【高中数学】2018最新高中数学(人教B版)必修五学案：第一章 习题课 正弦定理和余弦定理 Word版含答案
2018版高中数学人教B版必修五课件：1-1-1 正弦定理一 精品
3.解三角形
一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角 形的 元素 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫 做 解三角形 .
要点一 正弦定理的推导与证明
a b c 例1 在锐角△ABC中，证明： . sin A＝sin B＝sin C
证明 如图，在锐角△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，有
第一章——
1.1
正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理(一)
[学习目标]
1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其 证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.
1 预习导学
2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
CD CD ＝sin A， ＝sin B. b a
a b ∴CD＝bsin A＝asin B.∴ sin A＝sin B . b c a b c 同理，sin B＝sin C.∴sin A＝sin B＝sin C 成立.
规律方法 从正弦定理可以推出它的常用变形有： (1)
a b b c a c . ＝ ， ＝ ， ＝ sin A sin B sin B sin C sin A sin C
要点三 已知两边及一边的对角解三角形
例3 在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：
(1)a＝1，b＝ 3 ，A＝30°；
bsin A 3sin 30° 3 ＝2. 解 根据正弦定理，sin B＝ a ＝ 1 ∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
规律方法 思路是：
已知三角形的两角和任一边解三角形，基本
人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课
1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。
2018-2019版高中数学人教B版必修五课件：1.1.1 正弦定理(一)
(3)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.
(4)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
1.1.1 正弦定理(一)
9
a b c 跟踪演练1 在钝角△ABC中， 如何证明 仍然成立？ sin A＝sin B＝sin C
证明 如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，则 CD ＝sin A，即CD＝bsin A； b CD ＝sin(180°－B)＝sin B， a 即CD＝asin B. a b ＝ 因此bsin A＝asin B，即 sin A sin B . a b c b c 同理可证，sin B＝sin C .因此 sin A＝sin B＝sin C .
asin C 20sin 45° c＝ sin A ＝ sin 30° ＝20 2，
∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2 )，c＝20 2 .
1.1.1 正弦定理(一)
11
(2)a＝8，B＝60°，C＝75°. 解 A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，
b a 由正弦定理 ， ＝ sin B sin A
1.1.1 正弦定理(一)
15
要点三 已知两边及一边的对角解三角形
例3 在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：
(1)a＝1，b＝ 3 ，A＝30°；
bsin A 3sin 30° 3 ＝2. 解 根据正弦定理，sin B＝ a ＝ 1 ∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.
7
课堂讲义
重点难点，个个击破
要点一 正弦定理的推导与证明
a b c 例1 在锐角△ABC中，证明： . sin A＝sin B＝sin C
人教版高中数学必修(五)1.1正弦定理和余弦定理课件(11)
小结作业 1.三角形的三个内角及其对边叫做三角 形的元素，已知三角形的几个元素求其 他元素的过程叫做解三角形. 2.正弦定理的外在形式是公式，它由三 个等式组成即
a b a c b c = = = sin A sin C sin B sin C ， sin A sin B ，
每个等式都表示三角形的两个角和它们 的对边的关系.
a b c = = sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.
2.在解三角形中，利用正弦定理可以解 决哪两类问题？ 已知两角和一边解三角形； 已知两边和其中一边的对角解三角形.
a 3.在正弦定理中， sin A 有什么几何意义？
利用正弦定理可以得到哪些相关结论？ 这需要我们作进一步了解和探究，加深 对正弦定理的理性认识.
C=66.2°，b≈80.1cm，c≈74.1 cm.
