焦半径公式的三角形式及其应用
焦半径性质及其应用
口然 自廊 长
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一 ｌ ！ Ｉ 探 践！ ！！ ；
青海教育 ２ ０ 年第 ９ １ 期 ０９ —０
ｃ ｓ ， 据 椭 圆 第 二 定 义 ，Ｂ Ｉｅ ： （ 一 一Ｂ Ｊ ｓ ） ００ 根 ｝Ｆ： ｈ ｅ ｃ ！ ＩＦｃ ０ ｏ
Ｊ ： ＢＦＩ 竺二
１＋ｅｃｏ ０ ｓ
，
的 不 同 要 求 ，用 常 规 解 法 解
决 此 类 问 题 往 往 显 得 比 较 困 难 ，特 别 是 要 在 较 短 时 间 内 完 成 就 更 加 棘 手 。其 实 ， 师 教 只 要 注 意 在 教 学 中 归 纳 总 结 焦 半 径 的基 本性 质 ，指导 学 生 利 用基 本性 质去 求 解这 类 试 题 ， 题 即 可 迎 刃 而 解 。基 问
・ ． ．
推 ２ 斜 为（ ０ 直 过 曲 詈吾 论： 角 。≠的 线 双 线 一＝ 倾 ０）
１ ａ Ｏ， ＞ 左 焦 点 Ｆ（ ｃ ０） 交 双 曲 线 的 左 支 于 Ａ、 （ ＞ ｂ Ｏ） 一， 且 Ｂ （ Ａ在 Ｂ的 上 方 ） 点 ， Ｊ Ｉ ｅ － ， Ｆ 两 ￣Ｉ ａ ｌ Ｉ ＡＦ ｃ Ｂ （ ｅ
证 明 ： ｄ 点 Ａ到 右 准 线 ｘ 设 为 ＝
＋ＡＦｃ ｓ ， 据 双 曲 线 第 二 定 义 ， Ｉｅ ＝ （ 一！ ＋ＡＦ Ｉ Ｉｏ Ｏ 根 Ｉ ：ｄ ｅｃ ＡＦ Ｊ Ｉ
． ｏ Ｏ） ・ＡＦＪ ｃ ｓ ．．Ｊ ． ： 竺 二兰
１－＠Ｃ ０ － ＯＳ
设ｈ 为点Ｂ 到右准线 的距离， ：一 一 Ｆ． ： 则ｈ 。 ！ Ｉ Ｉ Ｂ
于 此 ，归 纳 总 结 出 以 下 有 关 焦 半 径 的 基 本 性 质 ，并 举 例 说 明 其 在 高 考 解 题 中 的 应 教 和学 生的学 有所裨 益 。
有关焦半径的结论及其应用
／ ３ ＭＩ 。 由ａ －ｃ ＜Ｉ Ｐ Ｆ ｌ ＜ｎ ＋ｃ ， 得 ２ 一 ＜ ｎ Ｉ Ｆ ＭＩ ＜
，
ｉ
干 ， ｒ 一
ｉ 干 ， 则ｒ —
—
／ ３
ｘ ｒ ； 一４ ｃ ｚ。又 ｒ 十ｒ 一２ ｎ ， 故 ｒ ｌ —ｒ 一— ２ ｃ
。
，
且焦 半径 的长 度 的取值 范 围是 Ｅ ａ ｍＣ ， ｎ ＋ｃ ］ 。
（ ２ ） 已知 双 曲线 一 一１ （ ｎ ＞０ ， ６ ＞０ ） 的左 、 右
ａ ｏ
左、 右 焦点 分别 为 Ｆ （ 一Ｃ ， ０ ） 、 Ｆ （ ｃ ， ０ ） ， 若 双 曲线 上
存 在一 点 Ｐ， 使 率 的取值 范 围是 。
（ １ ） 已 知 椭 圆 ． ｚ ． ｚ Ｔ ｙ Ｚ ＝ ＝ ： １ （ ｎ ＞６ ＞Ｏ ） 的左
、
下 同证 法 １ 。
右 焦 点
（ ２ ） 和（ ３ ） 的证 明略 。
分别 是 Ｆ （ 一Ｃ ， Ｏ ） 、 Ｆ 。 （ ｃ ， Ｏ ） ， Ｐ是 椭 圆 上 的 动 点 ， 设
２ ＋， ／ ｇ， 则 一 ３＜ ｌ Ｆ Ｍ［ ＜， Ｆ－ ＋ － ３
的右支 上 。
由双 曲线 的 定 义 ， 知 ｌ Ｐ Ｆ ｌ — ｌ Ｐ Ｆ ｌ 一２ ａ ， 即 ＿ ＝ ｃ ＿ Ｉ ＰＦ ２ Ｉ —Ｉ ＰＦ ２ Ｉ 一２ Ⅱ ， 则Ｉ ＰＦ ２ Ｉ 一 。
由点 Ｐ在 双 曲线 的 右 支 上 （ 不与顶点重合） ， 结 合 双 曲线 的几何 性 质 ， 知Ｉ Ｐ Ｆ。 Ｉ ＞ｃ —ｎ ， 则 ＞ｃ 一
ｚ为 点 Ｐ 的横 坐标 ， 则ｌ Ｐ Ｆ 。 ｌ 一口 ＋ｃｘ， Ｉ Ｐ Ｆ ｌ ＝ ＝ ＝ 一
圆锥曲线的焦半径巧用
圆锥曲线的焦半径巧用圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的． 椭圆焦半径： R 左 = a + x e , R 右 = a - x e ,右支双曲线焦半径：R 左 = x e + a ，R 右 = x e - a ( x > 0) ，左支双曲线焦半径：R 左 = - (x e + a )，R 右 = - (x e - a ) ( x < 0) ,抛物线焦半径：R 抛 = x +2P ． 对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x 0 , y 0)是双曲线b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2 (a > 0, b > 0) 右支上的一点，F 1, F 2是其左右焦点． 则有 左准线方程为 ca x 2-=． 由双曲线的第二定义得，左焦半径为 a ex ca x e PF +=+=0201)(||; 由 |PF 1|- |PF 2| =2a ，得 |PF 2| = |PF 2| - 2a = ex 0 - a ．( |PF 2|亦可由第二定义求得)．