e x f ，00)(lim lim 00==--→→x x x f ，即0)()(lim lim00==-+→→x f x f x x ．因此函数)(x f 在0=x 点处极限存在，并且0)(lim0=→x f x ．7 ()()()()()()111111113323323131lim lim+++-+++-=--→→x x x x x x x x x x x x()()()()3211111133213321limlim=+++==++-+-=→→x x x x x x x x x x ． 8x x x x x x x x x )2sin()2sin()2sin()2sin(lim lim--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+→→ 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2lim lim=⋅=⋅=→→x xx x x x ．92122322233221231212314232lim lim lim-⋅⋅∞→∞→∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++e eex x x x x x x x x xxx xx ． 另解221)42(421142114232lim lim lim-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-∞→∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x xx xx x x x x221)42(42114211lim--+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x x221)42(42114211limlim -∞→-+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x 21211--=⋅=e e10aba b ax x bxx bxx ax ax ax ax -⋅+∞→∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++33113113114lim lim lima b a b a b ab ax x e e ax ax 333311131131lim=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+∞→．另解ab ab a b ab ax ab ax x bxbxx bxx e eeax ax ax ax ax ax 344441*********lim limlim==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅∞→∞→∞→．1.3 无穷小与无穷大1因为∞→x ，1sin ≤x ，01lim=∞→xx ，即∞→x 时x sin 是有界变量，x 1是无穷小量，因此01sin sin lim lim=⋅=∞→∞→x x x x x x ． 2 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解) 0>∀E ，要使E x x >+523，只要)5(223>>x E xx，即E x 2>，于是取}5,2max{E M =，当M x >时，E x x >+523．所以523+x x 是∞→x 时的无穷大量，即∞=+∞→523lim x x x ． 另解 (利用无穷大与无穷小的关系求解)显然当∞→x 时，0523≠+x x ，但是01515332lim lim=+=+∞→∞→x x x x x x ，进而根据无穷大与无穷小的关系有，∞=+=+∞→∞→3223515lim limx x x x x x ． 3 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解)0>∀E ，要使E x x x x >--=+-21232，只要)3(121≥>->--x E x x x ，即1+>E x ，于是取}3,1m a x {+=EM ，当M x >时，E x x >+-232．所以232+-x x 是∞→x 时的无穷大量，即()∞=+-∞→232lim x xx ．4414144tan sin lim lim lim220220===→→→x x x x x x x ． 52121cos 12220lim lim==-→→x xx xx x ． 6设00>δ，当000δ<-<x x 时，)(x g 有界，则存在00>M ，使得当000δ<-<x x 时，0)(M x g ≤．当0x x →时，)(x f 是无穷大量，则0>∀M ，存在01>δ，当100δ<-<x x 时，0)(M M x f +>．取},min{10δδδ=，则当δ<-<00x x 时， 00)()()()(M M M x g x f x g x f -+>-≥±，因此)()(x g x f ±是0x x →时的无穷大量．7x x y cos =在()+∞∞-,不是有界变量，即x x y cos =在()+∞∞-,是无界的．因为0>∀M ，存在ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1][0M x ，使得M M x x >⎪⎭⎫⎝⎛+=ππ1][cos 00．下面证明当+∞→x 时，x x y sin =不是无穷大量．1=∃E ，对于0>∀M ，存在ππ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10M x ，使得M x >0，并且E x x <=0sin 00．因此当+∞→x 时，x x y sin =不是无穷大量．1.4 函数的连续性与间断点1 (1) 函数)(x f 的定义域是),3()3,5()5,(+∞---∞ ．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的连续区间是),3(),3,5(),5,(+∞---∞．(2) 函数)(x f 的定义域是]6,4[．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的在区间)6,4(内连续．又())4(464464)(limlim44f x x x f x x =-+-=-+-=++→→，则)(x f 在4=x 处右连续；())6(664664)(limlim 66f x x x f x x =-+-=-+-=--→→，则)(x f 在6=x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]6,4[．(3) 函数)(x f 的定义域是]2,1[．显然函数)(x f 在区间)2,1(),1,0(),0,1(-内连续．又)1(11)(lim lim11f x f x x ===++-→-→，则)(x f 在1-=x 处右连续；1)(lim lim 00--→-→=x x x f)0(1f ==，)0(1sin )(limlim 00f x xx f x x ===++→→，即)0()()(l i m l i m 00f x f x f x x ==+-→-→，则)(x f 在0=x 处连续；)1(81sin sin )(limlim 11f xxx f x x =≠==--→-→，即)(x f 在1=x 处不左连续，则)(x f 在1=x 处不连续；)2(14)83()(lim lim22f x x f x x ==+=--→-→，则)(x f 在2=x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]2,1(),1,1[-．2 (1) 函数)(x f 的定义域是),7()7,2()2,(+∞-∞ ，进而函数的间断点只可能为2=x 和7=x ．对于2=x ，72)7)(2()2)(2(1494)(lim lim limlim222222-+=---+=+--=→→→→x x x x x x x x x x f x x x x 54-=，因此2=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点． 对于7=x ，∞=---+=+--=→→→)7)(2()2)(2(1494)(lim limlim72277x x x x x x x x f x x x ，因此2=x 是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，2=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，7=x 是第二类间断点中的无穷间断点．(2) 显然函数)(x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈∈ Z k Z k k k k k ππππππ)1(,22,，进而函数)(x f 的间断点只可能为πk x =和)(2Z k k x ∈+=ππ．对于0=x ，1tan )(limlim==→→xxx f x x ，因此0=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)0,(≠∈=k Z k k x π，∞==→→xxx f k x kx tan )(limlim ππ，因此当0≠k 时，πk x =是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于)(2Z k k x ∈+=ππ，0tan )(lim lim 22==+→+→xxx f k x k x ππππ ， 因此2ππ+=k x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．综上，0=x 和)(2Z k k x ∈+=ππ是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，)0,(≠∈=k Z k k x π是第二类间断点中的无穷间断点．(3) 显然函数)(x f 的定义域是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，进而函数)(x f 的间断点只可能为0=x 和1=x ．对于0=x ，∞=-=-→→111)(limlimx x x x e x f ， 因此0=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于1=x ，011)(111limlim=-=-→→++x xx x ex f ，111)(111limlim =-=-→→--x x x x ex f ，即函数)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，0=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点，1=x 是第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x ．21arctan )(lim lim 00π==++→→x x f x x ，21arctan )(lim lim0π-==--→→x x f x x ，即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x 和1=x ．对于0=x ，0223)(limlim=-=→→xx f x x ， 因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于1=x ，∞=-=→→xx f x x 223)(limlim11， 因此1=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，1=x 是第二类间断点中的无穷间断点．(6) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x ．22cos 1cos 1)(2000lim limlim=-=-=+++→→→x x x x x f x x x ， 22cos 1cos 1)(200lim limlim-=--=-=---→→→x x x x x f x x x ， 即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(7) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为1=x ．∞=--=→→xxx f x x 12)(limlim 11， 因此1=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点． 1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性1 (1) 当1<x 时，02lim =∞→nn x，则有x x x x x f nnn =⋅+-=∞→2211)(lim ；当1>x 时，∞=∞→nn x2lim ，并且11122lim-=+-∞→n n n x x ，则有x x xx x f nnn -=⋅+-=∞→2211)(lim ；当1±=x 时，012=-n x ，则有011)(22lim=⋅+-=∞→x x xx f nnn ．因此111,,0,)(<±=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f ． 显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，1)(lim lim11-==++-→-→x x f x x ，1)()(lim lim11=-=---→-→x x f x x ，即)(x f 在1-=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1-=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1=x ，1)()(lim lim11-=-=++→→x x f x x ，1)(lim lim11==--→→x x f x x ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(+∞---∞，1±=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(2) 显然1-=x 时，函数)(x f 无定义；当1<x 时，0lim =∞→nn x，则有01)(lim=+=∞→n n n x x x f ；当1>x 时，∞=∞→nn x lim ，则有11)(lim =+=∞→nn n x x x f ；当1=x 时，1=n x ，则有211)(lim=+=∞→nn n x x x f ．