例2 在△ABC中，已知a=20cm， b=28cm，A=40°，解三角形. sinB≈0.8999，B≈64°，C=76°， c≈30 cm；或B≈116°，C=24°，c≈13 cm. 例3 在△ABC中，已知a=60cm， b=50cm，A=38°，解三角形. sinB≈0.5131，B≈31°，C=111°， c≈91 cm
C
a O A D
思考3：设△ABC的外接圆半径为R，则 a sin A 等于什么？
思考4：如图，若∠A为钝角，上述结论 还成立吗？ 若∠A为直角呢？
B A
a = 2R sin A
O
a
C D
探究（二）：正弦定理的变式拓展
思考1：在三角形中有“大边对大角”原 理，如何利用正弦定理进行理论解释？
思考2：利用等比定理，正弦定理可作哪 些变形？
2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理(一)学案新人教B版必修5
1.1.1正弦定理(一)［学习目标］1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法 .2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.产预习导学 三挑战自我•—点点落实 _______________________________________________________________［知识链接］下列说法中，正确的有 _________ .a(1) 在直角三角形中，若 C 为直角，则sin A = c .c⑵在厶ABC 中，若a > b ,则A > B ⑶ 在厶 ABC 中, C = n — A — B.⑷ 利用AAS SSA 都可以证明三角形全等.⑸在△ ABC 中，若sin B =，则B =才. 答案(1) (2)(3)解析 根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为 n , (3)正确；AAS 可以证明三角形全等， SSA 不能证明，(4)不正确；若 sin B=¥，贝U B =T 或匚，(5)不正确，故 ⑴(2)(3) 正确.2 4 4 ［预习导引］1. 在Rt △ ABC 中的有关定理 在 Rt △ ABC 中, C = 90°，则有： (1) A + B = 90°, 0°<A <90°, 0°<B <90°； (2) a 2+ b 2= c 2(勾股定理)；a b c⑶冇=c； s^=c ；冇 =c .2. 正弦定理a b c在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即 = = ,这个比sin A sin B sin C值是其外接圆的直径 2R 3. 解三角形一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素. ____ 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形戸课堂讲义 車点难点，个个击破要点一正弦定理的推导与证明/• CD= b sin A = a sinB•…sin A = sin Ba b c ,、同理，B =C 二 矿A = sn~B = sn~c 成立规律方法 从正弦定理可以推出它的常用变形有:a sin A a sin Ab sin Bc sin C即 CD= a sin因此 b sin A = a sin B ,即sin A sin B. ca同理可证，sinB = sinC 因此拆sin sin C要点二已知两角及一边解三角形例2已知△ ABC 根据下列条件，解三角形: (1) a = 20, A = 30°, C = 45°;例1在锐角△ ABO 中，证明:证明如图，在锐角厶 ABC中,asin sin B sin C过点C 作CDL AB 于点D,有CbD = sin 代 b CD sin B. ab sin A sin B' sin B _c sin C sinA sin Ca sin B=b sin A a sin C =c sin A b sin C = c sin B a : b : c = sin A ： sin B: sin C 跟踪演练1 在钝角△ ABC 中，如何证明sin A sin B sin C 仍然成立? 证明如图, 过点 C 作CDL AB 交AB 的延长线于点 D,则 CD=sin A , b 即 CD= b sin A;CD =sin (180a—B ) = sinB,b sin B csin Cb⑵ a = 8, B= 60°, C -75°.解 (1) ••• A = 30°, C -45°;「. B = 180°— (A + C ) = 105°, ,十宀…口 a sin B 20sin 105 ° o o由正弦定理得b - --40sin(45 ° + 60°)sin A sin 30 -10( .6 + 2)；a s in C 20s in 45 Csin A sin 30••• B - 105°, b - 10(6+ 2) , c -20 2.(2) A - 180°— (B + C ) - 180°— (60 ° + 75° ) - 45b a由正弦定理sin B sin A a sin B 8x sin 60sin A sin 45• A - 45°, b — 4 6, c — 4(寸3+ 1).规律方法已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1) 若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求 出第三个角.(2) 若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求 另外两边.跟踪演练 2 在厶 ABC 中, a - 5, B - 45°, C - 105°,求边 c . 解 由三角形内角和定理知 A + B + C - 180°,所以 A - 180°— (B+ C ) - 180°— (45 ° + 105° ) - 30°.cos 45 °+ cos 60 ° sin 45 sin 30 °要点三已知两边及一边的对角解三角形 例3在厶ABC 中，分别根据下列条件解三角形:o—20 2,得b - 由正弦定理 a csin A sin C ‘得c -a sin C 8x sin 75sin A sin 45 -4( ,3+ 1).