高考理科数学第一轮专题复习课件 排列与组合
备战2025年高考 理科数学考点一遍过：排列与组合
排列与组合（1）理解排列、组合的概念.（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.（3）能解决简单的实际问题.1．排列（1）排列的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数、排列数公式从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示.一般地，求排列数A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：假设有排好顺序的m 个空位，从n 个元素12,,,n a a a L 中任取m 个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m 个步骤来实现.根据分步乘法计数原理，全部填满m 个空位共有(1)(2)[(1)]n n n n m ----L 种填法.这样，我们就得到公式A m n =(1)(2)(1)n n n n m ---+L ，其中,m n *∈N ，且m n ≤.这个公式叫做排列数公式.n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，这时公式中m n =，即有A (1)(2)321n n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯L ，就是说，n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示.所以n 个不同元素的全排列数公式可以写成A !n n n =.另外，我们规定0!=1.于是排列数公式写成阶乘的形式为A m n =!()!n n m -，其中,m n *∈N ，且m n ≤.注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.2．组合（1）组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数、组合数公式从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示.A (1)(2)(1)C A !m m n nmm n n n n m m ---+==L ，其中,m n *∈N ，且m n ≤.这个公式叫做组合数公式.因为A m n =!()!n n m -，所以组合数公式还可以写成C m n=!!()!n m n m -，其中,m n *∈N ，且m n ≤.另外，我们规定0C 1n =.（3）组合数的性质性质1：C C m n mn n-=.性质1表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合，与剩下的n m -个元素的组合是一一对应关系.性质2：11C C C m m m n n n-+=+.性质2表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可，有C m n 个组合；第2类，取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合，只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m -个后再取出元素a即可，有1C m n-个组合.考向一排列数公式和组合数公式的应用A C A mm n nm m=这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.典例1（1）若224A 7A n n -=，*n ∈N ，求n 的值；（2）222234510C C C C +++⋅⋅⋅+求的值(用数字作答).【答案】（1）7；（2）164.【解析】（1）由题可得(1)7(4)(5)n n n n -=⋅--，即2331700n n +-=，解得：7n =或*10(,3n n N =∈舍去），7n ∴=.（2）222234510C C C C ++++ ＝（3233C C +）222345103C C C C ++++- ＝（3244C C +）22510C C +++- 1＝（3255C C +）210C ++- 132610C C =++- 1=321010C C =+-1311C =-1＝164．【名师点睛】本题考查排列数组合数的运算，考查计算能力，属于基础题.（1）在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解.（2）利用111C C C m m m nn n ++++=求解．1．（1）解不等式288A 6A x x -<；（2）证明：11A A A m m m n n n m -+-=.考向二排列问题的求解解决排列问题的主要方法有：（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.典例2室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.经过观察这8个同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，有________种排法.（用数字作答）【答案】576【解析】把编号相邻的3组同学每两个同学捆成一捆，这3捆之间有33A 6=种排序方法，并且形成4个空当，再将7号与8号插进空当中有24A 12=种插法，而捆好的3捆中每相邻的两个同学都有22A 4=种排法.所以不同的排法种数为32612576⨯⨯=.2．一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有A ．6种B ．12种C ．36种D ．72种考向三组合问题的求解组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏.典例3某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为A ．85B ．86C ．91D ．90【答案】B【解析】方法一（直接法）:由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选,女生乙不入选:1221334343C C C C C 31++=;第2类，男生甲不入选,女生乙入选:1221343434C C C C C 34++=.第3类，男生甲入选,女生乙入选:21123434C C C C 21++=.∴男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31+34+21=86.方法二（间接法）:从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有444954C C C 120--=种；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有4474C C 34-=种.