5北京市数学会考试题分类汇编-指对幂函数

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指数函数幂函数对数函数增长的比较高一数学总结练习含答案北京海淀

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较在区间(0,+∞)上,尽管指数函数y=a x(a>1),幂函数y=xα(α>0)和对数函数y=logax(a>1)都是增函数,但它们的函数值的增长①不同,随着x的增大,函数y=a x(a>1)与y=xα(α>0)的函数值的增长速度越来②,而且函数y=a x(a>1)的函数值的增长速度会远远大于函数y=xα(α>0)的函数值的增长速度,而函数y=loga x(a>1)的函数值的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x,当x>x时,有logax<xα<a x.根据函数模型的不同增长规律判断实际问题的操作方法1.(2014河北唐山模拟,★☆☆)某林场计划第一年造林10 000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( )A.14 400亩B.172 800亩C.17 280亩D.20 736亩思路点拨指数增长模型.2.(高考预测,★☆☆)某人2014年1月1日到银行存入一年期存款a元,若年利率为x,并按复利计算,到2019年1月1日可取款(不计利息税)( )A.a(1+x)5元B.a(1+x)6元C.a(1+x5)元D.a(1+x6)元思路点拨指数增长模型.一、选择题1.某山区绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,若原来绿色植被的面积为1,那么,经过x年,绿色植被的面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图像为( )2.某新产品电视投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100二、填空题3.若a>1,n>0,那么当x足够大时,a x,x n,logax的大小关系是.三、解答题4.比较函数y=x 23,y=2x-6,y=log2x+1在(1,+∞)上的增长变化情况.一、选择题1.(2015甘肃天水一中期中,★☆☆)在下列函数中,随着x的增大,函数值增长最快的是( )A.y=50B.y=1 000xC.y=lg xD.y=e x2.(2015黑龙江哈尔滨六中期末,★☆☆)已知集合A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=(12)x,x>1},则A∩B=()A.{y|0<y<12}B.{y|0<y<1}C.{y|12<y<1} D.⌀3.(2015广东东莞三校联考,★★☆)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a -x 与y=log a x 的图像是( )4.(2015山东兖州期中,★★☆)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增加110.4%,那么经过x 年可增长到原来的y 倍,则函数y=f(x)的图像大致是( )5.(2015辽宁大连二十中期中,★★☆)下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( ) A.y=2-x B.y=x 2-4x C.y=x 32D.y=-log 2x6.(2014广东六校联考,★★☆)若x∈(0,1),则下列结论正确的是( ) A.lg x>x 12>2x B.2x>lg x>x 12C.x 12>2x>lg x D.2x>x 12>lg x7.(2013山东德州模拟,★☆☆)已知函数f(x)=x-ln |x |x ,则函数f(x)的大致图像为( )二、填空题8.(2015福建泉州一中期中,★★☆)已知函数f(x)=x 2+m,g(x)=(12)x-m,若对任意的x 1∈[-1,3],均存在x 2∈[0,2],使得f(x 1)≥g(x 2),则实数m 的取值范围是 .9.(2013山东聊城模拟,★☆☆)地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R=23(lg E-11.4).那么8.0级地震的能量是6.0级地震能量的倍.知识清单①速度②越快链接高考1.C 依题意知,第四年造林10 000×(1+20%)3=10 000×1.23=10 000×1.728=17 280(亩).2.A 2015年1月1日可取款a(1+x)元,2016年1月1日可取款a(1+x)2元,依次类推,2019年1月1日可取款a(1+x)5元.基础过关一、选择题1.D 由题意知该函数为,y=1.104x,其大致图像为D.2.C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据,易知只有C选项比较接近.二、填空题3.答案a x>x n>logax解析由题意知指数函数y=a x(a>1)增长最快,对数函数y=logax(a>1)增长最慢,故当x足够大时,a x>x n>logax.三、解答题4.解析如图,在同一坐标系中分别画出函数y=x 23,y=2x-6,y=log2x+1的大致图像.可以看出:当1<x<8时,log2x+1>x23>2x-6;当x=8时,log2x=x23=2x-6;当x>8时,2x-6>x23>log2x+1.三年模拟一、选择题1.D 在当前所学过的增函数中,指数函数的函数值是增长最快的,故选D.2.A ∵x>1,∴log2x>log21=0,∴A={y|y>0}.∵x>1,∴0<(12)x<12,∴B={y|0<y<12}.∴A∩B={y|0<y<12}.故A正确.3.A 对于函数y=a -x,∵a>1,∴0<1a <1,∴函数y=a -x=(1a )x在R 上是递减的;对于函数y=log a x,∵a>1,∴函数y=log a x 在(0,+∞)上是递增的.结合各选项知,A 正确.4.D 由已知得,y=(1+1.104)x =2.104x (x≥0),由指数函数的图像特征知,选D.5.C A 选项,函数y=2-x=(12)x,该函数在(0,2)上单调递减,故A 错误;B 选项,函数y=x 2-4x=(x-2)2-4,该函数在(0,2)上单调递减,故B 错误;C 选项,函数y=x 32在(0,2)上单调递增,故C 正确;D 选项,函数y=-log 2x 在(0,2)上单调递减,故D 错误.所以答案为C.6.D 当x∈(0,1)时,2x∈(1,2),x 12∈(0,1),lg x∈(-∞,0),所以2x>x 12>lg x.7.A 函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).当0<x<1时,f(x)=x-lnxx 2>0,排除选项C 、D.函数f(x)不是奇函数,排除选项B.故选A. 二、填空题 8.答案 m≥18解析易知函数f(x)=x 2+m 在区间[-1,3]上的最小值为m,函数g(x)=(12)x-m 在区间[0,2]上的最小值为14-m.由题意可得,m≥14-m,解得m≥18. 9.答案 1 000解析由R=23(lg E-11.4),得E=103R2+11.4,由题意设R 1=8.0,R 2=6.0,则E 1E 2=103R12+11.4103R 22+11.4=103×(8-6)2=1 000.则8.0级地震的能量是6.0级地震能量的1 000 倍.。