由正弦定理 a c sin A -sinC ‘ 得 c - a •sin Csin Asin 105 sin 30「妙+囚sin 30 °(1) a- 1, b- .3, A-30°;(2) a = 3, b = 1, B = 120°b sin A J 3sin 30sin B= ---------- = —1•/ b >a ,「. B>A = 30°,A B = 60° 或 120°.当 B = 60° 时，C = 180°— (A + B ) = 180°— (30 ° + 60° ) = 90°, ,bsin C ⑴ c …C === 2;sin B sin 60因为sin A < 1.所以A 不存在，即无解.规律方法 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法: (1) 首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2) 如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另 一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.(3) 如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可 求两个角，要分类讨论.跟踪演练3已知△ ABC 根据下列条件，解三角形：(2) a = 2,解(1)根据正弦定理,当 B = 120° 时,C = 180°— (A + E ) = 180°— (30 ° + 120° ) = 30°A ,： c = a = 1.(2)根据正弦定理,a sin Esin A =3 =2>1.(1) a = 2,c = ,6, C = n ;解(1)Tsn~A = unrC ：sinA =a sin C 2c =亍nT c >a ,： GA 二 A =二-.4\I 6 •sin,csinB 1b == ------- 5 n 12. nsin§c, sin C ,二sinC =c sin A 3= T .又T a <c ,「C=i 或2nsin 120a sin Bb当c=n3时,=.3+ 1.戸当堂检测 言当堂训练，体验成功1 •在△ ABC 中，若sin A >sin B,则角A 与角B 的大小关系为（ ） 3. 在△ ABC 中，已知 A — 150°, a — 3,则其外接圆的半径 R 的值为（ ） A. 3 B. 3 C.2 D.不确定 答案 Aa 3解析 在厶ABC 中，由正弦定理得sin -A — sin 150° — 6— 2R ••• R= 3. 4. 在△ ABC 中, sin A — sin C,则厶 ABC 是 （）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案 B解析 由 sin A — sin C 知 a — c , • △ ABC 为等腰三角形.5. ____________________________________________________ 在△ ABC 中，已知 a —寸5, sin C — 2sin A ,贝U c — _________________________________ . 答案 2 5a sin C厂解析 由正弦定理，得 c —— 2a — 25.C =B —兀 B - 12,,asinB —sin A3— 1.A . A >B B.C.A > BD. 2. 在厶ABC 中, 疋成立的等式疋 ( A . a s in A= b sin B B . C . a s in B= b sin A D . 答案 CA <BA B 的大小关系不能确定0RABC 外接圆的半径)？ a >b ? A >B) a cos A — b cos B a cos B — b sin A I B — b sin A ,故选 C.答案 A 解析 由 sin A >sin B ? 2R sin A >2Rsin a b 解析由正弦定理”鬲—B 得课堂小结1.正弦定理的表示形式：a b c 、sin A—sin B—sin C—2R或a—ksin A b—ksin B, c—q k>o).2. 正弦定理的应用范围(1) 已知两角和任一边，求其他两边和一角.(2) 已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.3. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.。
第一章 1.1 1.1.2 人教B版高中数学必修5(课件+课时跟踪检测+阶段性测试题)第1章 解三角形
(2)解法一：cos15°＝cos(45°－30°)＝
6＋ 4
2，
sin15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2 .
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋
2)＝8－4 3，∴c＝ 6－ 2.
又 b>a，∴B>A.∴角 A 为锐角．
由正弦定理，得 sinA＝acsinC＝
a2＋c2－b2 cosB＝_____2_a_c____；
a2＋b2－c2 cosC＝_____2_a_b____.
3．余弦定理及其推论的应用 (1)利用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题，一 类是已知三边解三角形，另一类是已知两边和它们的夹角解三 角形． (2)利用余弦定理判定三角形形状． 判定三角形形状时经常用到下列结论： ①在△ABC 中，若 a2<b2＋c2，则 0°<A<90°；反之，若 0°<A<90°，则 a2<b2＋c2.
解析：由余弦定理得 cosB＝AB2＋2ABBC·B2－C AC2＝1395. ∴A→B·B→C＝|A→B|·|B→C|·cos(π－B)＝7×5×－1395＝－19. 答案：－19
3．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， 若 a2＋ab＋b2－c2＝0，则 C＝________.