因此111,0,21,1)(<=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=x x x x f ． 显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，00)(lim lim11==++-→-→x x x f ，11)(lim lim11==---→-→x x x f ，即)(x f 在1-=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1-=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1=x ，11)(lim lim11==++→→x x x f ，00)(lim lim11==--→→x x x f ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(+∞---∞，1±=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(3)当10<≤x 时，0lim =∞→nn x ，则有111)(lim =+=∞→nn x x f ；当1>x 时，∞=∞→n n x lim，则有011)(li m =+=∞→nn xx f ；当1=x 时，1=n x ，则有2111)(lim=+=∞→nn x x f ．因此1011,1,21,0)(<≤=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=x x x x f ． 显然函数)(x f 在区间),1(),1,0(+∞内连续．对于0=x ，)0(11)(lim lim00f x f x x ===++→→，因此)(x f 在0=x 处右连续．对于1=x ，00)(lim lim11==++→→x x x f ，11)(lim lim11==--→→x x x f ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,0[+∞，1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 当0<x 时，∞==-∞→∞→xn xn nnlim lim ,0，则有1)(lim-=+-=--∞→xx xx n nn n n x f ；当0>x 时，0,lim lim =∞=-∞→∞→xn xn nn ，则有1)(lim =+-=--∞→xxxx n nn n n x f ；当0=x 时，1=±xn，则有0)(lim=+-=--∞→xx x x n n n n n x f ．因此000,1,0,1)(<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x f ． 显然函数)(x f 在区间),0(),0,(+∞-∞内连续．对于0=x ，11)(lim lim00==++→→x x x f ，1)1()(lim lim00-=-=--→→x x x f ，即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),0(),0,(+∞-∞，0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5) 显然1-=x 时，函数)(x f 无定义．又xe x n xn x f x xnn nxn +=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→1111111)(lim lim， 因此xe xf x+=1)(，并且定义域为),1()1,(+∞---∞ ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，∞=+=-→-→xe xf xx x 1)(lim lim11，因此1-=x 函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,(+∞---∞，1-=x 函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．2 (1) 因为函数)(x f 在区间),0(),0,(+∞-∞内是初等函数，因此函数)(x f 在()+∞∞-,连续，只需在分段点0=x 处连续，即)0()()(lim lim00f x f x f x x ==-+→→．又在0=x 处，b f =)0(，b b ax x f x x =+=++→→)()(lim lim 00，1)(lim lim00==--→→x x x e x f ，因此1=b ．由于2)1(=f ，即2=+b a ，因此1=a ．综上当1,1==b a 时，函数)(x f 在()+∞∞-,上连续．(2) 因为函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内是初等函数，因此函数)(x f 在()+∞∞-,连续，只需在分段点1±=x 处连续，即)1()()(lim lim11-==-+-→-→f x f x f x x ，)1()()(lim lim 11f x f x f x x ==-+→→．在1-=x 处，1)1(-=-f ，b a bx ax x f x x -=+=++-→-→)()(211lim lim ，11)(limlim11-==---→-→xx f x x ， 因此1-=-b a ．在1=x 处，1)1(=f ，11)(limlim 11==++→→xx f x x ， b a bx ax x f x x +=+=--→→)()(211lim lim，因此1=+b a ．于是有⎩⎨⎧=+-=-11b a b a ，解得1,0==b a ．综上当1,0==b a 时，函数)(x f 在()+∞∞-,上连续． 3 )(x f 在1=x 处连续，则)1()(lim1f x f x =→，即4313)(lim1=+-+++→x x b x b a x ．由于()0313lim 1=+-+→x x x ，则有[]0)(lim 1=++→b x b a x ，即02=+b a ，进而b a 2-=．从而313313)(limlim11+-++-=+-+++→→x x b bx x x b x b a x x()()()313313313)1(lim1++++-++++--=→x x x x x x x b x())1(2313)1(lim1-+++--=→x x x x b x()b x x b x 22313lim1-=+++-=→．因此42=-b ，即2-=b ，于是4=a ．综上当2,4-==b a 时，)(x f 在1=x 处连续．1.6 闭区间上连续函数的性质1若)0()(f a f =，则0=δ或a =δ．因此下面假设)0()(f a f ≠． 令)()()(a x f x f x F +-=．显然)(x F 在],0[a 上连续，并且)2()()(),()0()0(a f a f a F a f f F -=-=．由于)2()0(a f f =，所以有0)]0()()][()0([)()0(<--=⋅f a f a f f a F F ，从而根据根的存在定理知，),0(a ∈∃δ，使得0)(=δF ，即)()(a f f +=δδ． 综上存在一点],0[a ∈δ，使得)()(a f f +=δδ．2由于b x f a <<)(，则b b f a f a <<)(),(．令x x f x F -=)()(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且0)()(>-=a a f a F ，0)()(<-=b b f b F ，从而根据根的存在定理知，],[),(b a b a ⊂∈∃δ，使得0)(=δF ，即δδ=)(f ．3令bx b x a ax B x f A x F =<<=⎪⎩⎪⎨⎧=,),(,)(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且A a F =)(，B b F =)(．又0<AB ，因此0)()(<b F a F 从而根据根的存在定理知，),(b a ∈δ，使得0)(=δF ，即0)(=δf ．4方程可以变为),,(0))(())(())((321213312321λλλλλλλλλ≠=--+--+--x x x a x x a x x a ．令))(())(())(()(213312321λλλλλλ--+--+--=x x a x x a x x a x F ．显然)(x F 在],[],,[3221λλλλ上连续，并且))(()(322111λλλλλ--=a F ， ))(()(321222λλλλλ--=a F ， ))(()(131333λλλλλ--=a F ．由于321λλλ<<，0,,321>a a a ，所以0)(1>λF ，0)(2<λF ，0)(3>λF ．进而根据根的存在定理知，),(211λλξ∈∃，),(322λλξ∈∃，使得0)(1=ξF ，0)(2=ξF ，即),(211λλξ∈∃，),(322λλξ∈∃，使得0313212111=-+-+-λξλξλξa a a ，0323222121=-+-+-λξλξλξa a a ．5 (反证法)假设存在),(βαδ∈∃，使得0)(<δf ． 若δγ< (或δγ>)， 则 函数)(x f 在],[δγ (或],[γδ)内连续，并且0)(>γf ，0)(<δf ，即0)()(<δγf f ．因此存在),(δγξ∈ (或),(γδξ∈)， 即),(βαξ∈，使得0)(=ξf ．这与α=x 和β=x 是0)(=x f 相邻的两个根相矛盾．故),(βα∈∀x 都有0)(>x f ．6若1)sin(=+b a ，则显然方程b x a x +=sin 有一个根是b a x +=．下面假设1)sin(≠+b a ．令b x a x x f --=sin )(．显然)(x f 在],0[b a +上连续，并且0)0(<-=b f ，0)]sin(1[)sin()(>+-=-+-+=+b a a b b a a b a b a f (因为0,0>>b a )， 进而0)()0(<+b a f f ．因此存在),0(b a +∈ξ，使得0)(=ξf ，即b x a x +=sin 在区间),0(b a +上至少有一个根．综上方程b x a x +=sin 至少有一正根，并且它不超过b a +．7 令)}(,),(),(min{21n x f x f x f m =，)}(,),(),(max{21n x f x f x f M =，则n x x x ,,,21 中至少有一个i x 使得m x f i =)(，至少有一个j x 使得M x f j =)(，显然有M x f nxf x f m j nk ki =≤≤=∑=)()()(1．若这个不等式中有一等号成立，则对应的i x 或j x 即为所求的点ξ．若不等式都是严格不等式时，又)(x f 在],[j i x x 或],[i j x x 上连续，由介值定理知，至少存在一点ξ介于i x 与j x 之间，使得n x f x f x f f n )()()()(21+++=ξ．综上存在],[b a ∈ξ，使得nx f x f x f f n )()()()(21+++=ξ．习 题 11 0>∀ε，要使ε<=--+-n n n n 11)1(1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ，当N n >时，ε<--+-1)1(1n n n ，因此1)1(1lim=-+-∞→n n n n ． 2由于当0→x 时，x e x~1-，所以x ex3~13-．进而331lim lim30==-→→x xx e x x x ． 3因为n n n n 333213⋅<++<，则有n nnn 33)321(31<++<，并且nn 33lim ∞→3=，因此3)321(1lim =++∞→nnnn ．4 令x t arcsin =，则t x sin =，并且00→⇔→t x ．因此1sin arcsin lim lim00==→→ttx x t x ． 53sin 2tan 2limxx x x +-+→ ()()()xx x xx xx x sin 2tan 2sin 2tan 2sin 2tan 23lim+++++++-+=→()xx x x x x sin 2tan 2sin tan 3lim+++-=→()xx x x x x sin 2tan 2)cos 1(tan 3lim+++-=→()x x x x x x sin 2tan 22132lim+++⋅=→()x x x sin 2tan 221lim+++=→ 82241==． 6任取),(0b a x ∈，对0>∀ε，存在0>=kεδ，当δ<-<00x x 时，εδ=⋅<-≤-k x x k x f x f 00)()(．因此)()(0limx f x f x x =→，即)(x f 在0x x =处连续．由0x 的任意性知，)(x f 在),(b a 上连续．当δ<-<a x 0时,εδ=⋅<-≤-k a x k a f x f )()(．因此)()(lima f x f ax =+→， 即)(x f 在a x =处右连续．当0<-<-b x δ时，εδ=⋅<-≤-k b x k b f x f )()(．因此)()(limb f x f bx =-→，即)(x f 在b x =处左连续．综上)(x f 在],[b a 上连续，又由于0)()(<b f a f ，所以根据根的存在定理知，存在),(b a ∈ξ使得0)(=ξf ．