广东省茂名市2017年高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2017年高考数学试题及答案(全国卷理数3套)
＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为
A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab＝0 相切，则 C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）已知函数 f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则 a ＝（ ）
A．﹣
B．
C．
D．1
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进 货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 19．（12 分）（2017•新课标Ⅲ）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直 角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD． （1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC； （2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分， 求二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值．
其中正确的是
．（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60
分。
第 3页（共 27页）
17．（12 分）（2017•新课标Ⅲ）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+ cosA ＝0，a＝2 ，b＝2． （1）求 c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积．
广东省茂名市2017年高考数学一模试卷(文科)(解析版)
广东省茂名市2017年高考数学一模试卷（文科） （解析版）一、选择题：本大题共 12个小题；每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的•O1.已知集合 P={x € N|1 W x W 10}，集合 Q={x € R|x - x - 6 V 0}，贝V P A Q 等于（ ）A • {1 , 2, 3}B . {1 , 2}C . [1 , 2]D . [1 , 3）a - i2. 已知a 是实数，，一是纯虚数，则a=（） 1+1A . 1B . - 1C .三D .-73. 函数■■■- !..：：： .■"'的零点所在的区间是（ ）2 KA . 一，B .（1, 2）C .（ 2, e ）D . （ e , 3）e4.在{1 , 3, 5}和{2 , 4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被 4整除的概率是（）5. 对于向量土、匕、t 和实数入，下列命题中真命题是（6.已知△ ABC 的面积为氏，且/ C=30° BC=2魏，则AB 等于（ ）A . 1B .二C . 2D . 2 -7. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤,细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下 1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少 斤？ ”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和 为（ ） A . 6 斤B . 9 斤C . 9.5 斤D . 12 斤A .若? =0,则-=0 或=0 c .若：2=72，则；n 或；=-1B .若入-=，贝U 入=0或 -= D .若 一？ = 一？，则=斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何? ”意思是： 现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头8. 已知函数1 - -■|'和g （x）=2sin （2x+ $）+1的图象的对称轴完全相同，若二二了—：,则f （x）的取值范围是（。
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∴
；
（ II ）
，
T2n＝（ b1+b3+b5+… +b2n﹣1） +（ b2+b4+b6+… +b2n）
D．0
4．（ 5 分）已知 a＝ 3 ， b＝ 2 ，c＝ log32，则 a， b， c 的大小关系为（
）
A ．b＞ a＞ c
B ．a＞ c＞ b
C． b＞ c＞ a
D． a＞ b＞ c
5．（ 5 分）七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，它是由五块等腰直角三角形、
一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若
作出函数 f（x）和 y＝）＝ |cosπx|在 [ ﹣ ， ] 上图象如图：
由图象可得， 取 x＝ 1 外，两两关于 x＝ 1 对称， 则实数解的和为 2× 3+1 ＝7， 故选： D ．
有 7 个交点，
第 7 页（共 16 页）
12．【解答】 解：若直接联立方程求解 R， Q 的坐标，运算会十分繁琐． 因为 RF2⊥ PF 1，所以 R 的坐标可看做圆 x2+y2＝ c2
在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（ 5 分）“ x＞ 1”是“ x+ ≥4”成立的（
）
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
x
7．（ 5 分）已知函数 f（ x）＝ ax﹣ ln（ e +1）（ a∈R）为偶函数，则 a＝（
在区间（ 0， ）上， sin2x＞ 0， sinx＞ 0，
2017年广东省揭阳市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只用一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x﹣3，x∈A}，则A∩B ＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t﹣i，且z1•是实数，则实数t＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）若＝（cos20°，sin20°），＝（cos10°，sin190°），则•＝（）A．B．C．cos10°D．4．（5分）已知命题p：存在向量，，使得•＝||•||，命题q：对任意的向量，，，若•＝•，则＝．则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题5．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A．66B．33C．16D．86．（5分）如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣37．（5分）在同一坐标系中，曲线y＝（）x与抛物线y2＝x的交点横坐标所在区间为（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）8．（5分）在（﹣1）4•（x﹣1）2的展开式中，x项的系数为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．49．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（）A．B．1C．2D．10．（5分）已知正数a，b满足a+b＝4，则曲线f（x）＝lnx+在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，）C．[，）D．[，）11．（5分）已知曲线﹣＝1右焦点为F，P为双曲线左支点上一点，点A （0，），则△APF周长的最小值为（）A．4（1+）B．4+C．2（+）D．+3 12．（5分）已知函数f（x）＝|sin x|（x∈[﹣π，π]），g（x）＝x﹣2sin x（x∈[﹣π，π]），设方程f（f（x））＝0，f（g（x））＝0，g（g（x））＝0的实根的个数分别为m，n，t，则m+n+t＝（）A．9B．13C．17D．21二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx+1，若f（a）＝8，则f（﹣a）＝．14．（5分）连续掷两次骰子，以先后看到的点数m，n作为点P的坐标（m，n），那么点P在圆x2+y2＝17内部（不包括边界）的概率是．15．（5分）已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB＝6，BC＝8，AC＝10，三棱锥O﹣ABC的体积为40，则该球的表面积等于．16．（5分）在△ABC中，∠B＝，AC＝1，点D在边AB上，且DA＝DC，BD＝1，则∠DCA＝．三、解答题（共5小题，满分60分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1﹣3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝3﹣，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD．（1）求证：BD⊥平面A1ACC1；（2）若AB＝1，且AC•AD＝1，求二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值．19．（12分）某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156天，一年按364天计．（1）请把频率直方图补充完整；（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X＜90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？20．（12分）如图，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，左右顶点为B，C，右焦点为F，|AF|＝3，且△ABC的周长为14．（1）求椭圆的离心率；（2）过点M（4，0）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上，设λ＝＝，试判断点N是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+ax（a∈R）（1）试确定函数f（x）的零点个数；（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，当x1+x2≤2时，求a的取值范围．选做题（请在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l：θ＝α（α∈[0，π），ρ∈R）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．[不等式选讲]23．设函数f（x）＝a（x﹣1）．（Ⅰ）当a＝1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：．2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只用一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x﹣3，x∈A}，则A∩B ＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，1，2}D．{0，1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x﹣3，x∈A}＝{﹣5，﹣3，﹣1，1}，则A∩B＝{﹣1，1}．故选：B．2．（5分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t﹣i，且z1•是实数，则实数t＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵复数z 1＝3+4i，z2＝t﹣i，∴．z 1•＝（3+4i）•（t+i）＝3t﹣4+（4t+3）i是实数，∴4t+3＝0，即t＝．故选：D．3．（5分）若＝（cos20°，sin20°），＝（cos10°，sin190°），则•＝（）A．B．C．cos10°D．【解答】解：＝cos20°cos10°﹣sin20°sin10°＝cos（20°+10°）＝．故选：B．4．（5分）已知命题p：存在向量，，使得•＝||•||，命题q：对任意的向量，，，若•＝•，则＝．则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题【解答】解：命题p：存在同方向向量，，使得•＝||•||，真命题．命题q：取向量＝（1，0），＝（0，1），＝（0，2），则•＝•，≠，因此是假命题．则下列判断正确的是：p∧（￢q）是真命题．故选：D．5．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A．66B．33C．16D．8【解答】解：初始值n＝4，x＝2，程序运行过程如下表所示：v＝2，i＝4，v＝，2×2+3＝7，i＝2，v＝14+2＝16，i＝1，v＝16×2+1＝33，i＝0，v＝33×2+0＝66，i＝﹣1 跳出循环，输出v的值为66，故选：A．6．（5分）如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣3【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2x﹣y＝t过点A（0，﹣1）时，t最大是1，故选：B．7．（5分）在同一坐标系中，曲线y＝（）x与抛物线y2＝x的交点横坐标所在区间为（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）【解答】解：由题意，构造函数f（x）＝（）x﹣，∵f（）＜0，f（）＞0，∴曲线y＝（）x与抛物线y2＝x的交点横坐标所在区间为（，），故选：B．