解：设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k(k>0)． 则 a＋b＋c＝7.5k，解得 a＝3.5k，b＝2.5k，c＝1.5k. ∴a 是最大边，即 A 是△ABC 的最大角． 由余弦定理得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝－12. ∵0°<A<180°，∴A＝120°，即最大内角为 120°.
2018版高中数学第一章解三角形1_1_2余弦定理二学案新人教B版必修5
1.1.2 余弦定理(二)学习目标 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形思考 在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，可以先用正弦定理b sin B ＝csin C求出sinC ＝32.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？梳理 已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：设在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值．由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可求得sin B ＝b sin Aa. (1)当A 为钝角时，则B 必为锐角，三角形的解唯一； (2)当A 为直角且a >b 时，三角形的解唯一；(3)当A 为锐角时，如图，以点C 为圆心，以a 为半径作圆，三角形解的个数取决于a 与CD 和b 的大小关系： ①当a <CD 时，无解； ②当a ＝CD 时，一解；③当CD <a <b 时，则圆与射线AB 有两个交点，此时B 为锐角或钝角，此时B 的值有两个． ④当a ≥b 时，一解．(4)如果a >b ，则有A >B ，所以B 为锐角，此时B 的值唯一．知识点二 判断三角形的形状思考1 三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？思考2 △ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？梳理判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．知识点三证明三角形中的恒等式思考前面我们用正弦定理化简过a cos B＝b cos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？梳理证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异．类型一利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形例1 已知在△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c.引申探究例1条件不变，用正弦定理求c.反思与感悟相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个跟踪训练1 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3类型二 利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式 例2 在△ABC 中，有 (1)a ＝b cos C ＋c cos B ； (2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A ，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．反思与感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．跟踪训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，求证：cos B cos C ＝c －b cos Ab －c cos A .类型三 利用正弦、余弦定理判断三角形形状例3 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状．将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状．反思与感悟(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断．(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2＝2bc cos A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc 等等．跟踪训练3 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于( )A．60° B．45°或135°C．120° D．30°2．在△ABC中，若2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？1．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．答案精析问题导学 知识点一思考 能．在余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 中，已知三个量AC ＝b ，AB ＝c ，cos B ，代入后得到关于a 的一元二次方程，解此方程即可． 知识点二思考1 不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c ，可用a 2＋b 2－c 2来判断cos C 的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说． 思考2 ∵A ，B ∈(0，π)， ∴2A,2B ∈(0,2π)， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.知识点三思考 由余弦定理得a a 2＋c 2－b 22ac＝b b 2＋c 2－a 22bc，去分母得a 2＋c 2－b 2＝b 2＋c 2－a 2，化简得a ＝b .题型探究 类型一例1 解 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得72＝82＋c 2－2×8×c cos 60°， 整理得c 2－8c ＋15＝0， 解得c ＝3或c ＝5. 引申探究解 由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝bsin B＝7sin 60°＝1433，∴sin A ＝a 1433＝437，∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝±17. ∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝437·12±17·32， ∴sin C ＝5314或sin C ＝3314.当sin C ＝5314时，c ＝1433·sin C ＝5；当sin C ＝3314时，c ＝1433·sin C ＝3.跟踪训练1 B 类型二例2 证明 方法一 (1)由正弦定理，得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴b cos C ＋c cos B＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B ＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C ) ＝2R sin(B ＋C ) ＝2R sin A ＝a . 即a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A . 方法二 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2a 22a＝a .∴a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A . 跟踪训练2 证明 方法一左边＝a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab ＝b a 2＋c 2－b 2c a 2＋b 2－c 2，右边＝c －b ·b 2＋c 2－a 22bcb －c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b a 2＋c 2－b 2c a 2＋b 2－c 2， ∴等式成立．