不定积分的典型例题

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6-3 不定积分的分部积分法09.12.8

x
E 指数函数 x x 方法1) 解(方法 I = ∫ 方法 de x [ ]′ ( x + 1)2 ( x + 1) ( x + 1) 1 x x ]′ = [ x x ( x + 1) e ∫ e [ ]′ d x = 2 2 1 1 ( x + 1) ( x + 1) ]′ = [ x + 1 ( x + 1) x 1 2 x x e ∫ e [ ]d x = + 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x 1 ex ex + ∫ dex 2∫ dx = 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
= ln(sec t + tant ) + C = ln( x + 1+ x2 ) + C
∴
∫
xarctan x 1 + x2
dx
= 1+ x2 arctan x ln( x + 1 + x2 ) + C.
例5
I = ∫ e x cos x dx= ∫ cos xde x dv = e x cos x ∫ e x dcos x vdu x + ∫ sin xe x dx = e cos x
例2
1 2 ? 分析取 u== ? x, xd x = d x = dv = u cos 2 x2 x2 ∫ xcos xd x = 2 cos x + ∫ 2 sin xd x 更不易积分
显然,u 选择不当,积分更难进行显然, 选择不当,积分更难进行. 解
u dv
= ∫ xdsin x dv

三角代换求不定积分例题

三角代换求不定积分例题在微积分学习中，求不定积分是一个重要的概念，而三角代换是解决一些复杂不定积分的常用方法之一。

本文将通过一个具体的例题来展示如何使用三角代换来求解不定积分。

考虑以下不定积分问题：\[ \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} \]首先，我们观察到被积函数中含有平方根，并且其内部是一个二次函数。

这时候我们可以尝试使用三角代换来简化问题。

我们可以令：\[ x = 3\sin\theta \]这样，我们有：\[ dx = 3\cos\theta d\theta \]接下来，我们要将原积分中的 x 用θ 表示出来。

由于我们已经令x = 3sinθ，那么根据三角恒等式，我们可以得到：\[ \sqrt{9-x^2} = \sqrt{9-9\sin^2\theta} = 3\cos\theta \]将 x 和 dx 用θ 表示后，原不定积分可以转化为：\[ \int \frac{3\cos\theta d\theta}{3\cos\theta} = \intd\theta \]现在，我们已经将原不定积分转化为了一个更简单的形式。

对于不定积分 \(\int d\theta\)，其结果显然是θ 加上一个常数 C，即：\[ \int d\theta = \theta + C \]最后，我们需要将θ 重新转化为 x。

由于我们之前令 x =3sinθ，因此可以得到：\[ \theta = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) \]因此，最终的结果是：\[ \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} =\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C \]通过这个例题，我们展示了如何使用三角代换来求解不定积分。

三角代换是一个常用的积分方法，对于一些包含平方根和二次函数的积分问题非常有效。

希望读者通过这个例题能更加熟悉和掌握三角代换的使用方法，从而更好地应用于实际的积分计算中。

不定积分例题与答案

求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的荃本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和荃本积分公式，査接求出不定积分!★(1),旅思路：被积函敌|:,由积分表中的公式(2)可解。

K 77T 八★⑶思路:根裾不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：j<2x +.K 2Wt = j2,rfA + f.rdv = -L.+lx i +C ★⑷J 仮(.丫-3皿思酪:根拐不定积分的线性性质，将被积函薮分为两项，分别积分。

J7xU-3)rfv = |x-dv-3jA"dv = ^.v* -2.V-+C★★⑸『竺上竺旦厶息」廉:观察到3xJ3.E=w+ 1后，根拐不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

丿 ~-V+ 1 ~~.C+ 1~"*A x 2+11 ,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：JI ' 心=j rfv-j ]:心=A -arctan .v+C.注.容島看出(5)(6)两題的解SI 思绝是一致的• 一般地，如果被积函数为一个有理的假分丈.谨常先将其分解为一个荃或加上或减去一个真分丈的形丈.再分项积分.★(7) |(三二+W 心思路:分项积分。

4-~-r^ = J 'z£v -|-^<tv + 3|x 'rfv-4j.t u rfv★(8)上3 2 思路:分项积分。

■ J< ] 3 - F k£v = 3j J , dx-2jdr = 3arctan .v-2arcsinx + C.★★⑺j 后眾小思路:皿着看到皿頁=严—“直接积分。