8．（5分）在（﹣1）4•（x﹣1）2的展开式中，x项的系数为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【解答】解：∵（﹣1）4•（x﹣1）2＝（•x2﹣•+•x﹣•+）•（x2﹣2x+1），∴（﹣1）4•（x﹣1）2的展开式中，x项的系数﹣2＝4，故选：D．9．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（）A．B．1C．2D．【解答】解：依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x，则有，解得x＝，故2x＝1，故新工件的体积为1．故选：B．10．（5分）已知正数a，b满足a+b＝4，则曲线f（x）＝lnx+在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，）C．[，）D．[，）【解答】解：∵f（x）＝lnx+，∴f′（x）＝+，∴f′（a）＝+＝（+）（a+b）＝（2++）≥（2+2）＝1，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴曲线f（x）＝lnx+在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为[，），故选：C．11．（5分）已知曲线﹣＝1右焦点为F，P为双曲线左支点上一点，点A（0，），则△APF周长的最小值为（）A．4（1+）B．4+C．2（+）D．+3【解答】解：曲线﹣＝1右焦点为F（，0），△APF的周长l＝|AF|+|AP|+|PF|＝|AF|+2a+|PF′|+|AP|，要△APF的周长最小，只需|PF′|+|AP|，最小，如图，当A、P、F三点共线时取到，故l＝2|AF|+2a＝4（1+）．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝|sin x|（x∈[﹣π，π]），g（x）＝x﹣2sin x（x∈[﹣π，π]），设方程f（f（x））＝0，f（g（x））＝0，g（g（x））＝0的实根的个数分别为m，n，t，则m+n+t＝（）A．9B．13C．17D．21【解答】解：（1）令f（x）＝|sin x|＝0得x＝kπ，k∈{﹣1，0，1}，又f（x）＝|sin x|的值域为[0，1]，f（f（x））＝0，∴f （x ）＝0，∴x ＝k π，k ∈{﹣1，0，1}． ∴f （f （x ））＝0有3个根，即m ＝3． （2）∵f （g （x ））＝0，∴g （x ）＝k π，k ∈{﹣1，0，1}，①若g （x ）＝0，则x ＝sin x ，作出y ＝x 和y ＝sin x 的函数图象如图所示：由图象可知g （x ）＝0在[﹣π，π]上有3个解，②若g （x ）＝π，则x ＝sin x +，作出y ＝x 和y ＝sin x +的函数图象如图所示：由图象可知g （x ）＝0在[﹣π，π]上只有1个解， ③同理可得：当g （x ）＝﹣π在[﹣π，π]上只有1个解， ∴f （g （x ））＝0的根的个数为5，即n ＝5．（3）由（2）中的第①种情况可知g （x ）＝0有3解，不妨设为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3， 则x 1+x 3＝0，x 2＝0，且＜x 3＜π，∵g （g （x ））＝0，∴g （x ）＝x i ，i ＝1，2，3． ①若g （x ）＝x 2＝0，则g （x ）＝0有3解，②若g（x）＝x3，则＝sin x+，设y＝sin x+b（b＞0）与直线y＝x相切，切点为（x0，y0），则，解得b＝﹣，∵＞＞b，∴g（x）＝x3只有1解，③同理可得：g（x）＝x1只有1解；∴g（g（x））＝0共有5个解，即t＝5．∴m+n+t＝13．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx+1，若f（a）＝8，则f（﹣a）＝﹣6．【解答】解：∵函数f（x）＝ax3+bx+1，∴f（﹣x）＝a（﹣x）3+b（﹣x）+1＝﹣ax3﹣bx+1，∴f（﹣x）+f（x）＝2，∴f（﹣a）+f（a）＝2．∵f（a）＝8，∴f（a）＝﹣6．故答案为﹣6．14．（5分）连续掷两次骰子，以先后看到的点数m，n作为点P的坐标（m，n），那么点P在圆x2+y2＝17内部（不包括边界）的概率是．【解答】解：连续掷两次骰子，以先后看到的点数m，n作为点P的坐标（m，n），基本事件总数n＝6×6＝36，点P在圆x2+y2＝17内部（不包括边界）包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个，故点P在圆x2+y2＝17内部（不包括边界）的概率p＝＝．故答案为：．15．（5分）已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB＝6，BC＝8，AC＝10，三棱锥O﹣ABC的体积为40，则该球的表面积等于400π．【解答】解：依题意知△ABC为直角三角形，其所在圆面的半径为，设三棱锥O﹣ABC的高为h，则由得h＝5，设球O的半径为R，则由h2+52＝R2，得R＝10，故该球的表面积为400π．故答案为400π．16．（5分）在△ABC中，∠B＝，AC＝1，点D在边AB上，且DA＝DC，BD＝1，则∠DCA＝或．【解答】（本题满分为10分）解：设∠A＝∠ACD＝θ，0，则∠ADC＝π﹣2θ，又AC＝1，由正弦定理得：，可得：CD＝，在△BDC中由正弦定理得：，可得：，可得：cosθ＝sin（﹣2θ），可得：sin（﹣θ）＝sin（﹣2θ），由0，可得：0＜﹣θ＜，﹣＜﹣2θ＜，得﹣θ＝﹣2θ，或﹣θ+﹣2θ＝π，解得：θ＝或．故答案为：或．[注：该题若考生漏掉一解扣（2分）]三、解答题（共5小题，满分60分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1﹣3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝3﹣，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则有，解得a1＝1，d＝2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1，（2）由a1b1+a2b2+…+a n b n＝3﹣，①当n＝1时，a1b1＝，∴b1＝当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1＝3﹣，②①式减去②式得，求得b n＝，易知n＝1也成立，∴数列{b n}为等比数列，其前n项和T n＝＝1﹣18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD．（1）求证：BD⊥平面A1ACC1；（2）若AB＝1，且AC•AD＝1，求二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结ED，（1分）∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C∥ED，（2分）∵E为AB1中点，∴D为AC中点，∵AB＝BC，∴BD⊥AC①，（3分）法一：由A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，得A1A⊥BD，②，由①②及A1A、AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，得BD⊥平面A1ACC1．（5分）法二：由A1A⊥平面ABC，A1A⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面ABC，又平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，得BD⊥平面A1ACC1．解：（Ⅱ）由AB＝1，得BC＝BB1＝1，由（Ⅰ）知DA＝AC，又AC•DA＝1，得AC2＝2，（6分）∵AC2＝2＝AB2+BC2，∴AB⊥BC，（7分）如图以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图示，则A1（1，0，1），B1（0，0，1），D（），得＝（1，0，0），＝（），设＝（x，y，z）是平面A1B1D的一个法向量，则，令z＝1，得＝（0，2，1），（9分）设＝（a，b，c）为平面A1BD的一个法向量，则，令c＝1，得＝（﹣1，1，1），（10分）依题意知二面角B﹣A1D﹣B1为锐二面角，设其大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝＝＝，即二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值为．（12分）其它解法请参照给分．19．（12分）某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156天，一年按364天计．（1）请把频率直方图补充完整；（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X＜90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？【解答】解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为，（1分）＝＝，（2分）设在区间[0，30）上，＝a，则（a+）×30＝1，解得a＝，（3分）补充频率分布直方图如右图所示．（6分）（Ⅱ）记水电站日利润为Y元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为，恰好运行一台发电机的概率为，恰好运行二台发电机的概率为，恰好运行三台发电机的概率为，①若安装1台发电机，则Y的值为﹣500，4000，其分布列为：E（Y）＝﹣500×+4000×＝．（8分）zu②若安装2台发电机，则Y的值为﹣1000，3500，8000，其分布列为：E（Y）＝﹣1000×+3500×+8000×＝．（10分）③若安装3台发电机，则Y的值为﹣1500，3000，7500，12000，其分布列为E（Y）＝﹣1500×+3000×+7500×+12000×＝，∵，∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．（12分）20．（12分）如图，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，左右顶点为B，C，右焦点为F，|AF|＝3，且△ABC的周长为14．（1）求椭圆的离心率；（2）过点M（4，0）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上，设λ＝＝，试判断点N是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由丨AF丨2＝b2+c2＝a2，则a＝3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）△ABC的周长为2（丨AC丨+a）＝14，即+a＝7，得b2＝7，则c＝＝，椭圆的离心率为e＝＝；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）方法一：显然直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k（x﹣4），设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），由＝，得＝，化简得2y1y2＝y0（y1+y2）①，﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由消去x，得（9k2+7）y2+56ky+49k2＝0，得y1+y2＝﹣，y1y2＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）代入①式得y0＝﹣k，由y0＝k（x0﹣4），得x0＝，λ＝＝＝﹣1+＝﹣1+，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由＜x1≤3，得0＜x1﹣≤，则λ≥﹣1+＝，因此，N在一条直线x＝上，实数λ∈[，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【法二：显然直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k（x﹣4），不妨设k＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），y2＜y1，由λ＝＝，得λ＝＝，化简得2y1y2＝y0（y1+y2）①，（6分）由y1＝λ（y0﹣y1），y2＝λ（y2﹣y0），得y1+y2＝λ（y2﹣y1），②，由消去x，得（9k2+7）y2+56ky+49k2＝0，可知△＝（56k）2﹣4×（9k2+7）×49k2＝49k2﹣36（1﹣k2）＞0，得y1+y2＝﹣，y1y2＝，y1，2＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）代入①式得y0＝﹣k，由y0＝k（x0﹣4），得x0＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由②式得﹣＝λ•，得λ＝＝≥，因此，N在一条直线x＝上，实数λ∈[，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【法三：设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），x2＜x1，由λ＝＝，得＝λ，＝﹣λ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴，将P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）上面两式相减化简得x0＝，λ＝＝＝﹣1+＝﹣1+，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由＜x1≤3，得0＜x1﹣≤，则λ≥﹣1+＝，因此，N在一条直线x＝上，实数λ∈[，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+ax（a∈R）（1）试确定函数f（x）的零点个数；（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，当x1+x2≤2时，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＝（x﹣2）e x+ax＝0得ax＝（2﹣x）e x，令g（x）＝（2﹣x）e x，则g′（x）＝﹣e x+（2﹣x）e x＝（1﹣x）e x，∴当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴当x＝1时，函数g（x）有最大值g（1）＝e，又当x＜1时，g（x）＝（2﹣x）e x＞0，g（2）＝0；作出y＝g（x）与y＝ax的函数图象如图所示：∴当a≥0时，y＝ax与g（x）只有一个公共点，从而函数f（x）有一个零点；当a＜0时，y＝ax与g（x）有两个公共点，从而函数f（x）有两个零点．