方法二 右边＝2R sin C －2R sin B cos A2R sin B －2R sin C cos A＝sin A ＋B －sin B cos Asin A ＋C －sin C cos A＝sin A cos B sin A cos C ＝cos Bcos C＝左边，∴等式成立． 类型三例3 解 由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ， 得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.又sin A ＝2sin B cos C . ∴由正弦、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a，∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形． 引申探究解 由(b 2＋c 2－a 2)2＝b 3c ＋c 3b －a 2bc ，得(b 2＋c 2－a 2)2＝bc (b 2＋c 2－a 2)， ∴(b 2＋c 2－a 2)(b 2＋c 2－a 2－bc )＝0， ∴b 2＋c 2－a 2＝0或b 2＋c 2－a 2－bc ＝0，∴a 2＝b 2＋c 2或b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由a 2＝b 2＋c 2，得A ＝90°， 由b 2＋c 2－a 2＝bc ，得cos A ＝12，又0°＜A ＜180°， ∴A ＝60°， 由例3知，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形或等腰直角三角形． 跟踪训练3 解 根据余弦定理， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ， ∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2c ，即b ＝c . ∴△ABC 是等边三角形． 当堂训练 1．C 2.C3．满足条件的三角形有两个。
必修五第一章第一节正弦定理和余弦定理
变形（4）： ；
变形（5）： 。
3.正弦定理的应用
（1）已知两角和任一边，求其他两边和另一角；
（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边及其他两角。
二、余弦定理
1.余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
①
②
③
2.余弦定理的变形
解题后的思考：由已知条件确定三角形的形状，主要通过两个途径：①化角为边，通过代数式变形求出边与边之间的关系。②化边为角，利用三角恒等变形找出角与角之间的关系。一般情况下，利用三角恒等变形计算量会小一些。
例4：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，证明： 。
思路分析：条件中既有边又有角，条件需统一，另外△ABC中，内角和为 。
解答过程：令 ， ， ，
利用余弦定理 ， 。
用同样的方法可得， 。
因此， 。
解题后的思考：已知三角形三边的比，或已知三边的长度，都可用余弦定理解决，只是已知三边的比时，可引用参数 ，但在解题时可边 的长。
思路分析：本题已知的是两边和它们所对的两角的关系，在这种情况下往往可能不需要求出它们各自的值，通常可以考虑整体代入的方法。
二、重点、难点：
重点：正、余弦定理的发现、证明及简单应用。本小节内容通过实例提出问题，使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣；在探究过程中运用了由特殊到一般的方法，这种方法是数学发现的重要方法之一，要逐步学会善于运用这种方法去探索数学问题，提高创造能力。
难点：公式的灵活运用以及解的讨论。在解三角形的过程中，一方面要认真分析题目的已知条件，另一方面要深刻理解两个定理的本质，才有可能合理选择定理；当已知两边及其中一边的对角解三角形时，可根据三角形的边角关系或几何方法对解进行讨论。
2017_2018学年高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(二)学案新人教B版必修5
1.1.2 余弦定理(二)[学习目标] 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．[知识链接]1．以下问题不能用余弦定理求解的是 ．(1)已知两边和其中一边的对角，解三角形．(2)已知两角和一边，求其他角和边．(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角．(4)已知一个三角形的三条边，解三角形．答案 (2)2．利用余弦定理判断三角形的形状，正确的是 ．(1)在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则△ABC 为直角三角形．(2)在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则△ABC 为锐角三角形．(3)在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形．答案 (1)(3)[预习导引]1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)． (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. (3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．三角变换公式(1)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(2)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(3)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.要点一 正、余弦定理的综合应用例1 如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解 在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，设BD ＝x ，由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10·x cos 60°，即x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，∴BD ＝16.∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°.在△BCD 中，由正弦定理：BC sin∠CDB ＝BDsin∠BCD， ∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2. 规律方法 余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息． 跟踪演练1 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .解 方法一 在△ABC 中，∵sin A cos C ＝3cos A sin C ，则由正弦定理及余弦定理有：a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3(b 2＋c 2－a 22bc)c ， 化简并整理得：2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，∴4b ＝b 2.解得b ＝4或b ＝0(舍)．方法二 由余弦定理得：a 2－c 2＝b 2－2bc cos A .又a 2－c 2＝2b ，b ≠0.所以b ＝2c cos A ＋2.①又sin A cos C ＝3cos A sin C ，∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝4cos A sin C ，sin(A ＋C )＝4cos A sin C ，即sin B ＝4cos A sin C ，由正弦定理得sin B ＝b csin C ，故b ＝4c cos A ． ②由①②解得b ＝4.要点二 利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式例2 在△ABC 中，有：(1)a ＝b cos C ＋c cos B ；(2)b ＝c cos A ＋a cos C ；(3)c ＝a cos B ＋b cos A ；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明 方法一 (1)设△ABC 外接圆半径为R ，由正弦定理得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴b cos C ＋c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C )＝2R sin(B ＋C )＝2R sin A ＝a .