2018-2019学年江苏省南通中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

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江苏省天一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学(强化班)试题含答案

江苏省天一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学（强化班）试题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为A. B. C. D.2.下列函数中，表示同一函数的一组是A.B. ，C. ，D. ，3.已知，，且，则角为A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角4.已知，且，那么A. B. 10 C. D. 185.设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是A. 或B. 或C. 或D. 或6.函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断7.函数的零点个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.设、、是定义域为R的三个函数，对于以下两个结论：若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；若、、均是奇函数，则、、均是奇函数，下列判断正确的是A. 正确，正确B. 错误，错误C. 正确，错误D. 错误，正确二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.计算：______．10.已知某产品的销售价格单位：元件是销量单位：件的函数，而总成本为单位：元，假设生产的产品全部售出，那么产量为______件时，利润最大．11.若，则的值域为______．12.当时，，则在内的单调增区间为______．13.不等式存在正整数解，则a的取值范围为______．14.设，，，，一般地，，其中，则使方程有2018个根的n的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知集合，，．求与；若，求a的取值范围．16.已知，若，求的值；若，求的值．17.已知定义域为R的函数是奇函数．求a的值；证明：函数在R上是增函数；若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．18.已知二次函数的图象的对称轴为，且函数的零点为和3．求的解析式；若，求函数的所有零点之和；试求在上的最小值其中19.已知函数，其中且．当时，求的值域；函数能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．20.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．当定义域为，试判断是否为“局部奇函数”；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的范围；已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．江苏省天一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学（强化班）试题（解析版）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）21.设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，则图中阴影部分表示的集合为．故选：D．利用不等式的解法化简集合A，求出，可得图中阴影部分表示的集合为本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题22.下列函数中，表示同一函数的一组是A.B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：对于A，函数，与的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，函数，与的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数或，与的定义域不同，不是同一函数．故选：B．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．23.已知，，且，则角为A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角【答案】B【解析】解：由，，可得，，．又，角为第二象限的角．故选：B．由，，可得，，结合得答案．本题考查三角函数的象限符号，是基础题．24.已知，且，那么A. B. 10 C. D. 18【答案】A【解析】解：；；．故选：A．根据即可求出，而，从而求出的值．考查奇函数的定义及判断，已知函数求值的方法．25.设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】解：是R上的奇函数，且在内是增函数，在内也是增函数，又，，当时，；当时，；的解集是．故选：D．由对或进行讨论，把不等式转化为或的问题解决，根据是奇函数，且在内是增函数，又，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．26.函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断【答案】A【解析】解：函数是幂函数，对任意，，且，满足，解得，，，，且，．．故选：A．由幂函数的性质推导出，由此根据a，，且，得到．本题考查函数值和的符号的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．27.函数的零点个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】解：由得，在同一坐标系中分别作出函数与的图象，如图：由图象可知两个函数的交点个数为2个，故函数的零点个数为2个，故选：C．由得，然后分别作出函数与的图象，利用数形结合即可得到结论本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键28.设、、是定义域为R的三个函数，对于以下两个结论：若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；若、、均是奇函数，则、、均是奇函数，下列判断正确的是A. 正确，正确B. 错误，错误C. 正确，错误D. 错误，正确【答案】D【解析】解：错误，可举反例：，，，均不是增函数；但、、均为增函数；故错误；，，均是奇函数；为奇函数；为奇函数；同理，，均是奇函数；故正确．故选：D．可判断错误，可举出反例：，，，均不是增函数，但是、、均为增函数，从而得出错误；而可判断正确，根据、、均是奇函数可得出为奇函数，从而为奇函数，而同理可判断出，均是奇函数，从而得出正确．考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义，知道和均是奇函数时，也是奇函数．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）29.计算：______．【答案】2【解析】解：．故答案为：2．直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值．本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．30.已知某产品的销售价格单位：元件是销量单位：件的函数，而总成本为单位：元，假设生产的产品全部售出，那么产量为______件时，利润最大．【答案】300【解析】解：由题意可得，设利润为，则，当时，利润最大，故答案为：300．根据题意可得，利用二次函数的性质即可求出．本题考查了二次函数的性质的应用，属于基础题．31.若，则的值域为______．【答案】【解析】解：；，；；，；的值域为．故答案为：．可变形，从而得出，，根据求出的范围，即得出的值域．考查函数解析式的定义及求法，函数值域的定义及求法，换元法求函数的解析式，以及不等式的性质．32.当时，，则在内的单调增区间为______．【答案】【解析】解：令，则，当时，，且．或．二次函数在上为减函数，在上为增函数，而对数式在上为减函数，在内的单调增区间为．故答案为：．由已知函数解析式求出时的函数解析式，由真数大于0得到x的范围，再由复合函数的单调性求解．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．33.不等式存在正整数解，则a的取值范围为______．【答案】【解析】解：由题意知，，由，可得，构造函数，其中，则，由双勾函数的单调性可知，函数在或处取得最小值，因为，，所以，函数的最小值为，所以，，故答案为：．利用参变量分离法得到，其中，构造函数，将问题转化为，从而求出a的取值范围．本题考查一元二次不等式，利用参变量分离法，将问题转化，是解本题的关键，属于中等题．34.设，，，，一般地，，其中，则使方程有2018个根的n的值为______．【答案】2014【解析】解：，可令，，时，，即，解得舍去或或或，由，即，即，即，，，有三个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；即时，原方程共有5个根；时，，即，解得舍去或或或或，由，即，即，即，，，有三个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；即时，原方程共有6个根；时，可将中的t换为，t的值增加一个，可得原方程共有7个根；，可得使方程有2018个根的n的值为2014．故答案为：2014．运用归纳法，计算，2，3，原方程的个数，即可得到所求值．本题考查方程的根的个数问题解法，注意运用绝对值的方程解法和换元法，以及指数函数的值域，考查化简变形能力、运算能力和归纳推理能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）35.已知集合，，．求与；若，求a的取值范围．【答案】解：，，或，，或；，或；，或，；；，或；，或；的取值范围为，或．【解析】进行并集、交集和补集的运算即可；先得出，或，，根据即可得出，或，解出a的范围即可．考查描述法表示集合的定义，绝对值不等式的解法，交集、并集和补集的运算，以及子集的概念．36.已知，若，求的值；若，求的值．【答案】解：，，为第四象限角，，，．，，，或．【解析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．利用同角三角函数的基本关系求得，由此求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．37.已知定义域为R的函数是奇函数．求a的值；证明：函数在R上是增函数；若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解：由题意，可得，可得，那么可得经验证成立，故，由可得证明：任意取，，且，则，；那么则即，可得；故得函数在R上是增函数；根据奇函数和增函数函数可得，对任意t恒成立；当时，成立当时，则解得．综上可得实数k的取值范围是：．【解析】由定义域为R的函数是奇函数可得，可得a的值；根据定义证明即可；根据奇函数和增函数函数可得，对任意t恒成立，对k讨论可得实数k的取值范围．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想，奇偶性单调性的应用，二次不等式的恒成立．38.已知二次函数的图象的对称轴为，且函数的零点为和3．求的解析式；若，求函数的所有零点之和；试求在上的最小值其中【答案】解：根据题意，函数的零点为和3，则设；则，又由二次函数的图象的对称轴为，则有，解可得，则；根据题意，，而方程显然有两个不同于1的实根，其两根之和为，另外1个根为1，则方程有3个根，其和为2，则函数的所有零点之和，根据题意，，开口向下，其对称轴为，当时，，当时，，综合可得：．【解析】根据题意，设，可得，由二次函数对称轴的方程可得，解可得a的值，代入函数的解析式，即可得答案；根据题意，，分析可得的零点之和，进而可得的零点，即可得答案；根据题意，，开口向下，其对称轴为，结合二次函数的性质讨论a的取值范围，求出函数在的最小值，综合即可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的最小值，关键是求出函数的最小值．39.已知函数，其中且．当时，求的值域；函数能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，对称轴为，可得y的最小值为，y的最大值为0；当时，；综上的值域为；当时，函数在递增，故二次函数在也要递增，，故只有符合要求；当时，函数在递减，故二次函数在也要递减，，故无解．综上，a的取值集合为；当时，恒成立，即有，即，由，令，，可得，当且仅当时，取得等号，可得；当时，当时，，，即有，求得，故；当时，求得均符合要求．综上可得a的范围为．【解析】由二次函数和指数函数的值域求法，可得的值域；讨论，，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，即可得到所求范围；讨论x的范围和a的范围，结合参数分离和对勾函数的单调性、指数函数的单调性，计算可得所求范围．本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．40.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．当定义域为，试判断是否为“局部奇函数”；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的范围；已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．【答案】解：因为，所以，由得，令，而存在一根，即存在，使得，所以为“局部奇函数”．由题意知，在R上有解，即在R上有解，所以在R上有解，令，所以在上有解，令，当时，即，解得，此时在上必有零点，所以；当时，在上有零点必须满足对称轴综上：．由题意知，，在上都有解，即，在上都有解，即，在上都有解，令，令，由题意知在上的值域包含，因为，又因为，，所以，所以，所以在上单调递增，所以综上：．【解析】若为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；根据为定义域R上的“局部奇函数，得到，恒成立，建立条件关系即可求实数m的取值范围；根据为定义域上的“局部奇函数，得到，恒成立，建立条件关系即可求实数a 的取值范围；本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于难题。