例1 已知F 1，F 2是椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E 的离心率e 满足 |PF 1| = e | PF 2 |，则e 的值为 ( )22)( 33)( 32)( 22)(--D C B A解法1 设F 1(- c, 0 )，F 2(c , 0)，P(x 0 , y 0)，于是，抛物线的方程为 y 2 = 2 (4 c )(x + c ) , 抛物线的准线 l ：x =- 3 c ，椭圆的准线 m ：c a x 2-=， 设点P 到两条准线的距离分别为d 1 , d 2．于是，由抛物线定义，得 d 1 = | PF 2 | , ……………………① 又由椭圆的定义得 |PF 1| = ed 2，而 |PF 1| = e | PF 2 |，………………………………②由①②得 d 2 = | PF 2 |, 故 d 1 = d 2，从而两条准线重合．∴ 3331322=⇒=⇒-=-e e c a c ．故选 (C)． 解法2 由椭圆定义得 |PF 1| + | PF 2 | = 2a ，又 |PF 1| = e | PF 2 |，∴ | PF 2 | (1+ e ) = 2a ，………① 又由抛物线定义得 | PF 2 | = x 0 + 3c , 即 x 0 = | PF 2 | - 3c ，……………………………②由椭圆定义得 | PF 2 | = a - ex 0 , ………………………………………③由②③ 得 | PF 2 | = a - e | PF 2 | + 3ec ，即 | PF 2 | (1+ e ) = a + 3ec ， ………………… ④由①④得 2a = a + 3ec ，解得 33=e ，故选 (C)． 点评 结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想．例2 设椭圆E ：b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 (a> b> 0)，的左、右焦点分别为 F 1, F 2，右顶点为A, 如果点M 为椭圆E 上的任意一点，且 |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a ．(1) 求椭圆的离心率e ；(2) 设双曲线Q ：是以椭圆E 的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q 上一点P ，试问是否存在常数λ(λ> 0)，使得∠PAF 1 =λ∠PF 1A 成立？试证明你的结论．分析 对于(1)可利用焦半径公式直接求解．而 (2) 是一探索型的命题，解题应注重探索．由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率．而∠PF 1A 显然是一锐角，又易知∠PAF 1是(0, 120o ) 内的角，且90o 是斜率不存在的角．于是，抓住90o 这一特殊角试探，可得解法1，若注重斜率的研究，考查所两角差的正切，可得解法2；若转变角的角度来观察，将∠PF 1A 变为∠PNF 1，使∠PAF 1变成△PNA 的外角，可得解法3；若考查角平分线的性质可得解法4；若从图像与所求式的特点分析得知，所求的λ必须是大于1的正数，从常规看来可以猜想到它可能是二倍角或三倍角的关系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定理，可得解法5；若是考查∠PF 1A 与∠PAF 1的图形位置，直接解三角形PAF 1，可得到解法6．(1) 解 设M(x 0, y 0), 由椭圆的焦半径定义得|MF 1| = a + ex 0，|MF 2| = a - ex 0，|MF 1|·|MF 2| = (a + ex 0)(a - ex 0) = a 2- e 2x 02,∵ |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a , 且 |x 0|≤a ，∴ a 2- e 2x 02 ≥a 2- e 2a 2 =243a ，解得 21=e ． (2) 解法1 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c ,半焦距为2c ,故 设双曲线Q 的方程为 132222=-c y c x ， 假设存在适合题意的常数λ(λ> 0)，① 考虑特殊情形的λ值．当PA ⊥x 轴时，点P 的横坐标为2c ，从而点P 的纵坐标为y = 3c ，而 |AF 1| = 3c ,∴ △PAF 1是等腰直角三角形，即 ∠PAF 1 =2π , ∠PF 1A =4π, 从而可得 λ= 2． ② PA 不与x 轴垂直时，则要证∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立即可．