（II）设x1＜x2，由（I）知a＜0且x1＜0，x2＞2，由f（x1）＝（x1﹣2）e+ax1＝0，得a＝（x1＜0），由f（x2）＝（x2﹣2）e+ax2＝0，得a＝（x2＞2）．∴a2＝，∵x1+x2≤2，∴4﹣2（x1+x2）≥0，0＜e≤e2，（当且仅当x1+x2＝2时取等号）∴4﹣2（x1+x2）+x1x2≥x1x2，又x1x2＜0，∴≤1，∴a2≤e≤e2，又a＜0，∴﹣e≤a＜0．选做题（请在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l：θ＝α（α∈[0，π），ρ∈R）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．【解答】解：（I）曲线C的普通方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝4，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2＝0．（II）联立θ＝α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2＝0，得ρ2+2ρ（cosα﹣sinα）﹣2＝0，设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则ρ1+ρ2＝2（cosα﹣sinα）＝2，由|OM|＝，得|OM|＝，当α＝时，|OM|取最大值．[不等式选讲]23．设函数f（x）＝a（x﹣1）．（Ⅰ）当a＝1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：．【解答】解：（I）当a＝1时，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x 当x≤﹣1时，得1﹣x﹣x﹣1≥3x⇒x≤0，∴x≤﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）当﹣1＜x＜1时，得1﹣x+x+1≥3x，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当x≥1时，得x﹣1+x+1≥3x⇒x≤0，与x≥1矛盾，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）综上得原不等式的解集为＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）证明：|f（x2）+x|＝|a（x2﹣1）+x|≤|a（x2﹣1）|+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵|a|≤1，|x|≤1∴|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当时取“＝”，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。
2017年广东省梅州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年广东省梅州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣1＜0}，B＝{x|x＞0}，则集合（∁R A）∪B＝（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）2．（5分）设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数a的值为（）A．B．C．3D．﹣33．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β4．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x+＞2，命题q：∃x∈[0，]，使sin x+cos x ＝，则下列命题中为真命题的是（）A．￢p∧￢q B．￢p∧q C．p∧￢q D．p∧q5．（5分）箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．7．（5分）我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a＝6102，b＝2016时，输出的a＝（）A．6B．9C．12D．188．（5分）若向量，的夹角为，且||＝2，||＝1，则与+2的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x+）﹣cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；②函数f（x）图象的一条对称轴是x＝③函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）④函数f（x）的递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．则正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．8C．D．11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数y＝f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知f（x）＝x4﹣mx3﹣x2，若对任意的实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b﹣a的最大值为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为．14．（5分）在二项式（﹣）8的展开式中，第四项的系数为．15．（5分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是．16．（5分）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）＝对于任意的x∈R都有f（x+2）＝f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）＝f （x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝3，且a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2且n∈N*）（Ⅰ）证明：数列{}为等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADG；（Ⅱ）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．19．（12分）中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y＝6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（Ⅱ）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：＝，＝﹣，＝94，＝945）（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．20．（12分）已知动圆C过点F（1，0），且与直线x＝﹣1相切．（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；并求当圆C的面积最小时的圆C1的方程；（Ⅱ）设动圆圆心C的轨迹曲线E，直线y＝x+b与圆C1和曲线E交于四个不同点，从左到右依次为A，B，C，D，且B，D是直线与曲线E的交点，若直线BF，DF的倾斜角互补，求|AB|+|CD|的值．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣x﹣+2a（其中a为常数，a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，是否存在实数a，使得当x∈[1，e]时，不等式f（x）＞0恒成立？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由（其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…）四、选修题22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．五、选修题23．（10分）设函数f（x）＝|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．（Ⅰ）求证：f（x）≥8恒成立；（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．2017年广东省梅州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣1＜0}，B＝{x|x＞0}，则集合（∁R A）∪B＝（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）【解答】解：集合A＝{x|x2﹣1＜0}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x＞0}，则集合∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥1}，所以集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞0}＝（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）．故选：D．2．（5分）设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数a的值为（）A．B．C．3D．﹣3【解答】解：＝＝，∵复数的实部与虚部是互为相反数，∴，即a＝3．故选：C．3．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β【解答】解：对于A，如图，m∥α，α∩β＝n，此时m，n异面，故A错误；对于B，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；对于C，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴则m⊥n，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m可能与β相交，也可能与β平行，也可能在β内，故D错误．∴正确的选项为C．故选：C．4．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x+＞2，命题q：∃x∈[0，]，使sin x+cos x ＝，则下列命题中为真命题的是（）A．￢p∧￢q B．￢p∧q C．p∧￢q D．p∧q【解答】解：命题p：∀x∈R，2x+＞2，当x＝0时，命题不成立．所以命题p 是假命题，则￢p是真命题；命题q：∀x∈[0，]，使sin x+cos x＝sin（x+）∈[1，]，所以∃x∈[0，]，使sin x+cos x＝，不正确；则￢q是真命题，所以￢p∧￢q．故选：A．5．（5分）箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知首先做出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C62＝15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有（1，4）（3，4），（2，4）（2，6）（4，5）（4，6），∴摸一次中奖的概率是＝，4个人摸奖．相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是×（）3×＝，故选：B．6．（5分）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由排除D，故选：B．7．（5分）我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a＝6102，b＝2016时，输出的a＝（）A．6B．9C．12D．18【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a＝6102，b＝2016，执行循环体，r＝54，a＝2016，b＝54，不满足退出循环的条件，执行循环体，r＝18，a＝54，b＝18，不满足退出循环的条件，执行循环体，r＝0，a＝18，b＝0，满足退出循环的条件r＝0，退出循环，输出a的值为18．故选：D．8．（5分）若向量，的夹角为，且||＝2，||＝1，则与+2的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵向量，的夹角为，且||＝2，||＝1，∴＝＝＝1．∴＝＝22+2×1＝6，＝＝．两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]，∴＝＝＝，∴与+2的夹角为．故选：A．9．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x+）﹣cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；②函数f（x）图象的一条对称轴是x＝③函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）④函数f（x）的递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．