张禾瑞高等代数第四章课件 ppt
近世代数全套教学课件
Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
用这种方法 Kummer证明了n≤100时费马大定 理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研,实 际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学 家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为 一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的 研究领域。
不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø
枚举法:
例如,我们把一个含有n个元素 a1,a2,,an 的
集合的有限集合表示成：a1,a2,,an . 前五个
正整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
拟枚举： 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚
举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像 自然数、整数…
A1, A2 ,, An 的交. A1, A2 ,, An 的并和交分别记为：
A1 A2 An 和A1 A2 An . 我们有
(x A1 A2
A) (x至少属于某一Ai ,i 1, 2, , n)
(x A1 A2
A) (x属于每一Ai ,i 1, 2, , n)
差运算：
直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方程 没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一 个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及 开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。
最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群的 概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数 方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成 为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的 一个最重要的来源。
线性代数课件(高教版)4-2
a 1n a 2n a in a mn
T 1 T 2
T i
T m
向量组 , , …， m称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m 个 n 维列向量所组成的向量 组 , , , , 1 2 m 构成一个 n m 矩阵
即线性方程组 x x x b 1 1 2 2 m m 有解 .
向量组的等价 定义２.2 设有两个向量组
A: ,m及 B: 1, 2, , s. 1, 2, 称 A 与向 向量组B 能由向量组A 线性表示 .若向量组 量组 B 能相互线性表示，则称 这两个 向量组等价．
向量组 a1 , a2 ,…… , am线性无关的充分必要条件是
R(A)=m.
例2 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 ( b , b , b ) ( a , a , a ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1 记作BAK 因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A)
a 1, a2 , a n 称为矩 向量组 , A 的列 .
( a ) 又有 类似地 , 矩阵 A m 个 n 维行 ij m n
a 11 a 12 a 21 a 22 A a i1 a i 2 am1 am2
T 1 T 2
a a a 0
1 1 2 2 m m
于是
a a a 1 a 0
《高等数学》 课件 高等数学第四章
例6 已知曲线y f (x)上任意一点M (x，y)处的切线斜率为k 2x，且曲线
通过原点(0，0，) 求该曲线的方程．
解 由导数的几何意义知：k f (x) 2x，则切线斜率为2x的全部曲线为，
y 2xd x x2 C，
又知曲线通过坐标原点(0，0，) 将条件y x0 0代入上式，得C 0．于是所求曲
这种方法称为直接积分法．
例7 求不定积分 x (x2 5)d． x
5
1
5
1
解 x (x2 5)d x (x2 5x2 )d x x2 d x 5 x2 d x
2
7
x2
5
2
3
x2
C
2
x3
7
3
7
x 10 x x C.
1 3 不定积分的概念与性质
高等数学 第四章. 第一节
第 17 页
例4
求
1
2
x x
2
d ． x
解 2x d x 1 d(x2 ) 1 d(1 x2 ) ln |1 x2 | C ln(1 x2 ) C.
1 x2
1 x2
1 x2
2 换元积分法
高等数学 第四章. 第二节
第 26 页
常用凑微分公式：
（1）d x 1 d (a x) 1 d(ax b)
3
3
x2 d x 1 x3 C．
3
例2 求不定积分 sin xd． x
解 因为( cos x) sin x，所以
sin xd x cos x C．
1 不定积分的概念与性质
高等数学 第四章. 第一节
第8 页
例3 求不定积分 ex d． x
解 因为(ex ) e， x 所以 ex d x ex C．
高数-第四章-作业PPT课件
；
x 1 x2
3x
4．
dx ；
x( x 3 x)
28
5． 2ex 1e2xdx ；
x3 1
6．
dx ；
(x2 1)2
29
第26次作业 （A）
计算下列积分
1． xsinxdx ；
2． ln xdx ； 30
3． arcsixndx ；
4． xexdx
；
31
5． x5ex3 dx ;
x
证明：
xfxdxcosx2sixnxC
37
三、设 In sinnxd,x
I 其中n是正整数，导出计算
的
n
递推公式（关于n的降幂公式）。
38
第27次作业 （A） 一、计算下列积分
x3
1.
dx
x3
39
2．
dx
x( x 2 1)
；
x
3． (1 x)3 dx
；
40
x
4．
dx x2 x1
）
A. 导函数 B.一个原函数
C.反函数 D.不定积分
52
4、下面“凑微分”正确的是
（）
dx 3d x xdxd(x2a2)
A.
3 ;B.