江苏省南通市第一中学2018-2019学年度高二第一学期期中考试数学试题(解析版)

4
.
3
故答案为：
é ê-
1,
4
ù ú.
êë 2 3 úû
【点睛】本题考查了直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道常规题.
( ) 8.已知点 P 是抛物线 y2 = 2x 上的一个动点，则 P 到点 0, 2 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最
小值为__________．
17
【答案】 .
2
) 【答案】 éêë2, 2 +1
【解析】
【分析】
作出曲线图象，利用数形结合即可得到结论.
【详解】由 x= - y2 - 2 y
可知 x≥0，得 x2=-y2-2y，即 x2+y2+2y=0，则 x2+（y+1）2=1，作出曲线 C：x=
- y2 - 2 y 的图象如图：
,
\ 2x2- x < 22,
是一个递增函数；
故答案为：
.
考点：指数函数的单调性和特殊性
( ) 2.过点 - 2,3 且与直线 x - 2 y +1 = 0 垂直的直线的方程为_____．
【答案】 2x + y +1 = 0
【解析】
( ) 试题分析：直线 x - 2 y +1 = 0 的斜率为 1 ，则所求直线斜率为 k = - 2 .又因为所求直线过点 - 2,3 ,则其方 2
28
c
10
5
考点：双曲线方程及性质
x + y - 5 £ 0,
6.已知实数 x, y 满足{2x - y +2 ³ 0, 则目标函数 z = x - y 的最小值为
．
y ³ 0,
【答案】 - 3