则正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：∵f（x）＝cos（2x+）﹣cos2x＝＝＝＝﹣．∴，即函数f（x）的最小正周期为π，但，函数f（x）不是奇函数．命题①错误；∵，∴函数f（x）图象的一条对称轴是x＝．命题②正确；∵，∴函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）．命题③正确；由，得：．∴函数f（x）的递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．命题④正确．∴正确结论的个数是3个．故选：B．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．8C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥A﹣CDEF和一个三棱锥组F﹣ABC成的组合体，四棱锥A﹣CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组F﹣ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V＝，故选：C．11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，∴c＝a，∴e＝＝．故选：B．12．（5分）设函数y＝f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知f（x）＝x4﹣mx3﹣x2，若对任意的实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b﹣a的最大值为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：根据已知，|m|≤2时，f″（x）＝x2﹣mx﹣3＜0在（a，b）上恒成立；∴mx＞x2﹣3恒成立；（1）当x＝0时，f″（x）＝﹣3＜0显然成立；（2）当x＞0时，；∵m的最小值为﹣2；；解得0＜x＜1；（3）当x＜0时，m；∵m的最大值为2；∴；解得﹣1＜x＜0；综上可得﹣1＜x＜1；∴b﹣a的最大值为1﹣（﹣1）＝2．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为﹣2．【解答】解：由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝2x﹣z，由平移可知当直线y＝2x﹣z，经过点A时，直线y＝2x﹣z的截距最大，此时z取得最小值，由，解得x＝﹣1，y＝0，即A（﹣1，0），代入z＝﹣2，即目标函数z＝2x﹣y的最小值为﹣2，故答案为：﹣2．14．（5分）在二项式（﹣）8的展开式中，第四项的系数为﹣7．【解答】解：∵二项式（﹣）8的通项公式为T r+1＝C8r•（﹣）r•，∴第四项的系数为C83•（﹣）3＝﹣7，故答案为：﹣7．15．（5分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是（2，3]．【解答】解：△ABC中，由余弦定理可得2cos C＝，∵a＝1，2cos C+c ＝2b，∴+c＝2b，化简可得（b+c）2﹣1＝3bc．∵bc≤，∴（b+c）2﹣1≤3×，解得b+c≤2（当且仅当b＝c 时，取等号）．故a+b+c≤3．再由任意两边之和大于第三边可得b+c＞a＝1，故有a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故答案为：（2，3]．16．（5分）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）＝对于任意的x∈R都有f（x+2）＝f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）＝f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x+2）＝f（x﹣2），∴f（x）＝f（x+4），f（x）是以4为周期的函数，若在区间[﹣5，3]上函数g（x）＝f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则f（x）和y＝m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出函数函数f（x）在[﹣5，3]上的图象，如图示：，由K AC＝﹣，K BC＝﹣，结合图象得：m∈，故答案为：．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝3，且a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2且n∈N*）（Ⅰ）证明：数列{}为等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．+2n﹣1（n≥2且n∈N*）【解答】解：（1）∵a n＝2a n﹣1∴a n﹣1＝2（a n﹣1）+2n，（n≥2且n∈N*）﹣1∴等式两端同除以2n得出：＝1＝常数，∵a1＝3，∴＝＝1，∴数列{}为等差数列，且首项为1，公差为1，（2）∵根据（1）得出＝1+（n﹣1）×1＝n，a n＝n×2n+1∴数列{a n}的前n项和S n＝（1×21+2×22+3×23+…+n×2n）+n，令T n＝1×21+2×22+3×23+…+n×2n，①2T n＝1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，②①﹣②得出：﹣T n＝2+22+23+…+2n﹣n×2n+1，∴T n＝n×2n+1﹣2×2n+2，∴S n＝n×2n+1﹣2n+1+2+n18．（12分）如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADG；（Ⅱ）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：在△BAD中，∵AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°．由余弦定理得BD＝，满足AB2＝AD2+DB2，∴AD⊥DB直平行六面体中GD⊥面ABCD，DB⊂面ABCD，∴GD⊥DB，且AD∩GD＝D ∴BD⊥平面ADG．（Ⅱ）如图以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz，∵∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∴A（1，0，0），B（0，，0），E （0，，2），C（﹣1，．，设平面AEFG的法向量，，令x＝1，得y＝，z＝1∴，而平面ABCD的法向量为∴．∴平面AEFG与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为19．（12分）中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y＝6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（Ⅱ）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：＝，＝﹣，＝94，＝945）（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）利用前5组数据得到＝（2+4+5+6+8）＝5，＝（30+40+60+50+70）＝50，∵y＝6.5x+a，∴a＝50﹣6.5×5＝17.5，∴回归直线方程为y＝6.5x+17.5，当x＝1时，y＝6.5+17.5＝24，∴y的预报值为24．（Ⅱ）∵＝4，＝46.25，＝84，＝945，∴＝＝≈6.83，∴＝46.25﹣6.83×4＝18.93，即＝6.83，＝18.93，b＝6.5，a＝17.5，≈5%，≈8%，均不超过10%，∴可使用位置最接近的已有旧井6（1，24）．（Ⅲ）由题意，1、3、5、7这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，∴勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，P（X＝k）＝，可得P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝．∴X的分布列为：EX＝2×+3×+4×＝．20．（12分）已知动圆C过点F（1，0），且与直线x＝﹣1相切．（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；并求当圆C的面积最小时的圆C1的方程；（Ⅱ）设动圆圆心C的轨迹曲线E，直线y＝x+b与圆C1和曲线E交于四个不同点，从左到右依次为A，B，C，D，且B，D是直线与曲线E的交点，若直线BF，DF的倾斜角互补，求|AB|+|CD|的值．【解答】解：（I）∵动圆圆心到点F（1，0）的距离等于到定直线x＝﹣1的距离，∴动圆圆心的轨迹C为以F为焦点，以直线x＝﹣1为准线的抛物线，∴动圆圆心的轨迹方程为y2＝4x．圆心C在原点时，圆C的面积最小，此时圆C1的方程为x2+y2＝1；（II）F（1，0），设B（x1，y1），D（x2，y2），A（x3，y3），C（x4，y4），由，得x2+（4b﹣16）x+4b2＝0，△＞0，b＜2，x1+x2＝16﹣4b，x1x2＝4b2，∵直线BF，DF的倾斜角互补，∴k BF+k DF＝0，∵k BF+k DF＝+，∴y2（x1﹣1）+y1（x2﹣1）＝0，∴x1x2+（b﹣）（x1+x2）﹣2b＝0，代入解得b＝，由，得5x2+2x﹣25＝0，∴x3+x4＝﹣，∴|AB|+|CD|＝（x1﹣x3）+（x2﹣x4）＝（x1+x2﹣x3﹣x4）＝．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣x﹣+2a（其中a为常数，a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，是否存在实数a，使得当x∈[1，e]时，不等式f（x）＞0恒成立？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由（其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…）【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）＝alnx﹣x﹣+2a，（x＞0），f′（x）＝，①a≤0时，f′（x）＜0恒成立，于是f（x）的递减区间是（0，+∞），②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（Ⅱ）a＞0时，①若≤1，即0＜a≤，此时f（x）在[1，e]递减，f（x）min＝f（e）＝3a﹣e﹣＝（3﹣）a﹣e≤（3﹣×﹣e＜0，f（x）＞0恒成立，不合题意，②若＞1，＜e，即＜a＜时，此时f（x）在（1，）递增，在（，e）递减，要使在[1，e]恒有f（x）＞0恒成立，则必有，则，解得：＜a＜；③若≥e，即a≥时，f（x）在[1，e]递增，令f（x）min＝f（1）＝a﹣1＞0，解得：a≥，综上，存在实数a∈（，+∞），使得f（x）＞0恒成立．四、选修题22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程是（θ为参数），∴曲线C1的平面直角坐标方程为（x+2）2+y2＝4．又由曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，∴x2+y2＝4y，把两式作差，得y＝﹣x，代入x2+y2＝4y，得2x2+4x＝0，解得或，∴曲线C1与C2交点的平面直角坐标为（0，0），（﹣2，2）．（Ⅱ）如图，由平面几何知识可知：当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时|AB|＝2，O到AB的距离为，∴△OAB的面积为S＝．五、选修题23．（10分）设函数f（x）＝|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．（Ⅰ）求证：f（x）≥8恒成立；（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）＝|x+|+|x﹣2m|（m＞0），∴f（x）＝|x+|+|x﹣2m|≥|x+﹣（x﹣2m）|＝|+2m|＝+2m≥2＝8，当且仅当m＝2时，取等号，故f（x）≥8恒成立．（Ⅱ）f（1）＝|1+|+|1﹣2m|，当m＞时，f（1）＝1+﹣（1﹣2m），不等式即+2m＞10，化简为m2﹣5m+4＞0，求得m＜1，或m＞4，故此时m的范围为（，1）∪（4，+∞）．当0＜m≤时，f（1）＝1++（1﹣2m）＝2+﹣2m关于变量m单调递减，故当m＝时，f（1）取得最小值为17，故不等式f（1）＞10恒成立．综上可得，m的范围为（0，1）∪（4，+∞）．。
2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)