7 函数)(x f 的定义域为),2()2,1()12,12(0,+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-<∈ k Z k k k ．显然)(x f 的间断点只可能是)0,(12<∈+=k Z k k x ，0=x 和2=x ．由于)(x f 在区间)0,)(12,12(<∈+-k Z k k k ，)0,1(-，)2,0(，),2(+∞内是初等函数，因此)(x f 在这些区间上连续．对于2=x ，∞=-→4222limx x ，则有42sin )(222lim lim -=→→x x f x x 不存在，但是在1-到1之间来回振荡，因此2=x 是)(x f 的第二类间断点中的振荡间断点．对于0=x ，21sin 42sin)(2lim lim-=-=++→→x x f x x ， 02cos)1()(limlim00=+=--→→xx x x f x x π，即左右极限存在但不相等, 因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1-=x ,)1(2cos )1(2cos )1()(limlimlim111--+=→+=-→-→=t t t xx x x f t x t x x ππππππ2)1(22)1(2sin )1(lim lim lim000-=-=-=-=→→→t t t t t t t t t t ， 因此1-=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)1,(12-<∈+=k Z k k x ，∞=+=+→+→xx x x f k x k x 2cos )1()(limlim1212π，因此12+=k x )1,(-<∈k Z k 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上所述，函数)(x f 在区间)0,)(12,12(<∈+-k Z k k k ，)0,1(-，)2,0(，),2(+∞内连续；0=x 是第一类间断点中的跳跃间断点；1-=x 是第一类间断点中的可去间断点；2=x 是第二类间断点中的振荡间断点；)1,(12-<∈+=k Z k k x 是第二类间断点中的无穷间断点．8先证命题：若)(x F 在],[b a 上连续，则)(x F 在],[b a 上也连续． 由于)(x F 在],[b a 上连续，则任取],[0b a x ∈，)()(0lim 0x F x F x x =→ (a x=0时取右极限，b x =0时取左极限)．若)0(0)(0<>x F ，则根据极限的局部保号性知，在0x 的某个邻域内)0(0)(<>x F ，进而)()()()(00lim lim00x F x F x F x F x x x x ===→→()()()()(00lim limx F x F x F x F x x x x =-=-=→→)，注意a x =0时取右极限，b x =0时取左极限．因此)(x F 在],[b a 上也连续．由于)(),(x g x f 在],[b a 上连续，则)()(x g x f -在],[b a 上连续，进而)()(x g x f -在],[b a 上连续．又2)()()()()}(),(max{x g x f x g x f x g x f -++=，因此)}(),(max{x g x f 在],[b a 上连续．9由于n 为非零有理数，则可令qp n =，其中q p ,为非零整数，并且0>p ．进而α=nx 与方程0>==q p x αβ同解．(存在性)令p x x f =)(．则)(x f 在),0[+∞内连续，并且当+∞→x 时，+∞→)(x f ．因此存在),0(+∞∈a 使得β>)(a f ．显然)(x f 在],0[a 上连续，并且)()0(0a f f <<=β，根据介值定理知，存在),0(a ∈ξ，使得βξ=)(f ， 即ξ是方程β=p x 的一个正根．(唯一性)假设21,ξξ是方程β=p x 的两个正根. 进而有pp21ξξ=，即))((012221221112121----++++-=-=p p p p p p ξξξξξξξξξξ ，由于0,21>ξξ，则01222122111>++++----p p p p ξξξξξξ ．因此21ξξ=，即方程β=p x 只有一个正根．10狄利克雷(Dirichlet)函数 是无理数是有理数，，x x x D ⎩⎨⎧=01)(．显然狄利克雷函数在),(+∞-∞上每一点都有定义, 但是在每一点都不连续．第二章 一元函数的导数和微分2.1 导数的概念1 分析 (1) A A x f x f A x f ==⇔=+)(')(')('00_0； (2)2 函数在0x x =处可导，则函数在0x x =处必连续； (3)0 4ln )(=x f 是常值函数，因此0)('=x f ； (4)0 驻点：函数的导数值为0的点． 2 (1)[]x x f x x f x x f x x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆2)()2(2)()2(000000lim lim)('22)()2(20000limx f xx f x x f x =∆-∆+=→∆．(2)[]x x f x x f x x f x x f x x ∆--∆--=∆-∆-→∆→∆)()()()(000000lim lim)(')()(0000limx f xx f x x f x -=∆--∆--=→∆．(3)[][]hx f h x f x f h x f h h x f h x f h h )()()()(212)()(00000000limlim----+=--+→→ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=→h x f h x f h x f h x f h )()()()(2100000lim )(')()()()(210000000lim lim x f h x f h x f h x f h x f h h =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=→→． (4)[]0000)()()()(limlimx x x f x f x x x f x f x x x x ---=--→→ )(')()(000limx f x x x f x f x x -=---=→．3 (1) 22)12(]1)(2['lim lim lim000=∆∆=∆---∆+=∆∆=→∆→∆→∆xx x x x x x y y x x x ；(2) xx x x x x x x x y y x x x ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆2sin2sin 2cos )cos('lim lim lim00x x xx x x sin 22sin2sin lim-=∆∆⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=→∆； (3) x x x x x x x x y y x x ∆--∆+-∆+=∆∆=→∆→∆)()]()[('220lim lim[]12)12()()12(lim lim2-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x x x x x x x x x ；(4) 1)1()](1['lim lim lim000-=∆∆-=∆--∆+-=∆∆=→∆→∆→∆xxx x x x x y y x x x ． 4因为0)0(=f ，01sin)(lim lim==→→x x x f x x ，即)0()(l i m 0f x f x =→，因此)(x f 在0=x 处连续．因为x x x x x f x f x x x 1sin 1sin0)0()(lim lim lim→→→==--不存在，因此)(x f 在0=x 处不可导．5 (1) 因为x y cos '=，故曲线在点)0,0(处的切线斜率为10cos '====x y k ，进而曲线x y sin =在点)0,0(处的切线方程是x y =，法线方程是x y -=．(2) 因为x y sin '-=，故曲线在点)1,0(处的切线斜率为00sin '=-===x y k ，进而曲线x y cos =在点)1,0(处的切线方程是1=y ，法线方程是0=x ．(3) 因为xy 1'=，故曲线在点)0,1(处的切线斜率为1'1===x y k ，进而曲线x y ln =在点)0,1(处的切线方程是1-=x y ，法线方程是1+-=x y ．6因为速度是t t t t S t V 22)'211()(')(2+=++==，加速度是)(')(t V t a =2)'22(=+=t ，因此速度2)2(,6)2(==a V ，即2=t 秒时，运动物体的速度是s m /6，加速度是2/2s m ．2.2 求导公式和求导法则1 (1)1620'3+-=x x y ．(2)'221'21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=--x x m x x m y32232121111xx x m m x x mx m -+-=-+-=---． (3)x x y 55ln 5'4⋅+=． (4)01111'22=---=xxy ．(5)52)2()3()'3)(2()3()'2('+=+++=+++++=x x x x x x x y ．(6)xx x x x x x x x x x x y 1ln 21)1(ln 2)')(ln 1(ln )'1('2222++=⋅++=+++=．(7)x x x x x x e e e e e y 3)13(ln )3ln()3(]')3[()'3('+====． (8))'(sin sin )'()'(cos '22x x x x x y ++=x x x x x x x x x cos sin )12(cos sin 2sin 22+-=++-=．(9)x x x x y 22csc sec tan '++= ．(10))'(ln sin ln )'(sin ln sin ''x x x x x x x x x y ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=x x x x x x xxx x x x x x sin ln cos ln sin sin ln cos ln sin +⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅+⋅=． (11)222ln 1ln 1'ln )'(ln 'xxx xx x x x x x x y -=-⋅=⋅-⋅= ． (12)()2cos 1)'cos 1(sin )cos 1()'(sin 'x x x x x y ++⋅-+=()()xx xx xx x x cos 11cos 1cos 1cos 1sin sin )cos 1(cos 22+=++=+⋅++⋅=．另解2sec 21'2tan 'cos 1sin '2x x x x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=．(13)22''sin cos sin cos sin sin sin 'x xx x x x x x x x x x y -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= ． (14)422)')(ln ()'ln ('xx x x x x x y +-⋅+= 342ln 21)ln (211xx x x x x x x x --=+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=． (15)2)ln 1()'ln 1)(ln 1()ln 1()'ln 1('x x x x x y --+--+=22)ln 1(2)ln 1(ln 1ln 1x x x x xx x -=-++-=．另解222)ln 1(2)ln 1(12)ln 1()'ln 1(2'1ln 12'x x x x x x x y -=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． (16)2222)1()'1(ln )1()'ln ('x x x x x x x y ++⋅-+= 22222222)1(ln )1(1)1(ln 2)1)(1(ln x xx x x x x x x +-++=+-++=． 2 (1)2222222)'(1'x a x x a x a y --=-⋅-=．(2))53cos(3)'53()53cos('-=-⋅-=x x x y ． (3))1sin(2)1()1sin('222+-=+⋅+-=x x x x y ． (4)xx x x y ln 1)'(ln ln 1'=⋅=． (5)x xe x ey 333)'3('=⋅=．(6)222)'('2x x xe x e y ---=-⋅=．(7)22'24121212211'xx x x y -=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=．(8)()422212)'(11'x xx x y +=⋅+=．(9)222'21111111111'x x x x x y +=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=． (10)222'211)1(21111111111'x x x x x x x x y +=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=． (11)()()x e x e x e x e y x x x x 3sin 33cos 3cos 3cos '''------=⋅+⋅=．