不定积分的典型例题

解法1

而(x 2 . 2x 1) (x 2 - ,2x 1) = 2(x 2 1)所以

(x 2 - - 2x 1)「；2x ,

—2 2 dx (x - 2x 1)(x 、、2x 1) 2x 4 dx x 1

+ -^arcta nx 2 +c. 解法3

lim 1 arctanf -, x )°一一2 .2x 2、2

2 x

例1 .計算 x

x 4

1 = (x 1

2 、2x 1)(x 2 -,2x 1).

x 2 - 一 2x 1

dx 2 1 dx) 'x 2 + J2x +1 1 ^/2-^r dx) (x 云)2 d . 2x 1) 「T+1 4[ 1 2 ( 02j (x )- 2 2 二 1 d(.2x-1) 一 2 (2x -1)2 1 [a r dx 1 2 1 2 (”2x 1) dx

x 2 . 2x 1

1

=^^arcta n(寸 2x +1) (x£)2 2 x 2 -1 arctan ------ V2x -1

x 2 -1 arctan 八

厂' x 0

-2 2x 1

x 弓

x 二 解法2 当 x = 0.

x d(x-」) x

2 x

,2 2x 2、2

解将被积函数化为简单的部分分式

x 3 2

A B Cx D 1

D = 分解式（*）两边同乘以X ,再令X…,得 1 = A ，C,= C - -1.故有

, dx=f[——B —+Cx + D ]d X (x 1)3(X 2 1)

[ X 1 (X 1)2 X 2 1 ] 1 1 1

1 2 arctan x c. 2(x 1) 2ln (x 2 1) 2

例 3. 求(x 4 1)2(x 4 x 2)dX.

解 令u =X 2,再用部分分式，則

3 B (-1) 2 1 B 2 3 2 2 — (X 1) (X 1) X 1 (X 1) X 1

两边同乘以（X • 1）2，约去x - 1的因子后令

(-1)2 1 2

x 3 2 例 2.求(x 1)2() 1

严 两边同乘以（x 1）2，对

x 求导，再令x — -1，施以 上运算后，右端得A,而左端为 d x 3 2 — 八 一 2 lim [ 2 2 (x 1) x dx (x 1) (x 1) 3 2 2 3 d _x 2. .. 3x (x 1) -2x(x 2) =lim [= x r 1 dx x 2 6 2 2. 4 +1】迥 (x 2 1)2 A =2. 在分解式 (* )中令x =0,得A B D,所以

由拼接法可有

1 x

2 -1 二 —arctan — 2 2x 2、2

0 1 * x 2 -1 —arctan --------

c, x = 0. JI (*)

x 3 2 =2 In x + x =

彳

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1 8 ln (x 8 1) 8 (x 4 1) (x 4 x 1 2)dx du

2 2

2 (u 1)(u u) 2 2 — 2 (u 1) (u u) u u 1 u 1

—C^-D,两边乘以u, 令u —• 0,得A =1.两边乘以u • 1,再令u —•

1, 1

B .两边 2

乘以u,再 令 u —., 0 = A B C,= C

1 .令 u =1 2

(x 4 1) (x 4 x 2)dx du 2 (u 2 1)(u 2 u) 1

1 1 二.[— u 2(u 1)

u 2 1

2]du 」n 2 1. In 2 」n 8 1 2 ln(u 8 … 1. 1 1) arctanu c 4 1 4 1 2 In (x 1) ln(x 1) arcta nx c 4 8 4

1 2 arcta nx c. 4 x 8 (X 2 1)2(X 4 1) 15 x i 8 2

dx = (x 8 1)2 7 1 x 8 1 -1 8 八 2dx 8 8 2 x dx 8—— (x 8 1)2

8 (x 8 1) x 8 1 (x 8

1)2

1

]d(x 8 1) 1 8

8(x 1) c.

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4 1 -t 2 i 竺 1 t 2

「(甘 t 2 1 =—I

nt- 一1 +*ln (t 2 +1) +arctant +c

一1 n(1—sin x) - c. 2 2

X 4 x 2dx 2

1 2 H 2 1 x(2x 2 1) x 2 1 ln 8 8

-2x 2 x 2)dx

----- 1 ■-1 xdx - dx 71 + x

例6

店2冷）2一（1內（/勺=1Ru 2—（1）2du 分部积分 4u 」2t )2 16 1 ln(u u 2 1 2 -(2) ) c 分项

=2 x

5x 2 1/ 例9. 1

In 4 1 -x 1 arctan x c. 2

1 x -1 .1 x

-------- dx .1 x

2 £ i t 2 i~V t i )dt

2 dx 2 dt 」(1+t 2)(1-1) + Px 2 +1 +c.

例11

• 1丄 彳 -arcs in c, x 1 x

arcs in c, x ： -1. x

例 12.求.(x — a)(b - x)dx,其中 a b. 解由配方得

1 1 sin 2x)dx = x cos2x c.

2 4

1 (cosx -sin x)(1 sin 2x)

I -J 5 5 2

1 (cos x-sin x)(1 sin 2x) dx dx d/) 1 si n x 1 -x) cos 2( x

) 4 2 S )c. 2 (x 「a)(b 「x)二 R 「(x a b 2 b _a 人 〒），其中R 二〒，令 xm 专,则有原式 — u =Rsint 2 . i\R 2_u 2du 二 _2 2 . _2 1 cos2t . R cos g R w dt t 1 R R 2 R 2( sin 2t) c t sin tcost c 2 4 2 2 =」(b - a)2

arcs in 4 2x - (a b) b 「a …b ),(x -a)(b -x) c. 4 3 cos x .3 sin x

cosx sin x dx,J dx,

' cosx +sin x (cosx sin x)2

dx dx dt x 、x 2 -1

d-t 2 =-arcsint c

cosx sin x

dx