高三年级第二学期质量调研考试数学试卷

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上海市普陀区2020年度第二学期高三年级质量调研数学试题(文理科)

上海市普陀区2020年第二学期高三年级质量调研数学试卷（文科） 2020.05说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须．．写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1．若复数2z i i =+（i 是虚数单位），则||z = . 2. 不等式231x ->的解集为 .3. 已知函数)10(log 1)(≠>+=a a x x f a 且　，)(1x f -是)(x f 的反函数，若)(1x fy -=的图像过点(3,4)，则a = .4. 用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗，则需要原材料平方米（保留3位小数）. 5. 关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛110301，则x y += . 6. 设1e r 、2e r 是平面内一组基向量，且122a e e =+r r r 、12b e e =-+r r r ，则向量12e e +r r可以表示为另一组基向量a r 、b r 的线性组合，即12e e +=r ra +rb r .7. 右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出的结果所表示的分段函数为()f x = .8. 已知非负实数x 、y 满足不等式组3,2,x y x y +≤⎧⎨-≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为 .9. 正方体骰子六个表面分别刻有1~6的点数. 现同时掷了两枚骰子，则得到的点数之和大于10的概率为 .10. 设联结双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=（0a >，0b >）的4个顶点的四边形面积为1S ，联结其4个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为 . 11.将函数sin ()cos xf x x=的图像向左平移a （0a >）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为 .12. 已知数列{}n a 是首项为a 、公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=.若对任意的*N n ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.13. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程10121011xy =的一个法向量的是（）A ． ()1,2n =-r ； B. ()2,1n =-r ； C. ()1,2n =--r ; D. ()2,1n =r. 14. 若*Nn ∈，(1nn n b =+（n a 、n b Z ∈），则55a b +=（）A. 32；B. 50;C. 70;D. 120. 15. 在△ABC 中，“C B A sin sin 2cos =”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．必要非充分条件；B ．充分非必要条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件.16. 现有两个命题：（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ；（2）若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（）A ． P Q Ü； B. Q P Ü； C. P Q =； D. P Q =∅I .三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.17. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，314a =. 对任意*N n ∈，向量()1,n a a =r、11,2n b a +⎛⎫= ⎪⎝⎭r 都满足a b ⊥r r ，求lim n n S →∞.18. （本题满分14分）已知复数1cos z x i =+，21sin z x i =+⋅（i 是虚数单位），且12z z -=当实数()2,2x ππ∈-时，试用列举法表示满足条件的x 的取值集合P .19.（本题满分14分）如图，圆锥体是由直角三角形AOC 绕直角边AO 所在直线旋转一周所得，2OC =.设点B 为圆锥体底面圆周上一点，60BOC ∠=︒，且ABC △的面积为3. 求该圆锥体的体积.20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，0.5BC =米.上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点.EMN △是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（MN 和AB DC 、不重合）. （1）当MN 和AB 之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN 的通风面积；（2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S（平方米）表C第19题图示成关于x 的函数()S f x =；（3）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积.21. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）已知等轴双曲线222:C x y a -=（0a >）的右焦点为F ，O 为坐标原点. 过F 作一条渐近线的垂线FP 且垂足为P，OP =u u u r（1）求等轴双曲线C 的方程；（2）假设过点F 且方向向量为()1,2d =r的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，求OA OB ⋅u u u r u u u r 的值；（3）假设过点F 的动直线l 与双曲线C 交于M 、N 两点，试问：在x 轴上是否存在定点P ，使得PM PN ⋅u u u u r u u u r为常数.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．C DNC图（2）第20题图上海市普陀区2020年第二学期高三年级质量调研数学试卷（理科） 2020.05说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