北京市各区县2014-2015学年高一上学期期末试题分类汇编——幂指对

2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——幂指对（2015年1月·西城期末·2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____．12（2015年1月·延庆期末·7．函数()log 21a y x =++的图像过定点 A ． ()2,1- B ．()2,1 C ． ()1,1-D ．)1,1(（2015年1月·东城期末·13. 求值：⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．278（2015年1月·顺义期末·10．函数y =_____[1,)+∞_______ .（2015年1月·顺义期末·9．函数()f x =的定义域为 (]0,3 .（2015年1月·顺义期末·11．2lg 2lg 25+的值等于 2 .（2015年1月·石景山期末·2.下列算式正确的是 ( )A ．222log (3)log 3log ππ=+B 2==-C ．lg 62lg3= D ． 3322555-==（2015年1月·石景山期末·13. 若函数()f x 的图象与2x y =的图象关于___y 轴_____对称，则函数()f x =__2x -__.（注：填上你认为正确的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）（2015年1月·昌平期末·3）已知函数2()log f x x =，当[1,4]x ∈时，函数()f x 的值域是（A ）[0,1] （B ）[0,2] （C ）[1,2] （D ）[1,4] （2015年1月·昌平期末·9）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23x f x x k =-+（k 为常数），则(1)f -= （A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）1-（2015年1月·昌平期末·10）设正数a ，b 满足23log log a b =，则下列结论中，不可能．．．成立的是（A ）1a b << （B ）01b a <<< （C ）a b = （D ）1b a << （2015年1月·昌平期末·11）函数()f x x α=的图象过点(2,4)，则(1)f -=_____ . 1（2015年1月·石景山期末·14. 三个变量123,,y y y 随x 的变化情况如下表：三个变量123,,y y y 中，变量___3y ____随x 呈对数函数型变化，变量__2y _____随x 呈指数函数型变化，变量___1y ____随x 呈幂函数变化.（2015年1月·丰台期末·9.已知变量y 随变量x 变化的数据如下表：则能基本反映这一变化规律的函数模型是（） A ． x y 2=B ．2x y =C ．x y 2log =D ．137.0--=x y（2015年1月·延庆期末·13．不等式212>x的解集为____ ___.),1(+∞-（2015年1月·密云期末·6. 函数log =a y x （0>a 且1≠a ）的图象经过点)1,2(-，函数=xy b （0>b 且1≠b ）的图象经过点)2,1(，则下列关系式中正确的是 A ． 22b a >B ． ba 22>C ． b a )21()21(> D ． 2121b a >（2015年1月·顺义期末·11．已知 4.10.9m =，0.94.1n =，0.9log 4.1p =，则这三个数从小到大用“<”连接的顺序是p m n <<_______________ .（2015年1月·昌平期末·4）设 2.50 2.51(),(2.5),22a b c ===，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >> （D ）b c a >> （2015年1月·东城期末·6.设2log πa =，12log πb =，2πc -=，则A ．a b c >> B. b a c >> C. a c b >>D. c b a >>（2015年1月·房山期末·6）设3log 2a =，0.3eb =，8cos7c π=，则（A ）b a c << （B ）b c a << （C ）c a b <<（D ）c b a <<（2015年1月·丰台期末·6．已知3π=m ，3log π=n ，πtan =p ，则这三个数的大小关系是（）A ．p n m >>B ．m p n >>C ． n m p >>D ．n m p >>（2015年1月·海淀期末·7．设10.52,e ,0.5a b c -===，其中e 2.71828≈，则,,a b c 的大小顺序为 DA.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.b c a >>（2015年1月·延庆期末·17．已知3.0222,3.0log ,3.0===c b a ，则c b a ,,大小关系是_____ __. b a c >>（2015年1月·昌平期末·7）定义运算,,,,a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩则函数()12xf x =⊕的图象是（A ）（B ）（C ）（D ）（2015年1月·海淀期末·9.已知函数()f x ax b =+的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象可能是 BA. B. C. D.（2015年1月·海淀期末·12.右图中有五个函数的图象，依据图象用“<”表示出以下五个量,,,,1a b c d 的大小关系，正确的是 CA. 1a c b d <<<<B. 1a d c b <<<<2xxC. 1a c b d <<<<D. 1a c d b <<<<（2015年1月·东城期末·5. 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )A B C D（2015年1月·房山期末·14）已知()f x =ln , 0,2,0,x x x x >⎧⎨+⎩≤ 若0()0f x =，则0x =__________．2-或1（2015年1月·西城期末·3．函数2lg ,0,()4,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩的零点是_____．2-，1；（2015年1月·房山期末·15）如果函数()f x 的定义域为R ，(2)(1)()f x f x f x +=+-，若(3)lg3lg 2f =-， (2)lg3lg5f =+，则(1)f（2015年1月·丰台期末·10．已知函数22(),1()3(1),1xx x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨⎪->⎩，则()f x 在区间(,2015)-∞内的零点个数为（） A ．2015B ．2016C ．2017D ．无数个（2015年1月·密云期末·12. 已知函数21,(01),()2,(10),x x x f x x ⎧+<≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩且5()4f m =，则m 的值为 . 12（2015年1月·顺义期末·14.定义在R 上的函数()f x 满足2,(0()(1)(2),(0)x x f x f x f x x ⎧≤=⎨--->⎩.则(2015)________.f = 12（2015年1月·顺义期末·5.函数131()3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点一定位于下列的哪个区间A. (-1,0)B. (0,1)C. (1, 2)D. (2, 3)（2015年1月·延庆期末·12．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递增，若实数a 满足)1(2)(log )(log 212f a f a f ≤+，则a 的取值范围是A ．]221[ B ． ]2,1[ C ． )21,0(D ．]2,0(（2015年1月·石景山期末·10．设函数()log (2)a f x x a =-+在区间(1,)+∞上恒为正值，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(0,1)(1,2)⋃D ． 5(1,)2（2015年1月·延庆期末·19．（本题8分）求下列各式的植：（Ⅰ）0323321)12(])2[(2)41(-+-⨯+-；（Ⅱ）2lg 31025lg 4lg 27log +++ . 