第五章最小二乘法
第五章抗差估计RobustEstimation
Z 0.463 0.435 0.457 0.462
Sum 0.715 0.679 0.682 0.670
X 5.334 5.335 5.248 0.720
Y 4.661 4.661 4.629 1.077
Z 5.367 5.367 5.193 0.420
Sum 5.131 5.131 5.031 0.787
三、应用实例——基准转换
背景
➢ 基准转换一般通过公共点坐标求转换参数； ➢ 公共点坐标难免有误差，甚至有异常误差； ➢ 我国经典大地基准是通过三角测量、导线测量传算
的，累积误差明显——边远地区误差达数米或数十 米； ➢ 利用公共点坐标求解转换参数必然歪曲坐标基准间 的真正关系； ➢ 进而扭曲转换后的大地网。
➢ 再用效率高的权函数进行迭代计算，提高转换参数效 率。
第五章 抗差估计（Robust Estimation）
三、应用实例——基准转换
参数初值
tˆx0 med (Wxi ) tˆy0 med (Wyi )
tˆz0 med (Wzi )
0 wx
med
(
e
0 xi
) / 0.6745
e0 xi
tˆx0
X=[
1 5
(
13 i9
X
2 i
)]
1
2
sum= [
1 15
13 i9
(X
2 i
Yi2
Z
2 i
1
)] 2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
无额外粗差情形中误差
LS LS+Test
误差理论与数据处理--课后答案
《误差理论与数据处理》练习题参-考-答-案第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。
%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1－10 检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格? 解：依题意，该电压表的示值误差为 2V由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。
1-12用两种方法分别测量L 1=50mm ，L 2=80mm 。
测得值各为50.004mm ，80.006mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L 1:50mm 0.008%100%5050004.501=⨯-=I L 2:80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。
第二章 误差的基本性质与处理2－6 测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41，168.54，168.59，168.40， 168.50。
★《误差理论及数据处理》复习精华+测试题
=σ
d11 ，σ b = σ
d 22
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补充（有关线性代数的基本知识）： 转置矩阵和矩阵的乘法就不用说了吧～这里只说一下二阶矩阵逆矩阵的求法。
对于二阶矩阵 A =
⎢⎣⎡ca bd ⎥⎦⎤ ，则其逆矩阵 A−1
待求的两个未知参数）。 实验测得一系列数据 xi , yi ,li ，当然是很多组了，至少是 t 组（本例中 t=2），
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现要确定 a 与 b 的具体值（最佳估计值）。因为二元线性方程组只需要两个方程 （即两组数据）就能解出 a 与 b 。这里由于是很多组，所以就要利用这很多组数 据来确定一个最佳的 a 与 b 。
若最小值 x(1) 含粗大误差，则
r10
=
x(n) − x(n−1) x(n) − x(1)
r11
=
x(n) − x(n−1) x(n) − x(2)
r10
=
x(1) x(1)
− −
x(2) x(n)
r11
=
x(1) − x(2) x(1) − x(n−1)
r21
=
x(n) − x(n−2) x(n) − x(2)
i=1
xi yib = yi yib =
n
i=1 n
i=1
xili yili
（注意横纵观察一下正规方程的特点，以便记住）
由上面的二元一次方程组解出 a 、 b 即为所求。
矩阵法：
Xˆ
=
( AT
A)−1 AT L ，直接求出
误差理论与数据处理课第六版后答案5
例3-2 已知 x x 2.0 0.1，y y 3.0 0.2 ，相关系数 xy 0 试求 x3 y 的值及其标准差。
解： 0 x3 y 2.03 3.0 13.86
a12
2 x
a22
2 y
a1
f x
3x2
y
20.78
a2
f y
x3
1 2y
2.31
20.782 0.12 2.312 0.22 2.13
三、微小误差取舍原则
Di ai i
y D12 D22 Dn2
D1 D2 Dn y
n
i
y
n
1 ai
i
y
n
1 ai
1
10
y
Dk
1
3
y
四、 最佳测量方案的确定
1. 选择最佳函数误差公式 2.使误差传递函数 f / x或i 为0 最小
10
例3-1 求长方体体积V，直接测量各边长 a 161.6 , b 44.5 , c 11.2 已知测量的系统误差为 a 1.2, b 0.8 c 0.5 测量的极限误差 为 a 0.8, b 0.5， c 0.5 求立方体体积及其极限误差。
2）判断
2
若nx 、ny≤10,则由秩和检验表2-10查得T- 、T+
T 14 T 30 T T
故怀疑存在系统误差
8
第三章 误差的合成与分配
一、函数系统误差计算
1. 一般函数形式 y f ( x1 , x2 ,, xn )
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