由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在，从而，有A PF c x y k PF 111tan 1∠=+=, 111tan 2PAF cx y k PA ∠-=-=，且有 ))((31121c x c x y -+=,………… ※ 又∵21211121)()(2122tan 11y c x y c x k k A PF PF PF -++=-=∠， 将※代入得PA k c x y y c x y c x A PF -=--=-++=∠2)()(22tan 112121111, 由此可得 tan2∠PF 1A = tan ∠PA F 1， ∵ P 在第一象限，A(2c , 0), ∴ )32,2()2,0(1πππ⋃∈∠PAF , 又∵ ∠PF 1A 为锐角，于是，由正切函数的单调性得 2∠PF 1A =∠PA F 1．综合上述得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立．解法2 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c , 半焦距为2c ,故 设双曲线Q 的方程为 132222=-c y c x ，由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在．且∠PF 1A 为锐角．又∵ ))((31121c x c x y -+=, …………………………………………………… ※设∠PF 1A =β，则 ,tan 111cx y k PF +==β 设∠PAF 1=λβ, λβ≠90o 时, 则 tan(λβ)c x y k PA 211--=-=, 而 tan(λβ-β)βλββλβtan )tan(1tan )tan(+-=))(2(1211111111cx y c x y c x y c x y +--++---=212121112)2(y c cx x c x y -----= ))((3))(2()2(111111c x c x c x c x c x y -+-+---=)()2)(()2(111111c x y x c c x c x y +=-+--=． ∴ tan(λβ-β) = tan β．∵ ∠PF 1A =β为锐角，又 ∠P A F 1 =λβ∈)32,0(π, ∴ tan(λβ-β) = tan β > 0, 故λβ-β是锐角， 由正切函数的单调性得 λ= 2．显然，当λβ= 90o 时亦成立．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立．解法3 由上述①，得λ= 2，设P ′是射线PA 上的一点, 其横坐标为x 0 ( x 0 > c )，在x 轴上取一点N (2 x 0 +c , 0)，使△P ′F 1N 为等腰三角形，∴∠P ′F 1N =∠P ′NF 1．故当∠P ′AF 1 = 2∠P ′F 1A 时，有∠P ′AF 1 = 2∠P ′NA ，从而∠AP ′N =∠P ′NA, 则 |AN| = |AP ′|，又 A(2c ,0)，于是 |AN| = |AP ′| = 2x 0-c ． 过P ′作P ′H 垂直于准线l 于H ，如图9-5．则 |P ′H| = x 0-c 21． 故 22||||00c x c x H P A P --='' = 2 = e ． 故 点P ′是双曲线上的点，且与P 重合．由x 0 > c 的任意性得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PAF 1成立．解法4 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，∵ 点P 是双曲线在第一象限内的点，又A(2c , 0)是一焦点，∴ |AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，设AD 为∠F 1AP 的平分线， ……… ※由角平分线性质及定比分点公式，得 222)32(23123111111c c x x c x c cx c x c x c c x D =+++-=-+-+-=， 由此可得，点D 在双曲线的右准线上，从而可得准线是AF 1故△AF 1D 为等腰三角形，且∠PF 1A =∠DAF 1，又由※得∠PAF 1 = 2∠PAD =2∠DAF 1， ∴ ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ，故λ＝2．