【2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：6.4 基本不等式(共45张PPT)

x
示
点关系，再应用两点间距离公式求解，出现运算繁琐
情况，导致错解.
解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意
备 考 建 议
(1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义； (2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式； (3)思考要周密，运算要准确、快速.
另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用
a a a b b ∴ (1 1 )(1 1 ) (2 b )(2 a ) 5 （ b a ） 5 4 9, 2 a b a b a b 等号成立的条件为 a b 1 . 2
答案：9
【反思·感悟】1.利用基本不等式求最值的关键在于凑“和” 或“积”为定值. 2.使用基本不等式时容易忽视的是不等式成立的条件.
又∵a>1,b>1, a b 2 2,
2 故 log 4ab log 4 a b ） log 4 2 1 , （
2
2
∴ 1 1 1 , 等号当且仅当 a b 2,
x y 2
即x=y=4时等号成立. ∴ 1 1 的最大值为 1 .
y 答案： 1 2 xk(x+4)+2］+1可知，
即a2+b2≥2ab，故(1)正确. (2)由(1)可知a2+b2≥2ab，即a2+b2+2ab≥4ab,
2 即(a+b)2≥4ab,即 ab a b ）, 故(2)正确. （
2 2 2
2 ab 2 a b a b 2 2ab (3)由 ( ) 2 2 4 2 (a b) 0, 故(3)正确. 4 (4)若a,b异号，如a=-1,b=1,则 b a 2 2, 故(4)错. a b
基本不等式的实际应用 【方法点睛】利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、 税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中 提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解. (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定 义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范
【解题指南】(1)由题意设出未知量，构造函数关系式，变形 转化利用基本不等式求得最值，得出结论； (2)先由限制条件确定自变量的范围，然后判断(1)中函数的单
调性，利用单调性求最值，得出结论.
【规范解答】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为 162 米.
x
则总造价
2 162 )+248×2x+80×162 x =1 296x+ 1 296 100 +12 960 x =1 296(x+ 100 )+12 960 x
a b
______.
【解题指南】(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式形式
可解.
(2)直接应用基本不等式求解.
(3)将 1 与 1 中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.
a b
【规范解答】(1)由x>-3得x+3>0, 又 x 2 x 3 2 3 2 2 3，等号成立的条件是
简便方法的尽量使用简便方法.
1.(2011·福建高考)若a>0,b>0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在
x=1处有极值，则ab的最大值等于 ( (A)2 (B)3 (C)6 ) (D)9
2
a>0,b>0 (1)基本不等式成立的条件是__________. a=b (2)等号成立的条件是：当且仅当_____时取等号. 算术平均数 (3)其中 a b 称为正数a,b的____________， ab 称为正数a，
2
几何平均数 b的____________.
【即时应用】
判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写√或×)
g(x)有最小值，即f(x)有最小值
1 800 1 296 (10 ) 12 960 =38 882(元). 8 81 ∴当长为16米，宽为 10 1 米时，总造价最低，为38 882元. 8
【反思·感悟】1.本例(2)中由于条件限制应用基本不等式结 果不成立，从而转化为应用函数的单调性求解，这也是此部分 内容的常规解法.
求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件.
【例3】(1)(2012·杭州模拟)设x,y∈R，a>1,b>1，若ax=by=4 且 a b 2 2, 则 1 1 的最大值为______.
x y
(2)已知函数f(x)=log2［k(x+4)+2］+1恒过定点P，且点P在直 线 y x 2 (a,b∈R+)上，则3a+2b的最小值为______.
(2)∵x≥0，①当x=0时，f(0)=0；
②当x＞0时，f(x)=
1 , 1 2 x x 1
当且仅当 x 1 ， 即x=1时取等号.
x
所以f(x)的最大值为 .
1 2
(3)∵m＞0,n＞0,mn≥81,∴ mn 9,
∴ m n 2 mn 18，故m+n的最小值为18. 答案：(1)
1 3
(2)
1 2
(3)18
利用基本不等式求最值 【方法点睛】应用基本不等式求最值的常见类型 (1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式. (2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进
行恒等变形，如构造“1”的代换等.
(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单 调性求解.
x 3 x 3 2 x 3 , 即 x 2 3. x 3
答案：2 2 3
(2)因为x,y为正实数，所以 1 x y 2 xy，
3 4 12
xy 1 即xy≤3, ， 12 2 当且仅当 x 3 ， y=2时等号成立. 2
所以
答案：3 (3)∵a>0,b>0,a+b=1, ∴ 1 1 1 a b 2 b , 同理 1 1 2 a ,
【规范解答】由题意可知 f x 2 的图象关于原点对称，而与
x
过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点 分别为P(x, 2 )与Q(-x, 2 )，
x
x
由两点间距离公式可得
2 2 2 PQ (x x) ） （ x x
2
2x
2
4 2 ） 4 （ x
答案：(1)√
(2)√
(3)√
(4)×
2.利用基本不等式求最值
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为
M 2 等号当且仅当____ a＝b 正实数，且a＋b＝M，M为定值，则 ab ， 4
时成立.(简记：和定积最大) (2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a， b为正实数，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥____，等号当且仅 2 P a＝b 当______时成立.(简记：积定和最小)
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)
(2) ab ( a b ) 2 (a，b∈R)
a b 2 a 2 b 2 (a,b∈R) (3) ( ) 2 2 (4) b a 2(a,b均不为零) a b
(
( ( (
)
) ) )
2
【解析】(1)由(a-b)2≥0得a2+b2-2ab≥0，
【易错误区】忽视题目的隐含条件致误 【典例】(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标 原点的一条直线与函数 f x 2 的图象交于P、Q两点，则线段
x
PQ长的最小值是______. 【解题指南】由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设 出交点代入两点间距离公式，整理后应用基本不等式求解即可.
b a
【解题指南】(1)用a,b表示x，y代入后，再利用基本不等式可
求.
(2)求得P点坐标代入直线方程，再用“1”的代换转化为基本不
等式求解.
【规范解答】(1)由ax=by=4得x=loga4,y=logb4,
故 11
x y 1 1 =log4a+log4b=log4ab. log a 4 log b 4
【提醒】(1)应用基本不等式注意不等式的条件. (2)若多次应用基本不等式要注意等号需同时成立.
【例1】(1)(2012·无锡模拟)若x>-3，则 x 2 _______.
x 3
的最小值为
(2)已知x,y为正实数，且满足 x y 1， 则xy的最大值为
3 4
______. (3)已知a，b为正实数且a+b=1，则（1 1 ） 1 ) 的最小值为 (1
2.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键涉及到等式能
否成立，因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围.
基本不等式与其他知识的综合应用 【方法点睛】基本不等式在其他数学知识中的应用
以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查
基本不等式求最值，是本部分中常见题型，且在高考中也时常
出现，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式
3
∴3a+2b的最小值为 8 4 3.
答案：8 4 3
【反思·感悟】解决与其他知识综合的基本不等式题目，难点
在于如何从已知条件中寻找基本关系.本例(1)中其关键是构建
x,y与a,b的关系得到x=loga4，y=logb4，从而将 1 1 成功转化
x y
为a,b的关系，再利用基本不等式求解，而对本例(2)中其关键 点是确定图象过的定点，确定了这一定点后问题便会迎刃而解.
【即时应用】 (1)已知x+3y=2(x,y为正实数)，则xy的最大值为______.