2017年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 . （5分）若集合A 二｛2，4，6，8｝，B=｛x|x2 _9x 18, 0}，贝U f B =()A. {2，4} B • {4，6} C . {6，8}D • {2 ，8}2. （5分）若复数a ' （a三R）为纯虚数，其中1 2i i为虚数单位，则a=()A . 2B. 3 C . -2D.-33. （5分）袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“ 3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）1112 A . B . C. D .-4 2 3 34. （5分）等比数列的前n项和为S^0_3nl b，则-=（）bA . -3 B. -1 C. 1 D. 3. 2 25 . （5分）直线l: kx y 4 =0（k三R）是圆C:x亠y 4x - 4 y ^0的一条对称轴，过点A（O,k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A . —B . 2C . .6D . 2.626. （5分）祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幕势既同，则积不容异” •意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等•此即祖暅原理•利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0 ::: h ： 2）的平面截该几何体，则截面面积为（）2 2C .二(2-h)D .二(4-h)2+17. （ 5分）函数f （x ） x cosx 的图象大致是（）2 — 1& （ 5分）已知a b 0 , c ：：：0，下列不等关系中正确的是 （）A . ac bcC . log a （a —c ） log b （b —c ）c , cB . a ba bD .a -cb -cp =2017，则输出i 的值为(9.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A ・ 335B ・ 336C . 337D ・ 3382 210. （5分）已知F 是双曲线E:笃-当=1（a 0,b 0）的右焦点，过点F 作E 的一条渐近线 a b 的垂线，垂足为P ，线段PF 与E 相交于点Q ，记点Q 到E 的两条渐近线的距离之积为 d 2 ,若| FP |=2d ，则该双曲线的离心率是 （）C . 311.（ 5分）已知棱长为2的正方体ABCD -ABQQ ，球0与该正方体的各个面相切，则平 面ACB !截此球所得的截面的面积为 （）A .空3B .空C .兰D .三3 3 3 12 . （ 5 分）x 2 已知函数f （x ） x , x=0 , e 为自然对数的底数，关于x 的方程 eA • （0,—）B • （2 2 , ■:：）e则实数■的取值范围是（0有四个相异实根,2 e 4C •（e, ：：）D • （2，：：）e 2 e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. （5 分）已知向量6 =（1,2）, 6 =（x,3），若建 _ 6，则| p q |-：__ •14. （5分）C.x」）5的二项展开式中，含x的一次项的系数为（用数字作答）•xx y -4, 015. （5分）若实数x , y满足不等式组2x —3y-8, 0 ,目标函数z =kx 一y的最大值为12 ,最小值为0,则实数k = ______ •216. （5 分）已知数列｛a.｝满足na n 2 -（n • 2）a^ ■ （n • 2n）,其中a =1 , a? =2，若a. ：：：a. 1对-n • N恒成立，则实数■的取值范围是__________ •三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （12 分）JABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知2a =j3csi nA-acosC .（1 ）求 C ；（2）若c = .3，求ABC的面积S的最大值.18. （12分）如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G , AB 二BD=2 , AE = 3 , . EAD = EAB .（1）证明：平面ACEF _平面ABCD ;（2）若AE与平面ABCD所成角为60，求二面角B-EF-D的余弦值.19. （12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.第7页(共22页)(1) 求某户居民用电费用 y (单位：元)关于月用电量 x (单位：度)的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量， 统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这 100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a ，b 的值；(3) 在满足(2)的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记 Y 为该居民用户1月份的用电费B 2/B 1，左右焦点分别为 R 、F 2，其中长轴长为4，且圆O : x 2 • y 2 =号为菱形A 1B 1A 2B 2 的内切圆.(1) 求椭圆C 的方程； (2)点N(n,0)为x 轴正半轴上一点，过点 N 作椭圆C 的切线I ，记右焦点F 2在I 上的射影 为H ，若△ F .HN 的面积不小于 空n 2,求n 的取值范围.16 21. (12分)已知函数f(x) =xlnx , e 为自然对数的底数.(1) 求曲线y =f(x)在处的切线方程；(2) 关于x 的不等式f(x)•…(x -1)在(0,；)上恒成立，求实数■的值; (3) 关于x 的方程f (x) =a 有两个实根石,x 2，求证：|为一x 2卜：2a 1 ■ e^ . ［选修4-4 :坐标系与参数方程］ 22 . ( 10分)在直角坐标系中xOy 中，已知曲线E 经过点P(1,2 3)，其参数方程为3以原点o 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.用，求Y 的分布列和数学期望.A 、A ，上下顶点分别为第8页(共22页) (1)求曲线E的极坐标方程;第9页(共22页)(2)若直线I交E于点A、B，且OA _OB，求证：厶为定值，并求出这个定|OA| |OB|值.［选修4-5:不等式选讲］23.已知f(x) =\ x - a |，g(x) -|x 3| -x，记关于x 的不等式f(x) ：：：g(x)的解集为M .(1 )若a _3三M，求实数a的取值范围；(2)若［_1 , 1］ M，求实数a的取值范围.第10页（共22页）2017年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. （ 5 分）若集合 A 二{2 , 4, 6, 8} , B ={x|x 2 -9x 18, 0}，则=（ ）A . {2 , 4}B . {4 , 6}C . {6 , 8}D . {2 , 8}【解答】解：A ={2,4,6, 8} , B ={x|x 2-9x 18 剟0} ={x |(x-3)(x - 6) 0}={x|3剟X6},A^B 二{4，6}, 故选：B .2. （ 5分）若复数 亘丄（a •二R ）为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a =（） 1 +2iA . 2B . 3C . -2D . -3【解答】解：L=(a i)(1-2i)1+2i (1+2i)(1—2i) •.•复数皂＞(a • R)为纯虚数，1 +2i故选：C .3. （ 5分）袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“ 2”，“ 3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）C .现从中随机选取三个球， 基本事件总数n = C ： =4， 所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有： （2，3，4），（2，4，6），共有 2 个，2 1-所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是 P =42故选：B .4. ( 5分)等比数列 ®｝的前n 项和为S n =乳3“丄• b ，则里=()2 a (1 —2a)i _ 52 a1—2ai ,，解得:a - -2 .【解答】解：袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字2”，3”，4 ”，b A . -3 B. -1 C. 1 D. 3 【解答】解：丁等比数列｛a n｝的前n项和为S n =a|_3n i・b ,二a i =S =a +b ,a2 =S? -S =3a b _a _b =2a ,83 =$3 -S2 =9a b -3a -b 二6a ,T等比数列｛a n｝中，a22二a i a3,2.(2 a) =(a b) 6a,解得a - 8 .b故选：A... 2 25. ( 5分)直线l: kx y 4 =0( k • R)是圆C:x y 4x - 4 y ^0的一条对称轴，过点A(0,k)作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为()A .B . 2 C.、一6 D. 2 飞22 2 2 2【解答】解：T圆C:x y ・4x-4y，6=0,即卩(x 2) • (y —2) =2, 表示以C（-2,2）为圆心、半径等于.2的圆.由题意可得，直线l : kx y ^0经过圆C的圆心（-2,2）,故有-2k 2 ^0 , k =3，点A（0,3）.直线m:y =x 3，圆心到直线的距离d」二2二2二引=1,血V2二直线m被圆C所截得的弦长为2店三=血.故选：C .6. （5分）祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幕势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0 ::: h：：：2）的平面截该几何体，则截面面积为（）第11页（共22页）。
2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1(同名17532)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n?2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
2017年高考数学真题(含答案)
2017年高考数学真题（含答案）本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为 A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ． 2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）． （ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面P AB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当P A ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。
广东省茂名市2017届高三第一次综合测试数学文试题 扫描版含解析
绝密★启用前 试卷类型：A2017年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）提示：1.【解析】P={x ∈N|1≤x ≤10}, Q={ x ∈R|－2＜x ＜3}, P ∩Q= {1，2}，选择B2.【解析】设i =i (0)1ia b b -≠+，则i =(1i )i =i a b b b -+-+，所以{,1,a b b =-=- 解得a =1, 选择A 3.【解析】111(2)ln 222(ln 21)0222f =+--=-<,1111(e)lne+e 2()(e 2)02e 2ef =--=-+->∴(2)(e)0f f ⋅<，由零点存在定理得函数零点所在区间是(2,e). 选择C.4.【解析】符合条件的所有两位数为：12, 14, 21, 41, 32, 34, 23, 43, 52, 54, 25, 45共12个，能被4整除的数为12, 32, 52共3个，所求概率31124p ==，选择D. 5.【解析】因为非零向量⊥a b 时，也有0⋅=a b ，所以A 错；22=a b 只说明向量a 与b 的模相等，a 与b 不一定共线，所以C 错；当向量,,a b c 两两垂直时，也有a b =a c ⋅⋅， 但b 与c 方向不同，故≠b c ，所以D 错. 选择B.6.【解析】由S △ABC =111sin 222AC BC C AC ⋅=⋅=, 解得AC =2，由余弦定理得2222c o s4122342A B A C B C A C B C C =+-⋅=+-⨯⨯=,所以AB =2,选择C.7. 【解析】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a 1=4，则a 5=2，由等差数列性质得a 2+a 4= a 1+a 5=6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤，选择A. 8. 【解析】因为函数f (x )和g (x )的图象的对称轴完全相同，故f (x )和g (x )的周期相同，所以ω =2，()3cos(2)3f x x π=+，由[0,]3∈x π，得2[,]33x πππ+∈，根据余弦函数的单调性，当23x ππ+=，即3x π=时，f (x )min =3-，当233x ππ+=，即0x =时，f (x )max =32，所以f (x )的取值范围是3[3,]2-，选择D.9.【解析】当n =0时，S =0,当n =1时, S =12, 当n =2时, S =21122+, …，当n =4时, S =234111115222216+++=, 当n =5时, S =234511111312222232++++=, 输出S ，所以4＜a ≤5，故选择C.10.【解析】由几何体的三视图可知，几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个半球组合而成 ∴其表面积为S 表=222112224622⨯+⨯+⨯=r r r r r r ππππ.又S 表=6π，∴2266=r r ππ, 解得r =1, 故该几何体的体积为11423323=⨯+⨯+⨯=V ππππ，选择D.11. 【解析】如图1，不妨设12(0,),(0,)F c F c -，则过F 1与渐近线ay x b=平行的直线为ay x c b=+， 联立,,a y x cb a y x b ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得,2,2bc x a c y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩即(,)22bc c M a -因M 在以线段12F F 为直径的圆222x y c +=内，故222()()22bc c c a -+<，化简得223b a <, 即2223c a a -<，解得2ca<，又双曲线离心率1ce a=>，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2). 选择A .12．【解析】令xy xe =，则(1)x y xe '=+，由0y '=，得1x =-，当(,1)x ∈-∞-时，0y '<，函数y 单调递减，当(1,)x ∈-+∞时，0y '>，函数y 单调递增. 