直角三角形课堂练习
三角形内角和课堂实录
三角形内角和课堂实录一、教学目标：1．通过“量一量”、“算一算”、“拼一拼”、“折一折”的小组活动的方法，探索发现验证三角形内角和等于180°，并能应用这一知识解决一些简单问题。
2．通过把三角形的内角和转化为平角进行探究实验，渗透“转化”的数学思想。
3．通过数学活动使学生获得成功的体验，增强自信心。
培养学生的创新意识、探索精神和实践能力。
二、教学重、难点：验证三角形的内角和是180°。
三、教学准备学生准备：每人准备直角三角形，锐角三角形，钝角三角形各一个教师准备：1张长方形纸，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，等腰三角形，等边三角形各一个。
四、教学过程（一）：引入1、（教师拿出一张长方形纸）师：这是什么图形？生：长方形师：它有几个角？（4个）这4个角称为长方形的内角。
板书：内角教师标好角，这4个角的和，我们可以叫做长方形的内角和，板书：内角和。
师：长方形的内角和是多少度？（360度）。
你是怎么知道的？（长方形每个角都是直角，是90度，4X90=360度）。
2、师：我们把这个长方形延对角线对折，将它分开，分成的是什么图形？生：直角三角形。
师：它有几个内角？（3个），今天我们要来研究三角形的内角和。
你觉得三角形的内角和怎么理解？（三角形3个内角相加的度数）你认为这个直角三角形的内角和是多少度？（180度）你是怎么想的？（是长方形内角和的一半360÷2=180）师：长方形分成了两个一样的直角三角形，所以每个直角三角形的内角和是长方形的一半。
师：那么这两个锐角的和角应该是多少度？生：90度师：你怎么想的？生：这个直角三角形的内角和是180度，减掉一个直角90度，剩下的两个角的和是90度。
3、教师将剪下的两个直角三角形拼成一个三角形师：现在拼成的图形是什么？（还是三角形）师：它的内角和是多少度？（180度）师：你是怎么想的？生：三角形的内角和都是180度。
师：三角形的内角和都是180度，你验证过了吗？（没有）那你有什么理由说这个三角形的内角和是180度？生：这两个直角三角形可以拼成长方形，内角和是360度，中间两个直角被拼掉了，少了180度，剩下的角就是180度。
教学课件_解直角三角形(第1课时)_2
∴∠A=60° ， ∠B=90°-∠A=90°- 60°=30°， AB=2AC=2 2 .
巩固练习
1.在下列直角三角形中不能求解的是（ D ） A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角
C.已知两边
D.已知两角
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB= 5 ，则
tan A的值为（ C ）
新知讲解
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与
地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已
知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
由于 cosa
AC AB
2.4 6
0.4
B
利用计算器求得 a≈66° ∴当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面
α AC
所成的角大约是66°
巩固练习
5.如图，BD是△ABC的高，AB=6， AC=5 3 ，∠A=30°．
（1）求BD和AD的长； （2）求tan C的值．
解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠BDC=90°
∴sin A= BD，cos A= AD
AB
∵AB=6∠A=30°
AB
∴BD=3，AD=3 3
（2）∵AC=5 3 ∴CD=2 3 在Rt△BCD中，tan C=
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系:
Ａ
a sinA＝ c
b cosA＝ c
tanA＝ a
b （4）面积公式：S▲ABC
1 2
a•b
1 2
c•h
Ｂ
c a
bＣ
例题讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，2BC= ，6解这个直 角三角形.
