高中数列题型总结
高中数学数列题型归纳及解题方法梳理
1数列典型例题分析【题型1】 等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得＝， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)==2n+1-2.小结与拓展：数列{}na 是等差数列，则数列}{na a 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}na 的121d +1812d d++2ma 2(12)12n --公差。
（a>0且a≠1）.【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例 2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．求数列{a n}与{b n}的通项公式。
解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n－1)(n∈N*) ②①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，2∴数列{b n＋1－b n}的公差为－2－(－4)＝2，∴b n －b n＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，＋1法一（迭代法）b n＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b n－b n－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二（累加法）即b n－b n－1＝2n－8，b n－1－b n－2＝2n－10，…b3－b2＝－2，b2－b1＝－4，b1＝8，相加得b n＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)34 ＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n∈N *)．小结与拓展：1）在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。
高中数学数列基本题型及解法
多练出技巧 巧思出硕果 高中数学数列基本题型及解法 1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)nnnnaaaa为同一常数。 (2)通项公式法： ①若 = +（n-1）d= +（n-k）d ，则na为等差数列； ②若 ，则na为等比数列。 (3)中项公式法：验证中项公式成立。 2. 在等差数列na中,有关nS的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当1a>0,d<0时，满足100mmaa的项数m使得mS取最大值. (2)当1a<0,d>0时，满足100mmaa的项数m使得取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
三、注意事项
1．证明数列na是等差或等比数列常用定义，即通过证明11nnnnaaaa 或11nnnnaaaa而得。 2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
3．注意ns与na之间关系的转化。如：
na=1100nnSSS 21nn， na=nkkkaaa211)(．
四、例题解析 例2．已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana， ⑴设数列),2,1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；
⑵设数列),2,1(,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列； ⑶求数列na的通项公式及前n项和。 分析：由于{bn}和{cn}中的项都和{an}中的项有关，{an}中又有S1n=4an+2，可由S2n-S1n作切入点探索解题的途径． 多练出技巧 巧思出硕果 说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件241nnaS得出递推公式。 2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
高三数学数列题型归纳
高三数学数列题型归纳数列是高中数学中的重要知识点，也是高考数学的常考题型之一。
在高三阶段，学生需要掌握各种数列的定义、性质、求通项公式、求和公式等各种知识点。
为了帮助大家更好地掌握数列的相关知识，本文将就高三数学数列题型的归纳进行探讨。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻项之间的差值相等的数列。
等差数列有许多重要的性质，如通项公式、前n项和公式等。
在高考数学中，等差数列是经常出现的题型。
1. 等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d其中，a1是等差数列的首项，d是公差，an是等差数列的第n项。
2. 等差数列前n项和公式：Sn=n/2(a1+an)其中，Sn是等差数列的前n项和。
3. 等差数列的性质：（1）等差数列的首项与末项的和等于中间项和的总和。
（2）等差数列的前n项和可以表示为n乘以首项与末项的平均数。
（3）等差数列的项数有限，且每一项和前一项之间的差值相等。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻项之间的比值相等的数列。
等比数列同样也有很多重要的性质，如通项公式、前n项和公式等。
1. 等比数列通项公式：an=a1*q^(n-1)其中，a1是等比数列的首项，q是公比，an是等比数列的第n项。
2. 等比数列前n项和公式：Sn=(a1(1-q^n))/(1-q)其中，Sn是等比数列的前n项和。
3. 等比数列的性质：（1）等比数列的前n项和可以表示为首项乘以1-q^n除以1-q。
（2）公比大于1时，等比数列是发散的，公比小于1时，等比数列是收敛的。
三、斐波那契数列斐波那契数列的定义是：前两项为1，从第三项起每一项都是前两项之和。
即F(1) = 1，F(2) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n>=3）。
斐波那契数列在自然界与生活中也有许多出现，如植物分枝的规律、蜂巢的排列方式等等。
因此，斐波那契数列也是高考数学中的常见题型。
1. 斐波那契数列的通项公式：Fn=(1/sqrt(5))*(((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n)其中，sqrt(5)表示5的平方根。
高考数列常考题型归纳总结汇总
n
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q n +1，得：
a n +1q
n +1
=
p q
∙
a n q
n
+
1q
引入辅助数列
{b n }（其中b n
=
a n q
n
），得：b n +1=
p q
b n +
1q
再待定系数法解决。
例:已知数列{a n }中，a 1=解：在a n +1=
52
⋅⋅3=85
n -3。1
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1
(n ≥2，则{a n }的通项a n =⎨
⎧1⎩___
n =1
n ≥2
解：由已知，得a n +1=a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1+na n，用此式减去已知式，得当n ≥2时，a n +1-a n =na n，即a n +1=(n +1 a n，又a 2=a 1=1，
1
56
, a n +1=
1
1n +1
a n +(，求a n。32
1n +12n n +1
a n +(两边乘以2n +1得：2∙a n +1=(2∙a n +1 323
22
令b n =2n ∙a n，则b n +1=b n +1,解之得：b n =3-2( n
数列经典题型总结