作出xy xe =图象，利用图象变换得()||xf x xe =图象如图2，令()f x m =，当1(0,)m e∈，()f x m =有3个根， 当1(,)m e∈+∞，()f x m =有1个根，因此，关于m 方程012=+-tm m 两根分别在11(0,),(,)e e+∞时，满足()1g x =-的x有4个，令2()1h m m tm -+=，由(0)>h =10和2111()10h t e e e =-+<，解得ee t 12+>. 选择B.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 5 14. 1215. (x -1)2+( y +1)2=5或 (x -1)2+(y +11)2=125 16. 2 提示：13. 【解析】可行域如图3所示，目标函数在点（2，1）取得最大值5.14. 【解析】由二倍角公式得2sin αcos α+2(1-2sin 2α)=2，即 (cos α-2sin α)sin α=0，∵α∈(0, π)，∴sin α≠0，cos α-2sin α=0，故sin 1tan cos 2ααα==15. 【解析】∵圆C 与x 轴交于两点A (-1, 0)、B (3, 0)，∴由垂径定理得圆心在x =1这条直线上． 设圆心坐标为C (1, b )，圆半径为r ，则C 到切线x -2y +2=0的距离等于r =|CA|，=即b 2+12b +11=0，解得b = -1或b = -11. ∴圆C 的方程为(x -1)2+(y +1)2=5或 (x -1)2+( y +11)2=125.（只答对一个不给分） 16. 【解析】解法1由条件A -BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A , B , C , D 为球上四点，将正三棱锥A -BCD 补充成一个正方体AGBH -FDEC 如图4，则正三棱锥A -BCD 和正方体AGBH -FDEC 有共同的外接球，△BCD 的边长就是正方体面的对角线，设正方体AGBH -FDEC 的棱长为a ，则正方体外接球半径R 满足：a 2+a 2+a 2=(2R )2，解得2243=a R ，所以BC 2=22283+=a a R ，△BCD 的面积22118sin 60223=⨯︒=⨯=S BC BD R . 解法2由条件A -BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A , B , C , D 为球上四点， 球心O 在正四面体中心如图5，设BC =a ，CD 的中点为E ，O 1为过点B , C , D 截面圆圆心，则截面圆半径12233r O B BE ====，正四面体A -BCD 的高13AO .∴截面BCD 与球心的距离1d OO R ==-，在Rt △BOO 1中，222))R R =--，解得a =.∴△BCD 的面积为2211sin 60)22S BC BD R =⨯︒=⨯⨯=. 三、解答题（本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题. 解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ．由已知得114434182a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，， ……………2分 解得13,1.a d =⎧⎨=⎩ ………………4分 所以a n ＝n ＋2. ……………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n ＝2nn ⋅， …………………………………………………………6分∴123==n n T b b b b +++⋅⋅⋅+231222322n n ⨯+⨯+⨯++⨯ ① ………………7分2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ② …………………8分①-②得：23122222n n n T n +-=++++-⨯ …………………………………………9分111222(1)2212n n n n T n n +++--=-⨯=-⨯-- …………………………………………11分∴1(1)22n n T n +=-⨯+ …………………………………………………………………12分 18.（本小题满分12分）1分 ∴,,,OE OB OE OC OB OC O ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩得OE ⊥平面OBC ， …………………………………………………3分5分 6分 7分 分 分 分解：（Ⅰ）由茎叶图知A 类工人中抽查人数为25名, …………………………………1分 ∴B 类工人中应抽查100-25=75（名）. ………………………………………………2分 由频率分布直方图得 (0.008+0.02+0.048+x )⨯10=1，得x =0.024. ……………………3分（Ⅱ）由茎叶图知A 类工人生产能力的中位数为122 ………………………………4分 由（Ⅰ）及频率分布直方图，估计B 类工人生产能力的平均数为B x =115⨯0.008⨯10+125⨯0.020⨯10+135⨯0.048⨯10+145⨯0.024⨯10=133.8 ……………6分…………9分由上表得22100(8211754)10075012.7332575386225753862k ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯＞10.828 (11)分因此,可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.…12分20. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)依题意可得：圆N 的圆心坐标为N (半径为MP |=|MQ |, ………1分则|MN |+|MQ |=|MN |+|MP |=|NP |=＞|NQ | ……………………………………………2分根据椭圆的定义，点M 的轨迹是以N 、Q 为焦点，长轴长为的椭圆，即2a =2c =，∴b …………………………………………3分所以点M 的轨迹C 的方程为：22163x y +=. ……………………………………………4分(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线l 为y =kx +m , A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，联立直线与椭圆的方程，得{2226,,x y y kx m +==+消去y 并整理得222(12)4260k x kmx m +++-=. ……………………6分因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=2222164(12)(26)0k m k m -+->，化简得：2263m k <+ ① …………………7分由韦达定理得：2121222426,1212km m x x x x k k --+=⋅=++. ………………………………8分 ∴ 22121226()()12m k y y kx m kx m k -⋅=++=+.∵0OA OB ⋅=，∴ x 1x 2+y 1y 2=0，即2222226601212m m k k k --+=++ ， ………………………9分整理得2222m k =+满足①式=即原点到直线l ，∴直线l 与圆222x y +=相切. ……………………………………………………10分当直线的斜率不存在时, 直线为x =m , 与椭圆C 交点为A (m B (m ,)∵0OA OB ⋅=, ∴22302m m m -+=⇒=此时直线为x =222x y +=相切. …………………………………11分综上，直线l 与定圆E ：222x y +=相切. …………………………………………12分 21. （本小题满分12分） 解：(Ⅰ) 当a =0时，f (x ) =1x, f (1) =1, 则切点为(1, 1)， ……………………………1分 ∵21()f x x'=-, ∴切线的斜率为(1)1k f '==-, ……………………………………2分 ∴曲线f (x )在点(1, 1)处的切线方程为y -1= -( x -1)，即x + y -2=0 ………………………3分(Ⅱ)依题意1()ln ah x a x x x +=--，定义域为(0, +∞)， ∴22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=-+=-=-, ……………………4分 ①当a +1＞0，即a ＞-1时，令()0h x '>，∵x ＞0，∴0＜x ＜1+ a ,此时，h (x ) 在区间(0, a +1)上单调递增， 令()0h x '<，得 x ＞1+ a .此时，h (x )在区间(a +1,+∞)上单调递减. ………………………………………………5分 ②当a +1≤0，即a ≤-1时，()0h x '<恒成立， h (x )在区间(0,+∞)上单调递减. …………6分综上，当a ＞-1时，h (x )在x =1+a 处取得极大值h (1+a )=ln(1)2a a a +--，无极小值； 当a ≤-1时，h (x )在区间(0,+∞)上无极值. ………………………………………7分 (Ⅲ) 依题意知，在[1, e]上存在一点x 0，使得00()()g x f x ≥成立, 即在[1, e]上存在一点x 0，使得h (x 0)≥0， 故函数1()ln ah x a x x x+=--在[1, e]上，有h (x )max ≥0. ………………………………8分 由(Ⅱ)可知，①当a +1≥e, 即a ≥e -1时，h (x )在[1, e]上单调递增，∴max 1()(e)e 0e ah x h a +==--≥, ∴2e 1e 1a +≥-, ∵2e 1e 1e 1+>--，∴2e 1e 1a +≥-. ………………………………………………………9分 ②当0＜a +1≤1，或a ≤-1，即a ≤0时，h (x )在[1, e]上单调递减，∴max ()(1)110h x h a ==---≥，∴a ≤-2. ……………………………………………10分 ③当1＜a +1＜e ，即0＜a ＜e -1时，由(Ⅱ)可知，h (x )在x =1+a 处取得极大值也是区间(0, +∞)上的最大值， 即h (x )max =h (1+a )=ln(1)2[ln(1)1]2a a a a a +--=+--， ∵0＜ln(a +1)＜1, ∴h (1+a )＜0在[1, e]上恒成立，此时不存在x 0使h (x 0)≥0成立．……………………………………………………………11分综上可得，所求a 的取值范围是2e 1e 1a +≥-或a ≤-2. ……………………………………12分请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22. （本小题满分10分）解：解法一（Ⅰ）2222,()cos sin 122sin ,y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩ …………1分即1C 的普通方程为22 1.204x y+= …………………………………………………………3分222,cos ,sin ,x y x y ρρθρθ=+==2C 可化化为 224240x y x y ++-+=， …………………………………………………3分即1)1()2(:222=-++y x C . …………………………………………………4分 （Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0）， ……………………………………………………5分 直线l 的倾斜角为4πα=, sin cos αα==………………………………………6分所以直线l的参数方程为：4,,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，…………………………………7分 将其代入曲线2C 整理可得：04232=+-t t ， ………………………………………8分所以△=2(4420--⨯=>.设A ,B 对应的参数分别为21,t t，则14.t t t t +== …………………………9分 所以12AB t t =-=. ………………………10分解法二（Ⅰ）同解法一. ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0）， ……………………………………………………5分 直线l 的斜率为tan14k π==, ……………………………………………………………6分直线l 的普通方程为4y x =+. 即40x y-+=……………………………………………7分 由(Ⅰ)知圆2C 圆心为(-2，1)，半径1r =. ………………………………………………8分 到直线l的距离2d ==……………………………………………………9分 故AB === …………………………………………………10分 解法三（Ⅰ）同解法一. ……………………………………………………………4分 曲线1C 左焦点为（4-，0） ……………………………………………………………5分直线l 的斜率为tan14k π==, ……………………………………………………………6分直线l 的普通方程为 4.y x =+ ……………………………………………………………7分12222124,2,3,5602, 1.(2)(1)1,y x x x x x y y x y =+=-=-⎧⎧⎧⇒++=⇒⎨⎨⎨==++-=⎩⎩⎩或 ………………9分∴|AB =………………………………………………10分23. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）当1a =时，()6f x <，即21236x x -++<，即3,212236,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪---<⎩或31,2223126,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-<⎩或1,22123 6.x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++<⎩ ……………3分322x ∴-<≤-或3122x -<<或112x ≤<， 21x ∴-<< 所以不等式()6f x <的解集为{}|21x x -<<. ……………………5分 （Ⅱ）对任意R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，则有{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=， ………………………………………………………6分又()|2||23|f x x a x =-++|(2)(23)||3|x a x a ≥--+=+. ……………………………8分 ()|1|22g x x =-+≥，从而|3|2a +≥，解得51a a ≤-≥-或，故(,5][1,)a ∈-∞--+∞U . ………………………………………………………………10分。