∴男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120−34=86.3．在新一轮的高考改革中，一名高二学生在确定选修地理的情况下，想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习，则所选的两科中一定有生物的概率是A ．310B ．710C ．25D ．35考向四排列与组合的综合应用先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成.第一步：选元素，即选出符合条件的元素;第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列;第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.典例4有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有_______________种(用数字作答).【答案】2520【解析】方法一：先从10人中选出2人承担任务甲,再从余下8人中选出1人承担任务乙,最后从剩下的7人中选出1人承担任务丙.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有2111087C C C 2520=种.方法二：先从10人中选出2人承担任务甲,再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有22108C A 2520=种.4．某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种1．已知2C 15n =，那么2A n =A ．20B ．30C ．42D ．722．下列等式中，错误的是A ．()111A Am m nn n +++=B ．()()!2!1n n n n =--C ．A C !mm nn n =D ．11A A m m n nn m+=-3．甲、乙等五个人排成一排，要求甲和乙不能相邻，则不同的排法种数为A ．48B ．60C ．72D ．1204．某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外生活,分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同报名方法有A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种5．从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有A ．1190种B ．420种C ．560种D ．3360种6．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A ．81B ．83C ．85D ．877．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母都不与他相邻，则不同坐法的总数为A ．12B ．36C ．84D ．968．数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案种数为A ．33341296433C C C A A B ．3331296C C C 34C ．333129644C C C A 43D ．3331296C C C 439．用数字0，2，4，7，8，9组成无重复数字的六位数，其中大于420789的正整数的个数为A ．479B ．180C ．455D ．45610．元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6个参赛节目，其中有2个舞蹈节目，2个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这6个节目的不同编排种数为A ．48B ．36C ．24D ．1211．已知10件产品有2件是次品，为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为A ．6B ．7C ．8D ．912．节目单上有10个位置,现有A ,B ,C 3个节目,要求每个节目前后都有空位且A 节目必须在B ,C 节目之间,则不同的节目排法有种.13．已知集合{}08C A =，{}1288C ,C B =，{}456888C ,C ,C C =，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为___________.14．给四面体ABCD 的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法种数共有.15．某房间并排摆有六件不同的工艺品,要求甲、乙两件工艺品必须摆放在两端,丙、丁两件工艺品必须相邻,则不同的摆放方法有种(用数字作答).16．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为__________.17．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）18．某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是15 28.（1）该小组中男女学生各多少人？（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后．．顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）19．4个编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中.（1）①恰好有一个空盒子,有多少种放法?②若把4个不同小球换成4个相同小球,恰好有一个空盒子,有多少种放法?（2）每个盒子放1个球,并且恰好有一球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法?1．（2019新课标全国Ⅰ理科）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11162．（2018新课标全国Ⅱ理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．1183．（2017新课标全国Ⅱ理科）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种4．（2018新课标全国Ⅰ理科）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）5．（2018江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为▲．6．（2018浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)7．（2017浙江理科）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答）8．