一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和例1(07高考山东文18)设｛a n ｝是公比大于1的等比数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和•已 知S 3 7，且6 3,3a 2, a 3 4构成等差数列.(1) 求数列｛a n ｝的等差数列.(2) 令 b n In a 3n 1, n 1,2,L ，求数列｛b n ｝的前 n 项和 T .二、错位相减法例2( 07高考天津理 21)在数列 a n 中，a 1 2, a n 1其中 0 •(I)求数列 a n 的通项公式；(n)求数列 a n 的前n 项和S n ；例3 (07高考全国n 文 21 )设｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝是各项都为正数的等比数列，且 a 1 b 1 1 , a 3 b 5 21, b 3 13(I)求｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项公式；a(n)求数列 n 的前n 项和S n .b n 练习：设 S = 1+2+3+ …+n , n € N ,求 f (n )S n (n 32) S n 1 的最大值 a n n1 (2 )2n (n N ),、逆序相加法- 1•• 1 y 2)，若OP —(OR 0P 2),且点P 的横坐标为 一•2 2(I )求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；(II )若 S n f(-) f (2) f (3) n n n 四、裂项求和法1 ii 例5 求数列 ------ -=,F ------ 一 ,, ---- ------- , 的前 n 项和.1 V2 42 V3 J n J n 1例6( 06高考湖北卷理 17)已知二次函数 y f (x)的图像经过坐标原点，其导函数为 f '(x) 6x 2，数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，点(n ,S n )( n N)均在函数y f (x)的图 像上。
(I)求数列｛a n ｝的通项公式；1 m(n)设b n, T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，求使得 「 对所有n N 都成a n a n 1 20 立的最小正整数 m ；五、分组求和法例 7 数列｛ a n ｝的前 n 项和 S n 2a n 1，数列｛b n ｝满 6 3, b n 1 a n b n (n N ) (I)证明数列｛ a n ｝为等比数列；(n)求数列 ｛b n ｝的前n 项和T n 。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结数列是数学中一个重要的概念，也是数学中常见的题型之一。
数列题目通常会给出一定的条件和规律，要求我们找出数列的通项公式、前n项和等相关内容。
下面对数列题型及解题方法进行归纳总结。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数，用通项公式a_n表示。
2. 首项和公差：对于等差数列，首项是指数列的第一个数，公差是指相邻两项之间的差值。
通常用a1表示首项，d表示公差。
3. 首项和公比：对于等比数列，首项是指数列的第一个数，公比是指相邻两项之间的比值。
通常用a1表示首项，r表示公比。
二、等差数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公差，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 + (n-1)d。
（2）已知相邻两项的值，求公差。
根据 a_(n+1) - a_n = d，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公差。
根据 a_n = a1 + (n-1)d，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公差和项数，求前n项和。
使用公式S_n= (n/2)(a1 + a_n)。
（2）已知首项、末项和项数，求公差。
由于S_n =(n/2)(a1 + a_n)，可以列方程求解。
（3）已知首项、公差和前n项和，求项数。
可以列方程并解出项数。
3. 找满足条件的项数：（1）已知首项、公差和条件，求满足条件的项数。
可以列方程，并解出项数。
三、等比数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公比，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 * r^(n-1)。
（2）已知相邻两项的值，求公比。
根据 a_n / a_(n-1) = r，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公比。
根据 a_n = a1 * r^(n-1)，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公比和项数，求前n项和。
使用公式S_n = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
数列题型及解题方法
数列题型及解题方法数列是高中数学中的重要内容，也是考试中经常出现的题型之一。
掌握数列的相关知识和解题方法对于提高数学成绩至关重要。
本文将从常见的数列题型入手，结合解题方法进行详细介绍，希望能够帮助大家更好地理解和掌握数列的相关知识。
一、等差数列。
等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都是一个常数。
这个常数就是公差，通常用d表示。
等差数列的通项公式为，$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，n表示项数，d表示公差。
解题方法：1. 求和公式，等差数列的前n项和公式为$S_n =\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，利用这个公式可以快速求得等差数列的前n项和。
2. 求首项和公差，已知等差数列的前几项或者部分信息，可以通过列方程组求得首项和公差。
3. 求项数，已知等差数列的前几项和或者部分信息，可以通过列方程求得项数。
二、等比数列。
等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的比值都是一个常数。
这个常数就是公比，通常用q表示。
等比数列的通项公式为，$a_n = a_1 q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第n 项，$a_1$表示首项，n表示项数，q表示公比。
解题方法：1. 求和公式，等比数列的前n项和公式为$S_n =\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，利用这个公式可以快速求得等比数列的前n项和。
2. 求首项和公比，已知等比数列的前几项或者部分信息，可以通过列方程组求得首项和公比。
3. 求项数，已知等比数列的前几项和或者部分信息，可以通过列方程求得项数。
三、特殊数列。
除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，如斐波那契数列、等差-等比数列等。
这些数列在考试中也可能会出现，需要我们对其特点和解题方法有所了解。
解题方法：1. 斐波那契数列，斐波那契数列的特点是每一项都是前两项的和，即$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$。
高中数学数列常考点题型归纳总结最新版
数列重难点归纳总结必考点1： 数列的概念与通项公式1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}n a . 对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么就是不同数列 (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的分类3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.5.数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩例题1： 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n S n n+=+，则17a a +=（ ） A ．30 B ．29C ．28D ．27【解析】121n S n n+=+，∴ 221n S n n =+-， ∴ 21121112a S ==⨯+-=，22776(2771)(2661)27a S S =-=⨯+--⨯+-=,∴ 1729a a +=，选B例题2： 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =________ 【解析】由2n a n =，若对于任意{},n n N b +∈的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则2()n n a b n b a b ==，则22221429311641()(),(),,()b b b b b b b b =====,所以2149161234()b b b b b b b b =，所以21491612341234123412341234lg()lg()2lg(2lg()lg()()lg )b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ===. 