解：解：（Ⅰ）原式148121+⨯+=2=. ………………………………4分（Ⅱ）原式2100lg 3log 33++=7223=++=. …………………8分（2015年1月·密云期末·15. （本小题满分13分）已知函数2()1+log 1=--（）f x x . （I ）求函数()f x 的定义域；（II ）求(5)f 的值；（III ）求函数()f x 的零点.解：（I ）由题：10x ->, ----------------2分1.x ∴>∴函数()f x 的定义域{}1x x >. ----------------4分（II ）2(5)1log (51)121f =-+-=-+= ----------------8分（III ）令2()1+log 1=--（）=0f x x ， 2log (1) 1.x ∴-=1 2.x ∴-=3.x ∴=∴函数()f x 的零点为3. ----------------13分（2015年1月·西城期末·7．（本小题满分10分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数．（Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．（Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数；【 1分】证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->，则 212121()()(22)(33)x x x xy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->，所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】（Ⅱ）解：由(1)()2230xxf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*）【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->，解得32log ()2ax b>-. 【 8分】② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xab-<，解得32log ()2ax b<-.【10分】（2015年1月·东城期末·19．（本题满分9分）已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. （Ⅰ）证明:)(x f 是R 上的偶函数；（Ⅱ）判断)(x f 在(0,)+∞上的单调性，并证明. 19．（本题满分9分）解：（Ⅰ）因为函数)(x f 的定义域是R ，且()e e x x f x --=+=)(x f ，所以)(x f 是偶函数. （Ⅱ）)(x f 在(0,)+∞上是单调递增函数. 设210x x <<，则112212()()()x x x x f x f x e e e e ---=+-+=1212(e -e )(1)x xx x e---.由210x x <<，得12e <e xx，所以12e -e0xx <.又由210x x <<得210x x --<，所以121x x e--<，所以1210x x e --->.所以，12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <.所以，)(x f 在(0,)+∞上是单调递增函数. （2015年1月·房山期末·21）（本小题满分12分）已知函数()log (21)x a f x =-（0a >，1a ≠）．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）当1a >时，判断函数()f x 的单调性,并用单调性的定义证明；（Ⅲ）若()1f x >，求x 的取值范围．解：（Ⅰ）由()log (21)x a f x =-，要使函数有意义，则210x-> -----------------2分解得0x >. -----------------2分 ∴函数()f x 的定义域为(0,)+∞ -----------------1分（Ⅱ）当1a >时，函数()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增 -----------------1分证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，设12x x <，则22112121log (21)log (21)log 21x x x a a a x y y y -∆=-=---=-210x x >>，21221x x ∴>>，即2121210x x->->.∴2121121x x->- 又1a >，所以2121log 021x a x->-，即0y ∆> -----------------2分因此，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.（Ⅲ）由()log (21)1x a f x =->得 ()log (21)log x a a f x a =->当1a >时，得21xa ->，解得2log (1)x a >+ -----------------2分当01a <<时，得21xa -<，解得20log (1)x a <<+ -----------------2分综上，当1a >时，x 的取值范围为2(log (1),)a ++∞，当01a <<时，x 的取值范围为2(0,log (1))a +.（2015年1月·丰台期末·17.（本小题满分8分）已知对数函数()f x 图象经过点()3,8 （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若()1f x >,求x 的范围.解：（Ⅰ）设()x x f a log =（其中0>a 且1≠a ）因为函数()x f 图象经过点()3,8，有()38=f 即38log =a 得2=a所以此函数的解析式为()x x f 2l o g = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄４分（Ⅱ）由()1>x f 即2log 1log 22=>x ，解得2>x 所以x 的范围是()+∞,2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分（2015年1月·丰台期末·20. （本小题满分9分）已知函数2()21x f x a =-+（Ⅰ）求出函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若()f x 是奇函数，求实数a 的值；（Ⅲ）设()(41)()(0)x g x f x x =-≥，且函数()g x 的最小值为21-，求实数a 的值. 解：（Ⅰ）()x f 的定义域为R ┄┄┄┄┄┄┄┄┄２分（Ⅱ）因为()x f 是奇函数，则 ()()x f x f -=-即⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--122122xx a a 于是212221221221222=+++⨯=+++=-x x x x xa 得1=a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分（或由()x f 的定义域为R ，又()x f 是奇函数，则 ()()00f f -=得()00=f 于是01220=+-a 得1=a ，此时()()x f x f -=-满足条件，所以1=a ）（3）由()()()()2222142+-⨯-=-=a a x f x g xxx ()0≥x设()12≥=t t x ，令()222+--=a t at t h当0=a 时，()()122≥+-=t t t h ，无最小值，舍；当0<a 时，()2112+--⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a t a t h ，无最小值，舍；当0>a 时，()2112+--⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a t a t h若1≥a 即110≤<a，()t h 在[)+∞,1单调递增，()()01min ==h t h 不符合舍若10≤<a 即11≥a ，()21211min -=+--=⎪⎭⎫⎝⎛=a a a h t h 即02522=+-a a 解得2=a （舍）或21=a 综上，a 值为21┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分。