解法5 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，因为点P 又A(2c , 0)是一焦点，于是，有|AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，| PF 1| 2 = (x 1 + c )2 + y 12 = x 12 + 2 x 1c+ c 2 + 3 x 12- 3 c 2 = 4 x 12 + 2 x 1c - 2 c 2, 在△APF 1中有 21212121212122432)2(2249cos c c x x c c x c c x x c F -+⨯⨯---++=∠)2(2))(2(26)(611111c x c x c x c x c c x c -+=+-+=， )2(32)224()2(9cos 12121212c x c c c x x c x c A -⨯⨯-+--+=∠c x x c c x c c x c --=-⨯⨯--=111122)2(32)2(6， 于是，有 2()2(211c x c x -+)2- 1 =cx x c --1122, 即 2(co s ∠F 1)2- 1 = cos 2∠F 1 = cos ∠A, ∵ ∠A 、∠F 1是△APF 1中的内角，且∠F 1是锐角，故有 2∠F 1 =∠A, 即 ∠PA F 1 = 2∠PNF 1， 所以λ= 2时，能使得双曲线在第一象限内所有点均有 ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ．解法6 设点P(x 1 , y 1)是双曲线第一象限的点．∵ A(2c , 0)，F 1(- c , 0)，连AP ，F 1P ，如图 9-5． 由双曲线的焦半径定义得 |AP| = 2x 1- c ,又设点N 是点F 1关于直线x = x 1的对称点，则有 |PF 1| = |PN|, 且N (2x 1+ c , 0)，从而 ∠PF 1N =∠PNF 1．又 |AN| = 2x 1 + c - 2c = 2x 1- c = |AP| , ∠APN =∠PNF 1．由此可得 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 ，即 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 = 2∠PF 1N ，所以 λ= 2．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立．点评 对于(1)，利用焦半径公式求解是解题的常规方法；对于(2)，方法1、先由特殊情形探求出λ的值，然后再证明它对一般的情形也成立，这种方法是解决有关探索性问题的常用方法；方法2巧用了斜率与正切函数的性质直接求得λ；方法6与方法3、思维独到，都是通过变换角，把∠PF 1N 变为∠PNF 1，利用三角形的内角外角的关系，发现到|AN| = |AP|，从而也就发现了相应的解法．且解法3与解法6是不同，解法6事先不知道λ的值是2，它具有探索性．而解法3是先知道λ的值，后推证P 点在双曲线上，它是具有目的的推证．解法4，具有猜想性，是我们分析问题时常用的一种思想方法；解法5，注重对两角所在的三角形的探索，坚定不移地解三角形PAF 1，抓住了问题的本质特征分析，这种方法也是使问题获得巧解的常用一种思想方法．例3 已知抛物线 y 2 = 2P x 的焦点弦AB 被焦点分成长度为m 、n 的两段，求证：P n m 211=+． 证明 设A 、B 在该抛物线的准线上的射影为C 、D ，连AD 交x 轴与E ，如图9-6．由抛物线的焦半径的定义得 |AC| = |AF| = m , |BD| = |BF| = n ,由相似三角形性质知 ||||||||AB AF BD EF =，∴ n m mn EF +=||， 同理 n m mn EH +=||，故 |EF| = |EH|, 即 E 与O 重合． 故A 、O 、D 三点共线．同理B 、O 、C 三点共线．∴ |EF| + |EH| = P =n m mn +2, 故 Pn m 211=+． 图9-6 点评 本题有一个特殊的几何模型，即直角梯形ABCD ．由此还可发现许多有用的结论：①∠CFD = 90o ;②∠CAB 的平分线与∠DBA 的平分线交于一点N ，则NA 、NB 为抛物线的切线，且∠ANB= 90o ； ③在准线上任取一点向抛物线引两条切线，则两切线互相垂直；④若M 为AB 中点，则N M 被抛物线平分；⑤若A(x 1 , y 1), B(x 2, y 2)，则 |AB| =||2121y y P-，当AB ⊥x 轴时, |AB| = 2 P; ⑥以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；⑦NF ⊥AB; y 1y 2 = - P 2; …．。
圆锥曲线的焦半径和焦点弦的三角公式
圆锥曲线的焦半径和焦点弦的三角公式
李耘
【期刊名称】《湖南教育（下旬刊）》
【年(卷),期】2010(000)010
【摘要】@@ 圆锥曲线的焦半径与焦点弦问题一直都是解析几何的重要内容,也是高考命题的热点之一.处理这类问题通常采用的是列方程求交点的方法.实际上,圆锥曲线的第二定义即涉及到圆锥曲线的焦半径.沿此思路,本文给出圆锥曲线焦半径长度的一个三角公式,进而给出圆锥曲线的焦点弦弦长的一个三角公式,从而给出圆锥曲线的焦半径与焦点弦这两类问题的一个简单的处理方法.
