2019年河北省中考数学试卷及答案解析

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河北省2019年初中毕业生升学文化课考试

数 学

一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列图形为正多边形的是

（ ）

A

B

C

D

2.规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作 （ ） A.3+

B.3-

C.1

3

- D.13

+ 3.如图，从点C 观测点D 的仰角是

（ ）

A.∠DAB

B.∠DCE

C.∠DCA

D.∠ADC 4.语句x 的1

8

与x 的和不超过5可以表示为

（ ）

A.

58

x

x +≤ B.

58

x

x +≥ C.

8

55

x ≤+ D.8

=55

x + 5.如图，菱形ABCD 中，150D ∠=?，则1∠=

（ ）

A.30?

B.25?

C.20?

D.15?

6.小明总结了以下结论：①()a b c ab ac +=+；②()a b c ab ac -=-； ③()(0)b c a b a c a a -÷÷-÷≠＝；④()(0)a b c a b a c a ÷+=÷+÷≠ 其中一定成立的个数是

（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

7.下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容

则回答正确的是

（ ）

A.◎代表FEC ∠

B.@代表同位角

C.▲代表EFC ∠

D.※代表AB

8.一次抽奖活动特等奖的中奖率为

150000，把1

50000

用科学记数法表示为（ ） A.4

510?﹣

B.5

510?﹣

C.4

210?﹣

D.5

210?﹣

9.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为

（ ）

A.10

B.6

C.3

D.2 10.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是

（ ）

A

B C

D

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11.某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是

（ ）

A.②→③→①→④

B.③→④→①→②

C.①→②一④→③

D.②→④→③→①

12.如图，函数()()1

010x x

y x x

???=??-??＞，＜的图象所在坐标系的原点是

（ ）

A.点M

B.点N

C.点P

D.点Q

13.如图，若x 为正整数，则表示22(2)1

441

x x x x +-+++的值的点落在

（ ）

A.段①

B.段②

C.段③

D.段④

14.图2是图1中长方体的三视图，若用S 表示面积，22

2S x x S x x ++主左＝，＝，则S 俯＝

（ ）

A.232x x ++

B.22x +

C.221x x ++

D.223x x +

15.小刚在解关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-.他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2.则原方程的根的情况是

（ ） A.不存在实数根

B.有两个不相等的实数根

C.有一个根是1x =-

D.有两个相等的实数根

16.对于题目：如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n .甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长

x ，再取最小整数n .

甲：如图2，思路是当x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取13n =.

乙：如图3，思路是当x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取14n =. 丙：如图4，思路是当x 为矩形的长与宽之和的√2

2倍时就可移转过去；结果取13n =. 下列正确的是

（ ）

A.甲的思路错，他的n 值对

B.乙的思路和他的n 值都对

C.甲和丙的n 值都对

D.甲、乙的思路都错，而丙的思路对

二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每

空2分，把答案写在题中横线上） 17.若2107777p --??＝，则p 的值为 .

18.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数. 示例：

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即437+=

则（1）用含x 的式子表示m = ； （2）当2y =-时，n 的值为 .

19.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：km ）笔直铁路经过A ，B 两地. （1）A ，B 间的距离为 km ；

（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为 km

三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20.有个填写运算符号的游戏：在“1269□□□”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果. （1）计算：1269+--；

（2）若12696÷?=-W ，请推算□内的符号；

（3）在“1269-□□”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数.

21.已知：整式22212A n n =+（﹣）（）

，整式0B ＞. 尝试 化简整式A . 发现 2A B =，求整式B .

联想 由上可知，22221)()(2B n n +=-，当1n ＞时，21n -，2n ，B 为直角三角形的直角三角形三边 21n -

2n B

勾股数组Ⅰ /

8

勾股数组Ⅱ 35 /

22.某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种.从中随机拿出一个球，已知P （一次拿到8元球）1

2

=. （1）求这4个球价格的众数；

（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练.