指数函数、对数函数、幂函数练习题大全(标准答案)

一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是（）A ．7177)(m n mn =B ．3339=C ．43433)(y x y x +=+D ．31243)3(-=-2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 9-B ．a -C ．a 6D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x，则下列等式中不正确．．．的是（）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)]([+∈=N n y f x f xy f nnn4．函数210)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或 5．若指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（）A ．215+ B ．215- C ．215± D ．251± 6．方程)10(2||<<=a x ax 的解的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 0个或1个 7．函数||2)(x x f -=的值域是（）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数10．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（）A ．]1,(--∞B ．),2[+∞C ．]2,21[D ．]21,1[- 二、填空题（每小题4分，共计28分）11．已知0.622,0.6a b ==，则实数a b 、的大小关系为．12．不用计算器计算：48373271021.097203225.0+-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--π=__________________． 13．不等式x x 283312--<⎪⎭⎫ ⎝⎛的解集是__________________________．14．已知{}2,1,0,1,2,3n ∈--，若11()()25n n ->-，则=n ___________．15．不等式2221212-++⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛a x axx 恒成立，则a 的取值范围是．16．定义运算：⎩⎨⎧>≤=⊗)()(b a b b a a b a ，则函数()xx x f -⊗=22的值域为_________________17.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月)的关系:ty a =,有以下叙述:① 这个指数函数的底数是2；② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ； ③ 浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月； ④ 浮萍每个月增加的面积都相等；⑤ 若浮萍蔓延到22m 、23m 、26m 所经过的时间分别为1t 、2t 、3t ，则123t t t +=. 其中正确的是．三、解答题：（10+10+12=32分）18．已知17a a -+=，求下列各式的值: （1）33221122a a a a----；（2）1122a a-+；（3）22(1)a a a -->.19.已知函数)1(122>-+=a a ay x x在区间[－1，1]上的最大值是14，求a 的值.20.（1）已知m x f x+-=132)(是奇函数，求常数m 的值；t/月2 3（2）画出函数|13|-=xy 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|31|x k -=无解？有一解？有两解？一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1y a a ax m n x+==-则等于（）A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n -4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（） A 、lg5lg7B 、lg35C 、35 D 、351 5、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（）A 、13 B C D 6、函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称7、函数(21)log x y -= ）A 、()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8、函数212log (617)y x x =-+的值域是（）A 、RB 、[)8,+∞C 、(),3-∞-D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（）A 、 1 m n >>B 、1n m >>C 、01n m <<<D 、01m n <<< 10、2log 13a <，则a 的取值范围是（） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、下列函数中，在()0,2上为增函数的是（）A 、12log (1)y x =+B 、2log y =C 、21log y x =D 、2log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（）A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在(),0-∞上是减少的二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若2log 2,log 3,m na a m n a+===。

幂函数考试题及答案

幂函数考试题及答案
1. 幂函数的定义是什么？
答案：幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a为实数。

2. 幂函数y=x^2的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^2的图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为y轴。

3. 幂函数y=x^3的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^3的图像是一个通过原点的曲线，且在第一象限和
第三象限内单调递增。

4. 幂函数y=x^(-1)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(-1)的图像是双曲线的一支，位于第一象限和第三
象限，且在每个象限内单调递减。

5. 幂函数y=x^(1/2)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(1/2)的图像是抛物线的一部分，仅存在于第一象限，且在第一象限内单调递增。

6. 幂函数y=x^(-2)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(-2)的图像是双曲线的一支，位于第一象限和第二
象限，且在每个象限内单调递减。

7. 幂函数y=x^a在a>0时的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^a在a>0时，图像在第一象限内单调递增，且随着x 的增大，y值也增大。

8. 幂函数y=x^a在a<0时的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^a在a<0时，图像在第一象限内单调递减，且随着x 的增大，y值减小。

9. 幂函数y=x^a在a=0时的图像是什么？
答案：幂函数y=x^a在a=0时，图像是一条平行于x轴的直线，y=1。

10. 幂函数y=x^a在a=1时的图像是什么？
答案：幂函数y=x^a在a=1时，图像是一条经过原点的直线，y=x。

专题幂、指数、对数函数(七大题型)(解析版)

专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b 1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b 0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a 1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a 0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。