;
C.
dx x3
d
2 x3
;D.
dx (2x1)2
2d 1 2x1
53
三、计算下列积分
x4 1 1． x 2 1 d x ；
54
11
2.
cos dx
16
（B） 一、填空题：
d 1． (
)
dx
;
x2 1
d 2． (
大学线性代数课件第四章第四节矩阵的秩
答案2
3
添加标题
答案3
4
添加标题
矩阵$A$的秩为3。
5
添加标题
矩阵$B$的秩为3。
6
添加标题
矩阵$C$的秩为3。
THANK YOU
感谢聆听
第矩 阵 秩
三的 应 用
章
在线性方程组中的应用
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩小 于增广矩阵的秩，则线性方程组无解；如 果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小 于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多 解。
VS
向量空间的维数
矩阵的秩还可以用来确定向量空间的维 数。一个向量空间的维数等于该空间的 一组基所含向量的个数，而这个个数与 构成这组基的矩阵的秩相等。
在矩阵分解中的应用
矩阵的LU分解
矩阵的秩可以用于LU分解中。如果一个矩阵可以进行LU分解，那么这个矩阵一定是一个 满秩矩阵，即其秩等于其阶数。
矩阵的QR分解
第 量 点
言击
大
四 简 此
意处
学
节 赅 添
的加
线
矩 阐 正
述文
性
观， 点文 。字
件
的 提
第
炼 ，
四
请 尽
章
壹
目
貳
录
目录
叁
引 言
肆
矩 阵 秩 的 计 算 方 法
伍
矩 阵 秩 的 应 用
陆
矩 阵 秩 的 定 理 和 推 论
第引 言
一 章
矩阵秩的定 义
矩阵的秩也可以通过行或列的初等变换得到，即通过行或 列的线性组合来消除其他行或列中的元素，得到的行或列 中非零元素的个数即为矩阵的秩。
高等代数课件北大版第四章矩阵
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
张禾瑞高等代数
张禾瑞高等代数高等代数是数学中一门非常重要的学科，它是线性代数的延伸与推广，涉及到更加复杂的运算和概念。
在本文档中，我们将介绍有关高等代数的基本知识和概念，并深入探讨其应用。
1. 线性方程组和矩阵运算线性方程组是高等代数中最基本的问题之一。
我们将从线性方程组的解法开始讨论，包括高斯消元法和矩阵求逆等方法。
同时，我们还将介绍矩阵的基本运算规则和性质，如加法、乘法、转置等，以及行列式和特征值等概念。
2. 向量空间和线性变换在高等代数中，向量空间是一个非常重要的概念。
我们将介绍向量空间的定义和性质，以及子空间、基和维数等相关概念。
此外，我们还会讨论线性变换的定义和性质，研究线性变换对向量空间的影响。
3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是高等代数中的核心概念。
我们将介绍它们的定义和性质，并探讨它们在线性代数和微分方程中的应用。
特别是，我们将讨论对称矩阵和正交矩阵的特征值和特征向量的特殊性质。
4. 矩阵的对角化与相似矩阵对角化是高等代数中重要的内容之一。
我们将研究矩阵是否可对角化的条件和方法，并进一步研究相似矩阵和相似变换的性质。
同时，我们还会介绍对称矩阵和正交矩阵的对角化特性。
5. 内积空间和正交性在高等代数中，内积空间和正交性是重要的概念。
我们将介绍内积的定义和性质，研究内积空间和正交投影等相关内容。
此外，我们还将探讨正交矩阵和正交变换的性质和应用。
通过本文档的学习，读者将对高等代数有一个全面、系统的了解。
本文档力求以清晰、简洁的语言对高等代数的基本知识进行讲解，并通过举例和引用应用领域中的实际问题，帮助读者更好地理解和应用高等代数的概念和方法。
希望本文档能成为读者学习和应用高等代数的有力工具。
《高等数学》教学课件 第4章
〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx
高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-4
立即可得,
a11 a 21 * AA a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn A1 1 A 2 1 A1 2 A 2 2 A1 n A 2 n
d 0 0 0 d 0 dE . 0 0 d数学与计算科学学院 2012-9-22 §4.4 矩阵的逆
AB A 2B
求矩阵B．
解：由
，得 ( A
2 E ) B A ，又
2 3 3 A 2 E 1 1 0 2 0 1 2 1
A 2E
可逆，且
(A 2E )
1
1 1 3 3 1 1 3 2 1 1 1
0 3 3 1 B ( A 2 E ) A 1 2 3 1 1 0
数学与计算科学学院
1 1 E 1
A
1
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
三、逆矩阵的运算规律
1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A
1 1 1
A.
2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
X A CB
1
1
.
数学与计算科学学院
3. 矩阵积的秩
定理4
A s n ,
若 Ps s , Q n n 可逆，则
R( A) R( PA) R( AQ ) R( PAQ )
证： 令
B PA,
由定理2， R ( B ) R ( A ),
数学与计算科学学院
近世代数教学 ppt课件
PPT课件
5
（1） 代数方程的解
两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开 ax2+bx+c=0 方法解二次方程 。16世纪初欧洲 文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代 数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学 家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》 （Ars Magna）中给出了三、四次多项式的求根 公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五 次方程的一般求解方法，但是都失败了。
产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构
主义哲学的产生和发展都发生了巨大P的PT影课响件。
8
(2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现 可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按 (a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代 数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。 这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个 直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三 元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865) 于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一 样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是 一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于 数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象 代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来 源。
彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断
几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方