高考数学模拟题复习试卷高三年级第二次质量调研数学试卷(理)2

高考数学模拟题复习试卷高三年级第二次质量调研数学试卷（理）一、填空题（本大题有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．1.已知集合},2||{R ∈≤=x x x A ,},01{2R ∈≥-=x x x B ,则=B A ________．2.抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．3.若(1i)i 2i a b +=-,其中a 、b R ∈,i 是虚数单位,则|i |a b +=_________．4.已知函数xx g 2)(=,若0>a ,0>b 且2)()(=b g a g ,则ab 的取值范围是_______．5.设等差数列{}n a 满足115=a ,312-=a ,{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ,则lg M =__________．6.若8822108...)(x a x a x a a x a ++++=-（R ∈a ）,且565=a ,则=++++8210...a a a a_______________．7.已知对任意*N ∈n ,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n n n a a a a d 211,41都是直线x y =的方向向量,设数列}{n a 的前n 项和为n S ,若11=a ,则=∞→n n S lim _____________．8.已知定义在R 上的单调函数)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ,若函数()f x 的反函数为)(1x f -,则不等式51)2(21<+--x f 的解集为．9.已知方程1cos 3sin +=+m x x 在[0,π]x ∈上有两个不相等的实数解,则实数m 的取值范围是____________．10.随机变量ξ的分布列如下表所示,其中a ,b ,c 成等差数列,若31=ξE ,则D ξ的值是___________．11.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________．12.在平面直角坐标系xOy 中,点),(P P y x P 和点),(Q Q y x Q 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=,,P P Q P P Q y x y y x x 按此规则由点P 得到点Q ,称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下,m OQ =||, x1- 0 1 P )(x =ξabc向量OP 与OQ 的夹角为θ,其中O 为坐标原点,则θsin m 的值为____________． 13.设定义域为R 的函数⎩⎨⎧≤-->=,0,2,0,|lg |)(2x x x x x x f 若关于x 的函数1)(2)(22++=x bf x f y 有8个不同的零点,则实数b 的取值范围是____________．14.把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列{}n a ,若2015=n a ,则n =________．二．选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分． 15.在△ABC 中,“21sin =A ”是“6π=A ”的……………………………………（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16.已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→a ,)23,(-=→m m b ,且平面内的任一向量→c 都可以唯一的表示成→→→+=b a c μλμλ,(为实数）,则实数m 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞17.极坐标方程0))(1(=--πθρ（0≥ρ）表示的图形是…………………………（）A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线18.在四棱锥ABCD V -中,1B ,1D 分别为侧棱VB ,VD 的中点,则四面体11CD AB 的体积与四棱锥ABCD V -的体积之比为……………………………………………（） A ．6:1 B ．5:1 C ．4:1 D ．3:1三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分．在△ABC 中,已知12cos 2sin22=++C BA ,外接圆半径2=R ．（1）求角C 的大小；（2）若角π6A =,求△ABC 面积的大小. 20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分．如图,四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形,⊥PD 平面ABCD ,2==AD PD ,︒=∠60BAD ,E 为BC 的中点．（1）求证：⊥ED 平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小的余弦值．21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数)(x f 与时刻x （时）的关系为4321)(2++-+=a a x x x f ,)24,0[∈x ,其中a 是与气象有关的参数,且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a ．若用每天)(x f 的最大值为当天的综合污染指数,并记作)(a M ．（1）令12+=x xt ,)24,0[∈x ,求t 的取值范围；（2）求)(a M 的表达式,并规定当2)(≤a M 时为综合污染指数不超标,求当a 在什么范围内时,该市市中心的综合污染指数不超标．22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分．已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ,点B ),0(b ,过点B 且与2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于点D ,且→=+02221D F F F ．（1）求证：△21F BF 是等边三角形；（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切,求椭圆C 的方程；EPACD（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点,M 是点P 关于x 轴的对称点．在x 轴上是否存在一个定点N ,使得M 、Q 、N 三点共线,若存在,求出点N 的坐标；若不存在,请说明理由．23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分．已知数列}{n a 中,31=a ,52=a ,}{n a 的前n 项和为n S ,且满足11222---+=+n n n n S S S （3≥n ）．（1）试求数列{}n a 的通项公式；（2）令112+-⋅=n n n n a a b ,n T 是数列}{n b 的前n 项和,证明：61<n T ；（3）证明：对任意给定的⎪⎭⎫ ⎝⎛∈61,0m ,均存在*∈N 0n ,使得当0n n ≥时,（2）中的m T n >恒成立．高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1）2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．65．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知xi=22.5，yi=160，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．1706．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，07．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．15．（5分）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19．（12分）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC 的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1）【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选：D．【点评】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=a﹣i，由z•=（a+i）（a﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选：A．【点评】本题考查共轭复数的求法，复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选：B．【点评】本题考查命题真假性的判断，复合命题的真假性，属于基础题．4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是由解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为zmax=﹣3+2×4=5．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题．5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知xi=22.5，yi=160，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．170【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．【解答】解：由线性回归方程为=4x+，则=xi=22.5，=yi=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选：C．【点评】本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题．6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；当输入的x值为9时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞x，满足x能被b整数，故输出a=0；故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=．代入计算即可得出大小关系．【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P==，故选：C．【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，难度不大，属于基础题．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，②、当m＞1时，有＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y=（mx﹣1）2 在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故选：B．【点评】本题考查函数图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实数m的分类讨论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=4．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1=（3x）r=3r xr．∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为2+．【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=×π×12×1=，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，故答案为：2+．【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，考查计算能力，属于基础题．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴yA+yB=，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2×=4×，∴=p，∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．【分析】把①②代入exf（x），变形为指数函数判断；把③④代入exf（x），求导数判断．【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=exf（x）=为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=exf（x）=为实数集上的减函数；对于③，f（x）=x3，则g（x）=exf（x）=ex•x3，g′（x）=ex•x3+3ex•x2=ex（x3+3x2）=ex•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=exf（x）在定义域R上先减后增；对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=exf（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．【点评】本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．【分析】（1）利用组合数公式计算概率；（2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）==．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．【点评】本题考查了组合数公式与概率计算，超几何分布的分布列与数学期望，属于中档题．19．（12分）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn．【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．【解答】解：（I）设数列{xn}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴xn=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，Pn向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Qn，记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn，则bn==（2n+1）×2n﹣2，∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣Tn=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1=+﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴Tn=．【点评】本题考查了等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【分析】（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．由u（0）=0，可得x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，ex﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna），（0，+∞）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h （x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法、不等式的解法、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC 的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r=．由题意设知．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin=．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．由题意得△=＞0．，．∴|AB|=．由题意可知圆M的半径r为r=．由题意设知，，∴．因此直线OC的方程为．联立，得．因此，|OC|=．由题意可知，sin=．而=．令t=，则t＞1，∈（0，1），因此，=≥1．当且仅当，即t=2时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT的最大值为．综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．【点评】本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用配方法求函数的最值，考查计算能力，是压轴题．高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。