【小结】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.必考点2： 数列的性质数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 数列的性质主要指：1.数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；2.数列的周期性.例题3： 0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001【解析】由i mi a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑ 52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；例题4： 已知数列{}n a 中，2n a n n λ=-，若{}n a 为递增数列，则λ的取值范围是（ ）A ．(),3-∞B ．(],3-∞C ．(),2-∞D ．(],2-∞【解析】由已知得221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立，所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=，所以3λ<，选A. 【小结】1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据1n na a ＋ (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3.求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项； (2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项． 3.前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0m a ≥，且10m a +<，则m S 最大；若0m a ≤，且10m a +>，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.必考点3： 由递推公式推导通项公式例题5： 在数列{}n a 中，11a =，()*11nn na a n N a +=∈+，则这个数列的通项n a ，可以是（ ） A ．1nB ．121n - C ．12n n+ D ．2n 【解析】∵11n n n a a a +=+，等式两边同时取倒数得：1111n n a a +=+，则()*1111n nn a a N +∈-=， ∴132211-121111111111+n n n n n a a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111+1nn a ⇒=++++=1n a n⇒=，当1n = 时，1111a == 亦成立，综上所述()*1n a n N n=∈,选A. 例题6： 已知数列{}n a 满足：11a =，2123n n a a a a n a ++++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S . 【解析】（1）令123n n S a a a a =++++，则2n n S n a =，当2n ≥时，211(1)n n S n a --=-，所以2211(1)n n n n S S n a n a ---=--，即221(1)(1)n n n a n a --=-，所以221(1)111n n a n n a n n ---==-+，所以32412311231,,,,3451n n a a a a n a a a a n --===⋅⋅⋅=+， 所以3241231123213451n n a a a a n n a a a a n n ---⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+， 因为 11a =，所以2(1)n a n n =+，1a 满足此式，所以2(1)n a n n =+；（2）因为2112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12311111212231n n S a a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝=⎭++⎣++⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 【小结】递推公式推导通项公式方法： （1）累加法：1()n n a a f n +-=（2）累乘法：1()n na f n a += （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法：n n n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1nn n a pa rq +=+其中,,p q r 均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n n a a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b nn 11+=+，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，，解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.（6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列.（7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）. 解法：把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q +=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.必考点4： 由前n 项和公式推导通项公式，即n a 与n S 的关系求通项n a例题7： 已知数列{a n }的前n 项和21n S n n =-+，则这个数列的通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．12n naC ．22n a n =-D ．1,122,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】当1n =时，111111a S ==-+=当2n ≥时，()()221111122n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-1a 不满足22n a n =- 1,122,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩,选D【小结】已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式． (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．．必考点5： 等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．例题8： 已知等差数列{}n a 中，()12n n n a a -≥>，若324314a a a ==，，则1a =( ) A ．1-B ．0C ．14D ．12【解析】设公差为d ，则2224333()().a a a d a d a d =-+=-因为324314a a a ==，，所以23=14d -，则214d =.由()12n n n a a -≥>，可得0d >，所以12d =.所以13121202a a d =-=-⨯=.选B.例题9： 设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【小结】1.等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列;(3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔ {}n a 是等差数列;(5){}n a 是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件.2.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．必考点6： 等差数列的前n 项和等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 例题10： 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．