(12)()'2'21sin 1sin '⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=x x x xyx x x x xx x x 1cos 1sin 21cos 11sin222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=． (13)())'(arccos 1arccos 1'2'2x x x x y ⋅-+⋅-=11arccos 111arccos 12222---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-+⋅--=x xx x x x x x． (14)''11112111111111'⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅⋅+-⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-=x x xx x x x x x x y ()()1112112122-=+-⋅+-=x x xx ．另解()11111121)1ln()1ln(21'2'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=x x x x x y ． (15))'(sin )sin 2(22ln )'(sin 22ln '22sin 2sinx x x y x x⋅⋅⋅=⋅⋅=x x x x x 2sin 22ln cos )sin 2(22ln 22sin sin ⋅=⋅⋅⋅=．(16)x xx x x x x y 4csc 42cos 2sin 2)]2(sec 2[2tan 1)'2(tan 2tan 1'2==⋅=⋅=．(17)x x x x x y 6sin 3)3cos 3()3sin(2)'3(sin 3sin 2'=⋅=⋅=． (18)())'12(sin sin '21212'12122222++⋅⋅-=⋅-=++++++++x x e ee ey x xx x x xx x121212122222sin )1(2)22(sin +++++++++-=+⋅⋅-=x xx xx xx xe e x x e e ．3 (1) 由于()22222)21(2)('22'x x x x xe x e x ee x ex f ------=-=⋅+=，因此1)21()0('022=-==-x xe xf ．(2) 由于()xx x x xx x f 42ln 214)44(ln 4)('2⋅-=⋅⋅-=，因此142ln 21)1('=⋅-=x x x f42ln 21-=． (3) 由于2tan42sec 2sec 212tan 212tan 2tan 21)('22'xxx x x x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=，因此 2122tan42sec 2'2===⎪⎭⎫ ⎝⎛ππx x xf ． (4) 由于()'22221)('ax x ax x x f -+⋅-+=222222111ax a x xa x x -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-+=，因此aax a x a f 3321)2('22==-=． 4 (1)[])('3)'()(')(3233'3x f x x x f x f dxdy=⋅==． (2) [])'(cos )(cos ')'(sin )(sin ')(cos )(sin 2222'22x x f x x f x f x f dxdy⋅+⋅=+= )sin cos 2()(cos ')cos sin 2()(sin '22x x x f x x x f -⋅+⋅=)](cos ')(sin '[2sin 22x f x f x -⋅=．(3)[])(')()'()(')(1'e x e x e x e x e x x e f ex e x e x e f x e f dxdy+⋅+=+⋅+=+=-． (4) [][][]')()('')()()()(x f x x f x x f x e e f e e f e e f dxdy+== )()()()(')('x f x x f x x e e f x f e e f e +=．。
广西预科数学考试题及答案
广西预科数学考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^4 \)D. \( f(x) = x^5 \)答案：B2. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 以下哪个不等式是正确的？A. \( 2^3 < 3^2 \)B. \( 3^2 > 2^3 \)C. \( 2^3 = 3^2 \)D. \( 3^2 < 2^3 \)答案：B4. 已知 \( a > 0 \) 且 \( b > 0 \)，下列哪个不等式一定成立？A. \( a + b \geq 2\sqrt{ab} \)B. \( a + b \leq 2\sqrt{ab} \)C. \( a + b = 2\sqrt{ab} \)D. \( a + b \neq 2\sqrt{ab} \)答案：A5. 计算定积分 \(\int_0^1 x^2 dx\) 的值是多少？A. 0B. 1/3C. 1/2D. 2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数 \( f(x) = 2x - 3 \) 的反函数是 \_\_\_\_\_\_\_\_。
答案：\( f^{-1}(x) = \frac{x+3}{2} \)7. 圆的方程 \( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \) 的圆心坐标是\_\_\_\_\_\_\_\_。
答案：(2, 3)8. 已知 \( \tan \theta = 3 \)，求 \( \sin \theta \) 的值。
答案：\( \frac{3\sqrt{10}}{10} \) 或 \( -\frac{3\sqrt{10}}{10} \)（取决于 \( \theta \) 的象限）9. 计算 \( \log_2 32 \) 的值。
预科2015级试卷数学7月试卷
命题组组长签字： （ B ） 组 第 1 页 （本试卷共 页 ）预科2015级第二学期数学课程试卷选择题 (共8题，每小题4分，共32分) 1. 12--的倒数是 （ ） A.2 B.2- C.12 D.12-2.用列举法表示集合2{320}x x x =-+=为 （ ）A.1B.2C.1,2D.{1,2}3.函数y =的定义域为 （ ）A.33x -≤≤B.33x -<<C.33x -≤<D.33x -<≤4.不等式2x <的解是 （ ） A.22x -<< B.2x< C.2x <± D.22x x <->或5.在数列1⋅⋅⋅中，是数列的 （ ）A.第11项B. 第12项C. 第13项D. 第10项6.函数236y x x =--在点(1,8)P -处的切线的斜率为 （ ） A.1- B.2- C.3- D.4-7.已知5sin 6α=，且α是第二象限的角，则2α角所在象限是（ ）A.第一象限B. 第三、四象限C. 第四象限D. 第三象限8.若1cot ,2α=则2sin cos 2sin cos αααα+=- （ ） A.15 B.53 C.53- D.15-二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)1.函数32397y x x x =--+的极大值是_______，极小值_______.2.已知cot(sin )tan(cos )0,θθ<则θ为第_______象限的角.3.2cos log (1sin )αα-= _______(α为第一象限角).4.已知向量(2,4),(5,2)a b =-=则32_______a b -=5. 已知向量(1,1),(6,)a b y ==-且α与b 共线，则____y =.命题组组长签字： （ B ） 组 第 页 （本试卷共 页 ）三、判断下列函数的奇偶性 (共4题，每题5分 共20分)1.cos y x x = 2.sin y x x =3.sin cos y x x =+ 33tan y x x x =+.1.已知两个数a b -==，那么，求这两个数的等差中项A ，等比中项G .2.讨论函数332y x x =-+的单调性. 2sin cos sin .B C A =。
预科高等数学习题参考答案（上学期）
第一章函数与极限1.1 数列的极限1 (1) 对任意的自然数n 有7)1(5750n n ，所以有07)1(51751n n，即01nnx x ，因此数列}{n x 是单调递减数列．显然对于任意的自然数n 有175n ，因而有17510n x n．进而存在1M ，对任意的自然数n 有，M x x nn1，所以数列}{n x 是有界的．综上数列是单调递减有界数列，因此必有极限．观察出0limnnx ．nn n x x nn1517510．0，要使n1，只要1n，于是取正整数1N．则当N n 时，就有nx n 10，故0limn nx ．(2) 对任意的自然数n 有5)1(2520n n，所以有10n n x x ，因此数列}{n x 是单调递增数列．显然对于任意0M ，存在}25,1max {0M n ，使得M n x n 5200，因此数列}{n x 是无界的．综上数列是单调递增无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在．(3) 从数列的前几项,5,0,3,0,154321x x x x x 可以看出数列}{n x 既非单调递减数列也非单调递增数列．显然对于任意0M ，存在}21,1max {0M k ，使得M k k k x k122)12(sin)12(0120，因此数列}{n x 是无界的．综上数列既不是单调数列也不是无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在．2 分析用“N ”语言证明数列极限A x nnlim的步骤如下：(1) 化简A x n(往往需将它适当放大后)得)(n f ；(2) 逆序分析求N ．0，要使)(n f ，(解不等式后知))(g n，于是取正整数)(g N；(3) 按定义作结论则当N n时，就有Ax n．故A x nnlim．证明 (1)nnn110144．0，要使n1，只要1n，于是取正整数1N．则当N n时，就有nn 1014，故014limnn．(2)nnnn 1241231213．0，要使n1，只要1n，于是取正整数1N．则当N n 时，就有nn n 1231213，故231213limnn n ．(3)nnC CCCn nnnnnnnn 1919991)91(11011999.022109个．0，要使n1，只要1n，于是取正整数1N．则当N n 时，就有nn 11999.09个，故1999.09lim个n n．3证明222222656112136561121365611213limlimlim limlimlim limlimnnn n nnn n nnn n nnnnnnnn6130060013．4 证明当0q时，显然00limlimnnnq；当0q 时，显然nnq q0．0(10)，要使nq，由于10q ，因此只要qnlog ，于是取正整数qNlog．则当N n 时，就有nnqq0，故0limnnq．综上所述，当1q 时，0lim nnq ．5证明 (N定义证明)令01nnn h ，则有nnh n)1(，即nn n n nnnnh nh h n n nh h n122)1(1)1(，进而22)1(n h n n n ，即)1(12nn h n．0，要使121n h n nn，只要212n ，即1112n，于是取正整数112N ．则当N n 时，就有121n nn，故1limnnn．(夹逼定理证明) 由于nn nnn n n n nn nn n2211111111212个个，并且122limnn nn，因此1limnnn．5 证明由数列}{n x 有界知，0M，使得数列}{n x 的每一项都有M x n．又0limnny ，则有0，存在0N，当N n时，My y nn．进而当N n时，MMy x y x nn nn 0．因此0lim nnny x．1.2 函数的极限1证明0，0，当00x x时，c c ．因此c c x xlim．2证明)1sin (1sin 0sin x xx x xx ．0，要使x1，只要1x，于是取正数1M．则当M x时，就有xxx 10sin ，故0sin limx x x ．343434343433412313412313423limlimlim limlimlimlimlimxxx x xxxx x x xxx x xxxxx x xx0001000．4解3212223213212321limlim44x x x x x x xx xx34381242321223214242limlim44xx x x x x xx．5解ax ax a xax a x axax2cos 2sin2sin sin limlima a a x a x axaxcos cos 12cos22sinlim．另解axaa a x axa xaxaxsin ])sin[(sin sin limlima xaaa x aa x axsin sin )cos(cos )sin(limaaxa xaaxa x axsin 1)cos(cos )sin(limaa x a x a x aax a x axsin 2sin22sincos )sin(lima aa cos sin 01cos 1．6 因为0)1()(lim limxxxex f ，00)(lim limxxx f ，即0)()(limlimx f x f xx．因此函数)(x f 在0x点处极限存在，并且0)(lim0x f x．7111111113323323131limlimxxxxxxx x xx xx3211111133213321limlimxxxx x x xx xx ．8xx x xx xx xx)2sin()2sin()2sin()2sin(limlim2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2limlim00xx xxxx．92122322233221231212314232limlimlime eexxxx xx xx xxxxxx．