2023届呼市高三年级质量普查调研考试—段考(文科数学)试卷真题+参考答案+详细解析

2023届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|24}x A x =>，集合{1,2,3,4}B =，那么集合(A B = )A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,3,4}D ．{3,4}2．若(1)1i z -=，则下列说法正确的是( )A ．复数zB ．1z i =-C ．复数z 的虚部为i -D ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限 3．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(5,)P m -，且12sin 13α=-，则1cos2(sin 2αα-= )A ．512B ．512-C ．125D ．125-4．已知||2a =，||1b =，(2)()1a b a b +-=，则a 与b 的夹角为( ) A ．6π B ．4π C ．2π D ．34π 5．设123a -=，131()2b -=，21log 3c =，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a b c <<6．数列{}n a 中，如果472n a n =-，则n S 取最大值时，n 等于( ) A ．23B ．24C ．25D ．267．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 是其渐近线上的一点，若||AF 的最小值为3a ，则该双曲线的离心率为( )A ．10B ．22C ．3D ．38．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C ，D 两观测点，且C ，D 与教学楼底部B 在同一水平面上，在C ，D 两观测点处测得教学楼顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，并测得120BCD ∠=︒，则教学楼AB 的高度是( )A ．20米B ．202米C ．153米D ．25米9．已知函数[]y x =称为高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，如图，则输出的S 值为( )A ．42B ．43C ．44D ．4510．曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线方程为( ) A ．20x y π---= B ．2220x y π---= C ．2220x y π+-+=D ．20x y π+-+=11．已知函数2()23f x x mx m =--，则“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2021)f f f f ++++的值为( )A ．2B ．1C ．1-D ．2-第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足10101x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值是．14．已知圆C 与圆2210100x y x y +++=相切于原点，且过点(0,4)A -，则圆C 的标准方程为． 15．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则下列关于()f x 的结论正确的序号为．①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的图象关于直线6x π=对称；③若1x ，2(,)63x ππ∈-且12()()f x f x =，则12()3f x x +=；④()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位得到()g x 的图象，若()g x 图象的一个对称中心是(,0)6π，则θ的最小值为6π．16．如图，已知P 是半径为1圆心角为23π的一段圆弧AB 上的一点，若2AC CB =，则PA PC ⋅的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，34BCD π∠=，10BD =，2CD =．（1）求sin CBD ∠的值；（2）若ABD ∆的面积为4，求AD 的长．18．（12分）已知数列{}n a 满足112323(1)22(*)n n a a a na n n N ++++⋯+=-⋅+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)(1)n n n n a b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：13n S <．19．（12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质（至少3条）；（3）设21()1f x x=+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．20．（12分）已知函数()2x f x xe ax a =-+．（1）当12a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M ，N ，直线AM 与直线4x =交于点P ，记PA ，PF ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，1322k k k +是否为定值？并说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=．（1）求圆C 的参数方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，求弦长||AB 的长．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0m ，函数()2|1||2|f x x x m =--+的最大值为4．（1）求实数m 的值；（2）若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值．2023届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试文科数学参考答案及评分标准【选择题&填空题答案速查】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|24}x A x =>，集合{1,2,3,4}B =，那么集合(A B = )A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,3,4}D ．{3,4}【解析】{|24}{|2}x A x x x =>=>，{1,2,3,4}B =，{3,4}AB ∴=．故选：D ．【评注】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 2．若(1)1i z -=，则下列说法正确的是( )A ．复数zB ．1z i =-C ．复数z 的虚部为i -D ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限【评注】本题考查的知识要点：复数的运算，复数的共轭运算，复数的模，复数表示的几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(5,)P m -，且12sin 13α=-，则1cos2(sin 2αα-= )A ．512B ．512-C ．125D ．125-【解析】因为角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(5,)P m -，且【评注】本题考查了任意角的三角函数的定义，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．已知||2a =，||1b =，(2)()1a b a b +-=，则a 与b 的夹角为( ) A ．6π B ．4π C ．2π D ．34π (2)()1a b a b +-=，2221a a b b +-=，||2a =，||1b =，解1a b =，所2,2||||a b a b a b >==，又因为,[0,]a b π<>∈，故a 与b 的夹角为【评注】本题考查向量的数量积的求法，是基本知识的考查． 5．设123a -=，131()2b -=，21log 3c =，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解析】03a <=【评注】本题考查数值大小的比较，注意中间量的应用，基本知识的考查． 6．数列{}n a 中，如果472n a n =-，则n S 取最大值时，n 等于( ) A ．23B ．24C ．25D ．26法一（邻项变号法），145a =>数列{}n a ，结合二次函数的性质可得前23项的和最大【评注】本题主要考查了等差数列的前n 项的和，解题的关键是判断出数列中正数的项．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右焦点为F ，点A 是其渐近线上的一点，若||AF 的最小值为3a ，则该双曲线的离心率为( )A B ．