2023北京高三一模数学汇编：指数函数、对数函数与幂函数章节综合

2023北京高三一模数学汇编指数函数、对数函数与幂函数章节综合1．（2023·北京房山·统考一模）已知函数()f x 同时满足以下两个条件：①对任意实数x ，都有()()0f x f x +−=；②对任意实数12,x x ，当120x x +≠时，都有()()12120f x f x x x +<+.则函数()f x 的解析式可能为（） A ．()2f x x =B ．()2f x x =−C ．()2x f x =D ．()2x f x =−2．（2023·北京房山·统考一模）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()e KtS t S =描述血氧饱和度()S t 随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数.已知060%S =，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据：ln 2069ln 3110≈≈．，．） A ．0.3 B ．0.5 C ．0.7 D ．0.93．（2023·北京西城·统考一模）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(km /s)v 和燃料的质量(kg)M 以及火箭（除燃料外）的质量(kg)N 间的关系为2ln (1)Mv N=+．若火箭的最大速度为12km /s ，则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：e 2.71828=）A ．200B ．400C ．600D ．8004．（2023·北京东城·统考一模）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N 的值为（）A ．13B ．14C ．15D ．165．（2023·北京西城·统考一模）设c ∈R ，函数,0,()22,0.xx c x f x c x −≥⎧=⎨−<⎩ 若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．{0}[1,)+∞ C ．1(0,)2D ．1{0}[,)2+∞6．（2023·北京丰台·统考一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则()2f −=（） A ．1−B ．0C ．1D ．27．（2023·北京石景山·统考一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（） A ．()sin f x x =B ．()2xf x =C ．()3f x x x =+D ．()()1e e 2x x f x −=− 8．（2023·北京顺义·统考一模）函数()e e x x f x −=−的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．9．（2023·北京顺义·统考一模）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数．为测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流50A I =时，放电时间5h t =．若计算时取lg 20.3≈，则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（）A ．1.67B ．1.5C ．2.5D ．0.410．（2023·北京顺义·统考一模）如果函数()f x 满足对任意s ，(0,)t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +<+，则称()f x 为优函数．给出下列四个结论：①()ln(1)(0)g x x x =+>为优函数；②若()f x 为优函数，则(2023)2023(1)f f <； ③若()f x 为优函数，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； ④若()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递减，则()f x 为优函数．其中，所有正确结论的序号是______________．11．（2023·北京东城·统考一模）函数()ln f x x =的定义域是____________．12．（2023·北京海淀·统考一模）设函数()()11,1()lg ,1x a x x f x x a x ⎧−++<=⎨−≥⎩ ①当0a =时，((1))=f f _________；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是_________．参考答案1．B【分析】确定函数为奇函数且单调递减，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】对任意实数x ，都有()()0f x f x +−=，故函数为奇函数；对任意实数12,x x ，当120x x +≠时，都有()()12120f x f x x x +<+，即()()12120f x f x x x +−<−，即()()12120f x f x x x −<−，()12x x ≠，故函数单调递减.对选项A ：()2f x x =单调递增，不满足；对选项B ：()2f x x =−单调递减，且函数为奇函数，满足；对选项C ：()2x f x =单调递增，不满足；对选项D ：()2x f x =−不是奇函数，不满足. 故选：B 2．B【分析】依据题给条件列出关于时间t 的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数. 【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要1t −小时，由题意可得60e 80K =，60e 90Kt =，两边同时取自然对数并整理，得804ln ln ln 4ln 32ln 2ln 3603K ===−=−，903ln ln ln 3ln 2602Kt ===−，则ln 3ln 2 1.100.691.52ln 2ln 320.69 1.10t −−=≈≈−⨯−，则给氧时间至少还需要0.5小时故选： B 3．B【分析】根据所给关系式，求出6e 1MN=−，近似计算得解. 【详解】由题意，火箭的最大速度为12km /s 时，可得122ln (1)MN=+，即6e 1MN=−，因为e 2.71828=，所以近似计算可得6e 1402MN=−≈，故选：B 4．C【分析】利用对数的运算公式计算即可.【详解】由题意知，N 的70次方为83位数，所以()70828310,10N ∈，则827083lg10lg lg10N <<，即8270lg 83N <<，整理得1.171lg 1.185N <<，根据表格可得lg14lg 2lg 7 1.146 1.171=+=<，lg164lg 2 1.204 1.185==>，所以lg lg15N =，即15N =. 故选：C.5．D【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将(),02,0xx x g x x ≥⎧=⎨<⎩图象平移对参数c 进行分类讨论即可得出其取值范围.