江苏省南通市启东中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题创新班解析版

江苏省南通市启东中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题（创新班）一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.当时，的值等于A. 1B.C. iD.2.则A. 1B.C. 1023D.3.从集合中随机选取一个数m，则方程表示离心率为的椭圆的概率为（）A. B. C. D. 14.设集合，0，，，2，3，4，，那么集合A中满足条件“”的元素个数为A. 60B. 90C. 120D. 1305.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案( )A. 180种B. 240种C. 360D. 420种6.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有种．A. 720B. 480C. 144D. 3607.某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是A. B. C. D.8.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A. 24B. 18C. 12D. 99.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为．A. B. 7 C. D. 2810.一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5，从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30分）11.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有种.12.已知，展开式中的系数为1，则a的值为________．13.计算：______ ．14.绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗如图规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，有________种不同的吃法.用数字作答15.在三行三列的方阵中有9个数2，3，，2，，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是________．16.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中任取4个不共面的点，不同的取法有用数字作答三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知复数w满足为虚数单位，．求z；若中的z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．18.已知复数为虚数单位．设，求；若，求实数的值.19.7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？其中甲不站排头，乙不站排尾；其中甲、乙、丙3人两两不相邻；其中甲、乙中间有且只有1人；其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．20.已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等．求n 的值；求展开式中所有二项式系数的和；求展开式中所有的有理项．21.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元不足1小时的部分按1小时计算现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．Ⅰ若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车付费多于14元的概率为512，求甲停车付费恰为6元的概率；Ⅱ若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．22.已知函数，其中，若，，求的值；若，，求1，2， 3，，的最大值；若，求证：1()nkknn k k kxf x xn -==∑ð【参考答案】一、选择题（本大题共10小题，共50分）1. D【解析】由得，，，故选D．由已知求得，代入得答案．2. D【解析】令代入二项式，得，令得，，，故选D．3. C【解析】从集合4，中随机选取一个数m，则时，椭圆为，离心率为，时，方程表示圆；时，椭圆方程，离心率为，方程表示离心率为的椭圆的概率为．故选C．4. D【解析】由于只能取0或1，且“”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：中有2个取值为0，另外3个从，1中取，共有方法数：；中有3个取值为0，另外2个从，1中取，共有方法数：；中有4个取值为0，另外1个从，1中取，共有方法数：．总共方法数是．即元素个数为130．故选：D．5. D【解析】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，故最多有种栽种方案，故选D．6. B【解析】甲、乙、丙等六位同学进行全排可得种，甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，甲、乙均在丙的同侧，有4种，甲、乙均在丙的同侧占总数的，不同的排法种数共有种．故选：B．7. A【解析】X服从超几何分布，因为有6个小镇不太方便，所以从6个不方便小镇中取4个，，故选A．8. B【解析】从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有种走法，同理从F到G，最短的走法，有种走法．小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为种走法．故选B．9. B【解析】依题意，，．二项式为，其展开式的通项，令解得，故常数项为．故选B．10. B【解析】设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A，则，，，，，，，，，，，共包含20个基本事件，其中事件，，，，，包含6个基本事件，所以，故选B．二、填空题（本大题共6小题，共30分）11. 1080【解析】第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，最后一件次品可能在第五次被测出，第六次，或者第七次被测出，由此知最后一件次品被检测出可以分为三类，故所有的检测方法有．故答案为：1080．12.【解析】．其展开式中的系数为，即，解得或不合题意，舍去；的值为．故答案为：．13. 1140【解析】，，，故答案为：1140．14. 20【解析】总共要吃6口，选3口给第一串的3颗臭豆腐，顺序不变，剩下的3口给第二串，顺序不变，因此不同的吃法有种，故答案为20．15.【解析】从9个数中任取3个数共有种不同的取法，若3个数中有2个数位于同行或同列，则有种不同的取法，若3个数均位于同行或同列，则有6种不同的取法，设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M包含的取法共有种，根据古典概型的概率计算公式得．故答案为16. 141【解析】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱，它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，不同的取法共有种．故答案为141．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 解：解法一：，，．解法二：设、，，得，，，以下解法同解法一．是关于x的方程的一个根，，，，q为实数，，解得，．解方程，得，实数，，方程的另一个根为．18. 解：由复数，得．则，故；，由复数相等的充要条件得，解得．19. 解：根据题意，分2种情况讨论：、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，有种排法，、甲不站在排尾，则甲有5个位置可选，有种排法，乙不能在排尾，也有5个位置可选，有种排法，剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有种排法，则此时有种排法；故甲不站排头，乙不站排尾的排法有种根据题意，分2步进行分析，、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，有种情况，排好后，有5个空位，、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有种情况，则共有种排法根据题意，、先将甲、乙全排列，有种情况，、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，有种选法，、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，有种排法，则甲、乙中间有且只有1人共有种排法根据题意，分2步进行分析：、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有种排法，、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有1种排法，则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有种．20. 解：二项式展开式的通项公式为，1，2，，；根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得，即，解得；展开式中所有二项式系数的和为；二项式展开式的通项公式为，1，2，，；当，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为，，．21. 解：Ⅰ设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．Ⅱ设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，，14，22，则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：，，，，，，，，，，，，，，，，共16 种情形，其中，，，，这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为．22. 解：若，时，，令得，令得，可得；，，不妨设中1，2，，，则，则，解得或，所以，的最大值为；若，，，因为，所以．。