（2017天津理科）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）变式拓展1．【解析】（1）由288A 6Axx -<，得()()8!8!68!10!x x <⨯--，化简得219840x x -<＋，解之得712x <<，①又820xx ≥⎧⎨->⎩，28x ∴<≤，②由①②及x ∈N *得8x ＝.（2）()()()11!!AA 1!!m m n nn n n m n m ++-=-+-- ()!11!1n n n m n m +⎛⎫=⋅- ⎪-+-⎝⎭()()!!1n mn m n m =⋅-+-()!1!n m n m =⋅+-1A m nm -=，11A A A m m m n n nm -+∴-=.【名师点睛】本题主要考查排列数的计算问题，要注意A mn 中隐含了3个条件：①m ，*n ∈N ；②m n ≤；③A mn 的运算结果为正整数．在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解．注意常用变形11A A n n n n n --=，11A A A n n n n n n n ++=-（即()!1!!n n n n ⋅=+-），11A A A m m m n n n m -++=的应用．2．【答案】B 【解析】方法一：把空着的2个相邻的停车位看成一个整体，即2辆不同的车可以停进4个停车场，即不同的停车方法共有：24A 4312=⨯=种.方法二：由题意，若2辆不同的车相邻，则有2222A A 4=种方法；若2辆不同的车不相邻，则利用插空法，2个相邻的停车位空着，利用捆绑法，所以有()222222A A A 8+=种方法.综上，共有12种方法，所以B 选项是正确的.【名师点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意空位是相同的是解题的关键.分类讨论，利用捆绑法、插空法，即可得出结论.3．【答案】C【解析】从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科，数量有25C 10=，所选的2科中一定有生物，则需在从历史、政治、化学、物理4科中选1科，数量有14C 4=，所以其概率为1425C 42C 105P ===.故答案为C 项.【名师点睛】本题考查组合问题，古典概型的计算，属于简单题.先计算出从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科的数量，然后计算出按照两科里有生物，再选另一科的数量.最后根据古典概型的计算公式，得到答案.4．【答案】C 【解析】将5个班分成3组，有两类方法：（1）3，1，1，有35C 种；（2）2，2，1，有2253C C 2!种.所以不同的安排方法共有22335353C C C A 1502!⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭种.故选C.【名师点睛】本题主要考查了排列组合的实际应用问题：分组分配，注意此类问题一般要先分组再分配（即为排列），属于基础题.先将5人分成3组，3，1，1和2，2，1两种分法，再分配，应用排列组合公式列式求解即可.专题冲关1．【答案】B 【解析】2C 156n n =⇒=，则226A A 30n ==.故选B.【名师点睛】本题考查了排列数和组合数的计算，属于简单题.2．【答案】C【解析】通过计算得到选项A ，B ，D 的左、右两边都是相等的.对于选项C ，A C !mm n nm =，所以选项C 是错误的.故答案为C ．3．【答案】C【解析】甲、乙等五个人排成一排，要求甲和乙不能相邻，故先安排除甲、乙外的3人，共33A 种方法，然后安排甲、乙在这3人之间的4个空里，共24A 种方法，所以不同的排法种数为3234A A 72⋅=，故选C 项.【名师点睛】本题考查排列问题，利用插空法解决不相邻问题，属于简单题.求解时，因为甲和乙不能相邻，利用插空法列出不同的排法的算式，得到答案.4．【答案】C【解析】由题意可知，从4人中任选2人作为一个整体，共有C 42=6(种)，再把这个整体与其他2人进行全排列，对应3个活动小组，有A 33=6(种)情况，所以共有6×6=36(种)不同的报名方法.5．【答案】B 【解析】要求参赛的3人中既有男生又有女生，分为两种情况：第一种情况：1名男生2名女生，有12106C C 种选法；第二种情况：2名男生1名女生，有21106C C 种选法，由分类计算原理可得不同的选法有1221106106C C C C 420+=种.故选B ．【名师点睛】本题考查分类计数原理和组合的应用，属于基础题.6．【答案】D【解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有1242C A 8=种不同的结果；（2）周六、周日各2人，有24C 6=种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8614+=种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为147168=，选D ．7．【答案】B 【解析】记事件:A 小明的父亲与小明相邻，事件:B 小明的母亲与小明相邻，对于事件A ，将小明与其父亲捆绑，形成一个元素，与其他三个元素进行排序，则()2424A A 48n A ==，同理可得()()48n B n A ==，对于事件A B ，将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则()2323A A 12n A B == ，由容斥原理可知，所求的坐法种数为()()()55A 1202481236n A n B n A B --+=-⨯+= ，故选B ．【名师点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法以及容斥原理的应用，解题时要合理利用分类讨论思想与总体淘汰法，考查逻辑推理能力，属于中等题.8．【答案】B【解析】将12名同学平均分成四组共有33331296344C C C C A 种方案，四组分别研究四个不同课题共有44A 种方案，第一组选择一名组长有3种方案，第二组选择一名组长有3种方案，第三组选择一名组长有3种方案，第四组选择一名组长有3种方案，选取组长的方案共有34种，根据分步乘法计数原理，可知满足题目要求的种数为3333412963444C C C C A A 34=3331296C C C 34，故选B ．9．【答案】C【解析】若十万位大于4，则有553A =360⨯个；若十万位等于4，当万位大于2时，有443A =72⨯个，当万位等于2千位不等于0时，有333A =18⨯个，当万位等于2千位等于0时，有222A +1=5⨯个，则一共有360+72+18+5=455个.故选C ．【名师点睛】排列组合问题中涉及满足要求的几位数的个数时候，采用分类讨论比较方便，能精准的将满足要求的每类数利用排列数、组合数计算出来.10．【答案】C 【解析】分3步进行：①歌曲节目排在首尾，有A 22=2种排法.②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间，有A 22=2种排法.