另解221)42(421142114232limlimlimx x xxxxxxxx 221)42(42114211limxxx x221)42(42114211limlimxxxx x 21211e e10aba b ax xbxxbx xax axax ax 33113113114limlimlimabab ababax xe eax ax 333311131131lim．另解a baba bab ax abax xbxbxxbxxe e eaxax axax ax ax 344441141114114limlimlim．1.3 无穷小与无穷大1因为x，1sin x ，01limxx，即x时x sin 是有界变量，x1是无穷小量，因此01sin sin limlimxxxx xx．2 (利用无穷大的)(M E定义求解)0E ，要使E xx 523，只要)5(223xE xx ，即E x2，于是取}5,2max {E M ，当M x时，E xx 523．所以523xx 是x时的无穷大量，即523limxx x．另解(利用无穷大与无穷小的关系求解)显然当x时，0523xx ，但是01515332limlimx xx xxx，进而根据无穷大与无穷小的关系有，3223515limlimxxxx xx．3 (利用无穷大的)(M E 定义求解)0E ，要使E xx x x21232，只要)3(121x E x x x ，即1E x，于是取}3,1max{EM，当M x 时，E xx232．所以232xx是x时的无穷大量，即232limx xx．4414144tan sin limlimlim220220xxxxxxx．52121cos 12202limlimx x xx xx．6设00，当0x x时，)(x g 有界，则存在00M，使得当0x x时，0)(M x g ．当0x x时，)(x f 是无穷大量，则0M，存在01，当10x x时，0)(M M x f ．取},m in{1，则当0x x 时，00)()()()(M M M x g x f x g x f ，因此)()(x g x f 是0x x 时的无穷大量．7x x y cos 在,不是有界变量，即x x y cos 在,是无界的．因为0M，存在1][Mx ，使得M M x x 1][cos 00．下面证明当x 时，x x y sin 不是无穷大量．1E ，对于0M ，存在10Mx ，使得M x 0，并且E x x 0sin 00．因此当x时，x x ysin 不是无穷大量．1.4 函数的连续性与间断点1 (1) 函数)(x f 的定义域是),3()3,5()5,(．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的连续区间是),3(),3,5(),5,(．(2) 函数)(x f 的定义域是]6,4[．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的在区间)6,4(内连续．又)4(464464)(limlim44f x xx f xx，则)(x f 在4x 处右连续；)6(664664)(limlim66f xxx f xx，则)(x f 在6x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]6,4[．(3) 函数)(x f 的定义域是]2,1[．显然函数)(x f 在区间)2,1(),1,0(),0,1(内连续．又)1(11)(lim lim11f x f xx，则)(x f 在1x处右连续；1)(lim lim0xxx f )0(1f ，)0(1sin )(limlim 0f xx x f xx，即)0()()(limlim 0f x f x f xx，则)(x f 在0x 处连续；)1(81sin sin )(limlim11f xx x f xx，即)(x f 在1x 处不左连续，则)(x f 在1x处不连续；)2(14)83()(limlim 22f xx f xx，则)(x f 在2x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]2,1(),1,1[．2 (1)函数)(x f 的定义域是),7()7,2()2,(，进而函数的间断点只可能为2x 和7x．对于2x，72)7)(2()2)(2(1494)(limlimlimlim222222xx xxx x xxx x f xxxx54，因此2x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于7x，)7)(2()2)(2(1494)(lim limlim72277xxx x xxx x f xxx，因此2x 是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，2x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，7x 是第二类间断点中的无穷间断点．(2) 显然函数)(x f 的定义域是Zk Zk k kk k )1(,22,，进而函数)(x f 的间断点只可能为k x 和)(2Z kkx ．对于0x，1tan )(limlim 0xx x f xx，因此0x是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)0,(k Z k k x，xx x f kxkxtan )(limlim，因此当0k 时，kx是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于)(2Z k kx ，0tan )(limlim22xx x f kxkx，因此2kx 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．综上，0x和)(2Z k kx是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，)0,(k Z k k x 是第二类间断点中的无穷间断点．(3) 显然函数)(x f 的定义域是),1()1,0()0,(，进而函数)(x f 的间断点只可能为0x和1x ．对于0x，111)(limlimx xxxe xf ，因此0x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于1x，011)(111limlim x xxxex f ，111)(111limlimxxxxe xf ，即函数)(x f 在1x处的左右极限存在，但不相等，因此1x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，0x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点，1x 是第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(，进而)(x f 的间断点只可能为0x ．21arctan)(limlim 0xx f xx，21arctan)(limlimxx f xx，即)(x f 在0x处的左右极限存在，但不相等，因此0x函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,0()0,(，进而)(x f 的间断点只可能为0x 和1x．对于0x，0223)(limlimxx f xx，因此0x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于1x ，xx f xx223)(limlim11，因此1x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．因此0x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，1x 是第二类间断点中的无穷间断点．(6) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(，进而)(x f 的间断点只可能为0x ．22cos 1cos 1)(2limlimlimxx x x x f xxx，22cos 1cos 1)(20limlimlimx xxxx f xxx，即)(x f 在0x 处的左右极限存在，但不相等，因此0x函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(7) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,(，进而)(x f 的间断点只可能为1x ．xx x f xx12)(lim lim 11，因此1x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性1 (1) 当1x 时，02limnnx，则有x x x x x f nn n2211)(lim ；当1x 时，nnx2lim，并且11122lim nn nxx ，则有x x xx x f nn n2211)(lim ；当1x 时，012nx，则有011)(22lim xxx x f nn n．因此111,,0,)(xx x x x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(内连续．对于1x，1)(limlim11x x f xx，1)()(lim lim11x x f xx，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1x，1)()(limlim11x x f xx，1)(limlim11xx f xx，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(，1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(2) 显然1x时，函数)(x f 无定义；当1x 时，0limnn x，则有01)(lim nnnxxx f ；当1x 时，nnxlim，则有11)(lim nnnx xx f ；当1x 时，1nx ，则有211)(lim nnnxxx f ．因此111,0,21,1)(xx x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(内连续．对于1x ，00)(lim lim11xxx f ，11)(lim lim11xxx f ，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1x，11)(limlim11xxx f ，00)(limlim11xxx f ，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(，1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(3) 当10x 时，0limnnx，则有111)(lim nnxx f ；当1x 时，nnxlim，则有011)(lim nnxx f ；当1x时，1nx，则有2111)(lim nnxx f ．因此1011,1,21,0)(xx x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,0(内连续．对于0x ，)0(11)(limlimf x f xx，因此)(x f 在0x 处右连续．对于1x ，00)(lim lim11x xx f ，11)(lim lim11xx x f ，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,0[，1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 当0x 时，xnxnnnlim lim ,0，则有1)(limxxx x n nnn n x f ；当0x 时，0,lim lim xnxnnn，则有1)(limxxx x nnnn n x f ；当0x 时，1xn，则有0)(limxxx x nnnn n x f ．因此000,1,0,1)(xx x x f ．显然函数)(x f 在区间),0(),0,(内连续．对于0x ，11)(lim limxxx f ，1)1()(lim limxxx f ，即)(x f 在0x 处的左右极限存在，但不相等，因此0x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),0(),0,(，0x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5)显然1x 时，函数)(x f 无定义．又xexnxn x f xxnnnxn1111111)(limlim，因此xe xf x1)(，并且定义域为),1()1,(．显然函数)(x f 在区间),1(),1,(内连续．对于1x，xex f xxx1)(lim lim11，因此1x 函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,(，1x函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．2 (1) 因为函数)(x f 在区间),0(),0,(内是初等函数，因此函数)(x f 在,连续，只需在分段点0x处连续，即)0()()(limlim 00f x f x f xx．又在0x 处，b f )0(，b b ax x f xx)()(limlim，1)(lim limxxxex f ，因此1b．由于2)1(f ，即2b a，因此1a ．综上当1,1ba 时，函数)(x f 在,上连续．(2) 因为函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(内是初等函数，因此函数)(x f 在,连续，只需在分段点1x处连续，即)1()()(limlim11f x f x f xx，)1()()(limlim11f x f x f xx．在1x 处，1)1(f ，b a bx axx f xx)()(211limlim ，11)(limlim11xx f xx，因此1ba ．在1x处，1)1(f ，11)(limlim11xx f xx，b a bx axx f xx)()(211limlim，因此1b a ．于是有11b a b a ，解得1,0b a ．