第二章 平面力系

MO(F) MO (Ft ) MO(Fr ) F rcos 78.93N m
三角形分布载荷的合力及作用线位置
取微元如图
q x q l
P
l
0
x l
q
dx
1 2
ql
由合力矩定理
Ph
l
q dx
0
x
l
0
x2 l
q dx
h 2l 3
思考：均布载荷如何计算？梯形分布载荷如何计算？
力偶
力偶臂
（3）求合力作用线方程：
MO MO (F ) x FRy y FRx
2355 x 670.1 y 232.9
607.1x 232.9 y 2355 0
§2-4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR Fi
主矢与简化中心无关
MO MO (Fi ) 主矩一般与简化中心有关
FRx ' Fix ' Fix Fx FRy ' Fiy ' Fiy Fy
主矢大小
FR ( Fix )2 ( Fiy )2
方向
cos(FR , i )
Fix FR
cos(FR , j )
求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解： 由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
M 0
FAl M1 M 2 M 3 0
FA
FB
M1 M2 l
M3
200N
例2-5
已知： M 2kN m,OA r 0.5m,θ 30 ; 1
求：平衡时的 M及2 铰链 O处, 的B 约束力。
解： 取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,பைடு நூலகம்受力图。
求：力系向 O点的简化结果；
合力与OA的交点到点 O 的距离 x ；
合力作用线方程。
解： （1）主矢：
Fx F1 F2 cos 232.9kN Fy P1 P2 F2 sin 670.1kN
FR ' ( Fx )2 ( Fy )2 709.4kN
cos(FR , i )
MC 0 FDB cos 450 2l FK l FEx 2l 0
FDB
32 8
P
(拉)
例2-11 已知: F=20kN, q=10kN/m, M 20kN m, l=1m;
求: A,B处的约束力。
解: 取CD梁,画受力图。
MC 0
l
FB sin 60
l ql F cos 30 2
Fiy FR
作用点 作用于简化中心上
在一般情况下，平面任意力系向作用面内任选一点O简 化，可得一个力和一个力偶，这个力的大小和方向等于该力 系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于该力系 对点O的主矩。
平面固定端约束
平面任意力系的简化结果分析
F'R 0 M O 0
FR 0 M O 0 FR 0 M O 0
F F P
1
2
FBA 7.321kN
F 27.32kN BC
负值表示力的方向与假设反向
§2-2 平面力对点之矩 平面力偶
平面力对点之矩（力矩） O称为矩心；h称为力臂 两个要素： 大小：力与力臂的乘积 方向：转动方向
MO (F ) F h
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的 乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为
FR 0 MO 0
因为 FR ( Fx )2 ( Fy )2
M O M O(Fi )
平面任意力系的平衡方程
Fx Fy
0 0
MO 0
平面任意力系平衡的解析条件是： 所有各力在两个任选的坐标轴上 一般式 的投影的代数和分别等于零，以 及各力对于任意一点的矩的代数 和也等于零。
平面任意力系的平衡方程另两种形式
Fx 0 FAx 0
M A 0 FB 4a M P 2a q 2a a 0
F y
0
FB
3 4
P
1 2
qa
FAy q 2a P FB 0
FAy
P 4
3 2
qa
例2－9
已知： P 100kN , M 20kN m,
q 20kN m, F 400kN ,l 1m 求： 固定端 A处约束力。
§2-5 物体系的平衡·静定和超静定问题
静定问题：当系统中未知量数目等于平衡方程数目，则 所有未知数都由平衡方程求出。
超静定问题：当系统中未知量数目多于平衡方程数目，则 所有未知数不能都由平衡方程求出。
超出刚体静力学范畴
例2-10
已知:DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l, P ,各构件自重不计,
i
Mi
在同一平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶， 合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
平面力偶系平衡的充要条件 M 0
Mi 0
平衡方程
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的
代数和等于零。
例2-4 已知：多轴钻床钻孔
M1 M 2 10N m, M 3 20N m, l 200mm ;
解： 取 T型刚架，画受力图。
其中
F1
1 2
q
3l
30kN
F x
0
FAx F1 F sin 60 0
F y
0
FAy P F cos 60 0
MA 0
MA M F1l F cos 60 l F sin 60 3l 0
FAx 316.4kN FAy 300kN
MA 1188kN m
450.