③排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，有A 22A 31=6种排法，则这6个节目出场的不同编排种数为2×2×6=24，故选C ．11．【答案】C 【解析】设抽取x 件，次品全部检出的概率为222810C C 0.6C x x->，化简得()154x x ->，代入选项验证可知，当8x =时，符合题意，故选C ．【名师点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.12．【答案】40【解析】除A ，B ，C 3个节目外，还有7个位置，共可形成6个空，从6个空中选3个位置安排3个节目，有C 63种方法，又A 在中间，所以B ，C 有A 22种方法，所以总的排法有C 63A 22=40种.13．【答案】33【解析】由组合数的性质得出2688C C =，不考虑任何限制条件下不同点的个数为113233C C A 36=，由于2688C C =，坐标中同时含28C 和68C 的点的个数为13C 3=，综上所述：所求点的个数为36333-=，故答案为33.【名师点睛】本题考查排列组合思想的应用，常用的就是分类讨论和分步骤处理，本题中利用总体淘汰法，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14．【答案】96【解析】由题意知，第一步涂DA 有四种方法;第二步涂DB 有三种方法;第三步涂DC 有两种方法;第四步涂AB ，若AB 与DC 相同，则一种涂法，第五步可分两种情况，若BC 与AD 相同，最后一步涂AC 有两种涂法，若BC 与AD 不同，最后一步涂AC 有一种涂法.若第四步涂AB ，AB 与CD 不同，则AB 涂第四种颜色，此时BC ，AC 只有一种涂法.综上，总的涂法种数是4×3×2×[1×(2+1)+1×1]=96.15．【答案】24【解析】甲、乙两件工艺品的摆放方法有A 22种，丙、丁与剩余的两件工艺品的摆放方法有A 22A 33种，由分步乘法计数原理可知，不同的摆放方法有A 22A 22A 33=24种.16．【答案】1360【解析】由题意，对六艺“礼、乐、射、御、书、数”进行全排列，基本事件的总数为66A 720=种，满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：当第一节是“数”，共有3234A A 72=种不同的排法；当第二节是“数”，共有51235323A C A A 84-=种不同的排法，所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为72841372060P +==.【名师点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理分类求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17．【解析】（1）偶数在末尾，五位偶数共有23413442C C A A ＝576个．（2）五位数中，偶数排在一起的有23423442C C A A ＝576个．（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有23233423C C A A ＝144个．【名师点睛】本题主要考查了数字的组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．求解时，（1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列；（2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；（3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决.18．【解析】（1）设男生有x 人，则21939C C 15C 28x x-=，即(1)(9)90x x x --=，解之得，6x =，故男生有6人，女生有3人.（2）方法一：按坐座位的方法：第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有69A 60480=种；第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择，故一共有604801160479⨯-=种重新站队方法.方法二：除序法：第一步：9名学生站队共有99A 种站队方法；第二步：3名女生有33A 种站队顺序；故一共有9933A 60480A =种站队方法，所以重新站队方法有60480160479-=种.（3）第一步：将6名男生分成3组，共有22264233C C C 15A =种；第二步：3名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有3334A A 144⨯=种；第三步：3组男生中每组男生站队方法共有()322A 8=种.故一共有151********⨯⨯=种站队方法.【名师点睛】本题考查排列组合中的分类讨论，插空法、除序法等，属于中档题.求解时，（1）设男生有x 人，表示出其概率，然后得到男女生人数；（2）方法一：按坐座位的方法分步处理，先安排男生，再安排女生，方法二：对9人全排，然后对3名女生除序；（3）先对6名男生分成3组，再对3名女生全排后，将3组男生插空，每组男生全排，得到答案.19．【解析】（1）①方法一：4个小球不同，4个盒子也不同，是排列问题，恰好有一个空盒子的放法可分两步完成.第一步，先将4个小球中的2个“捆”在一起，有C 42种方法;第二步，把“捆”在一起的球与其他2个球分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A 43种方法.所以共有C 42A 43=144(种)放法.方法二：因为有一个盒子是空的，所以先将这4个小球分为三份，有21142122C C C A 种方法，再将这三份小球放入4个盒子中的3个盒子里，有A 43种放法，所以共有21142122C C C A ·A 43=144(种)放法.②这里的小球是相同的，只是盒子不同，是组合问题，可分两步完成.第一步，先从4个盒子中选出3个盒子有C 43种方法;第二步，从3个盒子中选出1个盒子放2个小球有C 31种方法.所以共有C 43·C 31=12(种)放法.（2）分两步完成.第一步，从4个不同的小球中选1个小球，使它的编号与盒子编号相同有C 41种方法;第二步，另外3个小球与盒子编号均不同，只有2种方法.所以共有C 41·2=8(种)放法.直通高考1．【答案】A 【解析】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62种情况，其中6爻中恰有3个阳爻的情况有36C 种情况，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为366C 2=516，故选A ．【名师点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．2．【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 102=45种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.3．【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343C A 36⨯=种．故选D ．【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．4．【答案】16【解析】根据题意，没有女生入选有C 43=4种选法，从6名学生中任意选3人有C 63=20种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20−4=16种，故答案是16.【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多、至少问题时多采用间接法，即利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.。