【总页数】2页(P52-53)
【作者】李耘
【作者单位】新疆自治区乌鲁木齐市第六十一中学
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.关于抛物线y 2=2 px(p>0)焦点弦长及焦半径长问题的解题策略
2.圆锥曲线三个性质的统一推广——与焦半径、焦点弦长、中心半径有关的定值
3.圆锥曲线中焦点分焦点弦所成的比与焦点弦所在直线倾斜角之间一个重要关系
4.多种角度探究椭圆的焦半径、焦点弦、∠F1PF2的最大值问题
5.例谈焦半径夹角公式和焦点弦性质的应用
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高中数学：椭圆焦半径的求解思路与应用
高中数学：椭圆焦半径的求解思路与应用设是椭圆上一点，和分别是点M与点的距离。
求证，其中e是离心率。
椭圆上任一点M与焦点F1或F2的距离，叫做椭圆的焦半径，也称为左焦半径，为右焦半径。
一、焦半径的求解思路研讨椭圆焦半径的不同解法，不但能从不同层面挖掘椭圆定义的潜在功能，而且能举一反三，触类旁通，学会探求以后将要学到的双曲线、抛物线的焦半径的思路方法。
思路1：由椭圆的定义有：故只要设法用等表示出（或），问题就可迎刃而解。
由题意知，两式相减得联立<1>、<2>解得：小结：在与中，前的符号不表示正、负，真正的正、负由确定。
思路2：设焦点则，即另有<2>÷<1>得：<1>、<3>联立解得：小结：把<1>、<3>两式左边的两个根式看成两个未知数，构建方程组得解。
思路3：推敲的沟通渠道，应从消除差异做起，根式中理应代换。
由点M在椭圆上，易知则由，知故同理小结：上述思路体现了先消元转换成关于的二次三项式，再化成完全平方式的思想。
由a、e是常数与，容易推出（时取得），（时取得）。
思路4：椭圆的第二定义为求焦半径铺设了沟通的桥梁。
如图，作椭圆的左准线，作MH⊥于H点则即同理可求得：小结：应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点的距离等价转化成平行于x轴的直线上点M、H的距离轻松得解，是上述四条思路中的最佳途径。
请你独立探求焦点在y轴上的椭圆上任一点的两条焦半径（）。
二、焦半径的应用在分析椭圆上的点与焦点连成的线段，尤其是两条焦半径与焦距围成的三角形，或是焦半径与准线相关联等问题时，应用焦半径公式易于发现解题思路。
例1. 在椭圆上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。
解析：设所求点由得：又即解得：代入椭圆方程得：故所求点M为（3，4），或（3，-4），或（-3，4），或（-3，-4）。
例2. 点P是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，又点P在x轴上方，为椭圆的右焦点，直线的斜率为，求的面积。
椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径公式及应用 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-椭圆焦半径公式及应用.椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。
在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。
一、公式的推导设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。
证法1：。
因为，所以∴又因为，所以∴，证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知，又，所以，而。
∴，。
二、公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。
解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。
∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。
∴，即，。
评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。
例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。
已知P、、是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。
解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。
由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。
由焦半径公式，得，。
（1）若∠为直角，则，即，解得，故。
（2）若∠为直角，则，即=，解得，故。
评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。