即a ＝b cos C ＋c cos B同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ；(3)c ＝a cos B ＋b cos A .方法二 (1)由余弦定理得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2a 22a＝a . ∴a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ；(3)c ＝a cos B ＋b cos A .规律方法 (1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．(2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化．跟踪演练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，求证：cos B cos C ＝c －b cos A b －c cos A.证明 方法一 因为左边＝a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab＝b a 2＋c 2－b 2c a 2＋b 2－c 2， 右边＝c －b ·b 2＋c 2－a 22bc b －c ·b 2＋c 2－a 22bc＝b a 2＋c 2－b 2c a 2＋b 2－c 2， ∴等式成立．方法二 设△ABC 外接圆半径为R ，∵右边＝2R sin C －2R sin B ·cos A 2R sin B －2R sin C ·cos A＝A ＋B －sin B cos A A ＋C －sin C cos A ＝sin A cos B sin A cos C ＝cos B cos C＝左边． ∴等式成立．要点三 利用正、余弦定理判断三角形形状例3 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．解 由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ，即a 2＝b 2＋c 2－bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12， 又A ∈(0，π)，∴A ＝π3， 又sin A ＝2sin B cos C ，由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a， ∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．规律方法 题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断． 跟踪演练3 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．解 方法一 根据余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c .又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2a ，即b ＝a .∴△ABC 是等边三角形．方法二 根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C .又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴C ＝120°－A ，∴2sin 60°＝sin A ＋s in(120°－A )，整理得sin(A ＋30°)＝1，∴A ＝60°，C ＝60°.∴△ABC 是等边三角形．1．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( )A.13 B ．－23 C.14 D ．－14答案 A解析 根据正弦定理， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k (k >0)．则有cos C ＝9k 2＋4k 2－9k 22×3k ×2k ＝13. 2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案 C 解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ，∴2×a 2＋c 2－b 22ac×a ＝c ， ∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为 ．答案 π6 解析 根据余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 4．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则满足条件的三角形有几个？解 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴22＝a2＋(23)2－2a×23cos 30°，即a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4.当a＝2时，三边为2,2,23可组成三角形；当a＝4时，三边为4,2,23也可组成三角形．∴满足条件的三角形有两个．1．已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径(1)化边为角，并利用三角恒等变形进行化简；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．。
2017_2018学年高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(一)学案新人教B版必修5
1.1.2 余弦定理(一)[学习目标] 1.理解余弦定理的证明.2.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形．[知识链接]1. 以下问题可以使用正弦定理求解的是 ．(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． (2)已知两角和一边，求其他角和边．(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角． (4)已知一个三角形的三条边，解三角形． 答案 (1)(2)2．如图所示，在直角坐标系中，若A (0,0)，B (c,0)，C (b cos A ，b sin A )．利用两点间距离公式表示出|BC |，化简后会得出怎样的结论？解 a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A －0)2＝b 2(sin 2A ＋cos 2A )－2bc cos A ＋c 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 得出a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . [预习导引] 1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .2．余弦定理的变形cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.要点一 已知两边及一角解三角形例1 已知△ABC ，根据下列条件解三角形： (1)b ＝3，c ＝33，B ＝30°； (2)a ＝3，b ＝2，B ＝45°.解 (1)方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，由于b ＝3，∴A ＝B ＝30°，∴C ＝120°. 当a ＝6时，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.方法二 由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，由b <c ，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋32＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形． ∴a ＝b ＝3.(2)由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∴2＝3＋c 2－23·22c . 即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22， 当c ＝6＋22时，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝120°，C ＝15°. 故c ＝6＋22，A ＝60°，C ＝75°或c ＝6－22，A ＝120°，C ＝15°. 