2020届高考一轮复习理科数学(人教版)练习：第71讲 两个计数原理与排列、组合的基本问题
第71讲两个计数原理与排列、组合的基本问题1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(C)A．8种B．24种C．48种D．120种2和4排在个位时，共有A12＝2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有A34＝4×3×2＝24种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有2×24＝48(个)．2．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(D)A．150 B．180C．300 D．345分两类：(1)甲组中选出一名女生有C15·C13·C26＝225种选法；(2)乙组中选出一名女生有C25·C16·C12＝120种选法．故共有345种选法．3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(A)A．12种B．10种C．9种D．8种分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步计数原理不同的选派方案共有2×6＝12(种)．4．(2019·东北四市模拟)甲、乙两人要在一排8个空座上就座，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为(C)A．10 B．16C．20 D．24(方法1)当甲在乙的左侧时有如下情况：①甲在第2个座位，则乙在第4,5,6,7个座位坐都可以，此时有4种情况；②甲在第3个座位，则乙在第5,6,7个座位坐都可以，此时有3种情况；③甲在第4个座位，则乙在第6,7个座位坐都可以，此时有2种情况；④甲在第5个座位，则乙在第7个座位坐，此时有1种情况．故共有10种情况．同理，当甲在乙的右侧时，也有10种情况．因此，一共有20种情况．(方法2)因甲乙不相邻，故采用插空法．除甲、乙外共6个空座，所以把甲、乙插入5个空中，共有A25＝20种方法．5．用五种不同的颜色给如图所示的四个区域涂色，如果每个区域涂一种颜色，相邻区域不能涂同色，那么涂色的方法共有320种．按1,2,3,4区域顺序着色，分别有C15，C14，C14，C14种方法，由分步计数原理，共有C15·C14·C14·C14＝320种方法．6．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__16__种．(用数字填写★答案★)(方法1)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．(方法2)间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．7．4位学生与2位教师并坐合影留念，下列情形下，各有多少种不同的坐法？(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．(1)中间有两个位置，故有A22A44＝48(种)；(2)用插空法，首先排四位学生有A44种方法，再将两名教师作为一个元素插入三个空格有A13种方法，再将两个教师交换位置有A22种方法，故共有A44·A13·A22＝144(种)；(3)用插空法，首先排四位学生有A44，然后将两位教师插入除两端外的三个空格有A44A23＝144(种)．8．(2017·豫南九校2月联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村庄进行义务巡诊，其中每个分队必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有(B)A．72种B．36种C．24种D．18种A12(C23C13＋C13C23)＝36种．9．由数字1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数中，恰好只有两个偶数相邻的排列数为2880个．分如下步骤：(1)首先从三个偶数中选出两个并进行排列有C23A22；(2)然后将四个奇数排列有A44；(3)再用插空法，将选出的两个偶数看成一个整体与另一偶数插入五个空格有A25.由乘法原理有C23A22A44A25＝2880.10．用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的：(1)四位数；(2)能被5整除的四位数；(3)千位上数字比百位上数字大的四位数．(1)用剔除法，A410－A39＝10×9×8×7－9×8×7＝4536(个)．(2)①个位数字为0有A39个；②个位数字为5，千位数字不为0有A18A28个，故符合题意的四位数有A39＋A18A28＝952(个)．(3)先从0,1，…，9这10个数字中取出两个数字，排在千位和百位上有C210种排法，再从余下的8个数中取出2个排在十位和个位上，有A28种方法，故由乘法原理，满足条件的四位数有C210A28＝2520(个)．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：10.6相互独立事件和独立重复试验(第2课时)
1024
8
题型5 求概率的取值问题 • 2. 一位学生每天骑自行车上学，从他家到 学校有5个交通岗，假设他在交通岗遇红 灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇到 红灯的概率均为p，其余3个交通岗遇到红 1 灯的概率均为 .若该学生至多遇到一次红 2 5 灯的概率不超过 ，求p的取值范围 18 • 解：该学生至多遇到一次红灯指没有遇到 红灯(记为事件A)或恰好遇到一次红灯(记 为事件B)，则
9
2
• (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的 零件是一等品的概率； • (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检 验，求至少有一个一等品的概率.
