第六章弯曲应力1

4 ) 强度校核
σ t max = 28.2 < [σ t ]
σ c max = 46.2 < [σ c ]
最大拉、压应力不m
B
F2 =4kN
D 1m
-4 k N m
M
C
y1
A1 z
2.5 kNm
A3
27.3MPa
y2
46.2MPa 结论—— 对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面： M max
为什么？
A 1m
F 1 = 9kN
C 1m
-4 k N m
B
F 2 = 4kN
D 1m
B截面—（上拉下压）:
4 × 52×106 σ tB = = = 27.2MPa, max 4 763×10 Iz M B y2 4 × 88×106 B σ c max = = = 46.2MPa 4 Iz 763×10
弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。 当 M > 0 时，下拉上压； 当 M < 0 时，上拉下压。
纯弯曲时梁横截面上 正应力的计算公式
My σ = Iz
梁横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的地方
中性轴 z 为横截面的对称轴时
σ max = σ max
t
c
b h y z y
z
σ max
My max M M = = = Iz ⎛ I z ⎞ Wz ⎜ ⎜y ⎟ ⎟ ⎝ max ⎠ 称为截面的抗弯截面系数
+ − 对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面： M max ; M max
A2 4 28.2MPa A
x
例 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力 [ σt ]=30 MPa，许用压应力[ σc ] =90 MPa。试根据截面最为 合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸δ ，并校核梁的强 度。 δ F=80 kN
M 3000 × 1.52 = 178 MPa = y1 = −6 Iz 25.6 × 10 M 3000 × 3.28 = 384 MPa y2 = −6 Iz 25.6 ×10
y
σcmax
σ c max =
∴ σ t max = 178 MPa, σ c max = 384 MPa
四、梁的弯曲正应力强度条件 σ max ≤ [σ ] [σ ]
M B y1
C截面—（下拉上压）:
σ tCmax
6 M C y2 = 2.5 × 88 ×10 = 28.2MPa = 763 ×10 4 Iz
M
2.5 kNm
C
y1 y2
A1 z
A3
27.3MPa
A2 4 28.2MPa A
46.2MPa
x
σC =
c max
M C y1 = 17.04 MPa Iz
中性轴为横截面对称轴的等直梁 h
材料的许用弯曲正应力
z
M max ≤ [σ ] Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
ycmax
ytmax
O
z y M max ytmax
≤ [σ t]
M max σ t max = yt max ≤ [σ t ] Iz M M max σ c max = yc max ≤ [σ c ] Iz
F a A
F a B
１.纯弯曲
梁的横截面上只有弯矩而无 力而无切应力的弯曲）。 Fs F F x
x
剪力的弯曲（横截面上只有正应
2.横力弯曲（剪切弯曲）
梁的横截面上既有弯矩又有 M 剪力的弯曲（横截面上既有正应 力又有切应力的弯曲）。 Fa
二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式
（一）变形几何关系： 由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。 1、观察实验：
q
y1 y2 y №10槽钢
z
b
解：1）画弯矩图
| M |max = 0.5ql 2 = 3 kNm
2）查型钢表：
M
y1
y2
z
σtmax
b
b = 4.8cm, I z = 25.6cm 4 , y1 = 1.52cm y2 = 4.8 − 1.52 = 3.28cm
3）求最大拉、压应力应力：
σ t max
2、变形规律： (1)、纵向线：由直线变为 曲线，且靠近上部的纤维 缩短，靠近下部的纤维伸 长。 (2)、横向线：仍为直线， 只是相对转动了一个角度 且仍与纵向线正交。 3、假设： b
a
c
b M a