人教版2020年九年级中考数学一轮复习 第15讲 三角形(有答案)
第十五节三角形【知识点梳理】一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做（简称）。
2．三角形的中位线三角形的中位线平行于，并且等于．3.三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系：任意两边之和第三边；任意两边之差第三边．4、三角形的内角和定理及推论1．三角形内角和：三角形三内角之和等于．2．三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角；(2)三角形的一个外角与它不相邻的两内角之和．1．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为和等腰三角形；等腰三角形又分为及 .(2)按角分：三角形和斜三角形；斜三角形又分为：和 .答案：一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线。
（2）三角形的中线。
（3）三角形的高线（简称三角形的高）。
2．三角形的中位线：三角形的第三边，并且等于第三边长的一半．3.三角形的三边关系定理及推论：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．4、三角形的内角和定理及推论1． 180°．2．三角形外角的性质：(1)大于；(2)等于．1．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为不等边三角形和等腰三角形；等腰三角形又分为底和腰不等的三角形及等边三角形.(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为：锐角三角形和钝角三角形.【课堂练习】一．选择题（共9小题）1．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线C．高D．中位线【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．2．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB=CE：EB=2：3，则△DBE与△ADC的面积比为（）A．3：5 B．4：5 C．9：10 D．15：16【考点】K3：三角形的面积．【分析】根据三角形面积求法进而得出S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，即可得出答案．【解答】解：∵AD：DB=CE：EB=2：3，∴S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，∴设S△BDC=3x，则S△ADC=2x，S△BED=1.8x，S△DCE=1.2x，故△DBE与△ADC的面积比为：1.8x：2x=9：10．故选：C．3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A．1 B．3C．32D．2【考点】K5：三角形的重心；KW：等腰直角三角形．【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，∵P是Rt△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，PD=CD，∵∠C=90°，∴CD=AB=3，∵AC=BC，CD是△ABC的中线，∴CD⊥AB，∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，故选：A．4．三角形的重心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平行线的交点【考点】K5：三角形的重心．【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点，故选：A．5．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则MOMF的值为（）A．12B．54C．23D．33【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】根据三角形的重心性质可得OC=CE，根据直角三角形的性质可得CE=AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM=CE，进一步得到OM=CE，即OM=AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF=AE，MF=EF，依此得到MF=AE，从而得到的值．【解答】解：∵点O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．故选：D．6．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．9【考点】K6：三角形三边关系．【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故选：C．7．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（）A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0【考点】K6：三角形三边关系．【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）=0．故选D．8．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6 B．7 C．11 D．12【考点】K6：三角形三边关系．【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．【解答】解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是2和4，∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．则三角形的周长：8＜C＜12，C选项11符合题意，故选C．9．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（）A．54°B．62°C．64°D．74°【考点】K7：三角形内角和定理；JA：平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠C=∠AED=54°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=54°，∵∠A=62°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，故选C．二．填空题（共5小题）10．在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为cm．【考点】K5：三角形的重心；KQ：勾股定理．【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．【解答】解：连接AO并延长，交BC于H，由勾股定理得，DE==2，∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心，∴AH是中线，又BD⊥CE，∴OH=BC=2，∵O是△ABC的重心，∴AO=2OH=4，故答案为：4．11．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为．【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠A的度数为：40°．故答案为：40°．12．如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S=12 AC•BD．正确的是（填写所有正确结论的序号）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；④根据面积和求四边形的面积即可．【解答】解：①在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC=∠ADC，故①结论正确；②∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴OB=OD，AC⊥BD，而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，故②结论不正确；而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；故③结论不正确；④∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD•AO+BD•CO=BD•（AO+CO）=AC•BD．故④结论正确；所以正确的有：①④；故答案为：①④．14．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．【考点】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．三．解答题（共9小题）15．如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定即可求证：△ADF≌△BCE【解答】解：∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，在△ADF与△BCE中，∴△ADF≌△BCE（SAS）16．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．【解答】证明：∵BE=FC，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE；（SAS）17．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边角边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DEF，又∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即：BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF．18．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=AB=4，根据勾股定理得到CE==3，于是得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴AC=BC=AB=4，∵BE=5，∴CE==3，∴AE=4﹣3=1；（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵AF⊥BD，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴A，F，C，B四点共圆，∴∠CFB=∠CAB=45°，∴∠DFC=∠AFC=135°，在△ACF与△DCF中，，∴△ACF≌△DCF，∴CD=AC，∵AC=BC，∴AC=BC．20．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；（2）PQ=MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△MEB是等腰直角三角形，∴PQ=MB，∴PQ=MB．21．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．