例3 已知椭圆C：，为其两个焦点，问能否在椭圆C上找一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
解：设存在点M（），使，由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即＋48=0，解得，或。
因此，点M不存在。
评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简。
最新高中数学椭圆焦半径公式的一种变式与应用专题辅导
高中数学椭圆焦半径公式的一种变式与应用
玉宏图
在圆锥曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。
为此，本文以椭圆为例研究它的一种变式。
E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，
则（
、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则（3
以上结论由椭圆的第二定义及第一定义易得。
P E、F是左、右焦点，PE与x
PF与x轴所成的角c是椭圆半焦距，则（1（2）
E、F是上、下焦点，PE与x
PF与x c是椭圆半焦距，则（34
Q90°时，在三角形PEQ中，有
1）得
1
中，有
以下与上述相同。
（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。
三、变式的应用
对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。
例1. （2005年全国高考题）P
E 、
F 是左右焦点，过P 作x 轴的垂线恰好通过焦点F ，若三角形PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。
133页复习参考题八B 组第3题）P 是椭圆
x 轴上方的一点，E ，F 是左右焦点，直线PF
2）得
例3. （2003F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B
解：由题意及变式（2）得
例 4. （2005年全国高考题）设F
0。
求四边形PMQN面积的最大值和最小值。
PF⊥MF，所以MF倾斜角为90°＋α，而3）式得
PMQN面积。
椭圆焦半径公式推导
椭圆焦半径公式推导椭圆是一个非常常见的几何形状，它在许多领域中都有重要的应用，例如天文学、工程学和物理学等。
椭圆的焦半径公式是描述椭圆焦点位置和椭圆长短轴之间的关系的数学公式。
在本文中，我们将推导椭圆焦半径公式，并解释其背后的数学原理。
首先，让我们回顾一下椭圆的基本定义和性质。
椭圆可以通过一个固定点（焦点）F 和一个固定长度之和（焦距）2a 来定义。
该固定长度之和是从椭圆上任意点到焦点 F1 和 F2 的距离之和。
椭圆的中心位于焦点之间的中垂线上，并且其两个焦点之间的距离为 2c（c<a）。
现在，让我们考虑一个椭圆上的任意点 P(x,y)。
我们希望找到点 P到焦点 F1 的距离 r1 和点 P 到焦点 F2 的距离 r2 之间的关系。
为了推导这个关系，我们首先需要找到点 F1 和 F2 与点 P 的关系。
根据椭圆的定义，我们知道焦点 F1 和 F2 到点 P 的距离之和等于焦距 2a。
因此，我们可以得到以下数学关系式：r1 + r2 = 2a要推导椭圆焦半径公式，我们还需要考虑椭圆的数学特性。
根据椭圆的性质，对于任意点 P(x,y)，我们有以下关系式：PF1 + PF2 = 2aPF1 - PF2 = 2c其中 PF1 和 PF2 分别表示点 P 到焦点 F1 和 F2 的距离。
现在，我们可以使用这两个关系式来消除 r2，并得到关于 r1 的方程。
将这两个关系式相加，我们可以得到：2PF1 = 2a + 2c除以 2，我们得到：PF1 = a + c再将这两个关系式相减，我们可以得到：2PF2 = 2a - 2c除以 2，我们得到：PF2 = a - c现在，我们可以用这两个等式替换前面的 r1 和 r2，得到：PF1 + PF2 = 2(PF1) = 2(a + c)PF1 - PF2 = 2(PF2) = 2(a - c)这两个等式可以简化为以下形式：PF1 = a + cPF2 = a - c现在，我们可以将这些方程应用于三角函数的定义。
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焦半径公式的三角形式及其应用重庆清华中学张忠焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新, 故值得我们进一步总结与研究。
焦半径公式的代数形式：设F I,F2是曲线的左、右焦点，点P(X o,y。
)在曲线上，记r1PF1、r2PF2为左、右焦半径。
则在椭圆中：r i a ex o, r2 a ex o ；在双曲2 p线中：r1ex0a, r2ex0a ；在抛物线y 2px(p 0)中：r x0专。
若焦点在y轴上时，则把相应的X。
改为y o即可。
因应用情形比较常见，不再叙述。
，本文介绍它的三角形式及其应用。