2018-2019学年江苏省南通市第一中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年江苏省南通市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =≥-，则正确的是（） A ．0⊆A B ． {0}A ∈C ．A φ∈D ．{0}A ⊆【答案】D【解析】由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解. 【详解】对A ，0A ∈,故A 错误；对B ，{0}A ⊆，故B 错误；对C ，空集φ是任何集合的子集，即A φ⊆，故C 错误；对D ，由于集合{0}是集合A 的子集，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了元素与集合以及集合与集合之间的关系，要注意区分，属于基础题. 2．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （） A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)2【答案】D【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D. 【考点】1、一元二次不等式；2、集合的运算.3．已知a r ,b r 均为单位向量,它们的夹角为060,那么3a b +=r r ( )A ．B ．10C ．D ．4【答案】C【解析】试题分析：()2223369a b a ba ab b +=+=+⋅+r r rr rr r r ,,所以.【考点】向量的模的计算,向量数量积,模与向量关系.4．已知函数f （x ）1020x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，，，方程()2f x ﹣2f （x ）=0，则方程的根的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】由()2fx ﹣2f （x ）=0，得f （x ）=0或f （x ）=2，根据函数f （x ）是分段函数，再分类讨论求解. 【详解】因为()2fx ﹣2f （x ）=0，所以f （x ）=0或f （x ）=2，当x <0时，f （x ）1x=<0，∴()0f x ≠且()2f x ≠，当0x ≥时，f （x ）=|x ﹣2|，令f （x ）=0得，x =2；令f （x ）=2得，x =4或0，综上：方程()2f x ﹣2f （x ）=0的根的个数是3个，故选：B. 【点睛】本题主要考查分段函数与方程问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.5．设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x .当0x π≤<时，f （x ）=0，则116f π⎛⎫=⎪⎝⎭( ) A ．12B 3C ．0D ．12-【答案】A【解析】由函数f （x ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x .，将问题转化为11555sin 6666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 再求解. 【详解】因为函数f （x ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x . 所以11555sin 6666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 又当0x π≤<时，f （x ）=0，所以506f π⎛⎫=⎪⎝⎭所以1155511sin 0666622πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数求值问题，还考查了转化化归的思想和和运算求解的能力，属于中档题.6．已知32m n k ==且112m n+=，则k 的值为( ) A ．15 B 15C 6D ．6【答案】C【解析】由3m =2n =k ，将指数式转化为对数式得m =log 3k ，n =log 2k ，再代入112m n+=，利用换底公式求解. 【详解】 ∵3m =2n =k ，∴m =log 3k ，n =log 2k ，∴32111132k k log log m n log k log k+=+=+=log k 6=2， ∴k 2=6，又0k >Q ∴6k = 故选：C.【点睛】本题主要考查了指数与对数互化，换底公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v的最小值为（） A ．3- B ．6-C ．2-D ．83-【答案】B【解析】如图建立坐标系，()()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--u u u v u u u v u u u v，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y y ∴⋅+=--⋅--=+-u u u v u u u v u u u v()222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦，∴最小值为6-，故选B ．点睛：已知图形的向量问题采用坐标法，可以将几何问题转化为计算问题，数形结合的思想应用．坐标法后得到函数关系，求函数的最小值．向量问题的坐标化，是解决向量问题的常用方法．8．已知圆O 与直线l 相切于点A ,点,P Q 同时从A 点出发,P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q 运动到点A 时,点P 也停止运动,连接,OQ OP (如图),则阴影部分面积12,S S 的大小关系是( )A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <再12S S =最后12S S > 【答案】A【解析】由题意得,弧AQ 的长度与AP 相等,利用扇形的面积公式与三角形的面积公式表示出阴影部分的面积12,S S ,比较其大小,即可求得答案. 【详解】设线段OP 与圆O 交于点B ,Q 直线l 与圆O 相切,∴ OA AP ⊥ ∴12AOP S OA AP =⋅⋅V 又Q »12AOQ S AQ OA =⋅⋅扇形,»AQ AP = ∴AOP AOQ S S =V 扇形∴ AOP AOQ AOB AOB S S S S -=-V 扇形扇形扇形即12S S = 故选:A. 【点睛】本题考查了求阴影部分的之间关系,解题关键是掌握扇形面积公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9．若存在实数a ，使得函数22(1)401()1a x a x x f x xx ⎧-+++<=⎨>⎩„在（0，+∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．a ＜0 B ．a ≤﹣1C ．﹣2≤a ≤﹣1D ．﹣2≤a ＜0【答案】C【解析】根据分段函数的单调性；首先使各段单调递减a +1≤0、a ＜0，再使整体单调递减32(1)1a ++…，解不等式组即可.【详解】根据题意，若函数22(1)401()1a x a x x f x xx ⎧-+++<=⎨>⎩„在（0，+∞）上为减函数，当0＜x ≤1时，f （x ）=﹣x 2+2（a +1）x +4递减，有a +1≤0，当x ＞1时，f （x ）=a x 为减函数，必有a ＜0，综合可得：10032(1)1a a a +⎧⎪<⎨⎪++⎩„…，解可得﹣2≤a ≤﹣1；故选：C ．【点睛】本题考查了分段函数的单调性，注意使函数整体单调递减，属于易错题.10．设函数y =f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1+x 2=2a 时，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点（a ，b ）为函数y =f （x ）图象的对称中心.研究函数f （x ）=x +sin πx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为( ) A ．4035 B ．﹣4035C ．8070D ．﹣8070【答案】D【解析】根据代数式的结构，探究f （2﹣x ）+f （x ）=-4，得到函数f （x ）关于（1，﹣2）对称，令12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L S ，再用倒序相加法求解. 【详解】∵f （2﹣x ）+f （x ）=2﹣x +sin π（2﹣x ）﹣3+x +sin πx ﹣3=2﹣x ﹣sin πx ﹣3+x +sin πx ﹣3=﹣4，∴函数f （x ）关于（1，﹣2）对称，设12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L S ，则f （40352018）+f （40342018）+…+f （22018）+f （12018）=S ，两式相加得2S =4035[f （12018）+f （40352018）]=4035×（﹣4），∴S =﹣2×4035=﹣8070，故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数的对称性及倒序相加法，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题11．已知全集U =R ，N ={1，2，3}，M ={2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为_____.【答案】{1，3}【解析】先根据韦恩图，得到阴影部分表示的集合为U N M I ð再求解. 【详解】因为集U =R ，N ={1，2，3}，M ={2，4，6}，由韦恩图得，阴影部分表示的集合为U N M I ð所以{}1,3UN M ⋂=ð 故答案为：{1，3} 【点睛】本题主要考查了集合中的韦恩图，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.12．已知,αβ都是锐角，21sin ),22ααβ=+=则cos β=_____. 【答案】264【解析】试题分析：因为,αβ都是锐角，221sin cos cos(),(0,)23(0,)sin()2αααβαβππαβαβ==+=+∈∴+∈∴+=Q则cos cos[()]cos()cos sin()sin 12322622224ββααβααβαα=+-=+++=⨯+=26+ 【考点】本题主要考查了两角和差的三角函数公式的运用．点评：解决该试题的关键是构造角的思想，注意已知中角的范围的限制，对于求解函数值的正负号，有着关键性的作用．13．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 【答案】（﹣∞，1）U （53，+∞）【解析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223fm f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223fm f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数，所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|，所以3m 2﹣8m +5>0，所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0，解得m <1或m 53>，故答案为：（﹣∞，1）U （53，+∞）. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．已知向量a r =（2，sinθ），b r =（1，cosθ），若a r ∥b r ，则221sin cos θθ+的值为______．【答案】23. 【解析】由向量共线为载体，建立关于角θ的三角函数关系式，借助三角恒等变形可求解本题答案【详解】(2,sin ),(1,cos )a b θθ==r r ，a b r r ∥sin 2cos tan 2θθθ⇒=⇒=()22222222tan 421tan 2423sin sin cos sin cos cos θθθθθθθθ====+++++ 【点睛】通过向量共线去得出关于θ的三角函数关系式，再综合三角恒等变形中齐次式的运用，使得做题达到事半功倍的效果．15．△ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AB =u u u r ，2AC =u u u r ，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r_____.【答案】52-【解析】由点M 是边BC 的中点，得到12AM =u u u u r （AB AC +u u u r u u u r ），又BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r，再用数量积公式求解. 【详解】因为点M 是边BC 的中点，所以12AM =u u u u r （AB AC +u u u r u u u r ），又因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以12AM BC ⋅=u u u u r u u u r （AB AC +u u u r u u u r ）⋅（AC AB -u u u r u u u r ）12=（22AC AB -u u u r u u u r ）52=-，故答案为：52-. 【点睛】本题主要考查了向量的表示及数量积运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．已知函数()2213f x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[a ，b ]（a ，b ∈R ，且a <b ）上至少含有8个零点，在所有满足条件的[a ，b ]中，b ﹣a 的最小值为_____. 【答案】103π【解析】根据题意，令f （x ）=2sin （2x 3π-）﹣1，解得零点为x 4k ππ=+或712x k ππ=+（k ∈Z ），易知相邻的零点之间的间隔依次为3π，23π，再根据f （x ）在[a ，b ]上至少含有8个零点，来确定b ﹣a 的最小值. 