7.1 点估计
贾俊平《统计学》(第7版)考点归纳和课后习题详解(含考研真题)(第7章 参数估计)【圣才出品】
第7章参数估计7.1 考点归纳【知识框架】【考点提示】（1）置信区间的含义理解（选择题、简答题考点）；（2）估计量的三个评价标准（判断题、填空题、简答题考点）；（3）区间估计的步骤（简答题考点）、总体参数的区间估计选择恰当的统计量（计算题考点）；（4）必要样本容量的影响因素、计算（简答题、计算题考点）。
【核心考点】考点一：参数估计的基本原理1．置信区间（1）置信水平为95%的置信区间的含义：用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值。
（2）置信度愈高（即估计的可靠性愈高），则置信区间相应也愈宽（即估计准确性愈低）。
（3）置信区间的特点：置信区间受样本影响，具有随机性，总体参数的真值是固定的。
一个特定的置信区间“总是包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题。
2．评价估计量的标准（1）无偏性：估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数，即E（θ∧）＝θ。
（2）有效性：估计量的方差尽可能小。
（3）一致性：随着样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计总体的参数。
【提示】本考点常见考查方式：①直接考查置信水平为95%的置信区间的含义；②置信度、估计可靠性、置信区间的关系及应用；③置信区间的特点；④给出估计量的具体含义，判断体现了什么标准；⑤直接回答估计量的三个评价标准及具体含义（简答题）。
考点二：一个总体参数的区间估计表7-1 一个总体参数的区间估计【总结】一个总体参数的估计及所使用的分布见图7-1：图7-1 一个总体参数的估计及所使用的分布【真题精选】设总体X～N（μ，σ2），σ2已知，样本容量和置信水平固定，对不同的样本观测值，μ的置信区间的长度（）。
[对外经济贸易大学2018研]A．变长B ．变短C ．保持不变D ．不能确定 【答案】C【解析】在正态总体方差已知的条件下，μ的置信区间为/2x z ±ασ所以置信区间长度为/22Z α，当样本容量和置信水平固定时，置信区间长度保持不变。
概率论与数理统计教案
重点: 随机变量独立性的概念及应用，用图形定限法和分布函数法求两个独立随 机变量和的分布. 难点: 随机变量独立性的理解及应用，两个独立随机变量和的概率分布的确定.
概率统计练习题第 3 章习题
南通大学理学院教案
周 次 第 周， 第 9 次课 4.2 方差 板书结合多媒体 年 月 日
章节名称 授课方式 课堂讲授
教学目的及要求 主要教学内容 重点与难点 练习与作业 参考资料
1． 切比雪夫(Chebyshev)不等式， 切比雪夫(Chebyshev)大数定律和伯努利(Bernoulli) 大数定律； 2．独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯(De Moivre-Laplace)中心极限 定理； 3．棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理在实际问题中的应用.
章节名称 授课方式 课堂讲授
1.4 条件概率 教学时数 3
教学目的及要求 主要教学内容 重点与难点 练习与作业 参考资料
1． 了解条件概率的概念， 掌握概率的乘法公式、 全概率公式， 会应用贝叶斯(Bayes) 公式解决比较简单的问题； 2.理解事件的独立性概念，熟练掌握独立事件的乘法公式.
1.条件概率； 2.计算概率的五大公式之: 乘法公式，全概率公式，Bayes 公式； 3.事件独立性的概念.
重点: 事件的表示；概率的性质. 难点: 复杂事件的表示与分解.
概率统计练习题第 1 章习题
南通大学理学院教案
周 次 第 周， 第 2 次课 1.3 古典概型与几何概型 课堂讲授 教学时数 3 教学手段 板书结合多媒体 年 月 日
章节名称 授课方式
教学目的及要求 主要教学内容 重点与难点 练习与作业 参考资料
章节名称 授课方式
教学手段
教学目的及要求 主要教学内容 重点与难点 练习与作业 参考资料
概率论与数理统计第7章
x 0 , x 0 ,x 1 ,x 2 ,
,x n 为 总 体 X
的 一 个 样 本 ,则 未 知 参 数 的 矩 估 计 ˆ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
这个例子所作的推断已经体现了极大似然法 的基本思想 .