【解析】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d ,根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-=可得1152a d a d +++=,即：()2252d d -++-+=,整理可得：66d =,解得：1d = 根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=,∴1025S =.例题11：将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=- 【小结】1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.5.等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.6.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.必考点7： 等差数列的相关性质1.等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①-S S nd =奇偶； ②1n n S a S a +=奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S S -偶奇n a a ==中(中间项)；②1S nS n =-奇偶. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若{}n a 与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 6．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值． 例题12： 在等差数列{}n a 中，若34567750a a a a a ++++=，则28a a +=（ ）A ．360B ．300C ．240D ．200【解析】因为34567750a a a a a ++++=，37465282a a a a a a a ++==+=,所以28300a a +=,选B例题13： 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝20，S 20＝15，则S 30＝（ ）A ．10B ．30-C ．15-D ．25【解析】由题意知：10S ，1200S S -，3020S S -成等差数列()()20101030202S S S S S ∴-=+-，即30102015S -=+-，解得：3015S =-,选C例题14： 若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大．【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.必考点8： 等差数列综合问题例题15：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，318S =.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1302n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值. 【解析】（1）方法一：由()1333182a a S +==，又因为12a =，所以310a =. 所以数列{}n a 的公差31102422a a d --===，所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 方法二：设数列的公差为d .则3113322S a d =+⨯⨯32318d =⨯+=.得4d =.所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. （2）方法一：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-.令10,0.n n b b +≤⎧⎨>⎩得()2310,21310.n n -≤⎧⎨+->⎩解得293122n <≤.因为*n N ∈，所以15n =. 所以n T 的最小值为()()()151215...2927...1225T b b b =+++=-+-++-=-. 方法二：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 因为()[]121312312n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦， 所以数列{}n b 是首项为129b =-，公差为2的等差数列. 所以()()22129230152252n n n T n n n n -=-+⨯=-=--. 所以当15n =时，数列{}n b 的前n 项和n T 取得最小值，最小值为15225T =-. 例题16：已知数列{}n a 中148,2a a ==，且满足212n n n a a a +++=.(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设n S 是数列{}na 的前n 项和，求nS.【解析】（1）由题意得数列｛n a ｝是等差数列，4141a a d -==-－2，*210()n a n n N ∴=-+∈；（2）令0,5n a n ≥≤得,即当5n ≤时，0n a ≥，6n ≥时，0n a <， ∴当5n ≤时，n 12S a a =++…＋n a =12+n a a a ++=－29n n + 当6n ≥时， 12n n S a a a =+++=125+a a a ++－（67+n a a a ++）12=(+)n a a a -++125+2(+)a a a ++()229220940n n n n =--++⨯=-+229(5)940(6)n n n n S n n n ⎧-+≤∴=⎨-+≥⎩ .例题17：记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩，解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+， 所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤，解得110n ≤≤， 所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈【小结】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.必考点9： 等差数列与数学文化例题18：我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______. 【解析】设由下到上九节容量分别记为129,,...,a a a ，则129,,...,a a a 成等差数列，设公差为d ，且1234a a a ++=，67893a a a a +++=，即1231334a a a a d ++=+=，678914263a a a a a d +++=+=，所以19566a =，766d =-，故91982019222S a d ⨯=+=例题19：《张丘建算经》卷上有一题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，金一月日织九匹三丈意思就是说：有一位善于纺织的女子，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月共织了390尺布（按30天计），记该女子第n 天织布的量为n a ，则1318a a +=_________，每天比前一天多织布________尺.【解析】由题数列{}n a 是公差为d 等差数列，则1303030()3902a a S +==，得13026a a +=，故1318a a +=13026a a +=，又15a =，得3021a =129a d =+，得21529d =+，得1629d =. 【小结】数学文化中的等差数列，主要涉及通项公式、求和公式基本量的计算，认真阅读题干，注意转化是关键.1．（2020·全国高三课时练习（理））已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138 B ．135C ．95D ．23【解析】∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=，∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 2.（北京高考真题（理））已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ） A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-【解析】∵对任意的p ，q ∈N *，满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，∴p ＝q ＝n 时，有a 2n ＝2a n ． 