2017-2018届北京市西城区高三4月一模文科数学试题及答案

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北京市西城区高三4月统一测试(一模)数学(文)---精校Word版含答案

北京市西城区高三统一测试数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =ð（A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限[]（C ）第三象限[][（D ）第四象限3．下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）22y x x =+ （B ）12x y +=[]（C ）31y x =+ （D ）(1)||y x x =-4. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（A ）4 （B ）5 （C ）7 （D ）92S <2k k =+ 输出k 开始否结束11S S S+=-是1,2k S ==5. 在△ABC 中，已知2a =，1sin()3A B +=，1sin 4A =，则c = （A ）4 （B ）3（C ）83 （D ）436. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为（A ）52，7- [][][][]（B ）52，52- （C ）7，52- （D ）7，7-8. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线2||2y x =-围成的平面区域的直径为（A ）2 （B ）4 （C ）22 （D ）26x OyW第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．设向量a ，b 满足||2=a ，||3=b ，,60>=<a b ，则()⋅+=a a b ____．10．设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．11．能说明“在△ABC 中，若sin2sin2A B =，则A B =”为假命题的一组A ，B 的值是____． 12．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．13．设函数ln(2), ()1,24, 1.x x f x x x +⎧=⎨⎩---<-≥ 当()1f a =-时，a =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x b ≥，那么实数b 的取值范围是____． 14．团体购买公园门票，票价如下表：购票人数 1~50 51~100 100以上门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a 和b ()a b ≥，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数a =____；b =____.侧(左)视图正(主)视图俯视图 221三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()sin (cos 3sin )f x x x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π5π[,]312-上的最小值和最大值.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和(1)2n S n n =++，其中*n ∈N . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2232,,k k a a a ++（k *∈N ）为等比数列{}n b 的前三项，求数列{}n b 的通项公式.17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a =，现从所有的“阅读达人”里任取2人，求至少有1人来自甲组的概率；（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 若在甲组中增加一个阅读量为10的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为21s ，试比较20s ，21s 的大小.（结论不要求证明）（注：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）乙12 07 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a8 6 2 1 0 1 2 4 4 甲18．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥，DC DE =.（Ⅰ）求证：AD CE ⊥；（Ⅱ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面ADQ ⊥平面BCE ？并说明理由．19．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知椭圆W : 2214x y m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(1,0)P 的动直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）. （Ⅰ）求椭圆W 的方程及离心率；（Ⅱ）求四边形ACBD 面积的最大值；（Ⅲ）若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）DA BCEF北京市西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．D 5．C 6．C 7．A 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．710．311．答案不唯一，如60A =，30B = 12．4313．32-；(,2]-∞-14．70；40注：第13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()sin cos 3sin f x x x x =-13sin 2(1cos2)22x x =-- ……………… 4分 π3sin(2)32x =+-， ……………… 6分所以函数()f x 的最小正周期πT =. ……………… 8分（Ⅱ）因为π5π312x -≤≤，所以 ππ7π2336x -+≤≤． ……………… 9分所以当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值312-. 当ππ233x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-． ……………… 13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1n =时，114S a ==， ……………… 2分当2n ≥时，由题意，得(1)2n S n n =++，○1 1(1)2n S n n -=-+，○2由○1-○2，得2n a n =，其中2n ≥. ……………… 5分所以数列{}n a 的通项公式4, 1,2, 2.n n a n n =⎧=⎨⎩≥ ……………… 7分（Ⅱ）由题意，得22232k k a a a ++=⋅.……………… 9分即2[2(2)]42(32)k k +=⨯+. 解得0k =（舍）或2k =.……………… 10分所以公比222k a q a +==. ……………… 11分所以111122n n n n b b q a q --+===. ……………… 13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=. ……………… 2分由题意，得981010a+>，即2a <. ……………… 3分故图中a 的取值为0或1. ……………… 4分（Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M . … 5分由图可知，甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为1A ，2A ；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为1B ，2B ，3B .则从所有的 “阅读达人” 里任取2人，所有可能结果有10种，即12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B . …… 7分而事件M 的结果有7种，它们是12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ， ……………… 8分所以7()10P M =. 即从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率为710. … 10分（Ⅲ）2201s s >. ……………… 13分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD 为矩形，知AD CD ⊥.……………… 1分又因为DE AD ⊥，DECD D =， ……………… 2分所以AD ⊥平面CDE .……………… 3分又因为CE ⊂平面CDE ，所以AD CE ⊥. ……………… 4分（Ⅱ）由底面ABCD 为矩形，知//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE . ……………… 6分同理//AF 平面CDE ，又因为ABAF A =，所以平面//ABF 平面CDE . ……………… 8分又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE . ……………… 9分（Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q （即BE 的中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE . … 10分证明如下：取CE 的中点P ，BE 的中点Q ，连接,,AQ DP PQ ，则//PQ BC . 由//AD BC ，得//PQ AD .所以,,,A D P Q 四点共面. ……………… 11分由（Ⅰ），知AD ⊥平面CDE ，所以AD DP ⊥，故BC DP ⊥.在△CDE 中，由DC DE =，可得DP CE ⊥. 又因为BCCE C =，所以DP ⊥平面BCE . ……………… 13分又因为DP ⊂平面ADPQ所以平面ADPQ ⊥平面BCE （即平面ADQ ⊥平面BCE ）.即线段BE 上存在点Q （即BE 中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE . ……… 14分19．（本小题满分13分）DABC EFPQ解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x (,1)-∞-1-(1,1)-1(1,)+∞()h x '-0 +0 -()h x↘极小值↗极大值↘所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. …………… 5分所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分对函数()g x 求导，得223()exx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：x (2,1)--1-(1,3)-3(3,4)()g x '-0 +0 -()g x↘极小值↗极大值↘所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …………… 11分又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)eg g =>-，所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. …… 13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m == , 解得1m =. ……………… 1分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 2分故2a =，1b =，223c a b =-=. 所以椭圆W 的离心率32c e a ==. ……………… 4分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W 的方程，得3(1,)2C ，3(1,)2D -，又因为||24AB a ==，AB CD ⊥，所以四边形ACBD 的面积1||||232S AB CD =⨯=. ……………… 6分当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22(1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. …… 7分由题意，可知0∆>恒成立，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+.………… 8分四边形ACBD 的面积ABC ABD S S S ∆∆=+1211||||||||22AB y AB y =⨯+⨯ ……… 9分121||||2AB y y =⨯-122|()|k x x =-2222121222(31)2[()4]8(41)k k k x x x x k +=+-=+，设241k t +=，则四边形ACBD 的面积21223S t t =--+，1(0,1)t∈，所以212(1)423S t=-++<.综上，四边形ACBD 面积的最大值为23. ……………… 11分（Ⅲ）结论：点M 在一条定直线上，且该直线的方程为4x =. ……………… 14分。