综上当1,0b a 时，函数)(x f 在,上连续．3 )(x f 在1x 处连续，则)1()(lim1f x f x，即4313)(lim1xx b xb a x．由于0313lim1xx x，则有0)(lim1bxb ax，即02ba ，进而b a 2．从而313313)(limlim11xx b bx xxb x b a x x313313313)1(lim1x x x x x x x b x)1(2313)1(lim1x x x x b x b xxb x22313lim1．因此42b ，即2b，于是4a ．综上当2,4ba 时，)(x f 在1x处连续．1.6 闭区间上连续函数的性质1若)0()(f a f ，则0或a ．因此下面假设)0()(f a f ．令)()()(a x f x f x F ．显然)(x F 在],0[a 上连续，并且)2()()(),()0()0(a f a f a F a f f F ．由于)2()0(a f f ，所以有0)]0()()][()0([)()0(f a f a f f a F F ，从而根据根的存在定理知，),0(a ，使得0)(F ，即)()(a f f ．综上存在一点],0[a ，使得)()(a f f ．2由于b x f a )(，则b b f a f a )(),(．令x x f x F )()(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且0)()(aa f a F ，0)()(bb f b F ，从而根据根的存在定理知，],[),(b a b a ，使得0)(F ，即)(f ．3令bx b xa ax B x f A x F ,),(,)(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且A a F )(，B b F )(．又0AB ，因此0)()(b F a F 从而根据根的存在定理知，),(b a ，使得0)(F ，即0)(f ．4方程可以变为),,(0))(())(())((321213312321x x x a x x a x xa ．令))(())(())(()(213312321xxa xxa xxa x F ．显然)(x F 在],[],,[3221上连续，并且))(()(322111a F ，))(()(321222a F ，))(()(131333a F ．由于321，0,,321a a a ，所以0)(1F ，0)(2F ，0)(3F ．进而根据根的存在定理知，),(211，),(322，使得0)(1F ，0)(2F ，即),(211，),(322，使得0313212111a a a ，0323222121a a a ．5 (反证法)假设存在),(，使得0)(f ．若 (或)，则函数)(x f 在],[ (或],[)内连续，并且0)(f ，0)(f ，即0)()(f f ．因此存在),( (或),()，即),(，使得0)(f ．这与x和x是0)(x f 相邻的两个根相矛盾．故),(x都有0)(x f ．6若1)sin(b a，则显然方程b x a x sin 有一个根是b a x ．下面假设1)sin(b a ．令b x a xx f sin )(．显然)(x f 在],0[b a上连续，并且0)0(bf ，0)]sin(1[)sin()(b a a b b a a b a b a f (因为0,0b a)，进而0)()0(b a f f ．因此存在),0(b a，使得0)(f ，即b x a xsin 在区间),0(b a上至少有一个根．综上方程b x a x sin 至少有一正根，并且它不超过b a ．7 令)}(,),(),(min{21n x f x f x f m，)}(,),(),(m ax {21n x f x f x f M，则n x x x ,,,21中至少有一个i x 使得m x f i )(，至少有一个j x 使得M x f j )(，显然有M x f nx f x f mj nk k i )()()(1．若这个不等式中有一等号成立，则对应的i x 或j x 即为所求的点．若不等式都是严格不等式时，又)(x f 在],[j i x x 或],[i j x x 上连续，由介值定理知，至少存在一点介于i x 与j x 之间，使得nx f x f x f f n )()()()(21．综上存在],[b a ，使得nx f x f x f f n )()()()(21．习题 110，要使nn n n 11)1(1，只要1n，于是取正整数1N，当N n 时，1)1(1n nn ，因此1)1(1limnn n n．2由于当0x时，x ex~1，所以x ex3~13．进而331limlim30xx xexxx．3因为nnnn333213，则有nnnn33)321(31，并且nn33lim3，因此3)321(1limnnnn．4 令x t arcsin ，则t x sin ，并且00tx ．因此1sin arcsin limlimtt xx tx．53sin 2tan 2limxxxxxxxxx x xxsin 2tan 2sin 2tan 2sin 2tan 23limxxxx xxsin 2tan 2sin tan 3limxx xx x xsin 2tan 2)cos 1(tan 3limxxxxx xsin 2tan 22132limxxxsin 2tan 221lim 082241．6任取),(0b a x ，对0，存在0k ，当00x x时，kx xk x f x f 00)()(．因此)()(0limx f x f x x，即)(x f 在0x x处连续．由0x 的任意性知，)(x f 在),(b a 上连续．当ax 0时,ka x k a f x f )()(．因此)()(lima f x f ax，即)(x f 在a x 处右连续．当0bx 时，kb x k b f x f )()(．因此)()(limb f x f bx，即)(x f 在b x处左连续．综上)(x f 在],[b a 上连续，又由于0)()(b f a f ，所以根据根的存在定理知，存在),(b a 使得0)(f ．7 函数)(x f 的定义域为),2()2,1()12,12(0,k Z k k k．显然)(x f 的间断点只可能是)0,(12kZ k k x ，0x和2x．由于)(x f 在区间)0,)(12,12(k Z k k k ，)0,1(，)2,0(，),2(内是初等函数，因此)(x f 在这些区间上连续．对于2x，4222limxx，则有42sin )(222lim limxx f xx不存在，但是在1到1之间来回振荡，因此2x 是)(x f 的第二类间断点中的振荡间断点．对于0x ，21sin42sin)(2limlimxx f xx，02cos)1()(limlimxx x x f xx，即左右极限存在但不相等, 因此0x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1x ,)1(2cos )1(2cos)1()(limlimlim111t t t xx x x f tx t xx2)1(22)1(2sin)1(limlimlimt tt t tt t ttt，因此1x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)1,(12kZ kkx，xx x x f k xk x2cos)1()(limlim1212，因此12k x )1,(k Z k 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上所述，函数)(x f 在区间)0,)(12,12(kZ kkk ，)0,1(，)2,0(，),2(内连续；0x 是第一类间断点中的跳跃间断点；1x是第一类间断点中的可去间断点；2x 是第二类间断点中的振荡间断点；)1,(12kZ kkx是第二类间断点中的无穷间断点．8先证命题：若)(x F 在],[b a 上连续，则)(x F 在],[b a 上也连续．由于)(x F 在],[b a 上连续，则任取],[0b a x ，)()(0limx F x F x x(a x 0时取右极限，b x 0时取左极限)．若)0(0)(0x F ，则根据极限的局部保号性知，在0x 的某个邻域内)0(0)(x F ，进而)()()()(00lim limx F x F x F x F x xx x()()()()(00limlimx F x F x F x F x xx x)，注意a x 0时取右极限，b x 0时取左极限．因此)(x F 在],[b a 上也连续．由于)(),(x g x f 在],[b a 上连续，则)()(x g x f 在],[b a 上连续，进而)()(x g x f 在],[b a 上连续．又2)()()()()}(),(max {x g x f x g x f x g x f ，因此)}(),(max{x g x f 在],[b a 上连续．9由于n 为非零有理数，则可令qp n，其中q p,为非零整数，并且0p ．进而nx与方程0qp x同解．(存在性)令px x f )(．则)(x f 在),0[内连续，并且当x时，)(x f ．因此存在),0(a使得)(a f ．显然)(x f 在],0[a 上连续，并且)()0(0a f f ，根据介值定理知，存在),0(a ，使得)(f ，即是方程px的一个正根．(唯一性)假设21,是方程px的两个正根. 进而有pp 21，即))((12221221112121p p p p pp ，由于0,21，则01222122111p p p p ．因此21，即方程px只有一个正根．10狄利克雷(Dirichlet)函数是无理数是有理数，，x x x D 01)(．显然狄利克雷函数在),(上每一点都有定义, 但是在每一点都不连续．第二章一元函数的导数和微分2.1 导数的概念1 分析 (1) AA x f x f Ax f )(')(')('00_0；(2) 2 函数在0x x处可导，则函数在0x x处必连续；(3) 0 4ln )(x f 是常值函数，因此0)('x f ；(4) 0 驻点：函数的导数值为0的点．2 (1)xx f x x f xx f x x f xx2)()2(2)()2(0000limlim)('22)()2(20000limx f xx f x x f x．(2)xx f x x f xx f x x f xx)()()()(000000limlim)(')()(000limx f xx f x x f x．(3)hx f h x f x f h x f hh x f h x f h h)()()()(212)()(00000000lim limhx f h x f hx f h x f h )()()()(2100000lim)(')()()()(2100000limlimx f hx f h x f hx f h x f hh．(4)000)()()()(limlimx x x f x f x xx f x f x xx x)(')()(000limx f x x x f x f x x．3 (1)22)12(]1)(2['limlimlimxx xx x xxy y xxx；(2)xx x xxxx x xy y xxx2sin2sin 2cos )cos('limlimlimx xx x xxsin 22sin2sin lim；(3)xx x x xx x xy y xx)()]()[('22limlim12)12()()12(limlim2x x x x x xx xx；(4)1)1()](1['limlimlimx x xx x x x y y xxx．4因为0)0(f ，01sin)(limlimxx x f xx，即)0()(limf x f x，因此)(x f 在0x 处连续．因为xxxx xf x f xxx1sin1sin)0()(limlimlim不存在，因此)(x f 在0x 处不可导．5 (1) 因为x y cos '，故曲线在点)0,0(处的切线斜率为10cos 'x y k，进而曲线x ysin 在点)0,0(处的切线方程是x y ，法线方程是x y．(2) 因为x y sin '，故曲线在点)1,0(处的切线斜率为00sin 'x y k，进而曲线x y cos 在点)1,0(处的切线方程是1y，法线方程是0x．(3) 因为xy 1'，故曲线在点)0,1(处的切线斜率为1'1x y k ，进而曲线x y ln 在点)0,1(处的切线方程是1x y，法线方程是1xy．6因为速度是t t tt S t V 22)'211()(')(2，加速度是)(')(t V t a 2)'22(t ，因此速度2)2(,6)2(a V ，即2t 秒时，运动物体的速度是s m/6，加速度是2/2s m ．2.2 求导公式和求导法则1 (1)1620'3xx y ．(2)'221'21211xx mxx my 32232121111xxxm mxxmxm．(3)xx y 55ln 5'4．(4)01111'22xxy ．(5)52)2()3()'3)(2()3()'2('x x x x x x xy ．(6)xxxx xxx x x xxxy 1ln 21)1(ln 2)')(ln 1(ln )'1('2222．(7)xxxxxxe e e e e y 3)13(ln )3ln()3(]')3[()'3('．(8))'(sin sin )'()'(cos '22x x x x x y x x x x x x x x xcos sin )12(cos sin 2sin 22．(9)x xx xy 22csc sec tan '．(10))'(ln sin ln )'(sin ln sin ''x x x x x x x x x y x x x x x x xx x xx x x x sin ln cos ln sin sin ln cos ln sin ．(11)222ln 1ln 1'ln )'(ln 'xx xx x xxx x x x y ．(12)2cos 1)'cos 1(sin )cos 1()'(sin 'xx x x x y xxx xxx x x cos 11cos 1cos 1cos 1sin sin )cos 1(cos 22．另解2sec21'2tan'cos 1sin '2x x xx y ．(13)22''sin cos sin cos sin sin sin 'xxxx xxx x xx xx y ．