又a 2＝－6，∴a 8＝2a 4＝4a 2＝－24，故a 10＝a 2＋a 8＝－30．3．（2020·全国高三二模（文））已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，248a a ⋅=，515S =，则10a =（ ） A ．10B ．4-C ．10或4-D ．10-或4【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()()()1111383385101532a d a d d d a d a d⎧⎧++=-+=⇔⎨⎨+==-⎩⎩211d d ⇒=⇒=或1d =-.当1d =时，11a =，所以n a n =；当1d =-时，15a =，所以6n a n =-，所以1010a =或4-.选C 4．（2020·全国高三三模（文））记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若311a =，675S =，则12a =（ ） A ．28B ．31C ．38D ．41【解析】由题知：3161211656752a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得153a d =⎧⎨=⎩.所以12511338=+⨯=a .选C 5．（2020·全国高三其他（理））已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若77217S a =-，则10S =（ ） A ．12B ．15C ．18D ．21【解析】解：由17747772172a a S a a +=⨯==-，得473a a +=， 所以4710310101522a a S +=⨯=⨯=.选B . 7. （2019·河北高三月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若20200a >，且201920200a a +<, 则满足0n S >的最小正整数n 的值为（ ） A ．2019 B ．2020C ．4039D ．4040【解析】20200a >，且201920200a a +<，20190a ∴<．14039403920204039()403902a a S a +∴==>，140384038201920204038()2019()02a a S a a +==+<， 则满足0n S >的最小正整数n 的值为4039．选C.8．（2019·甘肃兰州一中高二期中）已知等差数列{}n a ，,,n m a m a n ==则m n a +=（ ） A ．mB ．nC ．0D ．m n +【解析】设等差数列的公差为d ，由题得111(1),1,1(1)a n d md a m n a m d n +-=⎧∴=-=+-⎨+-=⎩. 所以1(1)(1)0m n a m n m n +=+-++-⨯-=.选C 9.（2019·全国高考真题（理））记为等差数列的前n 项和．已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】分析：等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，，，排除B ，对C ，，排除C ．对D ，，排除D ，故选A ．详解：由题知，，解得，∴，故选A ．10.（2009·宁夏高考真题（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =（ ） A ．38B ．20C ．10D ．9【解析】因为{}n a 是等差数列，所以112m m m a a a -++=，则由2110m m m a a a -++-=可得220m m a a -=，解得0m a =或2m a =. 因为12121(21)(21)382m m m a a S m m a --+=⨯-=-=，所以0m a ≠，故2m a =.代入可得，2(21)38m -=，解得10m =11．（2020·江苏盐城 高二期末）【多选题】设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ） A ．当15n =时，n S 取最大值 B ．当30n =时，0n S = C ．当0d >时，10220a a +> D ．当0d <时，1022a a >【解析】因为1020S S =，所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，解得1292a d =-. 对选项A ，因为无法确定1a 和d 的正负性，所以无法确定n S 是否有最大值，故A 错误. 对选项B ，13030292930301529022a d S d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，故B 正确. 对选项C ，()10221612921521502a a a a d d d d ⎛⎫+=2=+=-+=> ⎪⎝⎭，故C 正确. 对选项D ，1012918119222a a d d d d =+=-+=-，22129421321222a a d d d d =+=-+=， 因为0d <，所以10112a d =-，22132a d =-，1022a a <，故D 错误.选BC12．（2020·诸城市教育科学研究院高二期中）【多选题】已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n S 中的最大项为10SB ．数列{}n a 的公差0d <C ．100S >D ．110S <【解析】564S S S >>，故60a <，50a >且560a a +>，故数列{}n S 中的最大项为5S ，A 错误； 数列{}n a 的公差0d <，B 正确；()()110105610502a a S a a +⨯==+>，C 正确；()111116111102a a S a+⨯==<，D 正确；选BCD .13．（2020·河北新华 石家庄二中高一期中）【多选题】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ）A ．14S 是唯一最小值B ．15S 是最小值C ．290S =D ．15S 是最大值【解析】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===，选CD.14．（2020·山东烟台三中高二期中）【多选题】已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．100a =B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =【解析】13611112323661590a a S a a d a d a d +=∴++=+∴+=即100a =，A 正确； 当0d <时，n S 没有最小值，B 错误；127891011121012750S S a a a a a a S S -=++++==∴=，C 正确；1191910()191902a a S a +⨯===，D 正确.选ACD15.（2019·全国高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.【解析】317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 16.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.17.（2018·全国高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16． 18.（2017·全国高考真题（文））设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和．【解析】（1）数列{a n }满足a 1+3a 2+…+（2n ﹣1）a n ＝2n ．n ≥2时，a 1+3a 2+…+（2n ﹣3）a n ﹣1＝2（n ﹣1）．∴（2n ﹣1）a n ＝2．∴a n 221n =-． 当n ＝1时，a 1＝2，上式也成立．∴a n 221n =-． （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+． ∴数列{21n a n +}的前n 项和1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122121n n n -=++． 必考点10： 等比数列的有关概念1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：)0(1≠=+q q a a nn ,（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n .