d c M
d
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转 动了一个角度。
∫
A
ydA =
E
ρ （中性轴 z 轴为形心轴）
E I yz = 0 ⇒ I yz = 0
Sz = 0 ⇒ Sz = 0
(2)
ρ （y 、z 轴为形心主轴） E y E 2 = Iz = M (3) M z = yσdA = ∫ E ydA = ∫ y dA A A ρ ρ ρ A M 1 ——弯曲变形计算的基本公式 = ρ EI Z
梁变形后中性层的曲率
1
ρ
=？
M
M z Ey Z M σ = Eε = ρ 中性轴 y x （三）、静力平衡条件 dA x z σdA 由横截面上的弯矩和正应力的关系 → 正应力的计算公式。 y y 梁横截面上内力已知： N = 0, M y = 0, M z = M F
(1)
FN = ∫ σdA = ∫ E y dA = E A A ρ ρ
梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动 了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
a 4、纵向线应变的变化规律
（纵向线段的变化规律）
c
A1 B1 − AB ε = AB
A1 B1 − OO 1 = OO 1
b a o A b dx
d c o1
中性层
Ｂ
d
中 性 层 曲 率 半 ρ 径
y
( ρ + y )dθ − ρdθ = y = ρ ρdθ
σ max
Fl 4
M ( x) = Wz
例：厚为t = 1.5 mm的钢带，卷成直径D＝3m 的圆环。E = 210GPa 。 求：钢带横截面上的最大正应力 解：1）研究对象：单位宽条
σ max
D
M = ymax , Iz
1
M =?
1× t 3 Iz = , 12 t ymax = , 2
D M → ρ≈ 2）曲率公式： = 2 ρ EI z
A 1m
2m
B
实验和弹性理论的研究结果表明： 对于细长梁（跨高比 l / h > 5 ），剪力的影响可以忽 略，纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结 果仍足够精确。 My
弯曲正应力公式
σ =
IZ
可推广应用于横力弯曲和小曲率梁（曲率半径大于5倍梁截面高度的曲杆)
F
l
M ( x) y σ = Iz
第六章
梁的应力
§6-1 梁横截面的正应力和正应力强度条件 §6-2 梁横截面的切应力和切应力强度条件 §6-3 薄壁截面梁弯曲切应力的进一步分析 §6-4 提高梁承载能力的措施
§6-1 梁横截面的正应力和正应力强度条件
一、 纯弯曲和横力弯曲的概念
剪力“Fs”——切应力“τ ”； 弯矩“M”——正应力“σ ”
在弹性范围内， σ
= Eε
σ = Eε =
Ey
dθ
ρ
...... (2)
——横截面上各点的正应力沿截面高度 按线性规律变化
y
A1 B1
σ = Eε =
Ey
ρ
——横截面上各点的正应力沿截面高度 按线性规律变化
梁弯曲时横截面上正应力分布图：
M
中性层
z 中性轴 x y
σmax
M Z
y
σmax
中性轴的位置？
dθ
ε =
y
ρ
(1 )
y
A1 B1
——横截面上各点的纵向线应变 与它到中性轴的距离成正比
4、纵向线应变的变化规律
（纵向线段的变化规律）
a
c
ε =
y
ρ
......
(1)
b a o A b dx d c o1
中性层
（二）物理关系：
由纵向线应变的变化规律 正应力的分布规律。
Ｂ
d
y
中 性 层 曲 率 半 ρ 径
A
F
C
B
2F
D
h
解：1、求约束反力 2、画M图，求Mmax
0.5m
5F/2
0 .5 F
0.5m
0.5m
F/2
b
M max = 0.5F
3、强度计算
0.25F
M
σ max
∴
Fmax = 46.1 ( kN )
x
M max = ≤[σ ], WZ
0 .5 F ≤ [σ ] 1 2 bh 6
例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[σt] = 30 M Pa， [σc] = 60 M Pa.其截面形心位于C点，y1= 52 mm， y2= 88 mm， Iz =763 cm4 ，试校核此梁的强度。 解：1)求约束反力 F
t
t
1
∴M=
EI z
也可用公式：σ max =
E
ρ
ymax
3）求应力： M 2 E t Et ymax = σ max = ⋅ = Iz D 2 D 210 × 109 ×1.5 ×10 −3 = 105 MPa = 3
ρ
=