(14)422)')(ln ()'ln ('xx x x x x xy 342ln 21)ln (211xxx xx x x xx．(15)2)ln 1()'ln 1)(ln 1()ln 1()'ln 1('x x x x x y 22)ln 1(2)ln 1(ln 1ln 1x x x xxx x．另解222)ln 1(2)ln 1(12)ln 1()'ln 1(2'1ln 12'x x x x x x xy ．(16)2222)1()'1(ln )1()'ln ('x x x x x x x y 22222222)1(ln )1(1)1(ln 2)1)(1(ln x xx xx xx x x ．2 (1) 2222222)'(1'xax x axay ．(2))53cos(3)'53()53cos('x x x y ．(3))1sin(2)1()1sin('222xx xxy ．(4)xx x xy ln 1)'(ln ln 1'．(5)xxe x ey 333)'3('．(6)222)'('2x x xex e y ．(7)22'24121212211'xx x x y ．(8)422212)'(11'xx x xy ．(9)222'21111111111'xxxxx y ．(10)222'211)1(21111111111'xx xx xx xx y ．(11)x e x e x e x e y xx xx 3sin 33cos 3cos 3cos '''．(12)'2'21sin1sin'xxxxy xxx xxxxx 1cos1sin21cos11sin 222．(13))'(arccos 1arccos 1'2'2x xxx y 11arccos 111arccos 12222xx x xxxxx ．(14)''11112111111111'xx xx xx xx x x y 1112112122xxxx ．另解11111121)1ln()1ln(21'2'xxxx x y ．(15))'(sin )sin 2(22ln )'(sin 22ln '22sin2sin x x x y xxx xx xx2sin 22ln cos )sin 2(22ln 22sin sin ．(16)x xx x xx xy 4csc 42cos 2sin 2)]2(sec 2[2tan 1)'2(tan 2tan 1'2．(17)x x x x x y 6sin 3)3cos 3()3sin(2)'3(sin 3sin 2'．(18))'12(sin sin '21212'12122222x xeeeey x x x x x x x x。
初升高衔接教材高一预科班数学《第十八讲 对数及其运算性质同步提升训练》
第18讲 对数及其应用课时达标1.把下列指数式写成对数式(1) 32＝８ （２）52＝32（３）12-＝21（４）312731=-2.把下列对数式写成指数式（1）3log ９＝２ （２）5log １２５＝３（３）2log 41＝－２ ４）3log 811＝－４3.求下列各式的值(1) 5log 25 （２）2log 161（３）lg 100 （４）lg 0.01（５）lg 10000 （６）lg 0.00014.求下列各式的值(1) 15log 15 （２）4.0log 1（３）9log 81 （４）5.2log 625（５）7log 343 （６）3log 2435.如果b a =2，那么A ． b a =2logB ．a b =2logC ．2log =b a D ．b a =2log6.如果()N a a =--3log 1，那么a 的取值范围是A ．3<aB ．31<<aC ．1>a 且2≠aD ．(1,2)∪(2,3)思维升华7.使0lg >x 成立的充要条件是A ．0>xB ．1>xC ．10>xD ．101<<x 8.若log [log (log )]4320x =，则x-12等于（ ） A.142 B. 122 C. 8D. 4 9.化指数式为对数式：⇔=2713x ；⇔=-51521 ． 10.求值：=91log 27 ；=16log 2 ；=001.0lg． 11.求值：=++++3log 15.222ln 1001lg 25.6log e． 12.已知：m a =2log ，n a =3log ，那么=+n m a 2．13. 化下列指数式为对数式：（1）1024210=，（2）001.0103=-，（3）00243.03.05=，（4）10=e ．14.化下列对数式为指数式：（1）225.6log 4.0-=，（2）3010.02lg =，（3）0959.210log 3=，（4）π=14.23ln ．15. 已知x=log 23,求23x －2－3x2x －2－x 的值.16.计算： ⑴27log 9，⑵81log 43， ⑶()()32log 32-+，⑷625log 345创新探究17. （原创）证明对数的换底公式：a N N c c a log log log =10(≠>c c 且，10≠>a a 且，)0>N 。
(整理)高一数学-苏州市单招预科班-2015学年高一上学期期末联考数学试题
2014-2015学年第一学期苏州市单招预科班期末联合考试试卷一年级 数学本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至6页．两卷满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将符合要求的答案涂在答题卷上）1．若集合{20},{30}M x x N x x =-<=-≤，则N M 为 A ．]3,2()1,( --∞ B ．]3,(-∞ C ．]3,2( D ．]3,1( 2．在ABC ∆中，“21sin =A ”是“︒=30A ”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞内单调递增的是 A ．3x y =B ．1+=x yC ．12+-=x y D ．xy -=24. 已知135sin =α，α是第二象限的角，则=-)cos(απ A ．1312 B ． 135 C ． 135- D ． 1312-5. 已知⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x f 22)(2 2211≥<<--≤x x x ,若3)(=x f ，则x 的值为A.1或3B. 3±C. 3D. 1或3±或236．将函数)42sin(π+=x y 图象上的所有点向左平移4π个单位，得到的图象的函数解析式是 A ．)432sin(π+=x y B ．)22sin(π+=x y C ．)42sin(π-=x y D ．x y 2sin =7．ABC ∆中，已知︒===60,2,32A b a ，则B = （ ） A ．︒60 B ．︒30 C ．︒60或︒120 D ．︒120 8．若x 满足不等式112≤-x ，则函数xy )21(=的值域为 A ． )21,0[ B ．]21,(-∞ C ．]1,0( D ．]1,21[9．函数2()2(1)1f x x a x =--+在区间),5[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 A ．),6[+∞ B ． ),6(+∞ C ．]6,(-∞ D ．)6,(-∞10．设)c o s ()s i n ()(βπαπ+++=x b x a x f ，其中βα,,,b a 均为非零实数，若1)2012(-=f ，则)2013(f 等于A ．1-B ．1C ．0D ．2第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在题中横线上） 11．函数y =的定义域为 ．12．若sin 2cos 0αα+=，则2sin sin cos ααα-= ．13．已知)(x f 是以2为周期的奇函数，在区间[]1,0上的解析式为()x x f 2=，则()________5.11=f .14．)(x f 是R 上的偶函数，当0≥x 时，12)(+=xx f ，若5)(=m f ，则m 的值为 ． 15．某项工程的流程图如图（单位：天）：根据图，可以看出完成这项工程的最短工期是___ 天..三、 解答题 （本大题共8小题, 共90分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. (本题满分8分)计算：34cos )49()15(4log 212π+--+.17. (本题满分10分)设c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，S 是ABC ∆的面积，已知4,5,a b S ===（1）求角C ; (2)求c 边的长度.18. (本题满分12分)已知函数)1,0()(≠>+=b b b a x f x的图象过点)4,1(和点)16,2(. (1)求)(x f 的表达式； (2)解不等式23)21()(x x f ->；(3)当]4,3(-∈x 时，求函数6)(log )(22-+=x x f x g 的值域.19. (本题满分12分)设)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，当),0(,+∞∈b a 时，均有)()()(b f a f b a f +=⋅，已知1)2(=f .求：（1）)1(f 和)4(f 的值；（2）不等式2()2(4)f x f <的解集 .20. (本题满分12分)已知函数1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f ，求（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 在区间]4,6[ππ-上的最大值和最小值. 21．（本题满分8分）（1）求完成这项工程的最短工期； （2）画出该工程的网络图．22. (本题满分14分)已知函数b b x a x x f 2)1()(22--++=，且)2()1(x f x f -=-,又知x x f ≥)(恒成立. 求：(1) )(x f y =的解析式；(2)若函数[]1)(log )(2--=x x f x g ，求函数g(x)的单调区间.23. (本题满分14分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当2000≤≤x 时，求函数)(x v 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）)()(x v x x f ⋅=可以达到最大？求出最大值.（精确到1辆/小时）2014-2015学年第一学期苏州市单招预科班期末联合考试试卷一年级 数学试卷答案11．]1,0( 12．5613．1- 14．2± 15．7 三、解答题：16．(8分) 解：原式=)3cos()23(121ππ++-+ …………4分=3cos 233π--=21233-- …………2分=1 …………2分17．(10分) 解：(1)由题知5,4,35===b a SC ab S sin 21=…………1分 C sin 542135⨯⨯=∴23sin =∴C …………1分 又 C 是ABC ∆的内角3π=∴C 或32π=C …………2分(2)当3π=C 时，3cos 2222πab b a c -+=215422516⨯⨯⨯-+= 21=21=∴c …………3分当32π=C 时， 22222cos3c a b ab π=+- 215422516⨯⨯⨯++=61= 61=∴c …………3分18. (12分)（1）由题知⎩⎨⎧+=+=2164ba ba …………2分 ⎩⎨⎧==∴40b a 或⎩⎨⎧-==37b a （舍去）x x f 4)(=∴ …………2分（2）23)21(4x x->32222->∴x x322->∴x x …………1分0322<--∴x x31<<-∴x∴不等式的解集为)3,1(- …………2分（3）64log )(22-+=x x g x62log 222-+=x x622-+=x x7)1(2-+=x …………2分1(3,4]-∈-7)(min -=∴x g …………1分当4=x 时，max ()18g x = …………1分 ∴值域为]18,7[- …………1分 19．(12分) 解：（1）)()()(b f a f b a f +=⋅令1==b a)1()1()11(f f f +=⋅0)1(=∴f …………2分令2==b a2)2()2()4(=+=f f f2)4(=∴f …………2分（2） 2()2(4)f x f <)4()4()(2f f x f +<∴ …………1分 )16()(2f x f <∴ …………1分)(x f 是定义在),0(+∞上是增函数⎪⎩⎪⎨⎧><∴01622x x …………2分 ⎩⎨⎧≠<<-∴044x x …………2分 不等式解集为)4,0()0,4( - …………2分20．(12分) 解：(1)1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x …………1分1cos 2cos sin 322-+=x x x …………2分x x 2cos 2sin 3+= …………1分)62sin(2π+=x …………1分)(x f ∴的最小正周期π=T …………1分(2) 46ππ≤≤-x 223ππ≤≤-∴x32626πππ≤+≤-∴x …………2分 ∴当662ππ-=+x 时，1)(min -=x f …………2分当262ππ=+x 时，2)(=miax x f …………2分21．（ 8分）（1）93132=+++,所以完成这项工程的最短工期为9天. …………3分 （2）…………5分22. (14分) 解（1）由)2()1(x f x f -=-知对称轴为21=x …………1分 2121=+-∴a 2-=∴a , 22()2.f x x x b b ∴=--- …………1分又 x x f ≥)(恒成立，即x b b x x ≥---222恒成立 即02222≥---b b x x 恒成立0)2(4)2(22≤----=∆∴b b …………1分0122≤++∴b bD 10)1(2≤+∴b1-=∴b …………2分∴1)(2+-=x x x f …………1分（2）)2(log ]11[log )(2222x x x x x x g -=--+-= …………1分令x x u 22-=，则2()log g u u =由022>-=x x u 得2>∴x 或0<x …………2分当)0,(-∞∈x 时，x x u 22-=是减函数当),2(+∞∈x 时，x x u 22-=是增函数 …………2分又2()log g u u =在其定义域上是增函数 …………1分)(x g ∴的增区间为),2(+∞)(x g 的减区间为)0,(-∞ …………2分23. (14分) （1）解：因为当20020≤≤x 时，车流速度是车流密度x 的一次函数，故设b kx v += 则⎩⎨⎧+=+=b k b k 20602000 …………2分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴320031b k 320031+-=∴x v …………2分 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<≤=20020,320031200,60)(x x x x v …………2分 （2）由（1）得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=20020,)200(31200,60)(x x x x x x f …………2分 当200<≤x 时，)(x f 为增函数，1200)(<x f …………2分当20020≤≤x 时，310000)100(31)200(31)(2+--=-=x x x x f …………2分 当100=x 时，最大值3333=即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大约为3333辆/小时 ……2分。
