2020人教A版数学必修一 1.1.2

第一章 1.1 1.1.2
A级基础巩固
一、选择题
1．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有(C)
A．M⊆N B．M∈N
C．N⊆M D．M＝N
[解析]∵M＝{菱形}，N＝{正方形}，∴集合N的元素一定是集合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素，∴N⊆M.
2．下列四个集合中是空集的是(B)
A．{∅} B．{x∈R|x2＋1＝0}
C．{x|1<x<2} D．{x|x2＋2x＋1＝0}
[解析]方程x2＋1＝0无实数解，∴集合{x∈R|x2＋1＝0}为空集，故选B．
3．(2019·陕西黄陵中学高一期末测试)集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集个数是(C)
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析]A＝{x|0≤x<3且x∈Z}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集个数为7，故选C．
4．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(C) A．2 B．－1
C．2或－1 D．4
[解析]∵A＝B，∴m2－m＝2，
∴m2－m－2＝0，
∴m＝－1或m＝2.
5．若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有(D)
A．3个B．4个
C．5个D．6个
[解析]集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．
6．设A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|x>a}，若A B，则a的取值范围是(B)
A．{a|a≥3} B．{a|a≤－1}
C．{a|a>3} D．{a|a<－1}
[解析]由A B，画出数轴如图可求得a≤－1，注意端点能否取得－1是正确求解的
关键．
二、填空题
7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是__{(1,2)}，{(－3,4)}__. [解析] 集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．
8．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y
x ＝1}，则A ，B 的关系是__B A __.
[解析] ∵B ＝{(x ，y )|y
x ＝1}＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，
∴B A ． 三、解答题
9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集． [解析] ∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }， ∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A 的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
B 级 素养提升
一、选择题
1．已知集合P ＝{x |－2<x <4}，Q ＝{x |x －5<0}，则P 与Q 的关系为( A ) A ．P Q B ．Q P C ．P ＝Q
D ．不确定
[解析] ∵Q ＝{x |x －5<0}＝{x |x <5}， ∴利用数轴判断P 、Q 的关系． 如图所示，
由数轴可知，P Q .
2．已知集合A ＝{x |1<x <2 019}，B ＝{x |x ≤a }，若A B ，则实数a 的取值范围是( A ) A ．a ≥2 019 B ．a >2 019 C ．a ≥1
D ．a >1
[解析] ∵A B ，故将集合A 、B 分别表示在数轴上，如图所示．
由图可知，a ≥2 019，故选A ．
3．集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }和B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＝1x ＋4y ＝5，则下列结论中正确的是( B )
A ．1∈A
B ．B ⊆A
C ．(1,1)⊆B
D ．∅∈A
[解析] B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＝1x ＋4y ＝5＝{(1,1)}，又点(1,1)在直线y ＝x 上，故选B ．
4．集合P ＝{3,4,5}，Q ＝{6,7}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则P *Q 的子集个数为( D )
A ．7
B ．12
C ．32
D ．64
[解析] 集合P *Q 的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P *Q 的子集个数为26＝64.
二、填空题
5．已知集合M ＝{x |2m ＜x ＜m ＋1}，且M ＝∅，则实数m 的取值范围是__m ≥1__. [解析] ∵M ＝∅，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.
6．已知集合A ＝{1,2，m 3}，B ＝{1，m }，B ⊆A ，则m ＝__0或2或－1__.
[解析] 由B ⊆A 得m ∈A ，所以m ＝m 3或m ＝2，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1.所以m ＝0或2或－1.
三、解答题
7．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B A ，求a 的值． [解析] ∵B A ，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .
(1)当a 2－a ＋1＝3时，解得a ＝－1或a ＝2.经检验，符合题意．
(2)当a 2－a ＋1＝a 时，解得a ＝1，此时集合A 中的元素1重复，故a ＝1不符合题意． 综上所述，a ＝－1或a ＝2.
8．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠∅且B ⊆A ，求实数a 、b 的值．
[解析] ∵B 中元素是关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根，且B ⊆{－1,1}，
∴关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.
∵B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}⊆A ＝{－1,1}，且B ≠∅， ∴B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}． 当B ＝{－1}时，
Δ＝4a 2－4b ＝0且1＋2a ＋b ＝0，
解得a ＝－1，b ＝1. 当B ＝{1}时，
Δ＝4a 2－4b ＝0且1－2a ＋b ＝0， 解得a ＝b ＝1. 当B ＝{－1,1}时，
有(－1)＋1＝2a ，(－1)×1＝b ， 解得a ＝0，b ＝－1.
9．已知A ＝{x ∈R |x <－2或x >3}，B ＝{x ∈R |a ≤x ≤2a －1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．
[解析] ∵B ⊆A ，
∴当B ＝∅时，a >2a －1，∴a <1，
当B ≠∅时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >3
a ≤2a －1或⎩⎪⎨⎪⎧
2a －1<－2a ≤2a －1
，
解得a >3.
综上可知实数a 的取值范围是a <1或a >3.。