说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=. 3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 4. 等差数列与等比数列的区分与联系 (1)如果数列{}n a 成等差数列，那么数列{}na A(na A总有意义)必成等比数列．(2)如果数列{}n a 成等比数列，且0n a >，那么数列{log }a n a (0a >，且1a ≠)必成等差数列．(3)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列．数列{}n a 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． 例题20： 设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A ．12B ．24C ．30D ．32【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.选D.例题21：已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【解析】（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =．将2n =代入得，323a a =，所以，312a =．从而11b =，22b =，34b =； （2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅． 【小结】1．等比数列的基本运算：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解． 2．等比数列的判定方法 (1)定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列； (2)等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法n n a cq = (,c q 均是不为0的常数，n N ∈*)⇔{}n a 是等比数列．必考点11： 等比数列的前n 项和一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）. 说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况.例题22： 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ） A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –1【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1111(1)122,21112n n n n nn n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-.选B.例题23：等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故()12n n a -=-或12n n a -=．（2）若()12n n a -=-，则()123nnS --=．由63m S =得()2188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21nn S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．必考点12： 等比数列的相关性质1.等比数列的性质：（1）在等比数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等比数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，m n m n q a a -=；（4）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a ，如图所示：n n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321.（5）若数列{}n a 是等比数列，且公比不为－1，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列. 如下图所示：k kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++. （6）两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （7）若数列{}n a 是等比数列,则{}n ka ，2{}n a 仍为等比数列．2. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即21a a -，32a a -，43a a -，…成等比数列，且公比为()21322121a a qa a q a a a a --==--.3.等比数列的单调性 当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 为递增数列，当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 为递减数列．4. 等差数列和等比数列比较判定方法(1)定义法； (2)中项公式法：212+++=n n n a a a ()n N ∈*⇔{}n a 等差数列(3)通项公式法：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔ {}n a 为等差数列；(4)前n 项和公式法：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔ {}n a 为等差数列； (5) {}n a 为等比数列，且0n a >，那么数列{log }a n a (0a >，且1a ≠)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：212++=n n n a a a()n N ∈* (0n a ≠)⇔ {}n a 为等比数列(3)通项公式法：nn a cq = (,c q 均是不为0的常数，n N ∈*)⇔{}n a 为等比数列(4) {}n a 为等差数列⇔{}n aA (n aA 总有意义)为等比数列性质(1)若m ，n ，p ，q N +∈，且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+(2)()n m a a n m d =+- (3) 232,,n n n n n S S S S S --，…仍成等差数列(1)若m ，n ，p ，q N +∈，且m n p q +=+，则m n p q a a a a =(2) m n m n q a a -=(3)等比数列依次每n 项和(0n S ≠)，即232,,n n n n n S S S S S --，…仍成等比数列前n 项和11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 1q =时，1na S n =；当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-. 例题24： 等比数列中，已知1234567820,10a a a a a a a a +++=+++=，则数列的前16项和为（ ）A ．20B ．752C ．1252D ．752-【解析】由题意得，48420,10S S S =-=，则84412S S S -=，根据等比数列的性质可知4841281612,,,S S S S S S S ---构成公比为12等比数列，4841281612520,10,5,2S S S S S S S =-=-=-=，且812167530,35,2S S S ===，故选B ． 例题25：数列{}n a 的各项都是正数，且数列{}3log n a 是等差数列，若564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．2+log 35【解析】因为数列{}3log n a 是等差数列，所以13133log log log n n n n a a a d a ++-==，所以*13,d n nan N a +=∈， 所以数列{}n a 是等比数列，所以5647a a a a =，又564718a a a a +=，所以56479a a a a ==， 所以1102947569a a a a a a a a =====，所以53132310312103log log log log ()log 910a a a a a a +++===，选B【小结】应用等比数列性质解题时的两个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…也成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．