【详解】因为函数f （x ）=2sin （2x 3π-）﹣1，令f （x ）=0，则2sin （2x 3π-）﹣1=0，所以s in （2x 3π-）12=，解得：x 4k ππ=+或712x k ππ=+（k ∈Z ），因为相邻的零点之间的间隔依次为3π，23π，所以若f （x ）在[a ，b ]上至少含有8个零点，则b ﹣a 的最小值为21034333πππ⨯+⨯=，故答案为：103π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的零点，还考查了数形结合的思想和推理论证的能力，属于中档题.三、解答题17．已知集合{|123}A x m x m =-≤≤+，函数()2()lg 28f x x x =-++的定义域为B ．（1）当2m =时，求A B U 、()R A B ⋂ð；（2）若A B A =I ，求实数m 的取值范围．【答案】(1) {|27}B x x A -<≤⋃=，(){|21}R A B x x =-<<I ð；(2) ()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭．【解析】（1）根据题意，由2m =可得{|17}x A x =≤≤，由并集定义可得A B U 的值，由补集定义可得{|1R A x x =<ð或7}x >，进而由交集的定义计算可得()R A B ⋂ð，即可得答案；（2）根据题意，分析可得A B ⊆，进而分2种情况讨论：①、当A =∅时，有123m m ->+，②当A ≠∅时，有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，分别求出m 的取值范围，进而对其求并集可得答案．【详解】根据题意，当2m =时，{|17}x A x =≤≤，()2()lg 28f x x x =-++有意义，则2280x x -++>，得{|24}B x x =-<<，则{|27}B x x A -<≤⋃=，又{|1R A x x =<ð或7}x >，则(){|21}R A B x x =-<<I ð；（2）根据题意，若A B A =I ，则A B ⊆，分2种情况讨论：①当A =∅时，有123m m ->+，解可得4m <-， ②当A ≠∅时，若有A B ⊆，必有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解可得112m -<<，综上可得：m 的取值范围是：()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力. 18．已知函数()261f xx x =+-（1）求f （x ）的零点；（2）若α为锐角，且sinα是f （x ）的零点.（ⅰ）求()()()2tan cos cos sin πααπαπα+⋅-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值；（ⅱ）求6sin πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）11,32-；（2）（ⅰ）3；（ⅱ322+. 【解析】（1）令()2610f x x x =+-=，解一元二次不等式即可.（2）由α为锐角，得13sin α=.（ⅰ）利用诱导公式将原式化简再求值. （ⅱ）由两角和的正弦公式求解.【详解】（1）令()2610f x x x =+-=，解得13x =或12x =-，所以函数的零点是13 和12- .（2）因为α为锐角，所以13sin α=. （ⅰ）()()()132tan cos tan cos sin sin sin cos sin πααααπααααπα+⋅-⋅===⋅⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭. （ⅱ）由α为锐角，所以223α=cos ，所以132213226332sin πα+⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了函数的零点，三角函数化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．已知()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值，并写出函数f （x ）的单调区间（不需要求解过程）；（2）若关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，求k 的取值范围.【答案】（1）1-，f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上是单调增函数；（2）[﹣1，1]. 【解析】（1）根据()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，得到f （x ）是奇函数，则f （x ）+f （﹣x ）=0，恒成立，即1211011ax ax log x x -+⎛⎫⎛⎫=⎪⎪---⎝⎭⎝⎭恒成立，化简为x 2（a 2﹣1）=0求解.根据a 的值，f （x ）=log 112211x log x +=-（121x +-），再利用复合函数的单调性确定单调区间.（2）关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，即112211x log log x +=-（x +k ）在[2，3]上有解，转化为k 11x x +=--x ，在[2，3]上有解，再求得g （x ）11x x +=--x ，x ∈[2，3]值域即可. 【详解】（1）因为()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，所以f （x ）为奇函数，所以f （x ）+f （﹣x ）=0，即1211011ax ax log x x -+⎛⎫⎛⎫=⎪⎪---⎝⎭⎝⎭，所以1﹣a 2x 2=1-x 2，即x 2（a 2﹣1）=0，所以a =﹣1或a =1（舍去），所以f （x ）=log 112211x log x +=-（121x +-），定义域为（﹣∞，﹣1）U （1，+∞）. 所以f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），无减区间. （2）关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，即112211x log log x +=-（x +k ）在[2，3]上有解，即11x x +=-x +k ，得k 11x x +=--x ，令g （x ）11x x +=--x ，x ∈[2，3]，则g （x ）=121x +--x 在x ∈[2，3]上单调递减，且f （2）=1，f （3）=﹣1，所以k 的取值范围是[﹣1，1]. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性及对数方程有解问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．如图在直角坐标系中，»AB 的圆心角为32π，»AB 所在圆的半径为1，角θ的终边与»AB 交于点C ．（1）当C 为»AB 的中点时，D 为线段OA 上任一点，求OC OD +u u u r u u u r的最小值；（2）当C 在»AB 上运动时，D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，求CE DE ⋅uur uuu r的取值范围.【答案】（1）22；（2）[1242-，1242+]. 【解析】(1)根据题意设D （t ，0）（0≤t ≤1）,C （22-22），表示出向量+u u u r u u u r OC OD 的坐标，再利用模的公式求解.（2）设OC =u u u r（cosα，sinα），E （0，12-），D （12，0），分别表示出向量CE u u u r 与向量DEu u u r 的坐标，由数量积公式得到CE DE ⋅uur uuu r2=（α4π+）14+，再用三角函数的图象和性质求解. 【详解】(1)设D （t ，0）（0≤t ≤1）,C （22-，22）， ∴OC OD +=u u u r u u u r（t 22-，22）， 2+u u u r u u u r OC OD =（t 22-）212+，（0≤t ≤1），∴t 22=时，OC OD +u u u r u u u r 的最小值为22. （2）设OC =u u u r（cosα，sinα），0≤α32π≤，E （0，12-），D （12，0），∴CE =u u u r （﹣cosα，12--sinα），DE =uuu r （12-，12-），∴12CE DE ⋅=u u u r u u u r cosα12+sinα1242+=sin （α4π+）14+，∵032πα≤≤， ∴4π≤α744ππ+≤， ∴sin （α4π+）∈[﹣1，1]， ∴22sin （α4π+）14+∈[124-，124+]. ∴CE DE ⋅uur uuu r 的取值范围是：[124-，124+]. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，模的求法，数量积运算以及三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于中档题.21．如图，有一块矩形草坪ABCD ，AB =100m ，BC =503m ，欲在这块草屏内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°.（1）设∠BOE =α，试求△OEF 的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路的铺设费用均为400元/m ，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用. 【答案】（1）l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∈[6π，3π]；（2）当BE =AE =50米时，铺路总费用最低，最低总费用为400002+1）元.【解析】（1）在Rt △BOE 中，求得50OE cos α=，在Rt △AOF 中，求得500F sin α=，再根据∠EOF =90°，利用勾股定理求得2222505050()()EF OE OF cos sin cos sin αααα=+=+=，然后求得周长.结合图形，当点F 在点D 时，角α最小，点E 在点C 时，角α最大，求得定义域.（2）根据题意，铺路总费用最低，则△OEF 的周长l 的最小，即求l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∈[6π，3π]，的最小值. 【详解】（1）在Rt △BOE 中，OB =50，∠B =90°，∠BOE =α∴50OE cos α=，在Rt △AOF 中，OA =50，∠A =90°，∠AFO =α，∴500F sin α=，又∠EOF =90°，∴2222505050()()EF OE OF cos sin cos sin αααα=+=+=， ∴l =OE +OF +EF 505050cos sin cos sin αααα=++，即l ()501sin cos cos sin αααα++=，当点F 在点D 时，角α最小，此时求得6πα=；当点E 在点C 时，角α最大，此时求得3πα=，故此函数的定义域为[6π，3π]；（2）由题意可知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF 的周长l 的最小值即可，由（1）得，l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∈[6π，3π]，设si nα+cosα=t ，则212t sin cos αα-⋅=，所以()()2501501100112αααα+++===--sin cos t l t cos sin t ，因为α∈[6π，3π]，所以5712412πππα≤+≤，所以13sin cos 2sin [,2]42t πααα⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，31121t -≤-≤， 121311t ≤≤-，当4πα=，即BE ＝50时，)10021min l =，∴当BE =AE =50米时，铺路总费用最低，最低总费用为400002+1）元. 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了建立函数和运算求解的能力，属于中档题.22．已知a ∈R ，函数f （x ）=x 2﹣2ax +5.（1）若a >1，且函数f （x ）的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值；（2）若不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2；（2）2578a ≤≤. 【解析】（1）根据f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，知f （x ）在[1，a ]上单调递减，所以f （1）=a 求解即可.（2）将不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立，去绝对值转化为a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∈[13，12]恒成立，分别令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，用二次函数求其最大值，令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，求其最小值即可. 【详解】（1）∵f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1， ∴f （x ）在[1，a ]上单调递减， ∴f （1）=a ，即6﹣2a ＝a ，解得a =2.. （2）不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立，即x |2ax ﹣5|≤1对x ∈[13，12]恒成立，故a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∈[13，12]恒成立，令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，所以g （x ）max =g （25）258=，所以258a ≥. 令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，所以h （x ）min =h （12）=7，所以7a ≤. 综上：2578a ≤≤. 【点睛】本题主要考查了二闪函数的图象和性质，还考查了转化化归和运算求解的能力，属于中档题.。