解：J 厶斥曲Y = =加+ U息话:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

X ，.思路:注意到r_ JI + x* x l+x 2 l+.r 1+x 2 解: ★⑵ =x + arctan .v + C解：严小+认=★★(10) I忌路:裂项分项积分。

不定积分递推公式例题

我们首先考虑一个简单的递推关系式，即等差数列的递推公式。

等差数列的递推公式为：
an+1=an+d
其中，an是第n项，d是公差。

现在，我们要求解这个递推公式的不定积分。

首先，我们写出等差数列的通项公式：
an=a1+(n−1)d
接下来，我们对这个通项公式进行不定积分。

∫andx=∫(a1+(n−1)d)dx
由于a1 和d是常数，我们可以直接积分：
∫andx=21a1x2+(n−1)dx+C
其中C是积分常数。

现在，我们可以使用递推关系式来求解an+1 的不定积分：
∫an+1dx=∫(an+d)dx
利用不定积分的性质，我们可以将这个表达式拆分为两部分：
∫an+1dx=∫andx+∫ddx
由于∫ddx=d⋅x+C′，其中C′是积分常数，我们可以进一步求解：
∫an+1dx=21a1x2+(n−1)dx+d⋅x+C′。

不定积分例题及答案

求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数52x-，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C--=-+⎰ ★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰ ★★(5)4223311x x dxx +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x Cx x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2思路:分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++★(8)23(1x+⎰思路:分项积分。

有理函数的不定积分例题(由简单到复杂)

有理函数的积分1、单项式积分：(1)⎰dx 0=C.(2)⎰dx =x+C.(3)⎰dx 2=2x+C. (4)⎰dx 31=3x +C.(5)⎰adx =ax +C. (a 为常数)(6)⎰xdx =22x +C. (7)⎰xdx 2=x 2+C. (8)⎰xdx 32=⎰xdx 231=32x +C. (9)⎰dx x 2=331x +C.(10)⎰dx x 23=x 3+C.(11)⎰dx x 22=⎰2332x =323x +C. (12)⎰dx x n =11++n x n +C. (13)⎰+dx x n n )1(=x n+1+C.(14)⎰dx ax n =11++n ax n +C. (15)⎰-dx nx n 1=x n +C.2、多项式积分(16)⎰+dx x )1(=⎰xdx +⎰dx =22x +x+C.或⎰+dx x )1(=⎰++)1()1(x d x =2)1(2+x +C ’=22x +x+C. (17)⎰-dx x x )23(2=⎰dx x 23-⎰xdx 2=x 3-x 2+C.(18)⎰---dx x x x )23(23=⎰⎰⎰---xdx dx x dx x 2323=44x --x 3-x 2+C. (19)⎰-dx x )1(2020=20212021x -x+C. (20)dx x x x x x )]5()3[(3199931999++--+⎰=dx x x ⎰---)34(3=-x 4-22x -3x+C. 3、整式乘法积分(21)dx x x ⎰-)1(=dx x x ⎰-)(2=33x -22x +C. (22)dx x x ⎰-+)1)(1(=dx x ⎰-)1(2=33x -x+C. (23)⎰+dx x 2)1(=⎰++dx x x )12(2=33x +x 2+x+C. 或⎰+dx x 2)1(=⎰++)1()1(2x d x =3)1(3+x +C ’=33x +x 2+x+C. (24)dx x x ⎰+)3(22=dx x x ⎰+)62(3=24x +3x 2+C. 或dx x x ⎰+)3(22=)3()3(22++⎰x d x =2)3(22+x +C ’=24x +3x 2+C. (25)dx x x ⎰-+)12)(2(=dx x x ⎰-+)232(2=323x +232x -2x+C. 4、整式除法积分 (26)dx x⎰1=ln|x|+C. (27)dx x a ⎰=aln|x|+C.(28)dx ax ⎰1=ax ||ln +C. (29)dx x ⎰+11=)1(11++⎰x d x =ln|x+1|+C. (30)dx x x ⎰+12=)1(112122++⎰x d x =21ln(x 2+1)+C. (31)dx x x ⎰-122=)1(1122--⎰x d x = ln|x 2-1|+C. (32)dx x x ⎰-2212=)21(2112122x d x ---⎰= -ln|1-2x 2|+C. (33)dx x x x ⎰+++2312=dx x x x ⎰+++)2)(1(1=dx x ⎰+21=ln|x+2|+C. (34)dx x ⎰21=x 1-+C. (35)dx x ⎰31=221x-+C. (36)dx x ⎰43=31x-+C. (37)dx x n ⎰1=1)1(1---n x n +C. (n>1) (38)dx x ⎰20202019=20191x -+C. (39)dx x x ⎰++24212=)1()1(1212++⎰x d x =)1(21+-x +C. (40)dx x ⎰+211=arctanx+C. (41)dx x ⎰+3212=dx x ⎰+1321312=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x d x 321321612=66arctan x 32+C. (42)dx x x ⎰+14=241121dx x ⎰+=21arctanx 2+C. (43)dx x x ⎰++2212=)1(1)1(12+++⎰x d x =arctan(x+1)+C. (44)dx x ⎰-112= ⎝⎛-⎰dx x 1121-⎪⎭⎫+⎰dx x 11=21[ln(x-1)-ln(x+1)]=21ln 11+-x x +C. (45)dx x⎰-211= ⎝⎛+⎰dx x 1121+⎪⎭⎫-⎰dx x 11=21[ln(1+x)-ln(1-x)]=21ln x x -+11+C.(46)dx x x ⎰-221=dx x x ⎰---2211+dx x ⎰-211=⎰-dx +dx x ⎰-211=-x+21ln x x -+11+C. (47)dx x x ⎰+231=dx x x x ⎰++231-dx xx ⎰+21=⎰xdx -221121dx x ⎰+=-22x +21ln(1+x 2)+C. (48)dx x x x ⎰++231=dx x x x x x ⎰++-+)1()1)(1(2=dx x x x ⎰+-12=dx x x ⎰+-)11( =22x -x+ln|x|+C. (49)dx x x ⎰+220201=dx x x x x x x ⎰+-+-⋯-+-+22201620182018202011)1()( =dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⋯--220162018111=x x x x arctan 2017201920172019--⋯--+C =x k x x k k arctan 12201910091122019---∑=-+C. (50)dx x x ⎰--2313=dx x x ⎰-+)2()1(12=dx x C x B x A ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++2)1(12. 则A(x+1)(x-2)+B(x-2)+C(x+1)2≡1, 当x=2时, C=91; 当x=-1时, B=31-; 又Ax 2+Cx 2≡0, ∴A=-91. 因此得dx x x ⎰--2313=dx x x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-)2(91)1(31)1(912 =91-ln|x+1|+)1(31+x +91ln|x-2|+C ’=)1(31+x +91ln 12+-x x +C ’. (题目可能千变万化，但是万变不离其宗，绝大多数都是用这些方法解决的)。