2017年广东省肇庆市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年广东省肇庆市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合M＝{x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N＝{0，4}，则M∪N＝（）A．[0，4]B．[0，4）C．（0，4]D．（0，4）2．（5分）设i为虚数单位，复数z＝，则z的共轭复数＝（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．（5分）已知向量，且，则实数a的值为（）A．0B．2C．﹣2或1D．﹣24．（5分）设复数z满足（1+i）•z＝1﹣2i3（i为虚数单位），则复数z对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5分）原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A．0个B．1个C．2个D．4个6．（5分）图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．7B．8C．9D．107．（5分）若变量x，y满足约束条件则z＝2x﹣y的最小值等于（）A．2B．﹣2C．D．8．（5分）在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A．若k2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法都不正确9．（5分）把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．35C．D．11．（5分）实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．412．（5分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点．①若＝，则MN∥面SCD；②若＝，则MN∥面SCB；③若面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，则SD⊥面ABCD．其中正确的命题个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（1+2）3（1﹣）5的展开式中x的系数是．14．（5分）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：（参考公式＝＝，＝﹣，，表示样本均值）则y对x的线性回归方程为．15．（5分）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝．16．（5分）已知正数a，b满足a+b＝2，则的最小值为．三、解答题17．（12分）某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求理科综合分数的众数和中位数；（Ⅲ）在理科综合分数为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在[220，240）的学生中应抽取多少人？18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥面ABCD，P A＝BC＝4，AD＝2，AC＝AB＝3，AD∥BC，N是PC的中点．（Ⅰ）证明：ND∥面P AB；（Ⅱ）求AN与面PND所成角的正弦值．19．（12分）新生儿Apgar评分，即阿氏评分是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分，满10分者为正常新生儿，评分7分以下的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分多在7﹣10分之间，某市级医院妇产科对1月份出生的新生儿随机抽取了16名，以如表格记录了他们的评分情况．（1）现从16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名评分不低于9分的概率；（2）以这16名新生儿数据来估计本年度的总体数据，若从本市本年度新生儿任选3名，记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望．20．（12分）某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，P A ＝PC，PD⊥PB，AC∩BD＝E，二面角P﹣AC﹣B的大小为60°．（1）证明：AC⊥PB；（2）求二面角E﹣PD﹣C的余弦值．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）＝|x+m|+|2x+1|．（Ⅰ）当m＝﹣1，解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）求f（x）的最小值．2017年广东省肇庆市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合M＝{x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N＝{0，4}，则M∪N＝（）A．[0，4]B．[0，4）C．（0，4]D．（0，4）【解答】解：集合M＝{x∈R|x2﹣4x＜0}＝（0，4），集合N＝{0，4}，则M∪N ＝[0，4]，故选：A．2．（5分）设i为虚数单位，复数z＝，则z的共轭复数＝（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【解答】解：z＝＝，则＝﹣1+3i．故选：C．3．（5分）已知向量，且，则实数a的值为（）A．0B．2C．﹣2或1D．﹣2【解答】解：∵，∴＝a+2（1﹣a）＝0，解得a＝2．故选：B．4．（5分）设复数z满足（1+i）•z＝1﹣2i3（i为虚数单位），则复数z对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z满足（1+i）•z＝1﹣2i3，可得z＝＝＝，复数对应点的坐标（）在第一象限．故选：A．5．（5分）原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A．0个B．1个C．2个D．4个【解答】解：原命题：若c＝0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．故选：C．6．（5分）图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个故选：D．7．（5分）若变量x，y满足约束条件则z＝2x﹣y的最小值等于（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z＝2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣＝．故选：D．8．（5分）在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A．若k2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法都不正确【解答】解：若k2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故A不正确．也不表示某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病，故B不正确．若从统计量中求出有95%的是吸烟与患肺病的比例，表示有5%的可能性使得推断出现错误，故C正确．故选：C．9．（5分）把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有2×3＝6种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有2×3＝6种选择，得到第5球独占一盒的选择有4×（6+6）＝48种，第二类，第5球不独占一盒，先放1﹣4号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9×4＝36，根据分类计数原理得，不同的方法有36+48＝84种．而将五球放到4盒共有×＝240种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率P＝＝故选：C．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．35C．D．【解答】解：根据三视图可得，该几何体是一个直四棱柱，截取了两个小三棱柱，其体积V＝＝．故选：C．11．（5分）实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时2x+y＝9．由，解得，即B（4，1），∵B在直线y＝m上，∴m＝1，故选：A．12．（5分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点．①若＝，则MN∥面SCD；②若＝，则MN∥面SCB；③若面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，则SD⊥面ABCD．其中正确的命题个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：在①中，过M作MH∥SD，交AD于H，连结HN，∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点，＝，∴NH∥CD，∵MH∩MN＝M，SD∩DC＝D，MH，MN⊂平面MNH，SD，CD⊂平面SDC，∴平面MNH∥平面SDC，∵MN⊂平面MNH，∴MN∥面SCD，故①正确；在②中，过M作MH∥SD，交AD于H，连结HN，∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点，＝，∴∴NH∥CD，∵MH∩MN＝M，SD∩DC＝D，MH，MN⊂平面MNH，SD，CD⊂平面SDC，∴平面MNH∥平面SDC，∵MN⊂平面MNH，∴MN∥面SCD，故②正确；在③中，∵面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，平面SDA∩平面SDB＝SD，∴SD⊥面ABCD，故③正确．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（1+2）3（1﹣）5的展开式中x的系数是2．【解答】解：由于（1+2）3（1﹣）5＝[1+•2•+•22•x+8]•[1﹣•+•﹣•x+•﹣]，故展开式中x的系数是﹣+4＝﹣10+12＝2，故答案为：2．14．（5分）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：（参考公式＝＝，＝﹣，，表示样本均值）则y对x的线性回归方程为．【解答】解：∵176，＝176，∴样本组数据的样本中心点是（176，176），＝＝，＝﹣＝88，∴回归直线方程为．故答案为15．（5分）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝10．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|＝a，|CB|＝b，则A（a，0），B（0，b）∵点D是斜边AB的中点，∴，∵点P为线段CD的中点，∴P∴＝＝＝∴|P A|2+|PB|2＝＝10（）＝10|PC|2∴＝10．故答案为：1016．（5分）已知正数a，b满足a+b＝2，则的最小值为．【解答】解：正数a，b满足a+b＝2，则a+1+b+1＝4．则＝[（a+1）+（b+1）]＝≥＝＝，当且仅当a＝，b＝时原式有最小值．故答案为：．三、解答题17．（12分）某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求理科综合分数的众数和中位数；（Ⅲ）在理科综合分数为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在[220，240）的学生中应抽取多少人？【解答】解：（Ⅰ）由（0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5）×20＝1，得x＝0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5．（Ⅱ）理科综合分数的众数是＝230，∵（0.002+0.009 5+0.011）×20＝0.45＜0.5，∴理科综合分数的中位数在[220，240）内，设中位数为a，则（0.002+0.009 5+0.011）×20+0.012 5×（a﹣220）＝0.5，解得a＝224，即中位数为224．（Ⅲ）理科综合分数在[220，240）的学生有0.012 5×20×100＝25（位），同理可求理科综合分数为[240，260），[260，280），[280，300]的用户分别有15位、10位、5位，（10分）故抽取比为＝，∴从理科综合分数在[220，240）的学生中应抽取25×＝5人．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥面ABCD，P A＝BC＝4，AD＝2，AC＝AB＝3，AD∥BC，N是PC的中点．（Ⅰ）证明：ND∥面P AB；（Ⅱ）求AN与面PND所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取PB中点M，连结AM，MN．∵MN是△BCP的中位线，∴MN平行且等于BC．（1分）依题意得，AD平行且等于BC，则有AD平行且等于MN（2分）∴四边形AMND是平行四边形，∴ND∥AM（3分）∵ND⊄面P AB，AM⊂面P AB，∴ND∥面P AB（5分）（Ⅱ）解：取BC的中点E，则，所以四边形AECD是平行四边形，所以CD∥AE，又因为AB＝AC，所以AE⊥BC，所以CD⊥BC，又BC∥AD，所以CD⊥AD（6分）P A⊥面ABCD，CD⊂面ABCD，所以P A⊥CD（7分）又P A∩AD＝A，所以CD⊥面P AD．（8分）在面P AD内过A做AF⊥PD于F，则CD⊥AF，又CD∩PD＝D，AF⊥面PDC，连接NF，则∠ANF是AN与面PND所成的角．