【详解】画出函数(),02,0xx x g x x ≥⎧=⎨<⎩的图象如下图所示：函数,0,()22,0.x x c x f x c x −≥⎧=⎨−<⎩可由,0,()2,0.x x x g x x ≥⎧=⎨<⎩分段平移得到，易知当0c 时，函数()f x 恰有一个零点，满足题意；当0c <时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当0c >时，图象往下平移，当021c <<时，函数有两个零点；当21c ≥时，()f x 恰有一个零点，满足题意，即12c ≥；综上可得c 的取值范围是{}10[,)2∞⋃+.故选：D 6．A【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =，所以()()222log 21f f −=−=−=−. 故选：A 7．D【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.【详解】对于A ，函数()sin f x x =为奇函数，但在定义域R 上函数不单调，故A 不符合；对于B ，()2xf x =的定义域为R ，()()22xxf x f x −−===，则()2xf x =为偶函数，故B 不符合；对于C ，()3f x x x =+的定义域为R ，()()3f x x x f x −=−−=−，则()3f x x x =+为奇函数，又函数3,y x y x ==在R 上均为增函数，故()3f x x x =+在R 上为增函数，故C 不符合；对于D ，()()1e e 2x x f x −=−的定义域为R ，()()()1e e 2x xf x f x −−=−=−，则()()1e e 2x x f x −=−为奇函数，又函数e x y −=在R 上为减函数，e x y =在R 上为增函数，故()()1e e 2x xf x −=−在R 上为减函数，故D 符合.故选：D. 8．B【分析】分析给定函数()f x 的奇偶性、单调性即可判断作答.【详解】函数()e e x x f x −=−定义域为R ，()e e (e e )()x x x x f x f x −−−=−=−−=−，函数()f x 是R 上的奇函数，函数()f x 的图象关于y 轴对称，选项A ，D 不满足；因为函数e x y =在R 上单调递增，e x y −=在R 上单调递减，则函数()f x 在R 上单调递增，选项C 不满足，B 满足. 故选：B 9．B【分析】由已知可得出2020505n n C C ⎧⨯=⎨⨯=⎩，可得出542n⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得n 的近似值.【详解】由题意可得2020505n n C C ⎧⨯=⎨⨯=⎩，所以，2020505n n⨯=⨯，所以，542n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，52lg 42lg 22lg 220.3log 4 1.551012lg 2120.3lg lg 24n ⨯====≈=−−⨯. 故选：B. 10．①②④【分析】①计算出()()()ln 1ln101st g s g t g s t s t ⎛⎫+−=+>= ⎪++⎝⎭，故()()()g s g t g s t +>+，得到①正确；②赋值法得到()()212f f >，()()313f f >，依次类推得到(2023)2023(1)f f <； ③举出反例； ④由()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递减，得到()()()(),f s t f s f s t f t s t s s t t ++<<++，整理变形后相加得到()()()()()s t f s t s t f s f t ++<++⎡⎤⎣⎦，即()()()f s t f s f t +<+，④正确.【详解】因为(),0,s t ∈+∞，所以()()()()()()()()11ln 1ln 1ln 1ln 1s t g s g t g s t s t s t s t+++−+=+++−++=++1lnln 1ln1011s t st st s t s t +++⎛⎫==+>= ⎪++++⎝⎭，故()()()g s g t g s t +>+，故()ln(1)(0)g x x x =+>是优函数，①正确；因为()f x 为优函数，故()()()1111f f f +>+，即()()212f f >，()()()()21213f f f f +>+=，故()()313f f >，同理可得()()414f f >，……，()()202312023f f >，②正确；例如()2,0f x x x =−>，满足()222()()()20f s t f s f t s t s t st +−−=−+++=−<，即()()()f s t f s f t +<+，为优函数，但()2f x x =−在()0,x ∈+∞上单调递减，故③错误；若()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递减，任取(),0,s t ∈+∞，,s t s s t t +>+>，则()()()(),F s t F s F s t F t +<+<，即()()()(),f s t f s f s t f t s t s s t t++<<++，变形为()()()()()(),sf s t s t f s tf s t s t f t +<++<+，两式相加得：()()()()()s t f s t s t f s f t ++<++⎡⎤⎣⎦，因为0s t +>，所以()()()f s t f s f t +<+，则()f x 为优函数，④正确. 故答案为：①②④【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 11．(]0,1【分析】由被开方数大于等于0与对数真数大于0即可得到结果.【详解】要使函数有意义，则满足：100x x −≥⎧⎨>⎩，解得：01x <≤所以函数()ln f x x =的定义域为(]0,1 故答案为：(]0,112． 1 (][),02,−∞⋃+∞【分析】由分段函数解析式先求()1f ，再求()()1f f 的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a 的取值范围.【详解】当0a =时，()21,1()lg ,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，所以()1lg10f ==，所以()()()101f f f ==，令()0f x =，可得当1x <时，()()110x a x −++=，所以=1x −或1x a =−，当0a =或2a ≥时，方程()()110x a x −++=在(),1−∞上有唯一解=1x −，当a<0或02a <<时，方程()()110x a x −++=在(),1−∞上的解为=1x −或1x a =−，当1x ≥时，lg 0x a −=，所以当0a ≥时，10a x =，当a<0时，方程lg 0x a −=在[)1+∞，上无解，综上，当a<0时，函数()f x 有两个零点1,1a −−，当0a =时，函数()f x 有两个零点1,1−，当02a <<时，函数()f x 有三个零点1,1,10a a −−，当2a ≥时，函数()f x 有两个零点1,10a −，因为()f x 恰有2个零点，所以2a ≥或0a ≤，所以a 的取值范围是(][),02,−∞⋃+∞. 故答案为：1；(][),02,−∞⋃+∞.。