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样 本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为
f (x1,x2,… ,xn ; ) .
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L() f (x1, x2 ,…, xn; )
得
pˆ1Βιβλιοθήκη nn i 1xix
即为 p 的最大似然估计值 .
从而 p 的最大似然估计量为
p ˆ(X1,
1n ,Xn)ni1Xi X
求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布率(或联 合密度);
(2) 把样本联合分布率 ( 或联合密度 ) 中自变
量看成已知常数,而把参数 看作自变量,得到似然 函数L();
要求：领会
2.2 估计量的有效性、相合性， 要求：领会
3.区间估计
3.1 置信区间的概念，
要求：领会
3.2 求单个正态总体均值和方差的置信区间，要求：简单应用
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体 的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
1 p
n
pxi (1p)1xi
i1
n
n
xi
n xi
pi1 (1p) i1
n
n
xi
n xi
L(p)pi1 (1p) i1
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
点估计方法——精选推荐
其次知估计法的前提要求用到的各阶知存在且有限， 但有的分布，如柯西分布，任何阶都不存在，那就不 能用知估计法了。
7.1.2 极大似然估计法
从理论上来说，极大似然估计法是最重要的点估计方 法，它利用样本的联合分布密度(或联合分布律)中提 供的样本取值与分布中参数的关系，去求参数的点估 计，从而使估计量具有许多优良性。
(1) 待估参数为总体原点矩 α1,α2 ,Lαl 。则令
∑ αk
=
Ak
=
1 n
n
ξik ,
i=1
k
= 1, 2,L,l
(2) 待估参数为分布中θ1,θ2 ,L,θk ，先用总体ξ 前k阶
原点矩α1,α2 ,L,αk 把未知参数 θ1,θ2 ,L,θk 表示出来，
不妨记成
⎧ ⎪ ⎨
θ1 = g1(α1,L,αk )
之为参数 θ1,θ2 ,L,θk 的估计量，记成
θˆi = Ti (ξ1,ξ2 ,L,ξn ), i = 1, 2,L, k
估计值：设样本的观察值为 x1, x2 ,L xn ，将它们代入 估计量Ti 就得到k个数Ti (x1, x2 ,L, xn ) = ti , i = 1, 2,L, k 称 t1,t2 ,Ltk 为估计量的值（或称估计值） 以后把估计量和估计值统称为估计
离散情形的一般描述 若总体为离散型随机变量，分布律为
P{ξ = x) = P{x;θ1,Lθk ) 其中θ1,Lθk为未知参数，设样本 ξ1,ξ2,Lξn 的观察值
为 x1, x2,L, xn ，样本的联合分布律为
n
L(θ1,θ2,Lθk ) = P{ξ1 = x1,L,ξn = xn} = ∏ P{ξi = xi ;θ1,L,θk }
第七章 参数估计
第七章 参数估计
1、正态总体、方差已知或非正态总体，大样本 当总体服从正态分布且方差已知时，或者总体不是正态分布但是大样本时，样本 均值的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值u，方差为Ϭ2/n。而样本均 值经过标准化以后的随机变量则服从标准正态分布，即 Z=(x-u)/(Ϭ/n0.5)~N(0,1) 根据上式和正态分布的性质可以得出总体均值u在1-α置信水平下的置信区间为： xα+是(-)事Z(α先/2)所(Ϭ确/n定0.5的)。而其一中个，概x率+Z值(α/2，) (Ϭ也/n称0.为5)为风置险信值上，限是，总x体-Z均(α/2值) (Ϭ不/包n0.含5)为在置置信信下区限间，的 概是率估；计1总- 体α称均为值置时信的水估平计，误Z差(α/。2) 是标准正态分布右侧面积为α/2的z值；Z(α/2) (Ϭ/n0.5) 也即是说，总体均值的置信区间由两个部分构成：点估计值和描述估计量精度的 +(-)值，这个+(-)值称为估计误差。
第七章 参数估计
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
其中，区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。