C ．3D【解析】由题可知，双曲线渐近线为0bx ay ±=，则右焦点(,0)F c 到渐近线的距离为【评注】本题考查双曲线的简单性质的应用及焦渐距、离心率的求解，考查计算能力．8．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C ，D 两观测点，且C ，D 与教学楼底部B 在同一水平面上，在C ，D 两观测点处测得教学楼顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，并测得120BCD ∠=︒，则教学楼AB 的高度是( )A ．20米B ．C ．米D ．25米【评注】本题考查了解三角形、余弦定理的应用问题，也考查了推理能力与计算能力，属中档题． 9．已知函数[]y x =称为高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，如图，则输出的S 值为( )A ．42B ．43C ．44D ．45【解析】当03i <<时，3log 0i =；39i <时，3log 1i =；927i <时，3log 2i =；27i =时，3log 3i =，所以61182345S =⨯+⨯+=．故选：D ．【评注】本题考查了程序框图的运行过程与累加求和问题，是基础题． 10．曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线方程为( )A ．20x y π---=B ．2220x y π---=C ．2220x y π+-+=D ．20x y π+-+=【解析】sin 2cos y x x =+，cos 2sin y x x ∴'=-，∴曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线的斜率1k =-， ∴曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线的方程2()y x π+=--，即20x y π+-+=．故选：D ．【评注】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．11．已知函数2()23f x x mx m =--，则“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若()0f x <对[1,3]x ∈恒成立，则(1)240(3)1860f m f m =-<⎧⎨=-<⎩，解得3m >，2m >不能推出3m >，充分性不成立， 3m >能推出2m >，必要性成立，故“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的必要不充分条件．故选：C ．【评注】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．12．定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2021)f f f f ++++的值为( )A ．2B ．1C ．1-D ．2-2(2021)f ++【评注】本题考查函数的周期性与对称性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足10101x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值是 4 ．【解析】由约束条件作出可行域如图，联立110x x y =⎧⎨++=⎩，解得(1,2)A -，由2z x y =-，得2y x z =-，由图可知，当直线2y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为21(2)4⨯--=．故答案为：4．【评注】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．14．已知圆C 与圆2210100x y x y +++=相切于原点，且过点(0,4)A -，则圆C 的标准方程为22(2)(2)8x y +++= ．【解析】圆C 的标准方程为：222()()x a y b r -+-=，其圆心为(,)C a b ，半径为(0)r r >，【评注】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，两圆相切的性质，属于中档题．15．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则下列关于()f x 的结论正确的序号为①③④ ．①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的图象关于直线6x π=对称；③若1x ，2(,)63x ππ∈-且12()()f x f x =，则12()f x x +=④()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位得到()g x 的图象，若()g x 图象的一个对称中心是(,0)6π，则θ的最小值为6π．【评注】本题考查了三角函数的图象，重点考查了三角函数的性质，属基础题． 16．如图，已知P 是半径为1圆心角为23π的一段圆弧AB 上的一点，若2AC CB =，则PA PC ⋅的取值范围是 [1 ．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，203πθ，则1(2PA PC ⋅=-1(cos )(cos 226θ+203πθ，则，即PA PC ⋅的取值范围是，故答案为：【评注】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，34BCD π∠=，BD =CD =（1）求sin CBD ∠的值；（2）若ABD ∆的面积为4，求AD 的长．【评注】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18．（12分）已知数列{}n a 满足112323(1)22(*)n n a a a na n n N ++++⋯+=-⋅+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)(1)n n n n a b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：13n S <．）解：122a a ++2n 时，有223a a ++两式相减得：(1)2na n =-⋅2n ， 1n =时，有2=也适合上式，）证明：由（121n =-+11113<+．【评注】本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法在数列求和及不等式证明中的应用，属于中档题． 19．（12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质（至少3条）；（3）设21()1f x x =+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．)1x ．设仅清洗一次，222((1)(a a a =+洗方法具有相同的效果；当【评注】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力．20．（12分）已知函数()2x f x xe ax a =-+．（1）当12a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．上单调递增，)(1,)+∞．【评注】本题考查了函数的单调性、最值问题，隐零点的虚设与代换，考查导数的应用，属于难题．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的右焦点F与抛物线24y x =的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M ，N ，直线AM 与直线4x =交于点P ，记PA ，PF ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，1322k k k +是否为定值？并说明理由．【评注】本题考查求椭圆的方程及椭圆的性质的应用，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=．（1）求圆C的参数方程；（2）设圆C与直线l交于点A，B，求弦长||AB的长．【评注】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化方法，直线的参数方程的几何意义等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0m，函数()2|1||2|f x x x m=--+的最大值为4．（1）求实数m的值；（2）若实数a，b，c满足2a b c m-+=，求222a b c++的最小值．||(22)x-m，()|2|f x m∴+=()2maxf x m∴=，又(f x（2）根据柯西不等式得：](2a b-+，2a b-+223c，当121a b c==-，即13a=，时取等号，22a b∴+的最小值为【评注】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