指数函数对数函数幂函数练习含答案

1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）32a- =2、用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）34y x = （2）)0(2>=m mm3、求下列各式的值（1）2325= （2）32254-⎛⎫⎪⎝⎭=4、解下列方程（1）1318x - = （2）151243=-x1、下列函数是指数函数的是（填序号）（1）x y 4= （2）4x y = （3）xy )4(-= （4）24x y =。

2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点。

3、若指数函数xa y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围。

4、如果指数函数xa x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是（） A 、2<a B 、2>a C 、21<<a D 、10<<a 5、下列关系中，正确的是（）A 、5131)21()21(> B 、2.01.022> C 、2.01.022--> D 、115311()()22- - >6、比较下列各组数大小：（1）0.53.1 2.33.1 （2）0.323-⎛⎫⎪⎝⎭0.2423-⎛⎫⎪⎝⎭（3） 2.52.3- 0.10.2-7、函数xx f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为，最小值为。

函数xx f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为，最小值为。

8、求满足下列条件的实数x 的范围：（1）82>x（2）2.05<x9、已知下列不等式，试比较n m ,的大小：（1）nm22< （2）nm 2.02.0< （3）)10(<<<a a a n m10、若指数函数)1,0(≠>=a a a y x的图象经过点)2,1(-，求该函数的表达式并指出它的定义域、值域和单调区间。

2023北京重点校高一(上)期末数学汇编：指数函数、对数函数与幂函数章节综合

2023北京重点校高一（上）期末汇编指数函数、对数函数与幂函数章节综合．．．．二、填空题．（2023秋·北京东城·2log 4=__________.．（2023秋·北京东城·)()ln 12x =−的定义域是c，求(ff x有两个零点若函数()四、双空题2023秋·北京海淀1 0ln2ln e2，()f x在故选：A11．D【分析】计算22log 9a =，122a +【详解】2log 3a =，则22log a =22log 9122222229a a +=⨯=⨯=⨯=故选：D.，f x 的定义域为②，由于()3,,x x af x x x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，当a<0时，()3000f ==；当0a ≥时，所以对任意实数a ，函数()f x 都有零点，②正确131,2x x ⎧>⎪⎪综上所述，正确结论的序号是①②④故答案为：①②④ 17．2【分析】对2log ()ab 利用对数运算公式，得到22log log 1a b ⋅=，得到答案.【分析】由()f x 满足的两个条件可以联想到对数函数，再根据对数函数的性质时行判断即可得答案.【详解】解：因为由()f x 满足的两个条件可以联想到对数函数，当2()log f x x =时，对12,(0,)x x ∀∈+∞，()12212212212log ()log log ()()f x x x x x x f x f x ==+=+,满足条件①；当(4,)x ∈+∞时，2()log 421f x >=>，满足条件②.故答案为：2l og x (答案不唯一)20．[0,1)【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：10010x x x −>⎧⇒≤<⎨≥⎩，所以该函数的定义域为[0,1)，故答案为：[0,1)21．()1,+∞【分析】根据对数函数定义求对数函数的定义域.【详解】解：要使函数()()0.5log 1f x x =−有意义就要10x −>，即1x >，所以函数()()0.5log 1f x x =−的定义域是()1,+∞.故答案为：()1,+∞22．(0,1)【解析】转化条件为直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点，数形结合即可得解.【详解】方程()f x a =有三个不同的实数根，所以直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点，在直角坐标系中作出()f x 的图象,如图，若要使直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点，数形结合可得，(0,1)a ∈.，【分析】（1）令）令()|1f x =0c 时，(f 1x ，故x =的零点为10x =.lg |=0x c −lg x c =±，，所以110c x −+=110=40c ++，【分析】空一：分开求解单调性；空二：分。

幂函数知识归纳及习题(含答案)

自主梳理1．幂函数的概念形如________的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数． 2．幂函数的性质(1)五种常见幂函数的性质，列表如下：定义域值域奇偶性单调性过定点y ＝x R R 奇 Z (1,1)y ＝x 2 R [0，＋∞)偶 [0，＋∞)Z (－∞，0][y ＝x 3R R 奇 ZY ＝x 12[0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶 [0，＋∞)Z Y ＝x －1(－∞，0) ∪(0，＋∞)(－∞，0) ∪(0，＋∞)奇(－∞，0)[(0，＋∞)[(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象． (3)α>0时，幂函数的图象通过点____________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象______原点．1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4C.22D. 2 2．下列函数中，其定义域与值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 13D ．y ＝x 23．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)5．(2013·蚌埠二中调研)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，如果f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．－b2aB ．－baC ．c D.4ac －b 24a6．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数D ．与m 有关 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图像关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．8．(2012·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．9．(2012·无锡联考)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．10．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．11．已知二次函数f(x)的图像过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；(3)求不等式f(x)≥0的解集．12．设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图像是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f (x )的值域．1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12 C.34D ．12．(2013·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．3．(2012·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．答案课时跟踪检测(九)A 级1．选C 设f (x )＝x α，因为图像过点⎝⎛⎭⎫4，12，代入解析式得：α＝－12， ∴f (2)＝2－12＝22.2．选D 对A ，定义域、值域均为[0，＋∞)；对B ，定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；对C ，定义域值域均为R ；对D ，定义域为R ，值域为[0，＋∞)．3．选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．选C 由题意得：a ≠0，x 1＋x 22＝－b 2a ，x 1＋x 2＝－b a .得f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b 2a ＋c ＝c .6．选B 法一：∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，而－m ，m ＋1关于12对称，∴f (m ＋1)＝f (－m )＜0.法二：∵f (－m )＜0，∴m 2＋m ＋a ＜0，∴f (m ＋1)＝(m ＋1)2－(m ＋1)＋a ＝m 2＋m ＋a ＜0. 7．①②⑤⑥8．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．解析：若m ＝0，显然－1<0恒成立，若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ<0.∴－4<m <0.故所求范围为：－4<m≤0.答案：(－4,0]10．解：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴－12＋p＋32>0，2p即p2－2p－3<0.∴－1<p<3.又∵f(x)是偶函数且p∈Z，∴p＝1，故f(x)＝x2.11．解：(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，得a＝2.即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.(2)f(x)＝2(x－1)2－8，当x∈[0,3]时，由二次函数图像知，f(x)min＝f(1)＝－8，f(x)max＝f(3)＝0.(3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥3}．12．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图像如图，(3)由图像可知，函数f (x )的值域为(－∞，4]．B 级1．选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.。