求:A,E支座处约束力及BD杆受力。
解: 取整体,画受力图。
ME 0
Fx 0
FA
2 2l P 5 l 0 2
FEx FA cos 450 0
Fy 0 FEy P FA sin 450 0
52 FA 8 P
FEx
5 8
P
FEy
13 8
P
取DCE杆,画受力图。
第二章 平面力系
§2-1 平面汇交力系
平面汇交力系合成的几何法－－力多边形规则
力多边形
n
FR Fi Fi i 1
平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小和方向等 于各分力的矢量和（几何和），合力作用线通过汇交点。
平面汇交力系平衡的几何条件
平衡条件
Fi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的 力多边形自行封闭。
2l 0
FB=45.77kN
取整体,画受力图。
Fx 0
FAx FB cos 60 F sin 30 0
Fy 0
FAy + FB sin 60 2ql F cos 30 0
MA 0
M A M 2ql 2l FB sin 60 3l F cos 30 4l 0
M A 10.37kN m FAx 32.89kN FAy 2.32kN
F x
0
M A 0
M B 0
二矩式 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0 M C 0
三矩式
三个取矩点，不得共线
平面平行力系的平衡方程
F y
0
M A 0
各力不得 与投影轴 垂直
M A
M B
0 0
两点连线不得 与各力平行
例2-7
已知：起重机，P1 10kN, P2 40kN, 尺寸如图。
已知：
M1, M 2 ,M n ; 任选一段距离d
M1 d
F1
M1 F1d
M2 d
F2
M 2 F2d
Mn d
Fn
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn FR F1 F2 Fn
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
合力偶
n
M
M
i 1
xFy yFx
力矩的解析表达式
MO FR
xi Fiy yi Fix 合力力矩的解析表达式
例2-3
已知:圆柱直齿轮，啮合力 F 1400N, θ 20 , r 60mm
求: MO (F) 解: 直接按定义
MO(F) F h F rcos 78.93N m 按合力矩定理
一个力，合力作用线过简化中心
合力偶，与简化中心的位置无关 一个力，合力作用线距简化中心MO FR
d MO FR
合力矩定理
M O FRd
FR FR F
MO(FR ) MO MO(Fi )
FR 0 M O 0
平衡
例2-6
已知:重力坝受力如图所示。 P1 450kN, P2 200kN, F1 300kN, F1 70kN
须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对 新作用点B的矩。
M B M B(F ) Fd
实例
平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩
简化中心
F1 F1 M1 M1(F1) Fn Fn Mn Mn (Fn )
FR Fi Fi MO Mi M(Fi )
主矢 主矩
M 0 M1 FA r sin 0
解得 FO FA 8kN
取杆 BC，画受力图。
M 0
FA'
r
sin
M2
0
解得 M 2 8kN m
FB FA 8kN
§2-3 平面任意力系的简化
当力系中各力的作用线处于同一平面内且任意分布时， 称其为平面任意力系。
平面任意力系实例
力的平移定理 可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必
Fix 0.3283 FR
cos(FR , j )
Fiy 0.9446 FR
(FR , i ) 70.840 (FR , j) 1800 19.160
主矩：
MO MO(FR ) 3F1 1.5P1 3.9P2 2355kN
（2）求合力及其作用线位置：
x
d
3.514m
cos 900 70.840
负.常用单位 N或 m kN m
合力矩定理与力矩的解析表达式
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点之 矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
MO (FR ) MO (Fi )
该结论适用于任何合力存在的力系
MO (F ) MO (Fy ) MO (Fx ) x F sinθ y F cosθ
例2-2 已知：系统如图所示， 重物重量P=20kN。不计杆、钢丝
绳和滑轮的重量，忽略滑轮大小和轴承摩擦。 求：系统平衡时，杆AB，BC受力.
解： AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B）为研究对象，画 受力图。建如图所示坐标系
Fx 0 FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0 Fy 0 FBC F1 cos30 F2 cos60 0
平衡方程 Fx 0 Fy 0
平面汇交力系平衡的解析条件是：该力系中各力在两 个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-1
已知：AC CB, F ,各10杆kN自重不计； 求： CD杆及铰链 的A受力。
解： CD为二力杆 取AB 杆，画受力图。 利用几何法，画封闭力三角形。
按比例量得
FC 28.3kN, FA 22.4kN
例212
求:
已知：曲轴冲床。OA R,AB l,F,
不计物体自重与摩擦,系统在图示位 置平衡;
力偶矩M的大小，轴承 O处的约束 力，连杆 受A力B ，冲头给导轨的
侧压力。
解: 取冲头 B,画受力图。
Fy 0 F FB cos 0
求： 轴承 A,处B 的约束力。
解： 取起重机，画受力图。
F x
0
FAx FB 0
F y
0
FAy P1 P2 0
M A 0 FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
例2-8
已知： P , q , a , M。 qa
求： 支座 A, B处的约束力。 解：取 梁AB，画受力图。
平面汇交力系合成与平衡的解析法
合力 FR 在x轴，y轴投影分别为
FRx FR cos FRy FR cos
由合矢量投影定理，得合力投影定理
FRx Fix FRy Fiy
合力的大小为
FR
F F 2
2
Rx
Ry
方向为
cos(FR , i )
Fix FR
cos(FR , j )
Fiy FR
力偶的性质
这一性质与力矩不同
力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变
只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意转移，且 可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的 作用效果不变
力偶中的力偶臂和 力的大小都不是力偶 的特征量，只有力偶 矩是平面力偶作用的 唯一度量。
平面力偶系的合成和平衡条件
称为由力两偶个，等记值作、反向F。、, F力不 偶共所线在的的（平平面行为）力力偶组的成作的用力面系。
力偶矩
决定转动效应的两个要素 大小：力与力偶臂乘积 方向：转动方向
M F d 2ABC
在力偶作用面内，力偶矩是一个代数量，其绝对值等于 力的大小与力偶臂的乘积，其转向利用正负号确定，逆转 为正，顺转为负。