• 解：(1)设A、B、C分别表示甲、乙、丙三台 机床各自加工的零件是一等品的事件，据题意， A、B、C相互独立，且 • • •
P(A B) 1 4 1
5
•
甲、乙两人各射击1次，击中目标的 概率分别是 2 和 3 ，假设两人射击是否击中目 3 4 标，相互之间没有影响，每人各次射击是否击 中目标，相互之间也没有影响. • (1)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次， 且乙恰好击 中目标3次的概率； • (2)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射 击，求乙恰好射击5次后被中止射击的概率.
(1 - x ) x 3 3
1
2
y 3 4
1 3
1 3
2 3
x 1 3
，解得
x y
1
2
.
12
y
x
2 3
题型6 概率在实际问题中的决策作用
• 3. 经统计,某大型商场一个结算窗口每天排队 结算的人数及相应的概率如下： • 排 队 人 0~ 6~1 11~1 16~ 21~2 25 人 以 5 0 5 20 5 数 上 • 0.1 0.25 0.25 0.2 0.05 概率 0.1 5 • (1)每天不超过20人排队结算的概率是多少? • (2)一周7天中,若有3天以上(含3天)出现超过15 人排队结算的概率大于0.75,商场就需要增加 结算窗口,请问该商场是否需要增加结算窗口？
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：10.5等可能性事件和互斥事件的概率(第1课时)
2
1
3
19
• 15名新生中有3名优秀生， • 随机将15名新生平均分配到3个班级中去. • (1)每班各分配到一名优秀生的概率是多少？ • (2)3名优秀生分配到同一班的概率是多少？
20
• 解： (1)每班分配到1名优秀生和4名非优 秀生，甲班从3名优秀生中任选1名，从12 1 名非优秀生中任选4名，共有C 142 种方法； C3 乙班从剩下的2名优秀生中选1人，从剩下 的8名非优秀生中选4名，共有 种方 1 4 C 2C8 法；最后剩下的1名优秀生和4名非优秀生 给丙班，有 种方法，将15名新生平 1 4 C1 C 4 均分到甲、乙、丙三个班级共有 5 5 5 C 15 C 10 C 5 种不同的分法. • 所以每班各分配到一名优秀生的概率为 C C C C C C 25 • . P
1 4 1 4 1 4 3 12 2 8 1 4
C 15C 10 C 5
5
5
5
91
21
2 • (2)3名优秀生都分到甲班，共有 C 33 C 12 • 种分法，乙班从剩下的10名之中选5 5 3 名10 ，剩下的5名给丙班，共有C 2 C 5 C 5 C C 3 12 10 5 种不同分法，同理，三名优秀生都分到 乙班、丙班方法数均为2 5 5 . 3 C 3 C 12 C 10 C 5 • 所以3名优秀生都分到同一班级的概率 为 . 6
17
• 解：(1)3个景区都有部门选择可能出现 的结果数为 C 42 A33 .4个部门选择3个景区 可能出现的结果数为34.记“3个景区都 有 部 门 选 择 ”( A为 C事 A 件 4 9A1 ， P ) 3 则 . • (2)解法1：恰有2个景区有部门选择可能 2 1 2 2 C 3 ( C 4 A2 C 4 ) 的结 果数为 ，记“恰有 2 个 景C区 有 部C门 选4 择 ” 为 事 件 A2, (C A ) 1 P( 则A ) . 3 27
高考理科数学一轮复习课件二项式定理
展开后得到的多项式称为二项展 开式，每一项称为二项式的通项 。
二项式系数与性质
二项式系数是指二项展开式中每一项前面的系数，通常用C(n,k)表示。 二项式系数具有对称性，即C(n,k)=C(n,n-k)。
二项式系数之和等于2ⁿ。
通项公式及其意义
通项公式是指二项展开式中每一项的表达式，即 T(k+1)=C(n,k)a^(n-k)b^k。
近似计算与误差估计
当$n$较大时，二项式$(a+b)^n$的展 开式项数较多，直接计算较为复杂。此 时可以利用二项式定理的近似计算公式
进行求解，从而简化计算过程。
在近似计算中，需要注意误差的估计。 通过合理的选择近似计算的项数，可以 控制误差的大小，保证计算结果的准确
性。
对于一些实际问题，如概率论中的二项 分布等问题，可以利用二项式定理进行
利用递推关系式，逐步降低二 项式的次数。
结合组合数的性质和运算规则 ，简化计算过程。
特殊形式二项式展开
对于形如$(a+b)^n$的二项式， 当$n$为奇数或偶数时，有不同
的展开形式。
当$n$为奇数时，展开式中间项 的二项式系数最大；当$n$为偶 数时，展开式中间两项的二项式
系数相等且最大。
注意特殊形式二项式的展开与通 项公式的联系和区别。
高考理科数学一轮复习课件二 项式定理
汇报人:XX
20XX-01-24
目
CONTENCT
录
• 二项式定理基本概念 • 二项式定理展开方法 • 二项式定理应用举例 • 高考中常见题型解析 • 复习策略与备考建议