不定积分第一类换元法

不定积分第一类换元法(凑微分法)—、方法简介设/W 具有原函数F("),即F(“) = /(“)，J7("M" = F(“) + C,如果U 是中间变量，“ = 0(X),且设0(X)可微，那么根据复合函数微分法，有dF[(p{x)] = f[(p(x)](p'(x)dx 从而根据不定积分的定义得J f{(p(x)](p\x}dx = F[^(x)] + C = ||/(")如“=如)• 则有定理：设/(“)具有原函数，”=朋)可导，则有换元公式J f[(p(x)](p\x)dx =【]*/(")〃"]“=*)由此定理可见，虽然打[血)]03心是一个整体的记号，但如用导数记号贽中的心及心可看作微分，被积表达式中的心也可当做变量x的微分来对待，从而微分等式(P\x)dx = du可以方便地应用到被积表达式中。

儿大类常见的凑微分形式：① J f (ax + b)dx = —J* f (ax + b)d(ax + Z?) (a H 0)；(2)|/(sinx)cosAz/x = J/(sinx)J sinx ,|f(cosx)sinxdx = -j/(cosx)Jcosx , [/(tanx) —= f/(tanx)J tanx , [ f(cotx) — = - f /(cotxX/cotx:J cos" x J J sinr J'③J f(hyx)-dx = j/(lnx)〃Inx, f(e x)e x dx = jf(e x)de x ;X④|7(疋貯加=丄|7(兀")〃兀"(心o) , ,J n J J x J x x “(石)牛= 2“(仮M(低)；⑤ J* /(arcs in x) : = | /(arcs in x)d arcs in x ；j /(arctanx)〔、= J /(arctanx)J arctanx:⑥复杂因式【不定积分的第一类换元法】已知J = F(u) + C求J g(x)dx = J f ((p(x))(p\x)dx = | 【凑微分】== F(“) + C【做变换，令u =(p{x)»再积分】=F@(x)) + C[变量还原，"=(p(x)]【求不定积分\gMdx的第一换元法的具体步骤如下:1(1)变换被积函数的积分形式：,(兀)心=]7(傾功0(.巧心⑵ 凑微分：Jg(x)〃x=J/(0(x))0a)〃x=“(0(x))心心)(3)作变量代换u =(p(x)得：Jg(x)& = J/0・X))0G皿=打(傾功〃处:)=j f(u)du(4)利用基本积分公式J/(“)血=F(W) + C求岀原函数:J gWdx = | f((p(x))(p\x)dx = J /(仅x))〃傾x) = j f(u)du = F(u) + C(5)将=(p(x)代入上面的结果，回到原来的积分变量x得:J gWdx = J/(0(x))0G)dx = j f((p(x})d(p{x) = = F(u) + C = F((p(x)) + C 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变^u =(p(x).省略⑶⑷步骤，这与复合函数的求导法则类似。