闵行区-第二学期高三年级质量调研考试.docx

闵行区2015-2016学年第二学期高三年级质量调研考试数学理试卷考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2．本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。

3．答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。

4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数3log (1)y x =-的定义域是 .2．集合{}2|30A x x x =-<，{}2B x x =<，则U A B 等于 .3．若复数1i 11i 2b ++-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 . 4．已知函数3log 1()21x f x =，则1(0)f -= .5．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的倍.6．平面向量a r 与b r 的夹角为60︒，1a =r ，(3,0)b =r ，则2a b +=r r .7．已知ABC △的周长为4，且sin sin 3sin A B C +=，则AB 边的长为 .8．若6x ⎛+ ⎝的展开式中的3x 项大于15，且x 为等比数列{}n a 的公比，则1234lim n n na a a a a a →∞+++=+++L L . 9．若0m >，0n >，1m n +=，且1t m n+（0t >）的最小值为9，则t = . 10．若以x 轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角θ为参数，则圆2220x y x +-=的参数方程为 .1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π） 11．若AB 是圆22(3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点，则OA OB ⋅u u u r u u u r 的值为．12．在极坐标系中，从四条曲线1:1C ρ=，2:C θπ=3（0ρ≥），3:cos C ρθ=，4:sin 1C ρθ=中随机选择两条，记它们的交点个数为随机变量ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|n S n a n =+-（0a >），则使得1n n a a +≤（n ∈*N ）恒成立的a 的最大值为 .14． (理科）若两函数y x a =+与212y x =-的图像有两个交点A 、B ，O 是坐标原点，OAB △是锐角三角形，则实数a 的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．如果a b >，那么下列不等式中正确的是（）.(A) 11a b> (B) 22a b > (C) ()()lg 1lg 1a b +>+ (D) 22a b > 16．若l m 、是两条直线，m ⊥平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（）.(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（）.(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线18．将函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ<<π）个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12()()4f x g x -=的12x x 、，有12x x -的最小值为π6．则ϕ=（）. （A ）π3 (B) π6 （C ）π3或2π3 (D) π6或5π6三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）复数21sin i cos2z x x =+⋅，22sin i cos z x x =+⋅（其中x ∈R ，i 为虚数单位）. 在复平面上，复数1z 、2z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图，在直角梯形PBCD 中，//PB DC ，DC BC ⊥，22PB BC CD ===，点A 是PB 的中点，A B C DP PAB C D P A B C D 现沿AD 将平面PAD 折起，设PAB θ∠=．（1）当θ为直角时，求异面直线PC 与BD 所成角的大小；（2）当θ为多少时，三棱锥P ABD -． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求证：2211OA OB +为定值；（3）设点C 在椭圆Γ上运动，OC OD ⊥，且点O 到直线CD 的距离为常数d ()02d <<，求动点D 的轨迹方程． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-．（1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．参考答案与评分标准一、填空题（第1题至第14题）每题正确得4分，否则一律得0分．1．()1,+∞； 2．()2,3-； 3．2；4．9； 5．3； 67．1； 8．1； 9．4；10．1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π）、 11．8； 12．113．12016 14．⎝⎭、二. 选择题（第15题至18题）每题正确得5分，否则一律得0分．15．D ； 16．C ； 17．B ； 18． C三、解答题（第19题至23题）19.（本题满分12分）解：设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos2cos x x = ……………………3分解得cos 1x =或1cos 2x =-， ………………………………7分当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==； ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-； ……………11分PAB C D 综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．解：理:（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =-u u u r ,(1,2,0)BD =-u u u r ……3分设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r 10= ………………5分故异面直线PC 与BD 所成角为．…7分（2）Θ沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由 PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分163PAB S DA ∴=⋅⋅△11211sin 32θ=⋅⋅⋅⋅⋅，sin 2θ∴= ……………………12分 4πθ∴=或34π． ……………………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人） …………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分（2）（理）当0)()(≥-n g n f 时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⋅-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分当3229≤≤n 时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分（049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当4533≤≤n 时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．解：（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分（2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得002(,2)y B x -…7分 ∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分（3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y ==++ ③ …………………………12分由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅ 可得222111d OC OD =+， ………………………………………………………14分将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y =+=+++2222222222*********()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++，化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．解：（1）n a n =， ………………………………………………………………2分Θ1122n n n n n b b a b +=+=+， ∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--= ∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =，由条件，()0k f x =两根x = 为整数，则k c ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a m x -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+== Θk a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………………18分2016年闵行区高考数学二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念.【参考答案】(1,)+∞【试题分析】依题意可知，10x ->，即1x >，所以函数3log (1)y x =-的定义域为(1,)+∞，故答案为[1,)+∞.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集；方程与代数/不等式/一元二次不等式（组）的解法、含有绝对值的不等式的解法.【参考答案】(2,3)-【试题分析】集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<，所以{|23}A B x x =-<<U ，故答案为(2,3)-.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复数的概念、复数的四则运算.【参考答案】2 【试题分析】复数21i 1(1i)11i 1i 2(1i)(1i)22b b b +++=+=+--+，因为复数的实部与虚部相等，则有112b =，解得2b =，故答案为2. 4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数；方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式.【参考答案】9 【试题分析】函数33log 1()log 221x f x x ==-，令()0f x =，解得9x =.根据互为反函数的两个函数之间的关系可知1(0)9f -=，故答案为9.5.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】3【试题分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，依题意有，3l r =，则圆锥的底面积为2πS r =底，圆锥的侧面积为212π3π2S l r r =⋅⋅=侧，所以圆锥的侧面积与底面积的比为223π3πS r S r==侧底，故答案为3.6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【试题分析】因为(3,0)b =r ，所以||3b =r ，又因为||1a =r ，||a r 与||b r 的夹角为60°，所以3||||cos602a b a b ⋅=⋅=o r r r r .因为222|2|4419a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r ，所以|2|a b +=r r7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.【参考答案】1【试题分析】因为sin sin 3sin A B C +=,所以3a b c +=,又ABC △的周长为4，即4a b c ++=，所以43,1c AB c -===.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理:方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】1【试题分析】6x ⎛+ ⎝的展开式中第r项为3662166C C rr r r r r T x x --+⎛=⋅=，令3632r -=得2r =，所以展开式的第2项为2336C 1515x x =>，1x >，因为x 为等比数列{}n a 的公比，所以121222341+(1)11lim lim =lim +1(1)n nn n n n n n n a a a a x x x a a a xa x x x x -→∞→∞→∞⎛⎫++---=⋅ ⎪ ++---⎭⎝…… =221lim 11n n x x x →∞⎛⎫--= ⎪-⎭⎝. 