曲线与方程ppt

问题二曲线的交点问题
• 例1：l:y=kx+2,C:y2=4x,当k为何值时，两 曲线有一个公共点？ • 例2：抛物线y=x2+mx+2与以A(0,1)B(2,3) 为端点的线段AB有两个不同的交点，求 m的取值范围。
三角形AOB中，∠AOB=60o ，AB在直线x=3上 移动，求三角形AOB外wenku.baidu.com的轨迹方程。
点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ( x1 1) ( y1 1)
2 2
M 1 B ( x1 3) 2 ( y1 7) 2 (4 2 y1 ) 2 ( y1 7) 2 5( y12 6 y1 13) M 1 A M 1B ,
(8 2 y1 ) 2 ( y1 1) 2 5( y12 6 y1 13) ;
由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：
( x 1) 2 ( y 1) 2 ( x 3) 2 ( y 7) 2
将上式两边平方，整理得
x+2y－7=0
①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是 方程①解； （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即 x+2y1－7=0 x1=7－2y1
解析几何与坐标法：
• 学过曲线的方程,方程的曲线的概念之后,我 们可以借助坐标系,用坐标表示点,把曲线看 成是满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲 线上的点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0 表示曲线，通过研究方程的性质间接研究曲 线的性质，我们把借助于坐标系研究几何图 形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法 研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何 的学科.因此，解析几何是用代数方法研究 几何问题的一门数学学科.
1°曲线C上任一点的坐标都是方程f(x，y)=0的解． 2°以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上． (2)把点M1（3，－4）的坐标代入方程x2+y2=25，左右两边 相等，（3，－4）是方程的解，所以点M1在这个圆上；把 点M2（－2，2）的坐标代入方程x2+y2=25，左右两边不等， （－2，2）不是方程的解，所以点M2不在这个圆上.
2,下列各组方程表示相同的曲线是 A, y x, y x 2
B, ( x 1) 2 ( y 2) 2 0, ( x 1)( y 2) 0 C, y 2 x2 , y x 1 D, y , xy 1 x
3,点（2，－3）在曲线x2-ay2=0上，则a=____
x,y的制约关系 代数意义
方程f(x,y)=0
反馈练习
1已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C 上，下列命题中正确的是： A曲线C上的点的坐标都适合方程f(x,y)=0 B不在曲线C上的点的坐标比不适合方程 f(x,y)=0 C凡坐标不适合方程f(x,y)=0的点都不在C 上 D曲线C是满足条件f(x,y)=0的点的轨迹
点在曲线上的充要条件： 如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P0=（x0,y0）. 在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.
• 曲线的点集与方程的解集之间的关系 点M与有序实数对（x,y），曲线C与方程 f(x,y)=0之间建立一一对应的关系。
点M 按某种运动规律 几何意义 曲线C
坐标(x,y)
平面解析几何研究的主要问题： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的 方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质.
例2 设A、B两点的坐标是（－1，－1），（3，7），
求线段AB的垂直平分线的方程.
解：设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点 点M属于集合
P M | MA || MB |
建系—列式—化简—证明
例3，M与两条互相垂直的直线的距离的积是k(k>0), 求M的轨迹方程。
例4， 已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A （0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲 线的方程.
问题一相关点法求轨迹
• 例1：已知三角形ABC中，A(-2,0)B(0,2) 第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动，求 三角形ABC的重心G的轨迹方程。 • 例2：过点P(2,4)做两条相互垂直的直线 l1l2，若l1交x轴与点A,l2交y轴于B点，求 线段AB中点M的轨迹方程
曲线与方程
直线 抛物线
曲线与方程概念
一般地，在直角坐标系中，如果其曲线 c 上的点与一 个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点， 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程 的曲线.
定义中为什么要作两条规定？从集合的角度来看： 一条曲线C和一个方程f(x，y)＝0可以是同一个点 集在“形”和“数”两个不同方面的反映，只有 当曲线所表示的点集C与方程f(x，y)=0的解所表 示的点集F是同一个点集，即C=F时，才能称曲线 为方程的曲线，方程为曲线的方程，那么怎样验 证C=F呢？从以下两个方面：
1°曲线C上任一点的坐标都是方程f(x，y)=0的解． 2°以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上．
当1°2°同时满足时，C=F，即曲线与方程之间是 对应的．
例题讲解：
例1 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是 x2+y2=25,并判断点M1（3，－4）、M2（－2，2） 是否在这个圆上.
即点M1在线段AB的垂直平分线上 由（1）、（2）可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般 有下面几个步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲 线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合P={M|p（M）}； （3）用坐标表示条件p（M），列出方程f(x,y)=0; （4）化方程f(x,y)=0为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.