2013-2014学年度第一学期预科班期末数学试卷
2013-2014学年度第一学期预科班期末数学试卷姓名_________________学号_____ 班级_____ 成绩_________一．填空题；（每题5分，共70分）{}04,,A x x x N =<<∈1.已知用列举法表示___________{}{}23,1,______A x x B x x A B =-≤≤=<-=2.已知集合那么集合y x=3.函数_______ ()23,()5,(1))__________f x x g x x f g =+=-=4.设函数函数则（2(),(1)0,(2)0,(1)_______f x x ax b f f f =++==-=5.已知满足则[]2()23,0,2f x x x x =-+∈6.函数的值域是_______(2)23,()____f x x f x +=+7.设函数则的表达式是 2()2(1)1f x x m x =-+-8.函数是偶函数，则m=_____3,9(),(5)_______(4),9x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩9.已知则的值为 {}()1,,,,A x x B a A B a =>=+∞⊆10.已知集合且则实数的取值范围是________ [](2)0,1()f x f x -11.已知函数的定义域为，则的定义域为_______ []-5,5()()y f x y f x ==12.如图是定义在闭区间上的函数根据图象，的单调减区间为________[]-3,3()(21)(2)f x f x f -<13.已知定义在上的函数是增函数，求不等式的解集为________ 2,0()0,0,2,0x f x xx >⎧⎪==⎨⎪-<⎩14.已知函数下列叙述 (1)()(2)()(3)(1)()40(4)(1)011fx y x f x x f x x x f x x =+-<-<<+<-<<是奇函数；是奇函数；的解为的解为；其中正确的是________.(请填写序号)二．解答题；（15,16,17各14分，18，19,20各16分，共90分） 15.()22;(1)()(2)()f x x xf x f x =++-已知函数判断函数的奇偶性，并说明理由；求函数的值域.{}{}216.230,10.(1)1,;(2),A x x x B x mx m A B A B A m =--==+===已知集合若求若求实数的值.{}()0,.(1);(2)1,;(3).f x A B x x a a RAa A BA B==-<∈=17.已知：函数，集合求：集合若求：求414()xf x xxx∞①②118.有一根细铁丝围成一个面积为的矩形，（）试将所用铁丝的长度y表示为矩形的某条边长为的函数；（2）求证：函数=+在(0,2]上是减函数，在[2,+)上是增函数；题（）中矩形的边长多大时，细铁丝的长度最短？219.()-+0()23(1)()(2)()(3)()f x x f x x x f x f x f x ∞∞≥=--已知在区间（，）上是偶函数，当时，用分段函数的形式写出函数的表达式；作出函数的简图；指出函数的单调区间.[][]20.()()();0,20,2f x x f x x x f x x x x x -∈∈①②二次函数的图象顶点为A(1,16),且图象在轴上截得线段长为8.（1）求函数的解析式；（2）令g()=(2-2a)若函数g()在上是单调增函数，求实数a 的取值范围；求函数g()在的最小值.。
预科班数学试题
预科班第一次单元过关数学考试试题一．请仔细地选一选(以下每道题只有一个正确的选项，请把正确选项的代号填入答题栏内，每小题3分，共36分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 总分 1、-5的相反数是（ ） A 、-5 B 、15 C 、5 D 、15－ 2、图1是小明用八块小正方体搭的积木，该几何体的从上面看到的图形是（ ）3、已知（2)2-x ＋1+y ＝０，则x+y 的值是（ ） A 、3 B 、－1 C 、－3 D 、14、如图2，OA ⊥OB ，∠BOC ＝40°，OD 平分∠AOC ， 则∠BOD 的度数是（ ）度。
A 、40B 、 65C 、25D 、305. 某商店把一件商品按标价的九折出售，仍可获利20％，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为（ ）A.21元B.19.8元C.22.4元D.25.2元6、下列合并同类项的结果正确的是 （ ）A 、a ＋3a=3a 2B 、 3a －a=2C 、3a ＋b=3abD 、 a 2－3a 2=－2a 27、下列各数|－2|，－（－2）2，－（－2），（－2）3中,负数的个数有( ) A .1 B . 2 C.3 D.48. 如图3，若m ∥n ，∠1=105 o，则∠2= （）A 、55 oB 、60 oC 、65 oD 、75o9．下列各式可以用平方差公式计算的是（ ）A 、(m+n)－(m －n)B 、(2x+3)(3x －2)C ．(－4x －3)(4x －3)D 、(a 2－2bc 2)( a 2+2b 2c)10、已知代数式x ＋2y ＋1的值是3，则代数式2x ＋4y ＋1的值是（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．不能确定11．如图4，AB ∥EF ∥DC ，EG ∥DB ，则图中与∠EGA 相等的角共有（ ） A 、6个 B 、5个 C 、4个 D 、2个12、规定一种新的运算“*”：对于任意实数ｘ、ｙ，满足ｘ*ｙ=ｘ-ｙ+ｘ·ｙ.如3*2=3-2+3×2=7,则2*1=( ) A 、4 B 、3 C 、2 D 、1二、你能填得又快又准吗？（本大题共6小题，每题4分，共24分）13、小林同学在一个正方体盒子的每个面都写有一个字，分别是：我、喜、 欢、数、学、课，其平面展开图如图所示．那么在该正方体盒子中，和“我”相对的面所写的字是“ ”14、如果2(3)x +的值与3(1)x -的值互为相反数，那么x 等于_____.15、如右上图，C 是线段AB 上任意一点，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，如果 AB ＝12cm ，那么 MN 的长为_____cm ．16、计算：①=⋅⋅a a a35，② ()=÷635a a ，17、如图（3）是一把剪刀，其中︒=∠401，则=∠2 ，其理由是 。
预科班数学小卷子20
预科班数学小卷子（19）命题：王正明 审核：郑先明 2016.11.19一． 选择题1. 已知x ＝2，y=－3是二元一次方程5x ＋my ＋2＝0的解，则m 的值为（ ）A. 4B. －4C. 38D. －38 2. 如果a ＞b ，那么下列结论一定正确的是（ ） A.a ―3＜b —3 B. 3―a ＜3—b C.a c 2＞bc 2 D. a 2＞b 23. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）A ．对漓江水质情况的调查．B ．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查．C. 对某班50名同学体重情况的调查． D ．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查.4.下列四个命题是真命题的是（ ）A.同位角相等；B.如果两个角的和是180度，那么这两个角是邻补角；C.在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行；D.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直。
二、填空题5.点P （3a + 6，3－a ）在第四象限内，则a 的取值范围为___________.6.一个样本有100个数据,最大的351,最小的是75,组距为25,可分为___ ____组.7. 下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是．三、解答题8. 解方程组和解不等式组（1）解方程组：{82523=-=+y x y x9. 如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置：（1）请你以火车站为原点建立平面直角坐标系．（2）写出市场的坐标为_______；超市的坐标为_____________.（3）请将体育场为A 、宾馆为C 和火车站为B看作三点用线段连起来，得△ABC ， 然后将此三角形向下平移4个单位长度,画出平移后的，并求出其面积10.某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元?111A B C 宾馆第22题图。
2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(17 计数原理、二项式定理)
2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（17计数原理、二项式定理）一、选择题：1. (2012安徽理)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 （D ）3 【解析】选D第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-=第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=2.(2012安徽理)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品 的同学人数为（ ）()A 1或3 ()B 1或4 ()C 2或3 （D ）2或4 【解析】选D261315132C -=-=①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人3. (2012北京理)从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。
如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。
【答案】B4．(2012广东理)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任选一个，其中个位数为0的概率是（ ） A ．94 B ．31 C ．92 D ．91解析：（D ）．两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，而其中个位数为0的有5个，是10,30,50,70,90。
所以，所求事件的概率为91455=5．(2012湖北理)设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =A ．0B ．1C ．11D ．12 考点分析：本题考察二项展开式的系数. 难易度：★ 解析：由于51=52-1，152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a<13,所以a=12选D.6.(2012辽宁理) 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【答案】C【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。
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（时间：90分钟满分：100分）
一、精卫填海，写一写（28分）
二、法官断案，判一判（对的打“”，错的打“”）（10分）
二、法官断案，判一判（对的打“√”，错的打“×”）(10分)
三、超市购物，选一选。（5分）
四、细心算一算。（共23分）
1.直接写结果。（4分）
2.求出每组数的最大公因数和最小公倍数。（3分）
148
160
根据表中的数据，画出折线统计图，并回答下面的问题。
3.用你喜欢的方法计ຫໍສະໝຸດ 。（8分）4.解方程。（8分）
五、动手做一做（第1题4分,第2题2分）
六、生活中的数学。（共28分）
5．下面是小红7~12岁每年的身高与同龄女学生标准身高的对比统计表：（8分）
年龄
7
8
9
10
11
12
身高
项目
标准身高
123
128
135
140
148
153
小红身高
112
120
129
139