由于统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名 为置信区间。原因是：如果抽取了许多不同的样本，比如说抽取100个样本，根据 每一个样本构造了一个置信区间，这样，由100个样本构造的总体参数的100个置 信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真值，而5%则没有包含，则95%这个值 称为置信水平。一般，如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总 体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，也称为置信度或置信系数。
自然使用估计效果最好的那种估计量。什么样的估计量才算一个好的估计量呢？ 统计学家给出了评价估计量的一些标准，主要包括以下几个：
概率第7章 参数估计
Gauss
Fisher
基本思想
甲.乙两人比较射击技术,分别射击目标一次,甲中而乙未中, 可以认为:甲射击技术优于乙射击技术. 事件A发生的概率为0.1或0.9,观察一次,事件A发生了, 可以认为:事件A发生的概率为0.9. 实际问题(医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量 检验等)尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律,即在 获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观 察结果出现的可能性最大. 最大似然估计就是通过样本值 x1 , , x n 等数求得总体的 分布参数,使得 X1 ,, X n 取值为 x1 , , x n 的概率最大.
i
L( ) L( x1 , , x n ; ) f ( x i ; ),
i 1
n
的最大值，这里 ( )称为样本的似然函数 L .
ˆ 若 L( x 1 , , x n ; ) max L( x 1 , , x n ; )
ˆ 则称 ( x1 , , xn )为 的极大似然估计值 .
i
xi
在得到观测值 x1 ， x 2 ， ， x n 的前提下，自然 应当选取使得 n
f ( x ; )dx
i i 1
i
达到最大的 值作为未知参数 的估计值．
因为当未知参数 等于这个值时，出现给 定的那个 样本观测值的可能性最 大．
但 dxi 不随 而变，故只需考虑：
3.期望和方差的点估计 在实际中,常常以样本均值作为总体均值的 点估计,以样本方差作为总体方差的点估计. 期望的点估计: (1)无偏性 1 n 选择估计量 X X i n i 1 (2)样本容量越大,估计值 越有效 方差的点估计:
贾俊平统计学第七章 参数估计_09
7-1
第 7 章 参数估计
7.1 参数估计的一般问题 7.2 一个总体参数的区间估计 7.3 两个总体参数的区间估计 7.4 样本容量的确定
7-2
学习目标
1. 估计量与估计值的概念 2. 点估计与区间估计的区别 3. 评价估计量优良性的标准 4. 一个总体参数的区间估计方法 5. 两个总体参数的区间估计方法 6. 样本容量的确定方法
该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区
7-23
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
符号表示
2
样本统计量
X P S2
7-24
总体均值的区间估计
(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)
7-25
总体均值的区间估计
(大样本)
1. 假定条件
– 总体服从正态分布,且方差(２) 已知 – 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
– 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值 的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参 数真值的区间中的一个
7-16
置信区间与置信水平
均值的抽样分布
x
/2
1-
/2
X
x
(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含
7-17
影响区间宽度的因素
1. 总体数据的离散程度，用 来测度
112.5 102.6 100.0 116.6 136.8
25袋食品的重量
101.0 103.0 102.0
107.5 95.0 108.8
123.5 102.0 101.6
95.4
97.8 108.6
102.8 101.5 98.4
第56讲 矩估计法(2)