9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】4【试题分析】因为1m n +=，所以11()()11t t nt m m n t t m n m n m n+=++=+++++≥=211)t ++=，当22m nt =时，取等号，又因为1t m n+的最小值为9，即21)9=，所以4t =，故答案为4.10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质;图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程.【参考答案】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤ 【试题分析】圆2220x y x +-=化为标准方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径为1，所以圆上的点的坐标为(1cos ,sin )θθ+，(02π)θ≤≤,所以圆的参数方程为1cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),故答案为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤. 11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【参考答案】8【试题分析】由圆的标准方程知，圆的圆心在y 轴上且圆心坐标为（0,3），半径为1，因为AB 是圆的任意一条直径，不妨假设AB 是位于y 轴上的一条直径，则1(0,)A y ，2(0,)B y ，所以1212(0,)(0,)OA OB y y y y ==u u u r u u u r g g ，又因为当0x =时，122,4y y ==，所以128OA OB y y ==u u u r u u u r g ，故答案为8.12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标:数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】1【试题分析】曲线1234,,,C C C C 的极坐标方程化为普通方程分别为221x y +=，y =(0)x ≥，2211()24x y -+=，1y =，从四条曲线中随机选取两条，可能的结果及它们的交点个数为：12(,)C C ,1;13(,)C C ,1;14(,)C C ,1;23(,)C C ,1;24(,)C C ,1; 34(,)C C ,1;所以1111116E ξ+++++==. 13.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】12016【试题分析】因为22224032,120162|2016|24032,2017n n an a n S n a n n an a n ⎧-+⎪=+-=⎨+-⎪⎩≤≤≥，所以212(1)2(1)4032,22017(1)2(1)4032,2018n n a n a n S n a n a n -⎧---+⎪=⎨-+--⎪⎩≤≤≥，所以1n n n a S S -=-= 212,22016,4033+2,2017,212,2018n a n a n n a n --⎧⎪=⎨⎪-+⎩≤≤≤,1140301a S a ==+,因为+1n n a a ≤恒成立，所以122016201720172018,,,a a a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤即4030132,403124033+2,4033+240352a a a a a a +-⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≤解得1,20161,2a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≥-，又0a >，所以102016a <≤，故答案为12016. 14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】【试题分析】函数y =[22-，值域为[0,)+∞，联立两函数的方程,y x a y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 得2234210y ay a -+-=，23a y ±=,因为两函数的图像有两个交点，所以222(4)43(21)0,210,4023a a a a ⎧⎪∆=-⨯->⎪-⎨⎪-⎪->⨯⎩≥,解得[22），设1122(,),(,)A x y B x y ，则124=3a y y +,212213a y y -=,22121212121()()()=3a x x y a y a y y a y y a -=--=-++,因为OAB △是锐角三角形，所以1212221121120,0,0,0x x y y OA OB x x x y y y OA BA ⎧+>⎧⋅>⎪⇒⎨⎨-+->⋅>⎪⎩⎩u u u r u u u r u u u r u u u r 即2222320,32332133a a a a ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫-±-⎪ +>⎪⎪⎪ ⎭⎝⎩,解得62333a <<,所以a 的取值范围为623(,)33，故答案为623(,)33. 二、填空题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/不等式的性质及其证明.【正确选项】D【试题分析】选项A 中，若a b ＞＞1，则有11a b＜，所以A 不正确；选项B 中，若0a b ＞＞，且||||a b ＜，则22a b ＜，所以B 不正确；同理选项C 也不正确，选项D 中，函数是R 上的增函数，所以有22a b ＞，所以D 正确，故答案为D.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系;方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件.【正确选项】C【试题分析】因为m ⊥平面α，若l m ⊥，则l α∥或l α⊂，所以充分性不成立，若l α∥，则有l m ⊥，必要性成立，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要不充分条件，故答案为C.17. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系;图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【正确选项】B【试题分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ,11D D A A ∥,所以112,DPD EPD θθ=∠=∠,因为12θθ=，所以1tan tan DPD EPD ∠=∠，即1D D AE AP DP =,因为E 为1A A 的中点，所以2DP AP=,设正方体边长为2，以DA 方向为x 轴，线段DA 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的坐标系，则(1,0),(1,0)D A -,因为2DP AP=，所以2222(1)2(1)x y x y ++=-+，化简得22525()39x y -+=，所以动点P 的轨迹为圆的一部分.第17题图 apnn218.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论述的能力.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质.【正确选项】C【试题分析】函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ个单位得到函数()2sin 2()g x x ϕ=-的图像，则1212|()()|2sin 22sin 2()f x g x x x ϕ-=--1212=4cos()sin())=4x x x x ϕϕ+--++，所以12sin()=1x x ϕ-++，因为12π||6x x -=，所以12π6x x -=±，当12π6x x -=时，πsin()16ϕ-=，22ππ()3k k ϕ=+∈Z ,又因为0πϕ<<，所以2π=3ϕ，同理，可得12π6x x -=-时，π=3ϕ，所以2π3ϕ=或π3，故答案为C. 三、解答题19.（本题满分12分）【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos2cos x x =, ……………………3分解得cos 1x =或1cos 2x =-. ………………………………7分当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==. ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-. ……………11分综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.（2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =-u u u r ,(1,2,0)BD =-u u u r ……3分设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u ur = ………………5分故异面直线PC 与BD所成角为．…7分MHLD1第19题图（1）（2）Θ沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由 PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分 213PAB S DA ∴=⋅⋅△11211sin 32θ=⨯⨯⨯⨯⨯，2sin θ∴= ……………………12分 π4θ∴=或3π4． ……………………………14分 MHLD2第19题图（2）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.【知识内容】（1）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.（2）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.【参考答案】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人）…………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分（2）当()()0f n g n -≥时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⨯-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分当2932n ≤≤时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分（049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当3345n ≤≤时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（3）图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分（2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得002(,2)y B x -………7分 ∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分（3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y ==++ ③ …………………………12分由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅ 可得222111d OC OD=+， ………………………………………………………14分将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y =+=+++2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++，化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列；函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）n a n =， ………………………………………………………………2分Θ1122n n n n n b b a b +=+=+， ∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--= ∴{}n c是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =()0k f x =两根x =为整数，则k c ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a m x -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+== Θk a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………18分。