①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；

②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两 又拿 先拿

23.如图ABC △和ADE △中，630AB AD BC DE B D ===∠=∠=?，，，边AD 与边BC 交于点P （不与点B ，C 重合），点B ，E 在AD 异侧，I 为APC △的内心. （1）求证：BAD CAE ∠∠＝；

（2）设AP x =，请用含x 的式子表示PD ，并求PD 的最大值；

（3）当AB AC ⊥时，AIC ∠的取值范围为m AIC n ?∠?＜＜，分别直接写出m ，n 的值.

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24.长为300 m 的春游队伍，以v （m /s ）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v （m /s ），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从位置O 开始行进的时间为t （s ），排头与O 的距离为S 头（m ）.

（1）当2v =时，解答：

①求S 头与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）；

②当甲赶到排头位置时，求S 头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O

的距离为S m 甲（），求S 甲与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）

（2）设甲这次往返队伍的总时间为T （s ），求T 与v 的函数关系式（不写v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程.

25.如图1和2，ABCD Y 中，4

315tan =3

AB BC DAB ==∠，，点P 为AB 延长线上一点，过点A 作O e 切CP 于点P ，设BP x =.

（1）如图1，x 为何值时，圆心O 落在AP 上？若此时O e 交AD 于点E ，直接指出PE 与BC 的位置关系；

（2）当4x =时，如图2，O e 与AC 交于点Q ，求CAP ∠的度数，并通过计算比较弦

AP 与劣弧?PQ

长度的大小； （3）当O e 与线段AD 只有一个公共点时，直接写出x 的取值范围.

26.如图，若b 是正数，直线l ：y b =与y 轴交于点A ；直线a y x b =-：与y 轴交于点B ；抛物线L ：2y x bx =-+的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D .

（1）若8AB =，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；

（3）设00x ≠，点（0x ，1y ），（0x ，2y ），（0x ，3y ）分别在l ，a 和L 上，且y 3是

y 1，y 2的平均数，求点（0x ，0）与点D 间的距离；

（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为美点，分别直接写出201920195b b .==和时“美点”的个数.

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河北省2019年初中毕业生升学文化课考试

数学答案解析

一、选择题 1.【答案】D

【解析】正五边形五个角相等，五条边都相等， 故选：D 。

【提示】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案。 【考点】多边形 2.【答案】B

【解析】“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作-3。 故选：B 。

【提示】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示。“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作3-。

【考点】正数和负数 3.【答案】B

【解析】∵从点C 观测点D 的视线是CD ，水平线是CE ， ∴从点C 观测点D 的仰角是DCE ∠， 【提示】根据仰角的定义进行解答便可。 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 4.【答案】A

【解析】“x 的18与x 的和不超过5”用不等式表示为1

58

x x +≤

故选：A 。 【提示】x 的1

8即18

x ，不超过5是小于或等于5的数，按语言叙述列出式子即可。 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式 5.【答案】D

【解析】∵四边形ABCD 是菱形，150D ∠=?， ∴AB CD ∥，21BAD ∠=∠， ∴180BAD D ∠+∠=?， ∴18015030BAD ∠=?-?=?， ∴115∠=?； 故选：D 。

【提示】由菱形的性质得出21AB CD BAD ∠=∠∥，，求出30BAD ∠=?，即可得出

115∠=?。

【考点】菱形的性质 6.【答案】C

【解析】①a b c ab ac +=+（），正确； ②a b c ab ac -=-（），正确；

③0b c a b a c a a -÷=÷-÷≠（）（）

，正确； ④0a b c a b a c a ÷+=÷+÷≠（）（），错误，无法分解计算。 故选：C 。

【提示】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案。 【考点】单项式乘多项式 7.【答案】C

【解析】证明：延长BE 交CD 于点F ，

则BEC EFC C ∠=∠+∠（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）。 又BEC B C B EFC ∠=∠+∠∠=∠，得。 故AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）。 故选：C 。

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【提示】根据图形可知※代表CD ，即可判断D ；根据三角形外角的性质可得◎代表EFC ∠，即可判断A ；利用等量代换得出▲代表EFC ∠，即可判断C ；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角。 【考点】平行线的判定 8.【答案】D 【解析】

