2013-2014(2)概率统计(B)解答

广州大学2013-2014学年第二学期考试卷解答
课 程：概率论与数理统计（48学时） 考 试 形 式：闭卷考试
学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________
一、填空题（每小题3分，共30分） 1．事件,,A B C 中恰有一个发生可表示为
ABC ABC ABC ++.
2．已知()0.2P A =，()0.3P B =，()0.4P A B ⋃=，则()P AB = 0.1 . 3．已知()0.4P A =，()0.3P AB =，则(|)P B A = 0.5 .
4．将3封信随机地投入3个邮筒中，则每个邮筒中各有一封信的概率为 2/9 . 5．甲、乙两人独立破译一密码，若两人各自独立译出密码的概率依次为0.6、0.8，则此密码被译出的概率为 0.92 .
6．某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续向一个目标射击，直至第一次命中目标为止，则射击次数X 的分布律为
{}P X k ==10.20.8k -⨯，1,2,k = .
7．设某种元件的寿命X (单位: 小时)具有概率密度
2200
,200()0,
200x f x x x ⎧>⎪
=⎨⎪≤⎩
则元件寿命大于500小时的概率为 0.4 .
8．设()2E X =，()3E Y =，则(32)E X Y -= 0 .
9．设随机变量X 与Y 相互独立，()()2D X D Y ==，则(2)D X Y += 10 . 10．设随机变量X 服从正态分布(1,4)N ，则{13}P X -≤≤= 0.682 . 参考数据：标准正态分布函数值(0.5)0.692Φ=，(1)0.841Φ=.
袋中有红球6个，白球4个，从中取两次，每次任取一个，作不放回抽样. 设事件A 表示“第一次取的是红球”，事件B 表示“第二次取的是白球”，用,A B 表示下列事件，并求其概率:
（1）一次取的是红球，另一次取的是白球； （2）第二次取的是红球.
解：（1）事件表示为AB AB +，其概率为 64468
()()()10910915
P AB AB P AB P AB +=+=⋅+⋅=.------5分 （2）事件表示为B ，其概率为 65463
()()()1091095
P B P AB P AB =+=
⋅+⋅=.------10分 三、（本题满分8分）
电路由电池A 与2个并联的电池B 及C 串联而成. 设电池A ，B ，C 损坏的概率分别为0.3，0.2，0.2，求电路发生间断的概率.
解：用A ，B ，C 分别表示事件“电池A ，B ，C 损坏”，则事件“电路发生间断”可表示为()A BC ⋃，------3分 所求概率为
()()()()()P A BC P A P BC P ABC ⋃=+-
()()()()()()P A P B P C P A P B P C =+-0.328=.------8分
四、（本题满分10分）
某厂有1A 、2A 、3A 三条流水线生产同一产品，已知每条流水线的产品分别占总量的40％，30％，30％，且这三条流水线的次品率分别为0.01，0.02，0.03. 现从出厂的产品中任取一件.
（1）求取到的是次品的概率；
（2）已知取到的是次品，求它是流水线1A 生产的概率.
解：用i A 表示事件“产品是流水线i A 生产的”，B 表示事件“取到的是次品”，则
1()0.4P A =，2()0.3P A =，3()0.3P A =，
1(|)0.01P B A =，2(|)0.02P B A =，3(|)0.03P B A =，------3分
（1）由全概率公式，所求概率为
112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.019=.---7分
（2）所求概率为
1111()()(|)4
(|)()()19
P A B P A P B A P A B P B P B ===.------10分
设随机变量X 的概率密度为
22,01
()0,
x x f x -<<⎧=⎨
⎩其它 求X 的数学期望()E X 和方差()D X .
解：()()d E X xf x x +∞-∞=⎰10(22)d x x x =-⎰1
3=，------4分
22
()()d E X x f x x +∞-∞=⎰120(22)d x x x =-⎰16
=，------8分
221
()()[()]18
D X
E X E X =-=.------10分
六、(本题满分12分)
设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为
01
0.40.6
i
X
p
01
0.20.8
j Y p
（1）求X ，Y 的联合概率分布；
（2）求随机变量Z X Y =+的分布函数. 解：（1）因X 与Y 相互独立，所以
{,}{}{}P X a Y b P X a P Y b ====⋅=，------2分
------5分
（2）Z 的取值为0，1，2，
{0}{0,0}0.08P Z P X Y =====，
{1}{0,1}{1,0}0.320.120.44P Z P X Y P X Y ====+===+=， {2}{1,1}0.48P Z P X Y =====.------8分
Z 的分布函数为
(){}F z P Z z =≤0,00.08,01
0.52,121,
2
z z z z <⎧⎪≤<⎪
=⎨
≤<⎪⎪>⎩------12分
在次品率为0.2的一大批产品中，任意抽取2500件产品，利用中心极限定理计算抽取的产品中次品件数在500与550之间的概率.
2t x -
~(,)X B n p ，2500n =，0.2p =，------2分
由棣-500
20X -=近似服从(0,1)N .------5分
所求概率为
{500550}P X ≤≤500500500550500
{}202020
X P ---=≤≤
(2.5)(0)≈Φ-Φ0.494=.------10分。