必考点13： 等比数列基本运算例题26： 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．例题27：设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ． 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =.必考点14： 等比数列的前n 项和公式的综合应用例题28：设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求12n a a a e e e +++.【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln2a a +=，∴1235ln2a d +=， 又1ln2a =，∴ln2d =.∴()11ln2n a a n d n =+-=. （II ）由（I ）知ln2n a n =， ∵2ln 2=2nn a nln n e e e ==，∴{}n a e是以2为首项，2为公比的等比数列.∴212ln2ln2ln2nna a a e e e ee e+++=+++2=222n +++1=22n +-.∴12n a a a e e e +++ 1=22n +-例题29： 已知等比数列{}n a 的公比(0,1)q ∈，前n 项和为n S .若331S a +=，且2116a +是1a 与3a 的等差中项. （I ）求n a ；（II ）设数列{}n b 满足10b =，1()n n n b b a n *+-=∈N ，数列{}n n a b 的前n 项和为n T .求证：1()3n T n *<∈N . 【解析】（I ）由33=1S a +，得12321a a a ++=①. 再由2116a +是1a ，3a 的等差中项，得1321216a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即132128a a a +-=②. 由①②，得()123132282a a a a a a ++=+-，即32161770a a a -+=，亦即261770q q -+=，解得12q =或73，又()0,1q ∈，故12q =. 代入①，得1211122a q q ==++，所以111111222n nn n a a q --⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()*12n n a n N =∈；（II ）证明：对任意*n N ∈，()111111*********nn n nna q S a q⎛⎫-⎪-⎝⎭===-=---，()()()11213211201n n n n n n b b b b b b b b a a a S a ++=+-+-++-=++++==-，即11n n b a +=-. 又10b =，若规定00112a ==，则()*11n n b a n N -=-∈. 于是()*1n n n n n a b a a a n N-=-∈，从而()()1201121111111241123214n n n n n n nT a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪=+++-+++=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭12121113211323323n n n ---⋅-=-<⋅⋅，即()*13n T n N <∈.【小结】1.等比数列前n 项和S n 相关的结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . ①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ；②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q 1＋q (q ≠1且q ≠－1)．(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m ⇔q n ＝S n ＋m －S nS m (q 为公比)．2.等比数列最值有关问题的解题思路求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．必考点15： 等差数列、等比数列的综合问题例题30：设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．。
数列题型及解题方法归纳总结
数列题型及解题方法归纳总结一、等差数列等差数列是指数列中的相邻项之差都相等的数列。
下面对等差数列的题型及解题方法进行归纳总结。
1. 求第n项的值设等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，则有公式：an = a + (n-1)d2. 求前n项和设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)3. 求公差已知等差数列的首项为a，第m项与第n项的和为s，则公差d的值可以通过以下公式计算得出：d = (sm - sn)/(m - n)4. 求项数已知等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = (an - a)/d + 15. 应用题解题思路在解等差数列应用题时，关键是要找到规律。
可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻项之比都相等的数列。
下面对等比数列的题型及解题方法进行归纳总结。
1. 求第n项的值设等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，则有公式：an = a * q^(n-1)2. 求前n项和（当公比q不等于1时）设等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn，则有公式：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)3. 求前n项和（当公比q等于1时）当公比q等于1时，等比数列的前n项和为n * a。
4. 求公比已知等比数列的首项为a，第m项与第n项的比为r，则公比q的值可以通过以下公式计算得出：q = (an / am)^(1/(n-m))5. 求项数已知等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = log(an/a) / log(q)6. 应用题解题思路在解等比数列应用题时，关键是要找到规律。
可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第一、第二项为1，后续项为前两项之和的数列。
高中数学数列题型及解题方法
高中数学数列题型及解题方法一、基本概念在高中数学中，数列是一个数的有序集合，按照一定的规律排列。
数列中的每一个数称为该数列的项，通常用字母表示。
数列中的项的位置或顺序称为项数。
数列一般通过通项公式或递推式来表示。
通项公式直接给出数列中第n个项与n之间的关系，递推式则通过前一项得出后一项，常见的数列有等差数列和等比数列。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差是一个常数的数列。
若一个等差数列的前n 项和可递推出通项公式，即第n项的表达式。
解题方法1.根据已知条件列出等差数列的性质2.利用通项公式或递推式解决问题3.注意区分公差和项数的不同，避免混淆三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比是一个常数的数列。
等比数列也有通项公式和前n项和的性质。
解题方法1.确定数列是等比数列2.利用通项公式或递推式解决问题，计算项之间的比3.注意等比数列的比值，及时列出通项公式或递推式四、常见题型及解题方法1. 求等差数列第n项或前n项和•要求：已知等差数列的公差和首项，求第n项或前n项和•解题方法：利用通项公式或递推式计算第n项或前n项和2. 求等比数列第n项或前n项和•要求：已知等比数列的比和首项，求第n项或前n项和•解题方法：利用通项公式或递推式计算第n项或前n项和3. 求等差数列或等比数列的一些特殊性质•要求：已知等差数列或等比数列的相关条件，求解一些特殊的性质•解题方法：根据数列的性质列出条件，运用相关知识推导出需要的结果以上是高中数学数列题型及解题方法的简要介绍，希望能对学习数列有所帮助。
如果想深入了解更多数列知识，可以继续深入学习相关内容。
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关于数列求通项的方法
类型1：形如nSfn（即：已知前n项和Sn 求na）
方法：2111nSSnSannn（注意：不能忘记讨论1n！）
1．已知数列}{na的前n项的和nS满足nSn)1(log2,则na= .