51

00000221050000

.==?﹣ 故选：D 。

【提示】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -?，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。 【考点】科学记数法—表示较小的数 9.【答案】C

【解析】如图所示，n 的最小值为3，

故选：C 。

【提示】由等边三角形有三条对称轴可得答案。 【考点】利用轴对称设计图案 10.【答案】C

【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心。 故选：C 。

【提示】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断。 【考点】三角形的外接圆与外心 11.【答案】D 【解析】由题意可得，

正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类， 故选：D 。

【提示】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题。 【考点】调查收集数据的过程与方法；频数（率）分布表；扇形统计图 12.【答案】A

【解析】由已知可知函数()()1

010x x

y x x

???=??-??＞，＜关于y 轴对称，

所以点M 是原点； 故选：A 。

【提示】由函数解析式可知函数关于y 轴对称，即可求解； 【考点】反比例函数的图象

13.【答案】B

【解析】∵2222(2)1(2)111441(2)111

x x x x x x x x x x ++-=-=-=+++++++

又∵x 为正整数，

∴1

12

1

x x +≤＜ 故表示2

221

441

x x x x +-+++（）的值的点落在②

故选：B 。

【提示】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x 为正整数，从所给图中可得正确答案。 【考点】分式的加减法

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14.【答案】A

【解析】∵2

2221S x x x x S x x x x =+=+=+=+主左（），（），

∴俯视图的长为2x +，宽为1x +，

则俯视图的面积22132S x x x x =

++=++俯（）（）， 故选：A 。

【提示】由主视图和左视图的宽为x ，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案。

【考点】几何体的表面积，由三视图判断几何体 15.【答案】A

【解析】∵小刚在解关于x 的方程200ax bx c a ++=≠（）时，只抄对了14a b ==，，解出其中一个根是1x =-，

∴2

140c --+=（），

解得：3c =， 故原方程中5c =，

则241641540b ac -=-??=-＜， 则原方程的根的情况是不存在实数根。 故选：A 。

【提示】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程求出答案。 【考点】解一元二次方程-公式法，根的判别式 16.【答案】B

【解析】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为14n =；

乙的思路与计算都正确；

丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 故选：B 。

【提示】平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点。 【考点】矩形的性质，正方形的性质，平移的性质，旋转的性质 二、填空题 17.【答案】3-

【解析】∵2107777p --??=， ∴210p --+=， 解得：3p =-。 故答案为：3-。

【提示】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案。 【考点】零指数幂，负整数指数幂 18.【答案】（1）3x （2）1

【解析】（1）根据约定的方法可得：

23m x x x =+=；

故答案为：3x ；

（2）根据约定的方法即可求出n

223x x x m n y +++=+=。

当2y =-时，532x +=-。 解得1x =-。

∴23231n x =+=-+=。 故答案为：1。

【提示】（1）根据约定的方法即可求出m ； （2）根据约定的方法即可求出n 。 【考点】列代数式；代数式求值 19.【答案】（1）20 （2）13

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【解析】（1）由A 、B 两点的纵坐标相同可知：AB x ∥轴， ∴12820AB =--=（）；

（2）过点C 作CE AB ⊥于点E ，连接AC ，作AC 的垂直平分线交直线l 于点D ， 由（1）可知：11718CE =--=（），

12AE =，

设CD x =， ∴AD CD x ==，

由勾股定理可知：22

21812x x =-+（），

∴解得：13x =， ∴13CD =，

故答案为：（1）20；（2）13；

【提示】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB 的长度； （2）根据A 、B 、C 三点的坐标可求出CE 与AE 的长度，设CD x =，根据勾股定理即可求出x 的值。