(完整版)不定积分例题及答案理工类吴赣昌(可编辑修改word版)

第 4 章不定积分知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！d ⎡⎰ ⎤ ⎡⎰ ⎤ 性质 1： f (x )dx = f (x ) 或 d f (x )dx = f (x )dx ；dx ⎣⎦⎣⎦性质 2： ⎰ F '(x )dx = F (x ) + C 或⎰ dF (x ) = F (x ) + C ；性质 3：⎰[f (x ) ± g (x )]dx =⎰ f (x )dx ± ⎰ g (x )dx ，,为非零常数。

设 f (u ) 的原函数为 F (u ) ， u =(x ) 可导，则有换元公式：⎰ f ((x ))'(x )dx = ⎰ f ((x ))d(x ) = F ((x )) + C设 x =(t ) 单调、可导且导数不为零， f [(t )]'(t ) 有原函数 F (t ) ，则⎰ f (x )dx = ⎰ f ((t ))'(t )dt = F (t ) + C = F (-1(x )) + Cx 2 xx 2x⎰ x1 ★(1)⎰思路: 被积函数1 = x- 5 2，由积分表中的公式（2）可解。

解：⎰dx= ⎰ x 1- 52 2dx = - 3 - 3 x 2+ C★(2) ⎰( -dx x思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

11-11- 1 3 41解： ⎰ ( 3 x - )dx = ⎰ (x 3 - x 2 )dx = ⎰ x 3dx - ⎰ x 2dx = x 3 - 2x 2 + C 4★(3) ⎰（2x+ x 2）dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

x2x22x1 3解： ⎰（2 + x ）dx = ⎰ 2 dx + x dx = + x + Cln 2 3★(4)⎰x (x - 3)dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

不定积分例题及答案

不定积分例题及答案求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)2xx思路: 被积函数522xx x-，由积分表中的公式（2）可解。

解：5322223x dx x Cxx--=-+⎰ ★(2)3(x dxx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()()24dx x x dx x dx x dx x x C x--=-=-=-+⎰⎰⎰⎰3x ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)(3)x x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：315322222(3)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰x ★★(5)4223311x x dxx +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2思路:分项积分。

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优质资料欢迎下载解法1 而(x2 . 2x 1) (x2 - ,2x 1) = 2(x2 1)所以

(x2 - - 2x 1)「；2x , —2 2 dx

(x - 2x 1)(x 、、2x 1)

2x 4 dx x 1

+ -^arcta nx2 +c.

解法3

lim 1 arctanf -, x)°一一2 .2x 2、

2 x

例1 .計算 x x4 1 = (x1 2 、2x 1)(x2 -,2x 1).

x2 - 一 2x 1 dx 2 1 dx) 'x2 + J2x +1

1 ^/2-^rdx) (x 云)2

d . 2x 1) 「T+1

4[ 1 2 ( 02j (x )- 2 2

二 1 d(.2x-1) 一 2 (2x -1)2 1 [ar

dx 1 2 1 2 (”2x 1)

dx x2 . 2x 1 1 =^^arcta n(寸 2x +1)

(x£)2 2 x2 -1

arctan ------ V2x

-1

x2 -1 arctan 八厂'

x 0 -2 2x

1 x弓

x 二解法2

当 x = 0. x

d(x-」) x 2 x 优质资料欢迎下载 ,2 2x 2、2 解将被积函数化为简单的部分分式 x3 2 A B Cx D

1 D = 分解式（*）两边同乘以X,再令X…,得

1 = A，C,= C - -1.故有 , dx=f[——B—+Cx + D]dX (x 1)3(X2 1) [ X 1 (X 1)2 X2 1 ]

1 1 1 1 2 arctan x c.