定理1：若椭圆的离心角为贝U (1)|PF i| = a + ccos 0; (2)|PF 2| = a —ccos 0.证明：•••椭圆的离心角为0,由椭圆参数方程知点P的横坐标为acos0，依焦半径的代数形式知：|PF i| = a+ex p= a + ea • cos 0= a + c • cos 0 ,|PF 2| = a—ex p= a —c • cos 0.例1. F i、F2是椭圆+ y2= 1的左右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1| • |PF2|的最大值是_______ ,最小值是__________ .(1996年第七届“希望杯”赛)解：设椭圆的离心角为0,又知a= 2, c2= 3，由定理1得2 2 2 2|PF 1|c • |PF 2| = a —c cos 0 = 4 —3cos 0•/0< cos 0W1 故知|PF1|c • |PF 2| max= 4—3 • 0= 4|PF1| • |PF2| min= 4 —3 • 1= 1例2.椭圆的左右焦点为F1、F2,试问此椭圆的离心率e在什么值范围内，椭圆上恒存在点P,使得PF i ± PR。
解：2 2 2 2 2 2设椭圆方程为b x + a y = a b (a > b> 0)，离心角为B,依题设、定理1及勾股定理得(2 c) 2= (a —ccos 0) 2+ (a + ccos 0) 2化简得cos20 =2O w cos20<1 , ••• 0W2<1结合0 v e v 1PFeFH 1 ecos ep 1 ecos，这里p 为焦准距，在椭圆和双曲线中,b 2W e v 1为所求。
或下方时，只需将视为y 轴到直线PF 的角即可。
证明：则在圆锥曲线中，有以下几种情形:1. 准线在焦点右侧；2. 准线在焦点左侧；3. 准线在焦点上方；4. 准线在焦点下方；对于情形1：准线在焦点右侧，女吓图1,设点P(x 0,y 0)在圆锥曲线上，F 是焦点，QH 是准线所在直线，x 轴到直线PF 的角为，过点P 作PQ QH 于Q ，过点F 作FH QH 于H ，则:|PF ePQ , |PQ FH| PF cos ，可得定理2：在圆锥曲线中，准线在焦点右侧时，焦半径线PF 的角，p 为焦准距，在椭圆和双曲线中，因p点左侧时,PFep一，在椭圆和双曲线中,1 ecosPFb 2PFep ，这里为x 轴到直1 ecosPF b 2b 2。
准线在焦a ccos。
准线在焦点上方a ccosF 面看角焦半径公式在高考中的应用:例3. （07、重庆）过双曲线C ： x 2 y 2 4的右焦点F 作倾斜角为105°的直线，与双曲线C 交于A 、B 两点，贝U | AF | • | BF | 解：由题设有:| AF | =ep—1 ecos2 1 , 2cos1050| BF |2 1. 2cos1050对于情节形3、4,如下两图，只需将上两种情形中的 的几何意义改为y 轴到直线PF的角即可。
具体化到椭圆和双曲线中，有公式|PFb 2 a ccos,抛物线中，有公式PF—P — 1 cos对于情形2，如下图，准线在焦点左侧，同理可得:PFeFH 1 ecos eP——，这里p 为焦准距，在椭圆和双曲1 ecos线中,b 2。
c具体化到椭圆和双曲线中，有公式PFb 2 ，抛物线中，有公式a ccosPFfi19因此 a 6 , b . a 2 c 2 273.3 . x 2故所求椭圆方程为36(II )记椭圆的右顶点为A ，并设 AFR (i 1, 2, 3),不失一般性,又设点 P 在I 上的射影为 Q i , 因椭圆的离心率3 .--，从而有a 2FR解得PQ i e 1 c FR cos i e -(9 2FP cos i ) (i 1,2,3).FP1cos i (i 1,2,3).例4. ( 07.重庆理22)如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F ( 3, 0),右准线I 的方程 为：x = 12。
(1 )求椭圆的方程；为定值，并求此定值。
I AF | • | BF | =4 2 01 2cos 210504 41 (1 cos2100) cos3008、3~3~(2)在椭圆上任取三个不同点P 1, F 2, P 3，使 R FP 2 P 2FP 3 F 3FF 1，证明解：(I )2 设椭圆方程为笃 a2y_ b 21 .因焦点为 F (3,0)，故半焦距a 2又右准线I 的方程为x ，从而由已知ca 2212, a 36 ,类似地有| FB | 4 | FB | cosa ，解得| FB |1 cosa记直线m 与AB 的交点为E ,则所以|FP|近目4r -。
cosa sin a故 |FP | | FP|cos2a —(1 cos2a) sin a|FE| |FA| |AE| |FA| |FA| |FB|212(|FA||FB|)1 42 1 cosa4 1 cosa4 cos a sin 2 a解法二：设 A(X A ，y A ), B(X B , y B )，直线AB 的斜率为 k tan a ，则直线方程为因此|FR|FP 2 FP 31 cos 21 cos coscos cos 1 cos cos 1 cos 1 2 1 .3 . 1 sin 1 cos 1 2 2 — sin 1 0 ,21 FP 「1 1 F p 2「FP ；I 为定值.例5. ( 07•重庆文 21)如右图，倾斜角为a 的直线经过抛物线 的焦点F ,且与抛物线交于 A 、B 两点。