01
二项式定理基本概念
二项式定理定义
01
二项式定理是指形如(a+b)ⁿ的展 开式，其中n为非负整数。
高三理科数学一轮复习 第五章 数列 第四节 数列的求和与综合应用课件
(2)bn=a
n
3 an
+1
=
(6n
3 -5)(6n
+1)=12
1 6n -5
-
1 6n +1
,
∴Tn=12
1-
1 7
+
1 7
-
1 13
+
…
+
1 6n -5
-
1 6n +1
=12
1-
1 6n +1
=12 − 12n1+2.
17
裂项相消法求和步骤 (1)拆项:将数列中的每一项拆分成两项或多项,使这些拆分的项能有规律地相互抵消; (2)求和:将抵消后的剩余项进行求和计算即可. 注意:相邻项抵消后剩余 2 项求和,隔一项抵消后剩余 4 项求和.
A.13
B.152
()
C.12
D.172
3.B
【解析】bn=a1n
=
1 (n+1)(n+2)
=
1 n+1
−
1 n+2
,
S10=
b1+b2+b3+…+b10=
1 2
−1
3
+1
3
−
1 4
+1
4
−
1 5
+
⋯+
1 11
−
1 12
=
1 2
−
1 12
=
152.
7
4.(2016·闽粤联合体联考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+an+1=21������(n=2,3,4,…),则
高三一轮总复习理科数学新课标第5章第1节PPT课件
究 ·
览
提
全 局A．an＝1＋(－1)n＋1
B．an＝2sin
nπ 2
高 考 体
导
·
备 高
C．an＝1－cos nπ
考
D．an＝20，，nn为为奇偶数数
验
· 明 考 情
自 主
【解析】 根据数列的前3项验证．
落 实
课 时
· 固
【答案】 B
基
作 业
础
菜单
高三一轮总复习数学·新课标（理科）
策
略 指
an＋1＝Sn＋1－Sn(
)
高 考 体
导
验
·
备 高
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
· 明 考
考
情
自
主
落 实
课 时
· 固 基
作 业
础
菜单
高三一轮总复习数学·新课标（理科）
网 络
2．(人教 A 版教材习题改编)已知数列{an}的前 4 项分别
典 例
构
探
建 ·
为 2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一
典 例 探 究 · 提 知 能
高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 作 业
高三一轮总复习数学·新课标（理科）
网
典
络
例
构
探
建
究
·
·
览
提
全 局
从近两年高考试题可以看出，高考题在数
1.重视两类基本数列的复习，把握好重 点与难点
知 能
策 列这一章中的命题呈以下特点：
(1)要正确理解数列、等差、等比数列
略 1．考查题型较为全面．选择、填空、解答 的基本概念，掌握各公式之间的联系
2020年高考人教A版理科数学一轮复习(全册PPT课件 1520张)
2020版高考 全册精品 PPT课件
第1章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 第二节 函数的单调性与最值 第三节 函数的奇偶性与周期性 第四节 二次函数与幂函数 第五节 指数与指数函数 第六节 对数与对数函数 第七节 函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教 材 改 编 ) 若 集 合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
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[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第二节 两条直线的位置关系 第三节 圆的方程 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第五节 椭 圆
第1课时 椭圆的定义、标准方程及其性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系
第六节 双曲线 第七节 抛物线 第八节 曲线与方程 第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题 高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章 算法初步、统计与统计案例 第一节 算法与程序框图 第二节 随机抽样 第三节 用样本估计总体 第四节 变量间的相关关系与统计案例
江西省鹰潭市高考数学一轮复习：58 排列与组合(理科专用)