【考点】勾股定理的应用

三、解答题

20.【答案】（1）－12 （2）－ （3）－20

【解析】（1）1269+--

369=--

12=-；

（2）∵12696÷?=-□， ∴1696=-□， ∴396=-□，

∴□内的符号是“－”； （3）这个最小数是－20，

理由：∵在“1269-□□”的□内填入符号后，使计算所得数最小， ∴126□□的结果是负数即可， ∴126□□的最小值是12611-?=-， ∴1269-□□的最小值是11920--=-， ∴这个最小数是－20。

【提示】（1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号； （3）先写出结果，然后说明理由即可。 【考点】有理数的混合运算 21.【答案】17； 37

【解析】2224224222

A=n -1+2n =n -2n +1+4n =n +2n +1=n +1（）（）（）

， ∵2A=B B 0，＞， ∴2B=n +1，

当当22135137n n -=+=时，。 故答案为：17；37

【提示】先根据整式的混合运算法则求出A ，进而求出B ，再把n 的值代入即可解答。 【考点】幂的乘方与积的乘方；勾股数 22.【答案】（1）8 （2）①7，8，8，9 ②

4

9

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【解析】（1）∵P （一次拿到8元球）1

2

=

， ∴8元球的个数为1

422

?=（个），按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，

∴这4个球价格的众数为8；

（2）①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；理由如下： 原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9， ∴原来4个球价格的中位数为

88

82

+=（元）

， 所剩的3个球价格为8，8，9， ∴所剩的3个球价格的中位数为8元，

∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；

②列表如图所示：共有9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，

∴乙组两次都拿到8元球的概率为4

9

。

【提示】（1）由概率公式求出8元球的个数，由众数的定义即可得出答案； （2）①由中位数的定义即可得出答案；

②用列表法得出所有结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，由概率公式即可得出答案。

【考点】分式方程的应用；中位数；众数；概率公式；列表法与树状图法 23.【答案】（1）BAD CAE ∠=∠ （2）6PD x =- （3）105150m n ==，。

【解析】（1）在ABC △和ADE △中，（如图1）

AB AD B D BC DE =??

∠=∠??=?

∴ABC ADE SAS △≌△（） ∴BAC DAE ∠=∠

即BAD DAC DAC CAE ∠+∠=∠+∠ ∴BAD CAE ∠=∠。 （2）∵6AD AP x ==，， ∴6PD x =- 当AD BC ⊥时，1

32

AP AB =

=最小，即633PD =-=为PD 的最大值。 （3）如图2，设BAP ∠=α，则30APC ∠=α+°， ∵AB AC ⊥

∴90BAC ∠=?，60PCA ∠=?，90PAC ∠=?-α， ∵I 为APC △的内心

∴AI 、CI 分别平分PAC PCA ∠∠，， ∴1

2IAC PAC ∠=∠，1

2

ICA PCA ∠=

∠ ∴180AIC IAC ICA ∠=?-∠+∠（）

1

1802PAC PCA =?-∠+∠（）

1

18090602

=?-?-α+?（）

∵090α?＜＜，

∴1

1051051502

?α+??＜＜°，即105150AIC ?∠?＜＜，

∴105150m n ==，。

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【提示】（1）由条件易证ABC ADE △≌△，得BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠。 （2）6PD AD AP x =-=-，∵点P 在线段BC 上且不与B 、C 重合，∴AP 的最小值即

AP BC ⊥时AP 的长度，此时PD 可得最大值。

（3）I 为APC △的内心，即I 为APC △角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180?及角平分线定义即可表示出AIC ∠，从而得到m ，n 的值。 【考点】三角形综合题 24.【答案】（1）2300S t =+头

（2）400

T v

=

400m

【考点】反比例函数的应用

【提示】（1）①排头与O 的距离为S m 头（）。等于排头行走的路程+队伍的长300，而排

头行进的时间也是t （s ），速度是2 m/s ，可以求出S 头与t 的函数关系式；

②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S 即可；在甲从排

头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为S m 甲（）是在S 的基础上减少甲返回的路程，

而甲返回的时间（总时间t 减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求S 甲与t 的函数关系式；