江苏南通2018-2019年中考数学试题分类解析专项4：图形的变换

江苏南通2018-2019年中考数学试题分类解析专项4：图形的变换专题4：图形的变换一、选择题1.〔江苏省南通市2002年3分〕如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，那么CD等于【】A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm【答案】B。

【考点】折叠的性质，勾股定理。

【分析】依照勾股定理求得AB的长，再依照折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长：∵AC=6cm，BC=8cm，∴AB=10cm。

∵AE=6cm，∴BE=4cm。

设CD=x，那么在Rt△DEB中，42＋x2=〔8－x〕2，解得x=3〔cm〕。

应选B。

2.〔江苏省南通市2004年3分〕某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，那么该学校不应该购买的地砖形状是【】A、正方形B、正六边形C、正八边形D、正十二边形【答案】C。

【考点】平面镶嵌〔密铺〕，多边形内角和定理。

【分析】依照密铺的条件得，两多边形内角和必须凑出360°，进而判断即可：A、正方形的每个内角是90°，90°×2+60°×3=360°，∴能密铺；B、正六边形每个内角是120°，120°+60°×4=360°，∴能密铺；C、正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，135°与60°不管怎么样也不能组成360°的角，∴不能密铺；D、正十二边形每个内角是150°，150°×2+60°=360°，∴能密铺。

应选C。

3.〔江苏省南通市课标卷2005年2分〕“圆柱与球的组合体”如下图所示，那么它的三视图是【】【答案】A。

2018-2019年高一上期中考试数学试卷及答案

金川公司二高2018-2019学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．下列表示错误．．的是（）． A ．0φ∉ B ．{}1,2φ⊆ C ．{}{}(3,4)3,4= D ．{}211x x ∈=2．集合{}|19,*M x x x N =<<∈，{}1,3,5,7,8N =，则M N ⋂=（）．A ．{}1,3,5B ．{}1,3,5,7,8C ．{}1,3,5,7D ． {}3,5,7,83．函数04()()=+-f x x 的定义域为（）． A ．[)()2,44,+∞ B ．[)2,+∞ C ．()(2,4)4,+∞ D ．(],2-∞4．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）．A ．()()2f xg x ==B ．()(),f x x g x ==C ．()()21,11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x ==5．函数的()3log 82f x x x =-+零点一定位于区间（）．A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(5,6)6．设21()3a =，123b =，13log 2c = 则（）．A ．a b c >>B ． b c a >>C ． b a c >>D ． c b a >>7．函数212log (6)=+-y x x 的单调增．区间是（）． A ．1(,]2-∞ B ．1(2,]2- C ．1[,)2+∞ D ．1[,3)28．()log a f x x = (01)a <<在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（）．A ．42 B ． 22 C ． 41 D ． 219．函数2xy -=的大致图象是（）．A ．B ．C ．D ．10．已知函数1()(2)()2(1)(2)xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则2(log 3)f =（）．A ．6B ．16 C ．13D ．3 11．()f x 是定义在(2,2)-上递减的奇函数，当(2)(23)0f a f a -+-<时，a 的取值范围是（）．A ．(0,4)B ．5(0,)2 C ．15(,)22 D ．5(1,)212．若函数()21()log 3xf x x =-，实数0x 是函数()f x 的零点，且100x x <<，则()1f x 的值（）．A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