（10分）在Rt△ANF中，，，，所以AN与面PND所成角的正弦值为（12分）19．（12分）新生儿Apgar评分，即阿氏评分是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分，满10分者为正常新生儿，评分7分以下的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分多在7﹣10分之间，某市级医院妇产科对1月份出生的新生儿随机抽取了16名，以如表格记录了他们的评分情况．（1）现从16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名评分不低于9分的概率；（2）以这16名新生儿数据来估计本年度的总体数据，若从本市本年度新生儿任选3名，记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）设A1表示所抽取3名中有i名新生儿评分不低于9分，至多有1名评分不低于9分记为事件A，则．（2）由表格数据知，从本市年度新生儿中任选1名评分不低于（9分）的概率为，则由题意知X的可能取值为0，1，2，3．；；；．所以X的分布列为由表格得．（或）20．（12分）某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）依题意每天生产的伞兵个数为100﹣x﹣y，所以利润W＝5x+6y+3（100﹣x﹣y）＝2x+3y+300（x，y∈N）．（2）约束条件为整理得目标函数为W＝2x+3y+300，如图所示，作出可行域．初始直线l0：2x+3y＝0，平移初始直线经过点A时，W有最大值．由得最优解为A（50，50），所以W max＝550（元）．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550（元）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，P A ＝PC，PD⊥PB，AC∩BD＝E，二面角P﹣AC﹣B的大小为60°．（1）证明：AC⊥PB；（2）求二面角E﹣PD﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵E是AC的中点，P A＝PC，∴AC⊥PE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PE∩BD＝E，∴AC⊥面PDB，又PB⊂面PDB，∴AC⊥PB．解：（2）由（1）CE⊥面PDB，PD⊂面PDB，∴CE⊥PD，过E作EH⊥PD于H，连接CH，则PD⊥面CEH，又CH⊂面CEH，则PD⊥CH，∴∠CHE是二面角E﹣PD﹣C的平面角．由（1）知∠PEB是二面角P﹣AC﹣B的平面角，所以∠PEB＝60°，设AB＝a，在Rt△PDB中，，△PBE是等边三角形，，EH是△PBD的中位线，则，，CH＝＝，∴，即二面角E﹣PD﹣C的余弦值为．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【解答】解：（1）∵ρ＝4cosθ．∴ρ2＝4ρcosθ，∵ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，∴x2+y2＝4x，所以曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，由（t为参数）消去t得：．所以直线l的普通方程为．（2）把代入x2+y2＝4x得：t2﹣3t+5＝0．设其两根分别为t1，t2，则t1+t2＝3，t1t2＝5．所以|PQ|＝|t1﹣t2|＝＝．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）＝|x+m|+|2x+1|．（Ⅰ）当m＝﹣1，解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）求f（x）的最小值．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当m＝﹣1时，不等式f（x）≤3，可化为|x﹣1|+|2x+1|≤3．当时，﹣x+1﹣2x﹣1≤3，∴x≥﹣1，∴；（1分）当时，﹣x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴；（2分）当x≥1时，x﹣1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x＝1；（3分）综上所得，﹣1≤x≤1．（4分）（Ⅱ）（5分）（6分）＝，当且仅当时等号成立．（7分）又因为，当且仅当时，等号成立．（8分）所以，当时，f（x ）取得最小值．（10分）第21页（共21页）。
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广东省茂名市2017年高考数学一模试卷（理科）（解析版） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=2x}，则M∩N=（ ）
A．（0，2] B．（0，2） C．[0，2] D．[2，+∞）
2．设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点
在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），
则f（x）的图象的一个对称中心是（ ）
A．（﹣，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（，0）
4．设命题p：若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）．命题q：f（x）=x|x|在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ） A．p为假 B．￢q为真 C．p∨q为真 D．p∧q为假
5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，
重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（ ） A．6 斤 B．9 斤 C．9.5斤 D．12 斤
6．已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（1）=2，则
不等式f（log2x）＞2的解集为（ ） A．（2，+∞） B． C．
D． 7．执行如图的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6 8．一个几何体的三视图如图所示，其表面积为6π+π，则该几何体的体积为
（ ）
A．4π B．2π C．π D．3π 9．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科
的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A．6种 B．24种 C．30种 D．36种
10．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为
60°，若球半径为R，则弦AB的长度为（ ）
A． B． C．R D．
11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．
12．已知f（x）=|xex|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（ ） A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上． 13．如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的
平均值为 14．已知，则二项式展开式中的常数项是 ．
15．若圆x2+y2﹣x+my﹣4=0关于直线x﹣y=0对称，动点P（a，b）在不等式组
表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是 ． 16．已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且（n∈N*）．若不等式对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知函f（x）=sin（2x﹣）﹣cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，b=1，，且a＞b，求角B和角C． 18．（12分）调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿
度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z的值评定这种农作物的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取10块种植地，得到如表中结果： 种植地编号 A1 A2 A3 A4 A
5
（x，y，z） （1，1，2） （2，1，1） （2，2，2） （0，0，1） （1，2，1） 种植地编号 A6 A7 A8 A9 A
10
（x，y，z） （1，1，2） （1，1，1） （1，2，2） （1，2，1） （1，1，1） （Ⅰ）在这10块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z相同的概率； （Ⅱ）从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B，记随机变量X=A﹣B，求X的分布列及其数学期望． 19．（12分）如图1，在边长为的正方形ABCD中，E、O分别为 AD、BC的中点，沿 EO将矩形ABOE折起使得∠BOC=120°，如图2所示，点G 在BC上，BG=2GC，M、N分别为AB、EG中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面OBC； （Ⅱ）求二面角 G﹣ME﹣B的余弦值． 20．（12分）设x，y∈R，向量分别为直角坐标平面内x，y轴正方向上的
单位向量，若向量，，且． （Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设椭圆，P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线y=kx+m交椭圆E于A、B两点，试证：△OAB的面积为定值． 21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x+2．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分） 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为
参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线． （Ⅰ）写出曲线C1，C2的普通方程； （Ⅱ）过曲线C1的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|． [选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分） 23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜6； （Ⅱ）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围． 2017年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=2x}，则M∩N=（ ）
A．（0，2] B．（0，2） C．[0，2] D．[2，+∞）
【考点】交集及其运算． 【分析】由一元二次不等式的解法、指数函数的值域求出集合M、N，由交集的运算求出答案． 【解答】解：依题意得，M={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1，2]， 且N={y|y=2x}={y|y＞0}=（0，+∞）， ∴M∩N=（0，2]， 故选：A． 【点评】本题考查交集及其运算，一元二次不等式的解法，以及指数函数的值域，属于基础题．
2．设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点
在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【解答】解：复数（2﹣i）z=1+i， ∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+i）， ∴z= 则z的共轭复数=﹣i在复平面中对应的点在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），
则f（x）的图象的一个对称中心是（ ）
A．（﹣，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（，0）
【考点】正弦函数的图象． 【分析】由函数图象可知A=2，由图象过点（0，），可得sinφ=，由|φ|＜，可解得φ，由2x+=kπ，k∈Z可解得f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z，对比选项即可得解．
【解答】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，）， 可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜， 解得：φ=， 即有：f（x）=2sin（2x+）． 由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z， 故f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z 当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0）， 故选：B． 【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．
4．设命题p：若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）．命题q：f（x）=x|x|在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函