§7.1 点估计矩估计法(2)百度传课两个未知参数的例题得 μ 1 =h (θ, λ)， μ2=g (θ, λ)然后解出 θ = φ(μ1, μ2)， λ =ψ(μ1, μ2) 最后用样本一阶矩(即样本均值) A 1和样本二 阶矩 A 2 代替 μ 1 和 μ 2 ，得 θ 和 λ 的矩估计量百度传课 如果有两个未知参数 θ 和λ ，则需求出总体X 的一阶矩(数学期望) μ1= E (X )和二阶矩 μ 2 = E (X 2) =D (X )+[E (X )]2例4设总体X 的均值μ且方差σ2>0 都存课在，但它们均未知。
设X1, X2, …,X n 是来自总体X 的样本，试求μ和σ 2 的矩估计量。
解总体X 的一阶和二阶矩为课例5 设使用仪器对一批零件的尺寸进行了12次独立的测量，测量数据（单位：mm）如下：120.50120.54120.15120.41120.31121.02 120.14121.21120.87121.01120.10120.43试用矩估计法估计总体的均值和方差。
解总体均值和方差的矩估计值分别为百度传课例6 (均匀分布的参数估计)设总体X 在区间[a, b]上服从均匀分布,a, b 为未知参数。
X1, X2, …,X n 是来自总体X的样本，试求a, b 的矩估计量。
课 设总体 X 在区间[a , b ]上服从均匀分布,a , b 为未知参数。
X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的样 本，试求 a , b 的矩估计量。
解 未知参数是区间端点先求总体X 的一阶矩(数学期望)和二阶矩。
2 2 12 1 a +b = (b -a ) +( ) 22 = E (X ) = 1 (a +b ) = E (X 2 ) = D (X ) +[E (X )]2解出待估参数a 和b：四川大学徐小湛百度传课得 a 和 b 的矩估计量：a ˆ = A - 3(A - A 2) 1 2 1 1 b ˆ = A + 3( A - A 2)2 1其中 1nin A 1 = X = ∑ i =12 1 n2iX n X A = ∑ i =1四川大学 徐小湛最后用样本一阶矩 A 1 (样本均值)和样本二阶矩 A 2 分别代替总体一阶矩μ1 和总体二阶矩 μ2，百度传课若有样本观察值 x 1, x 2, …, x n ， 则 a 和 b 的矩估计值为：in i =1a ˆ = x - (x - x )2n3 ∑ 3 ˆ n2 i n i =1b = x + (x - x ) ∑ 百度传课0.90 0.49 0.050.50 0.27 0.46 0.56 0.70 0.40 0.56ˆ 例如，容量为10的样本值： a ˆ = 0.1123用以上公式计算，得b = 0.8657百度传课0.90 0.49 0.050.50 0.27 0.46 0.56 0.70 0.40 0.56a ˆ = 0.1123b ˆ = 0.8657[a ˆ, b ˆ] = [0.1123, 0.8657]并没有包含所有样本值？若有样本观察值， 则 a 和 b 的矩估计值为四川大学 徐小湛。
定时截尾寿命实验与定数截尾实验下的最大似然估计法
长，由于时间和财力的限制，我们不可能得到完全样本，于是就考虑截尾寿命试验.
常用的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ种截尾寿命试验：
一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时同时投入试
验，试验进行到事先规定的截尾时间 t0 停止.如试验截止时共有 m 个产品失效，它们
的失效时间分别为
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ L ≤ tm ≤ t0 ,
应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的一个样本值，则似然函数为
n
n
∏ L( p) =
n
p xi (1 −
p)1− xi
=
∑ xi p i=1 (1 −
∑ n− xi p) i=1 ,
i =1
n
n
∑ ∑ 于是 ln L( p) = xi ln p + (n − xi ) ln(1 − p) .
考虑函数
n
∏ f (xi ;θ ) dxi
i =1
n
∏ L(θ ) = L( x1, x2 ,L, xn ;θ ) = f (xi ;θ ) i =1
同样称 L(θ ) 为样本的似然函数.
最大似然估计法的方法:
固 定 样 本 观 察 值 x1, x2 ,L, xn ， 在 θ 取 值 的 可 能 范 围 内 Θ 挑 选 使 似 然 函 数
这一概率随θ 的取值而变化，它是θ 的函数，称 L(θ ) 为样本的似然函数.