2018-2019学年江苏省南通中学高一下学期期中数学试题(解析版)

（1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为，求在点B处看市中心O和点A处视角β的余弦值；
（2）如果区域作为保护区，保护区的面积为，点A到市中心O的距离为，求此时A、B间的距离.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由题意得，为锐角，，由于，故由差角公式求值即可；
（2）在中用余弦定理求解即可.
【解析】【详解】试题分析：（1）由题意得只需在平面AEC内找一条直线与直线PD平行即可．设，连接EO，由三角形中位线可得即得；（2）连接PO，由题意得PO⊥AC，又底面为菱形，则AC⊥BD，由面面垂直的判定定理即得．
试题解析：（1）证明：设，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以
而，所以面
图1图2
（1）求证：平面；
（2）在图2中，若平面，其中为直线与平面的交点，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，证明，利用平面与平面垂直的性质证明平面；（2）过点作交于点 ,因为平面平面，平面，所以平面 ,求得，利用棱锥的体积公式，即可求三棱锥的体积.
【详解】
取AD的中点为F，连接EF、 F，
因为CD// F，所以异面直线和所成角就是直线和所成角，
设正方体边长为a，EF=a，
所以
故选A
【点睛】
本题主要考查了空间几何中异面直线的夹角问题，作出异面直线的夹角是解题的关键，属于较为基础题.
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意画出图形，在上取点，使，连接，由线面垂直的判定和性质可得点的轨迹为平面与球的截面圆周，求出圆的半径可得答案.

【高二数学】南通中学2018-2019年度第一学期期中考试(真题)

江苏省南通中学2018-2019学年第一学期期中考试高二数学试卷一、填空题（本题共14题，每小题3分，共42分.请把答案填写在答题卡相应位置上）1. 直线经过点(5,1)-和(7,3)-，则它的斜率是__________.2. 直线30x y a -+=（a 为常数）的倾斜角为___________.3. 命题“在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠，B ∠都是锐角”的否命题为__________.4. 命题“2[1,1],310x x x ∃∈--+<”的否定是__________.5. 过点(1,3)A ，斜率是直线4y x =-斜率的13的直线方程为__________. 6. 求经过两条直线1:40l x y +-=和2:20l x y -+=的交点，且与直线210x y --=垂直的直线方程为___________.7. 若命题:0{1,0,1}p ∈-，命题1:0{1,}q a a a∈-+，又“p q ∧”为真，则实数a 的值为____________. 8. 已知点(4,)P a 到直线4310x y --=的距离等于3，则a 的值是____________.9.不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是___________. 10. 下列说法：①给定命题p 和命题q ，若“p q ∨”是真命题，则非p 是假命题；②命题“2,20180x R x x ∀∈++>”的否定是“2,20180x R x x ∃∈++>”；③命题“函数1()f x x=在其定义域上是减函数”是真命题；④“0x ≠”是“||0x x +>”的必要不充分条件；其中正确的是________.（填序号）11. 已知两条平行直线1l ，2l 分别过点(1,1)P ，(0,1)Q -，当1l ，2l 间的距离最大时，直线1l 的方程为_________.12. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆222:(6)(6)9C x y -++=.若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是__________.13.已知0x >，0y >，2126x y x y+++=，则2x y +的最大值为__________.14. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22:1O x y +=，圆221:(4)4O x y -+=，动点P 在直线30x y b +-=上，过P 分别作圆O ，圆1O 的切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是_________.二、解答题（本大题共6小题）15.（本小题满分8分）已知直线()0232:1=++-m y x m l ，06:2=++my x l（1）若直线1l 与2l 垂直，求实数m 的值；（2）若直线1l 与2l 平行，求实数m 的值.16. （本小题满分8分）设命题:p 实数x 满足31<<-x ，命题:q 实数x 满足()005422><--a a ax x .（1）若2=a ，且q p ∧⌝为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分8分）已知直线022=+-y x 与圆04:22=+-+m y y x C 相交，截得的弦长为552 （1）求圆C 的方程；（2）过点()0,1-M 作圆C 的切线，求切线的方程.18.如图,为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端点O 与A 到该圆上任意一点的距离均不少于m 80，经测量，点A 位于点O 正北方向m 60处，点C 位于点O 正东方向m 170处(OC为河岸)34tan =∠BCO . （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大.19.（本小题满分12分）已知函数()()032>+=k xx kx x f （1）若()m x f >的解集为{}23->-<x x x 或，求不等式03252>++x k mx 的解集；（2）若存在30>x ，使得()10>x f 成立，求k 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知圆4:22=+y x O 和圆()14:22=-+y x C（1）判断圆O 和圆C 的位置关系，并说明理由；（2）求圆C 和圆O 公切线方程；（3）过圆C 的圆心C 作动直线m 交于圆O 于B A ,两点，试问：在以AB 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点()0,2M ？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由.。

南通市第一中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题含解析

【详解】对任意的使得成立，
即对任意的使得恒成立，
令，，
显然在递增，
故的最小值为，
故 , ，
实数的取值范围为，故选D．
【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立( 即可)或恒成立（即可）;② 数形结合（图象在上方即可）；③ 讨论最值或恒成立;④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
综上：只有D符合
故选：D．
【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像性质，属于基础题.
6.已知关于的方程的两个实根为满足则实数的取值范围为( ）
A. B。 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二次方程实根分布列式可解得.
【详解】设，
根据二次方程实根分布可列式: ，即，
即，解得： .
二次函数单调递减区间是
结合函数定义域,所以整个函数单调递减区间为
【详解】∵f（x）+2f( ）＝6x①
∴f( ）+2f（x） ②
∴①﹣②×2得﹣3f（x）＝6x
∴f(x）＝﹣2x ，
∴f(2019）＝﹣4038+4＝﹣4034。
故选：A．
【点睛】本题考查了函数解析式的求法，属中档题．
10。已知为角的终边上的一点，且 ,则（）
A。 B. C。 D.
【答案】B
∵ ，，
∴ 。
故答案选C
【点睛】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力,属于基础题型.
2.扇形周长为6cm,面积为2cm2，则其圆心角的弧度数是（）