【解答】解：（1）∠ABE=∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．22．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）求△PQR面积的最小值；（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t，QD=3（2﹣t），再由运动得出AP=3t，CR=4t，BP=3（2﹣t），AR=4（2﹣t），最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出S△PQR=18（t﹣1）2+6，即可得出结论；（3）先判断出∠DQR=∠EQP，用此两角的正切值建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin∠B===，sin∠C=，过点Q作QE⊥AB于E，在Rt△BQE中，BQ=5t，∴sin∠B==，∴QE=4t，过点Q作QD⊥AC于D，在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，∴QD=CQ•sin∠C=（10﹣5t）=3（2﹣t），由运动知，AP=3t，CR=4t，∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），∴S△APR=AP•AR=×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），S△BPQ=BP•QE=×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），S△CQR=CR•QD=×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），∴S△APR=S△BPQ=S△CQR，∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）由（1）知，S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），∵AB=6，AC=8，∴S△PQR=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）=×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，∵0≤t≤2，∴当t=1时，S△PQR最小=6；（3）存在，由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，∴四边形APQD是矩形，∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=|4（2t﹣2）|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=|3（2t﹣2）|∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，∴∠DQR=∠EQP，∴tan∠DQR=tan∠EQP，在Rt△DQR中，tan∠DQR==，在Rt△EQP中，tan∠EQP==，∴，∴16t=9（2﹣t），∴t=．23．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C同理S△ABC=bcsin∠AS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．解：S△DEF=EF×DFsin∠F=；DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴S1=absin∠C=absin60°=ab∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4．。
初中数学人教版八年级上册含30°角的直角三角形的性质
第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
湖北省襄阳市三十一中 刘晓琼
学习目标
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计 算．（难点）
导入新课
问题引入
讲授新课
一 含30°角的直角三角形的性质
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， A
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°， 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD,
1
可得BC=CD= 2 AB. 性质：
在直角三角形中，如果一 B
C
D
个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于斜边的一半.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
11 ∴CD= 2 AC= 2
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
含
内 容 那么它所对的直角边等于斜边的一半
角
的 直 角
使用 要点
找准30 °的角所对的直角边，点明斜边
三
你还能用其他 方法证明吗？
证法欣赏
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = 1 AB． 2
证法1：在△ABC 中， ∵ ∠C =90°，∠A =30°,
证明方法： A 倍长法
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，
连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
22
又AD=
1
直角三角形的三边关系.doc
直角三角形的三边关系(复习)一.知识要点1.直角三角形边角关系.(1)三边关系：勾股定理：。
2+歹=疽(2)三角关系：ZA+ZB+ZC=180° ，ZA+ZB =ZC=90° .(3)边角美系 tanA二一，s inA——, cosA——， b c c2.解法分类：(1)已知斜边和一个锐角解直角三角形；(2)已知一条直角边和一个锐角解直角三角形;(3)已知两边解直角三角形.3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念：(1)仰、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方叫做仰角，在水平线下方叫做俯角(2)坡度：坡面的铅直高度h与水平宽度1的比叫做坡度，常用字母i表示，即i=，(3)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母a表示，则tan(x=¥(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。
的角o(5)方位角：从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角。
二、课堂练习1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A (3, 0)点 B (0, -4),贝ij cosZOAB 等于2、.如图ZXABC电匕C=90° ,A B=8,tanA=4/3 B则AC的长是3、在 RtAABC 中ZC=90° sinA= 4/5则cosB的值等于t4、在正方形网格中，AABC的位置如图所示，则sinB的值为 A C5、如图，在四边形ABCD中，E、F分别是 AB、AD 的中点，若 EF二2, BC二5, CD二3,则tanC等于6.如图，在矩形ABCD中，DE1AC于E,设匕 ADE 二。
，且 cosa = 2, AB 二 4,则 AD 的长为57.如图4,已知正方形刃时的边长为2,如果将线段以绕着点〃旋转后，点〃落在似的延长线上的〃'处，那么tan匕BAD'等于8.比较下列三角函数值的大小：sin40°sin50°9.若是锐角，cosA > VT ,则匕A应满足10.已知ZA为锐角且sinA=1/4,则( )A. 0°< ZA<30°B. 30°< ZA<45°图4C. 45°< ZA<60°D. 60°< ZA<90°11、计算：(-r2-(V3-V2)° +2sin30°+|-312、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域。
全等三角形判定的复习课
2013年10月29日星期二
1、已知两边
例题1：如图AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE ∠1=∠2,试说明ΔABD≌ ΔACE
A
1
B D
2
E
C
2013年10月29日星期二
2、一边一角
例题2：如图点E、F在上BC上，BE=CF,AB=DC, ∠B=∠C,试说明ΔABC≌ ΔDCE.
A
D
B
E
F
②已有什么
③还缺什么
④创造条件
2013年10月29日星期二
同学们 再见
复习课
虞城县小侯初中吴凤勤
知识点
全 等 三 角 形 定义：能够 的两个三角形 、对应 。 、 。 也对应相等。 、 。 、 的方 对应元素：对应_____、对应 性质：全等三角形的对应边 全等三角形的 、 判定： 、 、 全等三角形的画图: 利用直尺和圆规，根据 、 、 法都可画出与已知三角形全等的三角形。
点评：证明一条线段是其它两条线段的和，一般可在较长线段上截一线段，使它与 两条线段中的一条相等，再证剩下的线段与另一段相等，这种方法叫截长法；或将 两线段中的一条延长，使延长部分等于另一线段，再证它与较长线段相等，这种方 法叫补短法。
2013年10月29日星期二
小结
1、要说明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰 当的判定方法 2、全等三角形，是说明两条线段或两个角相等的重要方法之一， 说明时 ①要观察待说明的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。 ②分析要说明两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条 件。 ③有公共边的，公共边一般是对应边， 有公共角的，公共角 一般是对应角，有对顶角的，对顶角一般是对应角 总之，说明理由的过程中能用简单方法的就不要绕弯路。
直角三角形三边关系
52+122=132
在右图(书本 109页做一做)的方 格图中，用三角尺 化出两条直角边分 别为5cm、12cm的 直角三角形，然后 用刻度尺量出斜边， 并验证刚才得到的 直角三角形三边的 关系是否成立。
13
12
5 (每一小格代表１平方厘米)
概括
在西方又称毕达
勾股定理（gou-gu 哥t拉he斯or定em理)！
勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，远在公元前三千 年的巴比伦人就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，据 《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的 认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅 五。”同书中还有另一为学者陈子（公元前六七世纪）与荣方的一段 对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘， 并而开方除之，得邪（斜）至日”即
B
A
C D
7cm
4、已知∠ACB=90°, A
CD⊥AB,AC=3,BC=4.