2(x 1) 2ln (x2 1) 2

例 3. 求(x4 1)2(x4 x2)dX.

解令u =X2,再用部分分式，則

3 B (-1) 2 1

B 2

3 2 2 — (X 1) (X 1) X 1 (X 1) X 1

两边同乘以（X • 1）2，约去x - 1的因子后令 (-1)2 1 2

x3 2 例 2.求(x 1)2() 1

严

两边同乘以（x 1）2，对x求导，再令x — -1，施以

上运算后，右端得A,而左端为 d x3 2 — 八一 2 lim [ 2 2 (x 1)

x dx (x 1) (x 1)

3 2 2 3 d _x 2. .. 3x (x 1) -2x(x 2) =lim [= xr 1

dx x2

6 2 2. 4

+1】迥 (x2 1)2

A =2.

在分解式 (* )中令x =0,得A B D,所以

由拼接法可有 1 x2 -1 二 —arctan—

2 2x 2、2 0

1 * x2 -1 —arctan --------

c, x = 0. JI

(*)

x3 2 =2 In x +

x =彳优质资料欢迎下载 x

1 8 ln (x8 1) 8

(x4 1) (x4 x1 2)dx du 2 2 2 (u 1)(u u)

2 2 — 2 (u 1) (u u) u u 1 u 1

—C^-D,两边乘以u,

令u—• 0,得A=1.两边乘以u • 1,再令u—• 1,

1 B .两边 2

乘以u,再令 u—.,

0 = A B C,= C 1 .令 u =1 2

(x4 1) (x4 x2)dx du

2 (u2 1)(u2 u) 1 1 1 二.[— u

2(u 1) u2 1

2]du

」n 2

1. In 2

」n 8

1 2 ln(u

„ 1.

1 1) arctanu c 4

1 2 In (x 1) ln(x 1) arcta nx c

4 8 4

1 2 arcta nx c.

(X2 1)2(X4 1)

15 x

i 8 2 dx =

(x8 1)2

7 1 x8 1 -1 8 八 2dx8 8 2 x dx 8——

(x8 1)2 8 (x8 1)

x8 1 (x8 1)2 1 ]d(x8 1)

1 8 8(x 1)

c. 优质资料欢迎下载

例10. 4 1 -t2

i竺 1 t2

「(甘 t2 1

=—I nt- 一1 +*ln (t2 +1) +arctant

一1 n(1—sin x) - c. 2 2

X4 x2dx2

1 2 H 2 1 x(2x2 1) x2 1 ln 8 8

-2x2 x 2)dx

----- 1 ■-1 xdx - dx 71 + x

例6 店2冷）2一（1內（/勺=1Ru2—（1）2du

分部积分 4u」2t)2 16 1 ln(u u2 1 2

-(2) ) c

分项 =2 x 5x

例9. 1 In 4 1 -x

1 arctan x c. 2

1 x -1 .1 x -------- dx

.1 x

2 £ i t2 i~V t i )dt

2 dx 2 dt

」(1+t2)(1-1)

+ Px2 +1 +c. 优质资料欢迎下载例11 • 1丄彳 -arcs in c, x 1 x

arcs in c, x ： -1. x

例 12.求.(x — a)(b - x)dx,其中 a b.

解由配方得

1 1 sin 2x)dx = x cos2x c. 2 4

1 (cosx-sin x)(1 sin 2x) I -J

5 2 1

(cos x-sin x)(1 sin 2x)

dx dx d/) 1 si n x 1 -x)

cos2( x)

4 2

S)c.

2 (x「a)(b「x)二 R「(x

a b2 b _a 人

〒），其中R二〒，令

xm专,则有原式

— u =Rsint 2 . i\R2_u2du 二

_2 2 . _2

1 cos2t .

R cos gR wdt

t 1 R R2 R2( sin 2t) c t sin tcost c 2 4 2 2

=」(b - a)2 arcs in 4

2x - (a b)

b「a …b),(x -a)(b -x) c. 4

3 cos x

sin x

cosx sin x dx,J dx,

' cosx +sin x

(cosx sin x)2 dx

dx dt

x、x2 -1 d-t2 =-arcsint c

cosx sin x dx