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2018-2019学年江苏省南通中学高一上学期期中考试数学试

题

一、单选题1．已知，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】C

【解析】根据集合元素和集合的关系确定的值，注意元素的互异性的应用．【详解】

解：，，，，由得，由，得，由得或．综上，或．当时，集合为不成立．当时，集合为不成立．当时，集合为，满足条件．故．故选：C．【点睛】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．2．设，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A

【解析】由得到关于m的不等式，能求出实数的取值范围．【详解】解：，，，，实数的取值范围是．故选：A．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3．函数的定义域为（）A．且B．C．且D．【答案】A

【解析】由题意，要使有意义，需满足，即．因此的定义域为．故选A．

4．函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】D

【解析】直接利用二次函数的性质和不等式的性质求解．【详解】

解：由题意：函数，，

，即函数的值域为．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的值域问题．考查了不等式的性质，属于基础题．

5．已知函数，若，则的值是（）A．B．或C．或D．或或【答案】A

【解析】利用分段函数的性质求解．【详解】

∵函数y，函数值为5，∴当x≤0时，x

2+1＝5，解得x＝﹣2，或x＝2（舍），当x＞0时，﹣2x＝5，解得x，（舍）．故选：C．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的合理运用．6．函数的部分图象可能是（）

A．B．

C．D．【答案】B

【解析】∵，∴，∴函数的定义域为，又，∴函数为偶函数，且图象关于轴对称，可排除、．又∵当时，，可排除．综上，故选．点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．

7．在函数（1）；（2）；（3）；（4）中，偶函数的个数是（）A．B．C．D．【答案】C

【解析】根据题意，依次分析所给的个函数的奇偶性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析所给的个函数：

对于，其定义域为，且且，是非奇非偶函数；对于，有，解可得，其定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数；

对于，为二次函数，其对称轴为，则是非奇非偶函数；对于，有，其定义域为或}，且，则函数为偶函数，个函数中，偶函数的数目为；故选：C．【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．

8．已知函数，则函数的减区间是（）A．B．C．D．【答案】C

【解析】对数的真数大于0，先求得定义域；再根据复合函数单调性判断“同增异减”的原则即可判断出单调递减区间。【详解】设t=x

2–4x–5，由t>0

可得x>5或x<–1，则y=在（0，+∞）递减，由t=x

2–4x–5在（5，+∞）递增，可得函数f（x）的减区间为（5，+∞）．

所以选C．【点睛】本题考查了对数复合函数单调性的判断，关键是要注意到对数的真数大于0条件，属于基础题。9．已知的定义域为，的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D

【解析】可根据的定义域求出的定义域，进而得出的定义域．【详解】解：的定义域为；；；的定义域为；；；的定义域为．故选：D．【点睛】考查函数定义域的概念及求法，已知定义域求定义域，以及已知求的定义域的方法．

10．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D

【解析】由f(x)为奇函数可知，

＝<0.而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.

当x>0时，f(x)<0＝f(1)；当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．所以0D

点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内

11．已知函数，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A

【解析】由，从而有在上单调递增，再结合单调性可求解．【详解】

解：，在在上单调递增，

，

或，解可得，或，即，故选：A．【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用．12．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C

【解析】求出函数的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．【详解】解：是定义在上的奇函数，，

当时，，则当时，，若对于，，使得，则等价为且，，，，，则满足且，解得且，故，故选：C．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．

二、填空题13．幂函数在上为增函数，则实数的值为____________．【答案】【解析】由函数是幂函数，列方程求出的值，再验证是否满足题意．【详解】

解：由函数是幂函数，则，解得或；当时，，在上为减函数，不合题意；当时，，在上为增函数，满足题意．故答案为：．【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．14．集合，，若，则____________．【答案】3

【解析】试题分析：由题意得【考点】元素与集合关系【易错点睛】1．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn图化抽象为直观．

15．求值：_________________．【答案】【解析】先利用对数的运算法则进行计算，第一个式子的值直接利用幂的运算将真数化

成的形式后进行计算，将中间两个对数式的和化成一个以为底的对数的形式即可求得其值为，再结合对数恒等式：进行计算最后一个式子的值．从而问题解决．【详解】

解：

．故答案为：．【点睛】本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、指数的运算性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．对数的运算性质：

；；等．

16．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是_____________．

【答案】【解析】试题分析：当时，单调递减，当时，单调递增，由于函数是定义域为上的偶函数，则在和上递减，在和上递增，当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值，当

时，，要使得关于的方程，有且仅有个不同的实数根，设，则的两根均为，有且仅有个不同的实数根，则，解得，所以实数的取值范围是．【考点】方程根的个数的判定．【方法点晴】本题主要考查了方程中根的个数的判定问题，其中解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性的运用，函数的零点的判定及应用，以及方程与函数的零点的关系，本题的解得中熟练掌握一元二次方程的根的分布是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的考查，试题有一定的难度，属于中档试题．

三、解答题17．已知全集为，，，求：

（1），；（2），．【答案】（1）（2）

【解析】（1）化简，.再求，；（2）利用补集、交集、并集直接求解.【详解】

解：（1），.,

（2），

又【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的交并补的混合运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

18．已知函数是奇函数，且当时，，（1）求函数的表达式

（2）求不等式的解集

【答案】（1）（2）或【解析】（1）求出函数x＜0的解析式，即得解；（2）分三种情况解不等式最后综合得解.

【详解】解：（1）根据题意，函数是奇函数，则，当时，，则，又由函数为奇函数，则，

则，（2）根据题意，，当时，，此时即，解可得，此时不等式的解集为，当时，，成立；此时不等式的解集为，当时，，此时即，解可得，此时不等式的解集为，综合可得：不等式的解集或．【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查分类讨论解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

19．已知奇函数．（1）求的值；（2）判断的单调性，并加以证明；