（2）甲这次往返队伍的总时间为T （s ），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度×返回时间。 【解析】（1）①排尾从位置O 开始行进的时间为t （s ），则排头也离开原排头t （s ）， ∴2300S t =+头

②甲从排尾赶到排头的时间为30023003002150 v v v s ÷-=÷=÷=（），此时

2300600 S t m =+=头甲返回时间为：150t s -（） ∴2150300415041200S S S t t =-=?+--=-+甲甲回头（）；

因此，S 头与t 的函数关系式为2300S t =+头，当甲赶到排头位置时，求S 的值为600 m ，

在甲从排头返回到排尾过程中，S 甲与t 的函数关系式为41200S t =-+甲。 （2）300300400

=

22T v

v v v v t t +=

-=++返回追及， 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：400

400v v

?=； 因此T 与v 的函数关系式为：400

T v

=

，此时队伍在此过程中行进的路程为400 m 。

25.【答案】（1）PE BC ⊥ （2）45CAP ∠=?，

弦AP 的长度＞劣弧?PQ

长度。 （3）18x ≥

【解析】（1）如图1，AP 经过圆心O ，∵CP 与O e 相切于P ， ∴90APC ∠=?， ∵ABCD Y ， ∴AD BC ∥， ∴PBC DAB ∠=∠ ∴

4

3

tan PBC C tan D P BP AB ∠∠===，设4CP k =，3BP k =，由222CP BP BC +=，

毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________ ____________________________________________________

-------------

在--------------------此

--------------------

卷--------------------上

--------------------

答--------------------

题--------------------无

--------------------

效------------

得22

24315k k +=（）（），解得13k =-（舍去）

，23k =， ∴339x BP ==?=，

故当9x =时，圆心O 落在AP 上； ∵AP 是O e 的直径， ∴90AEP ∠=?， ∴PE AD ⊥， ∵ABCD Y ， ∴BC AD ∥ ∴PE BC ⊥

（2）如图2，过点C 作CG AP ⊥于G ， ∵ABCD Y ， ∴BC AD ∥， ∴CBG DAB ∠=∠

∴4

tan tan 3

CG CBG DAB BG =∠=∠=， 设4CG m =，3BG m =，由勾股定理得：2224315m m +=（）（），解得3m =，

∴4312339945347CG BG PG BG BP AP AB BP =?==?==-=-==+=+=，，，， ∴3912AG AB BG =+=+= ∴12

112

CG tan CAP AG ∠=

==， ∴45CAP ∠=?；

连接OP ，OQ ，过点O 作OH AP ⊥于H ，则224590POQ CAP ∠=∠=??=?，

1722

PH AP ==， 在Rt CPG V

中，CP 13===， ∵CP 是O e 的切线，

∴90OPC OHP ∠=∠=?，90OPH CPG ∠+∠=?，90PCG CPG ∠+∠=? ∴OPH PCG ∠=∠ ∴OPH PCG V V ∽

∴PH CG

OP CP

=

，即PH CP CG OP ?=?，713122OP ?=， ∴91

24

OP =

∴劣弧?PQ

长度9190912418048

π?

==π， ∵

91

2748

ππ＜＜ ∴弦AP 的长度＞劣弧?PQ

长度。 （3）如图3，O e 与线段AD 只有一个公共点，即圆心O 位于直线AB 下方，且90OAD ∠≥?， 当90OAD ∠=?，CPM DAB ∠=∠时，此时BP 取得最小值，过点C 作CM AB ⊥于M ， ∵DAB CBP ∠=∠， ∴CPM CBP ∠=∠ ∴CB CP =， ∵CM AB ⊥