类型2：形如nTfn（即：已知前n项积Tn 求na）
方法：一般可求Tn-1，则1112nnnTnaTnT。【留尾法】
2.数列}{na中，nnaaaa23212，则此数列的通项公式为na__________
3.数列{an}满足a1+ 3·a2+ 32·a3+…+ 3n-1·an=2n，则an=
A nn3 B n21 C 1321n D 1231n
类型3：形如)(1nfaann (即：后项减去前项得一变量)
解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法求解。
4.已知数列na满足1133,2,nnaaan则nan的最小值为__________.
5.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an＝ ( )
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
类型4：形如 nnanfa)(1 （即：后项除以前项得一变量）
解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法求解。
6.在数列}{na中，12a, 1(1)nnnana , 则}{na通项公式na=
类型5：形如1nnncaaad(0,0)cd,
方法：取倒数变成1111nndacac 的形式的方法叫倒数变换.
7.已知数列{}na的首项123a，121nnnaaa，1,2,3,n…．求数列na的通项公式
类型6：待定系数法
情况1：用于1nnakab型已知条件。转化方法：设nam1()nkam，由km-m=b求出m的值，则数列
{}1nnbbak
是以k为公比的等比数列；通过求出nb间接求出通项na.
8.数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3 （n≥1），则该数列的通项an= .
情况2：用于1nnnakap型已知条件。
转化步骤：（1）等式两边同时除以np：111nnnnaakppp；（2）令nnnabp，则11nnkbbp；当1kp时，{}nb是以1
为公差的等差数列；当1kp时，转化为类型一构造等比数列；
9.数列}{na中， nnnaa321，51a，则此数列的通项公式为na______
类型8：周期数列
10.已知1130,31nnnaaaa,则20a( )
2
A 0 B 3 C 3 D 32
类型9：形如()nnSfa
方法：进退相减法（替换法）
11.设数列{}na的前n项和为,nS 已知11,a142nnSa
（I）设12nnnbaa，证明数列{}nb是等比数列 （II）求数列{}na的通项公式。
关于数列求和的方法
类型1： 分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的
数列，然后分别求和，再将其合并即可.
1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225。
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设bn=na2+2n，求数列{bn}的前n项和Tn。
类型2： 并项求和：针对一些特殊的数列（主要是摆动数列），将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的
和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn（注：多数情况下是需要对n的奇偶性进行分类讨论！）
2.已知数列{an}的前n项和为1159131721...(1)(43)nnSn则152231SSS 的值为 （ ）
A 13 B-76 C46 D 76
类型3：裂项相消法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新
组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
常见的裂项：
（1）)()1(nfnfan （2）111)1(1nnnnan
3.已知数列{an}的通项公式an＝1n＋n＋1，若它的前n项和为10，则项数n为________．
4. 已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS．
（Ⅰ）求na及nS；
（Ⅱ）令bn=211na(nN*)，求数列nb的前n项和nT．
类型4错位相减法：形如nnnabc 或nnnbac（其中nb为等差数列；nc为等比数列）
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=31(an-1)(nN,n1)
(1)求a1,a2
(2)求数列{an}的通项公式
(3)bn=n,令Cn=bnan ,求数列{Cn}的前n项和
类型5倒序相加法：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相
加，就可以得到n个)(1naa.
6.1110113112111,244)(ffffxfxx则设 .