江西省鹰潭市高考数学一轮复习：58 排列与组合（理科专用）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·拉萨月考) 从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有（）A . 6个B . 10个C . 12个D . 16个2. （2分） (2019高二下·宁波期中) 如图四个海上小岛，现在各岛间共建三座桥将四个小岛连通，则不同的方法有（）A . 8B . 12C . 16D . 203. （2分）在M到M上的一一映射中，至少有两个数字与自身对应的映射个数为A . 35B . 31C . 41D . 214. （2分） (2017高二下·长春期末) 有5本相同的数学书和3本相同的语文书，要将它们排在同一层书架上,并且语文书不能放在一起，则不同的放法数为（）A . 20B . 120C . 2400D . 144005. （2分）(2020·长春模拟) 2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A、B、C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有（）A . 6种B . 12种C . 24种D . 36种6. （2分）(2020·温岭模拟) 安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（）A . 13B . 18C . 22D . 287. （2分）某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有（）A . 474种B . 77种C . 462种8. （2分） (2019高二下·诸暨期中) 从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（）A . 60B . 66C . 72D . 1269. （2分）(2020·淮南模拟) 淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（）A . 960B . 1080C . 1560D . 302410. （2分）设三位数，若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）A . 45个B . 81个C . 165个D . 216个11. （2分） 2名厨师和3位服务员共5人站成一排合影，若厨师不站两边，则不同排法的种数是（）A . 60B . 48C . 4212. （2分）一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3 个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（）A . 6B . 12C . 144D . 72二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2019高二下·仙桃期末) 将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三所不同的学校去任教，每所学校至少分配一人且甲、乙两人不在同一所学校，则共有________ 种不同的分配方案（用数字作答）。
高考理科第一轮复习课件(6.7数学归纳法)
1.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4,n∈N+)第一步应验证n等
于(
(A)1
)
(B)2 (C)3 (D)4
【解析】选D.由n≥4,n∈N+可知,应验证n=4时不等式成立.
2.若 f n 1 1 1
1 则f(1)为( n N ， 2 3 5n 1 1 A 1 B 4 1 1 1 1 C 1 D 1 4 2 3 4 【解析】选D. f 1 1 1 1 1 . 2 3 4
(3n 2＋ ＋ 11n 10)
对一切n∈N+都成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，由上面可知等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1,k∈N+)时等式成立，
即 122＋232＋＋k k＋ 2 ＝ k k 1 3k 2＋ ＋ ， 1 11k 10
12
则当n＝k+1时，
2k 1 2k 2 k 1
=(k+1)(k+2)„(k+k)·2(2k+1), 所以多乘了2(2k+1).
5．在数列{an}中，a1＝ 1 且Sn=n(2n-1)an，通过求a2，a3，
3
a4，猜想an的表达式，其结果是. 【解析】由 a1＝1 且Sn=n(2n-1)an得， 2＝ 1 ，a 3＝ 1 ，a 4＝ 1 ， a
)
3．用数学归纳法证明：＋ 1 1＋ ＋ 1
2 3
1 n (n∈N+且n>1) n 2 1
时，在第二步证明从 n＝k 到 n＝k＋1 成立时，左边增加 的项数是( (A)2k ) (B)2k-1 (C)2k-1 (D)2k+1