∴22918BP BM ==?=， ∴18x ≥

毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________

____________________________________________________

-------------

在--------------------此

--------------------

卷--------------------上

--------------------

答--------------------

题--------------------无

--------------------

效------------

【提示】（1）由三角函数定义知：Rt PBC V 中，

4

3

tan PBC C tan D P BP AB ∠∠===，设4CP k =，3BP k =，由勾股定理可求得BP ，根据“直径所对的圆周角是直角”可得

PE AD ⊥，由此可得PE BC ⊥；

（2）作CG AB ⊥，运用勾股定理和三角函数可求CG 和AG ，再应用三角函数求CAP ∠，应用弧长公式求劣弧?PQ

长度，再比较它与AP 长度的大小； （3）当O e 与线段AD 只有一个公共点时，O e 与AD 相切于点A ，或O e 与线段DA 的延长线相交于另一点，此时，BP 只有最小值，即18x ≥。 【考点】圆的综合题 26.【答案】（1）（2，-2） （2）1

（3）1

2

（4）①当2019b =时，4040个 ②当2019.5b =时，1010个。

【解析】（1）当0x =吋，y x b b =-=-， ∴B （0，-b ），

∵8AB =，而A （0，b ）， ∴8b b --=（）， ∴4b =。

∴L ：24y x x =-+， ∴L 的对称轴2x =， 当242x y x ==-=-吋，，

∴L 的对称轴与a 的交点为（2，-2）；

（2）22

42b y x b =--+（），

∴L 的顶点C （2,24

b b

）

∵点C 在l 下方，

∴C 与l 的距离22

121144

b b b -=--+≤（），

∴点C 与1距离的最大值为1； （3）由題意得132

2

y y y +=

，即1232y y y +=， 得20002b x b x bx +-=-+（）

解得00x =或012x b =-

。但00x ≠，取012

x b =-， 对于L ，当0y =吋，20x bx =-+，即0x x b =--（）， 解得120x x b ==，， ∵0b ＞，

∴右交点D （b ，0）。

∴点（0x ，0）与点D 间的距离1

122

b b --（）=

（4）①当2019b =时，抛物线解析式L ：22019y x x =-+ 直线解析式a ：2019y x =-

联立上述两个解析式可得：1212019x x =-=，，

∴可知每一个整数x 的值 都对应的一个整数y 值，且-1和2019之间（包括-1和-2019）共有2021个整数；

∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，

毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________ ____________________________________________________

-------------

在--------------------此

--------------------

卷--------------------上

--------------------

答--------------------

题--------------------无

--------------------

效------------

∴线段和抛物线上各有2021个整数点 ∴总计4042个点，

∵这两段图象交点有2个点重复， ∴美点”的个数：404224040-=（个）； ②当2019.5b =时，

抛物线解析式L ：22019.5y x x =-+， 直线解析式a ：2019.5y x =-，

联立上述两个解析式可得：1212019.5x x =-=，，

∴当x 取整数时，在一次函数2019.5y x =-上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，

在二次函数22019.5y x x =+图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，

可知-1到2019.5之 间有1009个偶数，并且在-1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合

条件，因此“美点”共有1010个。

故2019b =时“美点”的个数为4040个，2019.5b =时“美点”的个数为1010个。 【提示】（1）当0x =吋，y x b b =-=-，所以B （0，-b ），而8AB =，而A （0，b ），则8b b --=（），4b =。所以24L y x x =-+：，对称轴2x =，当2x =吋，42y x =-=-，于是L 的对称轴与a 的交点为（2，-2）；

（2）22b +34b y x =--（），顶点C 2

b b 24

（，）

因为点C 在l 下方，则C 与l 的距离22b 1b 2+1144

b -=--≤（），所以点C 与1距离的最大值为1；

（3）由題意得12

3y 2

y y +=，即1232y y y +=，得20002b x b x bx +-=-+（）解得00x =或

012x b =-。但00x ≠，取01

2

x b =-，对于L ，当0y =吋，20x bx =-+，

即0x x b =--（），解得10x =，2x b =，右交点D （b ，0）。因此点（0x ，0）与点D 间的距离1122

b b -

-（）= （4）①当2019b =时，抛物线解析式22019L y x x =-+：直线解析式2019a y x =-：，美点”总计4040个点；

②当2019.5b =时，抛物线解析式L ：22019.5y x x =-+，直线解析式a ：2019.5y x =-，“美点”共有1010个。 【考点】二次函数综合题