(I)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线I 的方程；(H)若a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交x 轴于点 证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。
解：(I)设抛物线的标准方程为 P 4.因此焦点F (— ,0)的坐标为(2 又准线方程的一般式为 x 从而所求准线I 的方程为x y 2 2px ，则 2p 8，从而2, 0). P 。
22。
(n)解法一：如图(21)图作AC 丄l , BD 丄I ，垂足为C 、D ，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A 、B 的横坐标分别为X x x z ,则 |FA|= |AC|= X xp |FA|cosa 号| FA | cos a 4解得| FA |4 1 cosa4 -2sin 2 asin ay k(x 2)。
将此式代入y28x,得k2x24(k22)x 4k20，故x A x B 记直线m与AB的交点为E(x E, y E)，则X A X B2( k22)XE 厂2 k24y E k(X E 2)k故直线m的方程为y令y=0,得P的横坐标|FP| x p 2 理笃k22k2 4Hk^X P1)从而|FP| |FP|cos2a 2k24sin2a4—(1sin a cos 2a)24 -2sin a28为定值。
sin a26. (08、安徽)设椭圆C:冷a2Y y 1(a > b> 0)其相应于焦点F(2 , 0)的准线方程为b4 • (1)求椭圆C的方程；(2)已知过点£( —2, 0)倾斜角为的直线交椭圆C于A、B4 £‘2两点，求证：|AB| = — ; (3)过点F1 (—2, 0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C2 cos于点A、B和D、E，求|AB| + |DE|的最小值.2 2解：⑴椭圆C的方程为—1 ；8 4(2) F1( —2,0)是椭圆C的左焦点，离心率e于，设L为椭圆的左准线, 则L : x = — 4 .作AA i丄L于A i, BB i丄L于B i , L与x轴交于点H .l•点A在椭圆上,AF1—|A A^| —( HF1 AF1 cos2 2AF122 cos，同理BF122 cosAF1BF12■2 cos2、:2 cos4「22 cos2Ak(k22)。
(3)设x 轴到直线AB 的角为，由于DE AB,由(2)可得积的最大值和最小值.16 1— WS PMQN W2 .9已知抛物线 G : x2 = 4y 的焦点为F . (1)过点P (0, - 4) (2)设A 、B 为抛物线 G 上异于原点的两点，且满足AF 、BF 分别与抛物线 G 交于点C 、D ,求四边形ABCD 的面积的最小值.2解：(1)设切点为Q(x 0,jX °).由y ，=仝,知在点Q 处的切线斜率k =西•故4 2 2AB42 2 ，2 cosAB |DEDE4.2 2 cos 234时,AB例 7. (05、全国 2) P 、Q 、 4 2 2 sin 2 4迈 2 sin 212.2 2 sin 2 cos 212 一2 2 - sin 2 24DE 取得最小值以2 .3M 、N 四点都在椭圆x 21上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点•已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且PF • MF = 0,求四边形PMNQ 的面解：y 轴到直线PF 的角为 (0WBW —). a 222, b = 1, c = 1,,P =b 2丄由公式直接有：|PQ|=2|1 2二2 ^cos 2 |2 cos2同理: |MN|.2 sin •••• PQ! MN ••• S PMQN1• |PQ| • |MN| 2SPMQN2 ,2 2 cos 22 sin 241 22 —(sin2 )24由 0WBW —,所以 0w sin22例& ( 07、安徽) 切线，求切线方程； FA • FB = 0.延长 2 2作抛物线的2 2所求切线方程为：y —虫=’（x — X 。
）.即y =卫x — Xo •因为点P （ 0, - 4）在切线上,4 2 2 42所以：-4=号•0-乡，求得X0=±4.所求切线方程为：y=±2x -4.（2）设y 轴到直线 AC 的角为B. e = 1,p = 2,由公式有：|AC| = ---------- |1-1附同类练习题：32题1.（2009年高考全国卷n 理科题） 已知双曲线的右焦点为厂,过F 且斜率为丛的直线交二于—-两点。