2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——幂指对

2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——幂指对1.（2015年1月·延庆期末·7．函数()log 21a y x =++的图像过定点 A ． ()2,1- B ．()2,1 C ． ()1,1-D ．)1,1(2.（2015年1月·石景山期末·2.下列算式正确的是 ( )A ．222log (3)log 3log ππ=+B ．236(8)82-=-=-C ．lg 62lg 3= D ．3322555-==3.（2015年1月·昌平期末·3）已知函数2()log f x x =，当[1,4]x ∈时，函数()f x 的值域是（A ）[0,1] （B ）[0,2] （C ）[1,2] （D ）[1,4]4.（2015年1月·昌平期末·9）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23xf x x k =-+（k为常数），则(1)f -=（A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）1-5.（2015年1月·昌平期末·10）设正数a ，b 满足23log log a b =，则下列结论中，不可能．．．成立的是（A ）1a b << （B ）01b a <<< （C ）a b = （D ）1b a << 6（2015年1月·丰台期末·9.已知变量y 随变量x 变化的数据如下表：x 6.0 4.1 2.2 0.3 4.3 y 737.0- 485.0 138.1 585.1 766.1 则能基本反映这一变化规律的函数模型是（） A ． xy 2=B ．2x y =C ．x y 2log =D ．137.0--=x y7.（2015年1月·密云期末·6. 函数log =a y x （0>a 且1≠a ）的图象经过点)1,2(-，函数=xy b （0>b 且1≠b ）的图象经过点)2,1(，则下列关系式中正确的是 A ． 22b a >B ． ba 22>C ． b a )21()21(> D ． 2121b a >8.（2015年1月·昌平期末·4）设 2.50 2.51(),(2.5),22a b c ===，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >> （D ）b c a >>9.（2015年1月·东城期末·6.设2log πa =，12log πb =，2πc -=，则A ．a b c >> B. b a c >> C. a c b >>D. c b a >>10.（2015年1月·房山期末·6）设3log 2a =，0.3eb =，8cos7c π=，则（A ）b a c << （B ）b c a << （C ）c a b <<（D ）c b a <<11.（2015年1月·丰台期末·6．已知3π=m ，3log π=n ，πtan =p ，则这三个数的大小关系是（）A ．p n m >>B ．m p n >>C ． n m p >>D ．n m p >>12.（2015年1月·海淀期末·7．设110.522,e ,0.5a b c -===错误！未找到引用源。

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(2013年北京夏)11．已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠在[]1,4上的最大值是2，那么a 等于( C )
A ．
14
B ．
12
C ．2
D ．4
(2013年北京夏)18．在2005年到2010年的“十一五”期间，党中央、国务院坚持优先发展教
育，深入实施科教兴国战略，各种形式的高等教育在校学生总规模由2300万人增加到3105万人. 这五年间年平均增长率x 应满足的关系式是( D ) A ．4
2300805x = B ．5
2300805x = C ．4
2300(1)3105x +=
D ．5
2300(1)3105x +=
（2013年北京春）11．已知函数()(0,1)x
f x a a a =>≠在区间[0,1]上最大值是2，那么a 等于（C ）
（2013年北京春）17．针对2020年全面建成小康社会的宏伟目标，十八大报告中首次提出
“实现国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番”的新指标．按照这一指标，城乡居民人均收入在这十年间平均增长率x 应满足的关系式是（ C ）
（2012年北京夏）2. 如果函数()(1)x
f x a a =>的图像经过点（3，8），那么实数a 的值为（）
A. 2
B. 3
C.4
D. 24
（2012年北京夏）19.某种药物在病人血液中的含量以每小时25%的比例衰减。

现在医生为某个病人注射了2500mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为（）
A ．2500
x -%（125）mg B.2500x mg -%（125） C. 2500x mg 0.25
D. 2500x -%)（125mg
（2012年北京春）19．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造．三年后，城市污水
排放量由原来每年125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（ B ）
（A ）1
4
（B ）
12
（C ）2 （D ）4
（A ）1102x += （B ）10(1)2x += （C ）10(1)2x +=
（D ）10
12x +=
（A ）50% （B ）40%
（C ）30%
（D ）20%
（2011年北京夏）5．已知函数2x
y =的图象经过点()01,y -，那么0y 等于5.A
(A) 12 (B)1
2
- (C) 2 (D)2-
（2011年北京夏）12．函数()2log 1y x =+的图象大致是
12.B
(A) (B) (C) (D)
（2011年北京夏）20．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ
，空气的温
度是0C θ ，t min 后物体的温度C θ
可由公式()0.24010t
e
θθθθ-=+-求得．把温度是
100C 的物体，放在10C 的空气中冷却t min 后，物体的温度是40C ，那么t 的值约等
于20.B
（参考数据：ln3取1.099，ln 2取0.693）
(A) 6.61 (B)4.58 (C)2.89 (D)1.69。