规律方法 已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．跟踪演练1 在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边长c .解 5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.要点二 已知三边或三边关系解三角形例2 (1)已知△ABC 的三边长为a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的各角度数． (2)已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角．解 (1)由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝22＋6＋22－322×226＋2＝12，∴A ＝60°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝32＋6＋22－222×236＋2＝22， ∴B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝75°. (2)∵c ＞a ，c ＞b ，∴角C 最大．由余弦定理， 得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12，∵0°＜C ＜180°， ∴C ＝120°.∴△ABC 的最大内角为120°.规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边解三角形．跟踪演练2 在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 解 由余弦定理和条件，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理，得x 2＝(AC 2)2＋AB 2－2·AC2·AB cos A＝42＋92－2×4×9×23＝49，∴x ＝7.所以所求AC 边上的中线长为7. 要点三 三角形形状的判断 例3 在△ABC 中，已知cos2A 2＝b ＋c 2c，判断△ABC 的形状． 解 方法一 在△ABC 中，由已知cos 2A 2＝b ＋c2c，得 1＋cos A 2＝b ＋c2c ， ∴cos A ＝b c.根据余弦定理，得b 2＋c 2－a 22bc ＝bc.∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．方法二 在△ABC 中，设其外接圆半径为R ，由正弦定理，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，由cos 2 A 2＝b ＋c 2c 知，cos A ＝b c.∴cos A ＝sin Bsin C，即sin B ＝sin C cos A .∵B ＝π－(A ＋C )， ∴sin(A ＋C )＝sin C cos A ， ∴sin A cos C ＝0. ∵A ，C 都是△ABC 的内角，∴A ≠0，A ≠π.∴cos C ＝0，∴C ＝π2.∴△ABC 是直角三角形．规律方法 (1)方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，方法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段． (2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪演练3 在△ABC 中，若(a －c cos B )sin B ＝(b －c cos A )sin A ，判断△ABC 的形状．解 方法一 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为(a －c ·a 2＋c 2－b 22ac )b ＝(b －c ·b 2＋c 2－a 22bc)a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2，∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2，故三角形为等腰三角形或直角三角形．方法二 由正弦定理，原等式可化为(sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sinA ，∴sin B cos B ＝sin A cos A ，∴sin 2B ＝sin 2A ， ∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4 答案 B解析 设另一边长为x ，则x 2＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴x ＝213.2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋32－1322×7×43＝32.∴C ＝π6. 3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78 答案 D解析 设顶角为C ，∵l ＝5c ，∴a ＝b ＝2c ，由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.4．在△ABC 中，已知A ＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x 2－7x ＋11＝0的两根，则第三边的长为 ． 答案 4解析 设最大边为x 1，最小边为x 2， 则x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝11，∴第三边长＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A ＝x 1＋x 22－2x 1x 2＋cos A ＝4.5．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状． 解 因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5， 所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0)．c 最大，cos C ＝k2＋k 2－k22×2k ×4k<0，所以C 为钝角，从而△ABC 为钝角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形．2．当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．3．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.。
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习题课 正弦定理和余弦定理
[学习目标] 1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用.2.提高对正、余弦
定理应用范围的认识.3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．
[知识链接]
下列结论正确的是 ．
(1)在△ABC中，已知一边的长为6，这条边上的高为4，则△ABC的面积为12.
(2)在▱ABCD中，一边的长为a，这边上的高为h，则▱ABCD的面积为12ah.
(3) 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若2p＝a＋b＋c，则S△ABC＝pp－ap－bp－c.
(4)设△ABC的内切圆的半径为r，三边长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝12r(a＋b＋c)．
答案 (1)(3)(4)
[预习导引]
1．三角形常用面积公式
(1)三角形面积公式S＝12ah.
(2)三角形面积公式的推广
S＝12absin C＝12bcsin A＝12casin B.
2．三角形内的角的函数关系
在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有
(1)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，
(2)sinA＋B2＝cos C2，cosA＋B2＝sin C2.
3．余弦定理的推论
在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角，c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2
⇔C为锐角.
要点一 利用正、余弦定理求值
例1 在△ABC中，若c·cos B＝b·cos C，且cos A＝23，求sin B的值．