两个重要极限练习题(供参考)
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1-7 两个重要极限练习题
教学过程：
引入：考察极限x
x x sin lim 0
→
当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x x
x sin =1；
当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是
)
()
sin(lim
sin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得
一．1sin lim
0=→x x
x ．
1sin lim 0=→x
x
x 的特点：
(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0
；
(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．
推广 如果a
x →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，
则 a
x →lim
()[]()x x ϕϕsin =()()[]()
x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．
例1 求x
x
x tan lim
0→．
解 x x x tan lim 0→=111cos 1
lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→x
x x x x x x x x x x x x ．
例2 求x x
x 3sin lim 0→．
解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t
t
t x x x t x 令．
例3 求2
0cos 1lim x x
x -→．
解 20cos 1lim
x
x
x -→=2
12
2sin
22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02
202
2
0=⋅⋅==→→→x x
x x x x x x x x x ．
例4 求x
x
x arcsin lim
0→．
解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0． 所以x x x arcsin lim
0→=1sin lim 0=→t
t
t ．
例5 求3
0sin tan lim x x
x x -→．
解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim x
x x
x x x x x x x -⋅
=-→→ =21
cos 1lim cos 1lim sin lim
2000=-⋅⋅→→→x
x x x x x x x ． 考察极限e x
x x =+∞→)1
1(lim
当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )1
1(+的值
总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x
)1
1(+是趋近于一个确
定的无理数e ＝2.718281828...．
当x →-∞时，函数x x
)1
1(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．
综上所述，得
二．x x x
)11(lim +∞
→=e ．
x
x x
)11(lim +
∞
→=e 的特点：
（１）lim(1+无穷小)无穷大案
；
（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．
推广 （１）若a
x →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()
(1
1lim ))(11(lim x x x a
x x x ϕϕϕϕϕ+
=+
∞→→=e ；
（２）若a
x →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则
[()
]
()[()]
)
(10
)
(11lim
1lim x x x a
x x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．
变形 令
x
1
=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→1
01lim ．
如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．
例6 求x x x
)2
1(lim -∞→．
解 令－
x 2=t ，则x =－t
2． 当x →∞时t →0，
于是 x x x
)2
1(lim -∞→=21
02
0])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．
例7 求x
x x x )23(lim --∞→．
解 令x x --23=1+u ，则x =2－u
1
．
当x →∞时u →0， 于是 x
x x
x )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 21
01
20u u u u u u u +⋅+=+-→-→
=])1(lim [])1(lim [20
11
u u u u
u +⋅+→-→=e -1．
例8 求x x x cot 0
)tan 1(lim +→．
解 设t =tan x ，则t
1
＝cot x ． 当x →0时t →0， 于是 x
x x cot 0
)
tan 1(lim +→=t
t t 10
)1(lim +→=e ．
小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。 作业：见首页