D
求CD的长.
3
C
4
B
1、这节课你学到了什么知识？ 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c， 那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方(勾股定理)
2、你是通过什么方法得出这一结论的? 通过数格子和割补法求面积
1、求出下列直角三角形中未知边的长度。
10 6
x
24 x
25
2、如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4 厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？
可要当心噢！
3、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为_____4_9_____cm2。
冀教版八上数学 直角三角形全等的判定
复习引入
1.全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等. 2.判别两个三角形全等的方法:
SSS
SAS ASA
AAS
讲授新课
用“HL”判定三角形全等
在一个三角形中，由勾股定理可知：如果两条边确定， 那么第三条也随之确定.由此可以得出直角三角形的新的判定 方法.
我们已经知道，三边对应相等的两个三角形全等.由勾股 定理可知：两边对应相等的两个直角三角形，其第三条也一 定相等.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD,
A
E
B
F
C
AF=CE.
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
D∴BF=DE.课源自小结内容斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等.
2.如图 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求
证：△EBC≌△DCB.
A
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
E
D
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). B
C
3.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
∵AB=A'B'，AC=A'C',
B
∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
C C'
B'
特殊三角形性质
12.如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD= ，AB=20．求∠A的度数。
13.（2010•雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN。
10．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD=50°AE=AD，则∠EDC的度数为（）
A．15°B. 25°C. 30°D. 50°
11.如图，△ABC中，∠B=45°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=18㎝，求△DEB的周长。
12.在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．若∠CAB=∠B+30°，求∠AEB．
勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
【经典例题】
【例1】已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，AC= ，AB= ，CD⊥AB，求BC边的长。
【例2】已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．
求证：CD⊥AB。
【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．
9.把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3 cm，BC=5 cm，则重叠部分△DEF的面积是cm2。
10.已知 三内角 的对边分别为 ，给出以下条件： ① 的度数之此为 ； ② =
③ ④
其中不能推导出 为直角三角形的条件是（写序号即可）。
11.在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D点，已知，AB=8，AD=4，∠ABC=75°．
数学沪科版八年级(上册)15.3第3课时直角三角形中30°角的性质定理
15.3 等腰三角形
第3课时 直角三角形中30°角的性质定理
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当堂练习
课堂小结
学习目标
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算．（难点）
导入新课
问题引入
问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在 一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC 与斜边AB之间的数量关系吗？
×3.7=1.85
(m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上
的高.
D A
B
)15 °
15 ° C
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
这艘轮船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B
处测得一礁石C在北偏西60°的方向上.
（1）画出礁石C的位置；
（2）求出B处到礁石C的距离.
M
解：(1)如图,以B为顶点，向北偏西60° C
作角， 这角一边与AM交于点C,
D
60° B
30°
则C为礁石所在地；
A
(2)∵∠DBC=∠BAC+∠ACB，
则△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD, ∴BC = 1 BD．
2
∴ BC = 1 AB．
2
B
C
D
证明2： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形，
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直角三角形课堂练习
1、三角形的内角和为 度。
2、有 边相等的三角形叫做等腰三角形，在一个三角形中，等边对 。
3、在△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B= 。
4、如图，CD是Rt△ABC斜边上的高.请找出图中各对互余的角.
5、如图，在等腰直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，则AD＝BD
＝CD。请说明理由。
6、已知，如5图，AD＝BD＝CD，AD是BC边上的高，则AB＝AC。请说明理由。
7、已知，如5图，AD＝BD＝CD，∠B＝45°，请说明△ABC是等腰直角三角形。
8、已知三角形的三个内角之比为1：2：3，则该三角形是 三角形。
9、在△ABC中，∠A=90°，∠B=3∠C，求∠B，∠C的度数。
10、在直角三角形中，两锐角之比为2：3，则较大的锐角为 。
11、如右图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD是斜边BC上的高，
则图中共有等腰直角三角形 个