二、函数随机误差计算
令
f xi
g
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容.答： 研究误差的意义为:（1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果,以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；（3)正确组织实验过程,合理设计仪器或选用仪器和测量方法,以便在最经济条件下,得到理想的结果。
误差理论的主要内容:误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么?答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质,可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1）误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量,不反映是“大了"还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值.+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
（2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的,后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解: 绝对误差＝测得值－真值，即: △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49。
999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100。
第五章第四节 异方差的解决方法
（5）权数的选择（**）
• 一般地，Wi=1/2i。问题在于：2i一般是未知的 • 关键：找出ui随着Xi的变化而变化的规律，对异方差
Var(ui)= 2i = 2 f( Xi )（ i=1,2,…,n）的具体形式作出 合理假设。
• 怎样才能提出合理的假设呢？ （1）通过对具体经济问题的经验分析，或 （2）考察OLS的ei2与Xi的关系，或 （3）通过White等检验的结果提供的信息 • 粗略做法： Wi =1/|ei|或1/ ei2 ，ei是OLS估计的残差 • 所以，利用WLS的思路是：寻找合适的“权数”，
4.WLS法在eviews中的实现
1.创建文件：File/New/Workfile/输入数据频率/Ok 2.输入数据：在主菜单，点quick / empty group/输入变量
名称和数值/ 3.产生新序列：在eviews栏，点quick/generate series/输
入w=1/sqr(x)，点ok(假设w=1/sqr(x) 4.作回归：在eviews栏，点quick/ estimate equation/键入
变量和常数[如y c x]，同时点右下方的option，选择 Weighted LS/TLS，键入w，点ok
同质性 权数序列名
二、对原模型变换的方法
1、模型变换法的定义
模型变换法是对存在异方差的总体回归模型作适当的代数变换，使之成为满足同方 差假定的模型 , 进而运用OLS方法估计参数。
2、模型变换法的关键是： 通过对具体经济问题的经验分析，事先对异方差
往往有较小的差异。
利用EViews对模型进行对数变换
例 ln Yi 1 2 ln Xi ui 在eviews栏，点quick/generate series/输入 LY=LOG（Y） 在eviews栏，点quick/generate series/输入 LX=LOG（X）
误差理论与数据处理答案
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－＝（mm）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得，该压力用更准确的办法测得为，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
第五章+曲线拟合
Ｔ ２Ａ （Ａ x b） 0
ＡＡx Ａ b
Ｔ
上式是n阶方程组,称为原方程组对应的正规方程组(或正则方程 组,法方程组).故超定方程组的最小二乘解一定是相应的正规方 10 程组的解
5.3 多项式拟合
对于给定的一组数据 x , y i 0,1,, m ，求作n次多项式
n
n j a x j i i 0 j 0
m m 2 i 0
2 m n n k ak xik a x k i i 0 k 0 k 0
g xi 0
因此有
g xi ak xik 0
i i
n m
Pn x a0 a1 x an x ak x k
n k 0
n
使其满足
Q Pxi yi
i 0 m 2
n ak xik yi 2 min i 0 k 0
m
式（2）
这样的曲线拟合问题叫做多项式拟合问题。满足式（2） 的多项式 Pn x 叫做最小二乘拟合多项式。特别地，当 n=1时，一次多项式拟合又叫做直线拟合。
5.3 多项式拟合（续）
由于式（2）中 Q 可看作是 a0 , a1,, an 的多元函数， 所以上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的 极值问题。由多元函数极值的必要条件知，a j 0,1,, n 满足 Q 2 a x y x 0 j 0,1, , n a
5.1 曲线拟合的概念（续）
插值法是寻求近似函数的方法之一，其与曲线拟 合法的区别： 插值法满足插值条件 Px y i 0,1,, m 插值法在一定程度上解决了由函数表求其近似表 达式的问题，但是其对于大数据量的情况下，其 存在 明显的缺陷： 运算量大 高次差值时存在龙格现象 分段低次插值表达式不统一