高三数学第二学期高三质量监测二模文试题

2021-2021学年度第二学期高三质量监测文科数学制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：〔本大题一一共10小题，每一小题5分，满分是50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕１．i 是虚数单位，复数Z 与复平面内的点〔2，-1〕对应，那么复数Zi21-对应的点在〔〕 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限２．α是三角形的一个内角，假设43tan =α，那么=+)4cos(πα〔〕 A ．1027-B ．102-C ．1027 D ．102 ３．假如一个几何体的三视图如下图〔单位长度：cm 〕，那么此几何体的外表积是〔〕 A. 1123cm B.32243cm C. 963cm D. 2243cm４．a 、b 是实数，那么“a>1，b>1〞是“a+b>2且ab>1〞的〔〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条５．函数()f x 满足：当x ≥1时，()f x =)1(-x f ；当x ＜1时，()f x =x2，那么)15(log 2f =A ．1615B ．815C ．415D ．215６．θ为三角形的内角，(cos sin )a θθ=，，(31)b =-，， |2|4a b -=，那么θ=〔〕A ．3π B ．6πC ．56πD ．23π７．等差数列{}n a 的前3项和为15，最后3项和为123，所有项的和是345，这个数列的项数是〔〕A ．13B ．14C ．15D ．16８．当a ＞0时，设命题P ：函数xax x f +=)(在区间〔1，2〕上单调递增；命题Q ：不等式012>++ax x 对任意x ∈R 都成立．假设“P 且Q 〞是真命题，那么实数a 取值范围是〔〕 A ．10≤<aB ．21≤≤aC ．20≤≤aD ．210≥<<a a 或9．定义在R 上的函数()f x 满足以下三个条件：(1)1(3)()f x f x +=-；(2)对任意1236x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；(3)(3)y f x =+的图像关于y 轴对称。

2021年度第二学期高三年级总质量调查数学理试配套精选卷

河西区2021—2021学年度第二学期高三年级总复习质量调查〔一〕数学试卷〔理工类〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150分，考试用时12021。

第一卷1至3页，第二卷4至7页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第一卷考前须知：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．本卷共8小题，每题5分，共40分。

参考公式：·如果事件，互斥，那么·如果事件，相互独立，那么·柱体的体积公式·锥体的体积公式其中表示柱〔锥〕体的底面面积表示柱〔锥〕体的高一选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〔1〕设集合,那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕假设变量满足约束条件,那么的最大值是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔3〕某程序框图如下图,那么该程序运行后输出的值是〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕〔4〕设，那么“〞是“〞的〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔5〕设,，，那么〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕〔6〕以下关于的命题，正确的选项是〔A 〕函数在区间上单调递增〔B 〕直线是函数图象的一条对称轴〔C 〕点是函数图象的的一个对称中心〔D 〕将函数图象向左平移个单位，可得到的图象〔7〕抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，假设双曲线的一条渐近线与直线平行，那么实数的值是〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕〔8〕如图梯形，且 ,，在线段上，，那么的最小值为〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕〔第3题图〕〔第8题图河西区2021—2021学年度第二学期高三年级总复习质量调查〔一〕数学试卷〔理工类〕第二卷考前须知：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

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高三年级第二学期质量调研考试数学试卷（理科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．方程组的增广矩阵为． 2．已知集合，，则集合． 3. 若，且为实数，则实数的值为． 4. 用二分法研究方程的近似解，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数 1 „ 4 5 6 „ 解的范围 „ 若精确到，至少运算次，则的值为． 5．已知是夹角为的两个单位向量，向量若，则实数的值为． 6．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间，样本中净重在区间的产品个数是，则样本中净重在区间的产品个数是． 7. 一个圆锥的底面积为，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为． 8. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线的极坐标方程为，曲线与相交于两点、，则弦长等于 . 9. 设双曲线的左右顶点分别为、，为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线、的斜率分别为、，则的值为． 10. 设的三个内角所对的边长依次为，若的面积为，且，则． 11. 已知随机变量所有的取值为，对应的概率依次为，若随机变量的方差，则的值是． 12. 公差为，各项均为正整数的等差数列中，若，则的最小值等于． 13. 已知的外接圆的圆心为，则． 14．设是定义在上的函数，若，且对任意的，满足二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．二项式展开式中的系数为 ( ) （A）．（B）．（C）．（D）． 16．在中，“ ”是“ 是钝角三角形”的 ( ) （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 17．设函数，则函数的最小值是 ( ) （A）．（B）0．（C）．（D）． 18．给出下列四个命题： ① 如果复数满足，则复数在复平面上所对应点的轨迹是椭圆． ② 设是定义在上的函数，且对任意的，恒成立，则是上的奇函数或偶函数． ③ 已知曲线和两定点，若是上的动点，则． ④ 设定义在上的两个函数、都有最小值，且对任意的，命题“ 或 ”正确，则的最小值为正数或的最小值为正数．上述命题中错误的个数是（）（A）1．（B）2．（C）3．（D）4．

三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．如图，在半径为的半圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点、在直径上，点、在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可： ①设，矩形的面积为，求的表达式，并写出的范围． ②设，矩形的面积为，求的表达式，并写出的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形的面积最大？并求最大面积．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱上，且．（1）求四棱锥的体积；（2）求所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，是上的动点．（1）求的最大值；（2）若平行于的直线在轴上的截距为，直线交椭圆于两个不同点，求证：直线与直线的倾斜角互补．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．已知．（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；（2）当时，若，求的值；（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．如图，过坐标原点作倾斜角为的直线交抛物线于点，过点作倾斜角为的直线交轴于点，交于点；过点作倾斜角为的直线交轴于点，交于点；过点作倾斜角为的直线，交轴于点，交于点；如此下去„„．又设线段的长分别为，的面积分别为数列的前项的和为．（1）求；（2）求，；（3）设，数列的前项和为，对于正整数，若，且，试比较与的大小．

闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一、（第1题至第14题） 1．； 2．； 3．； 4．5.3； 5．； 6．44； 7．； 8．； 9．； 10．； 11．； 12．； 13．； 14．．二、（第15题至第18题） 15．D； 16．A； 17．B； 18．D．三、（第19题至第23题） 19. [解]①由，得，其中 2分所以即， „„„„„„„„„„„„4分 ②连接，则 „„„„„„„„2分所以即． „„„„„„„„4分（2）①由得当即当时，取最大值．„„ 4分此时，当取时，矩形的面积最大，最大面积为．„ 2分 ② ，当且仅当，即时，取最大值．„„4分，当取时，矩形的面积最大，最大面积为．„ 2分 20.[解]（1） „„7分（2）建立如图所示的直角坐标系，则 , , , ， , „„„„„„„„2分设平面的法向量为，则，所以 „„„„„„„„„„„2分平面的法向量为，则所以所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值为．„3分 21. [解]（1）设椭圆的方程为将代入椭圆的方程，得 „„„2分解得，所以椭圆的方程为 „„„„2分设点的坐标为，则．又是上的动点，所以，得，代入上式得，故时，．的最大值为． „„„„„„2分（2）因为直线平行于，且在轴上的截距为，又，所以直线的方程为．由得 „„„„„„2分设、，则．又故．„„„ 2分又，所以上式分子 „„„2分故．所以直线与直线的倾斜角互补．„„„„„„„„„„„„„2分 22. [解]（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数．„„2分 ∵ ，∴ 所以既不是奇函数，也不是偶函数．„„„„„„„„„„„„„„„2分（2）当时，，由得 „„„„„„„„„„„2分即或 „„„„„„„„„2分解得所以或． „„„„„„2分（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，故只需考虑，此时原不等式变为即 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分故又函数在上单调递增，所以；对于函数 ①当时，在上单调递减，，又，所以，此时的取值范围是． „„„„„„„„„„„„„„2分 ②当，在上，，当时，，此时要使存在，必须有即，此时的取值范围是综上，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是；当时，的取值范围是． „„„„„„„„„„„2分 23. [解] （1）如图，由是边长为的等边三角形，得点的坐标为，又在抛物线上，所以，得 „„„„„„2分同理在抛物线上，得 „„„„„„2分（2）如图，法1：点的坐标为，即点，所以直线的方程为或，因此，点的坐标满足消去得，所以又，故从而 „„① „„„„„„„„„„„„„„„„„2分由①有 „„② ②-①得即，又，于是所以是以为首项、为公差的等差数， „„„„2分

， „„„„„„„„2分法2：点的坐标为，即点，所以直线的方程为或因此，点的坐标满足消去得，又，所以，从而 „① „„2分以下各步同法1 法3：点的坐标为，即点，所以，又在抛物线上，得 ,即 „„„„„2分以下各步同法1 （3）因为，所以数列是正项等比数列，且公比，首项，则，，， „„ 2分 = （注意） „„„„„„„„„„ 2分而（注意） „„„„„„„„„ 2分因为，所以 ,又均为正整数，所以与同号，故，所以，．„„„„„„„ 2分（第（3）问只写出正确结论的，给1分）