第五章 测量误差
（2）水准路线高差的中误差
如果在这段水准路线当中一共观测了n站，则总高 差为： 设每站的高差中误差均为m站 ，则 mh = 取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误差为： m容= 3
2.水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘左 盘右观测同一方向的中误差为±6” ，即 =±6”。 假设盘左瞄准A点时读数为A左，盘右瞄准A时读数 为A右，那么瞄准A方向一个测回的平均读数应为
求真误差的方差： 由方差的性质可得：
中误差为标准差σ的估计值，而标准差的平方就等 于方差，故
二、线性函数
1、倍数函数 设有函数 Z=Kx 式中 x—直接观测值，其中误差为mx； K—常数 Z—观测值x的函数 若对x作n次同精度观测，其真误差列为 设对应的函数的真误差列为 。 观测值与函数间的真误差关系式为：
三、非线性函数 设有非线性函数 z=f（x1、x2、…、xn） 式中，x1、x2、…、xn为独立观测值，其相应的中
误差分别为m1、m2、…、mn，对其全微分得到
四、误差传播定律的应用 1.水准测量的误差分析
（1）一个测站的高差中误差 每站的高差为：h=a-b；a、b为水准仪在前后水准 尺上的读数，读数的中误差m读，m读≈±3mm，则 每个测站的高差中误差为
二、中误差（均方差）
1.测量工作中，用标准差来衡量观测的精度，我 们称之为中误差，用ｍ表示。 设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立 观测，观测值为:l1,l2,…,ln,其真误差为Δ １,
Δ ２,…,Δ n ,则真误差的方差
式中当ｎ→∞，E(Δ ) ＝ 0 ，根据数学期望的定义 E(Δ 2)就是Δ 2的算术平均值。
将上式平方，得 按上式求和，并除以n，得
误差理论与大数据处理作业
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答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定。
1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm）测件的真实长度Ｌ1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
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Chapter 5Least Squares
5.1 Models and Curve Fitting
Model
给定平面上一组点(it,iy),(i=1,2,,n),作曲线拟合有多种方法,其中
最小二乘法是常用的一种. 最小二乘法的原理是:求)(xf,使
nkkkytf1
2
])([
达到最小.拟合时,选取一定的拟合函数形式,设
拟合函数的基底函数为:
,)(,,)(,)(10tttm
拟合函数为:
,)()()()(1100ttttymm
确定
m
,,,
10
,使方差达到极小,此时得到的)(xf即为所求.为使
取到极值,将)(xf的表达式代入,对求i的偏导数,令其等于零,得到
1m
方程组成的方程组。
Some common models include:
下面的数据是美国统计局统计的从 1900 年到 2000 年的
美国总人口数。单位是百万人。
x y
1900 75.995
1910 91.972
1900 105.711
1930 123.203
1940 131.669
1950 150.697
1960 179.323
1970 203.212
1980 226.505
1990 249.633
2000 281.422
经验公式
改进
练习1 为研究某一化学反应过程中温度)(0Cx对产品得率y(%)的影响,测得数据
如下:
)(0Cx
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
(%)y
45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
试求其线形拟合曲线.
练习2 在某一化学反应里,由实验得到生物的浓度与时间的关系如下,求浓度与
时间关系的拟合曲线.
t
(分) 1 2 3 4 5 6 7 8
y
4 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86
t
(分) 9 10 11 12 13 14 15 16
y
10.0 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6
练习3待拟合数据如下
x
2 3 4 5 6 7 8
y
6.24 8 .20 9.58 9.60 9.60 10.0 9.93
x
9 10 11 12 13 14 15 16
y
9.99 10.47 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.75
试用函数bxyae或曲线1bayx作拟合形式,求拟合曲线.
Y要取对数，1/x与lny之间做拟合所求出应是lna和b
提示先用函数bxyae作拟合.作变换,lnyy,拟合函数变形为
lnyabx
练习4下表是某年美国轿车价格的调查资料, 以模型bxayln作曲线拟合:
轿车使用年数ix 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
轿车平均价格iy 2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204
x
x
1