2018西城高三一模文数试卷及答案

7．已知 O 是正方形 ABCD 的中心．若 DO AB AC ，其中， R ，则（ B）
1 2

（A） 2
（C） 2
（D） 2
8．如图，在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， AA1 AB 2 ，
BC 1 ，点 P 在侧面 A1 ABB1 上．满足到直线 AA1 和 CD
M 1 F1 , M 1 F2 , M 1 F3 , M 2 F1 , M 2 F2 , M 2 F3 , M 3 F1 , M 3 F2 , M 3 F3 ．
[ 7 分] [ 8 分]
这 2 人均被录用的情况有 4 种，即： M 1 F1 , M 1 F2 , M 2 F1 , M 2 F2 ．
记“从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 1 名男性和 1 名女性，这 2 人均被录用”为事件 K ，则 P( K )
14．某班共有学生 40 名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班 18 人不会打乒乓球，24 人不会打篮球，16 人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．
第 3 页共 10 页
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分）设等差数列 {an } 的公差不为 0， a2 1 ，且 a 2 ， a3 ， a 6 成等比数列．（Ⅰ）求 {an } 的通项公式；（Ⅱ）设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，求使 S n > 35 成立的 n 的最小值．
2 （C） { x R | x 3} 3 2 （B） { x R | 1 x } 3

【高三数学试题精选】2018年西城区高三一模数学文科试题(有答案)

10．若抛物线的焦点在直线上，则_____；的准线方程为_____．
11．已知函数若，则实数______；函数的最大值为_____．
12．执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为______．
13．若不等式组表示的平面区域是一个
四边形，则实数的取值范围是__________
14．如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点设，，记，则____；函数的值域为_________
上是增函数”的（）
（A）充分而不必要条（B）必要而不充分条
（c）充分必要条（D）既不充分也不必要条
7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元设该设备使用了年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）
2018年西城区高三一模数学文科试题（有答案）
5
c
北京市西城区2018年高三一模试卷
数学（科）20184
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集，集合，则集合（）
（A）
（B）
（c）
（D）
2．已知平面向量，，那么等于（）
（A）
（B）
（c）
（D）
3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心
率为（）
（A）
（B）
（c）
（D）
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
（A）
（B）
（c）
（D）
5．下列函数中，对于任意，同时满足条和的函数是（）

西城区高三数学4月统一测试(一模)试题文(2021年整理)

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北京市西城区2017届高三数学4月统一测试（一模)试题文第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =,{1,4}B =,那么UA B =（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C){1,2,4,6} (D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于（A)第一象限（B)第二象限（C)第三象限(D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ），(0, （B ）,( (C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点"是“()f x 为奇函数"的(A)充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B)1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C)2133AD AB AC −−→−−→−−→=+（D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（A）（B)6 (C）（D)8．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性质P ．下列函数中，具有性质P 的是（A ）2()f x x = (B ）21()1f x x =+ (C ）()sin f x x =(D)()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分． 9．函数()f x =的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____．12．函数sin 4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列,13a =,424a =．数列{}n b 满足11b =,48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解,预估了每道题的难度，如下表所示:题号12345考前预估难度i P 0。

2018届北京市西城区高三一模文科数学试题及答案

北京市西城区高三一模试卷数学（文科） 4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合U A =ð（）（A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）(1,2) （D ）[1,2)2．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,3)=b ，那么|a +b |等于（）（A ）5 （B（C（D ）133．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（）（A（B ）2 （C（D4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ）2正(主)视图俯视图侧(左)视图（B ）43（C ）4 （D ）56．设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在R 上是增函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（）（A）()sin =f x x （B ）()sin 2=f x x （C）()cos =f x x（D ）()cos 2=f x x盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）78. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（）（A ） 4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．10．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C的准线方程为_____．BADC. P11．已知函数3, 0,()1, 0,1≤+⎧⎪=⎨>⎪+⎩x x f x x x 若0()2=f x ，则实数0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．12．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．13．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是__________.14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点. 设AP xAD = ，PB PC y ⋅=，记()=y f x ，则(1)=f ____；函数()f x 的值域为_________.A BD CP三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知222+=+.b c a bc（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos=B2b=，求a的值.16．（本小题满分13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样．．．．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.（Ⅰ）求证：//AB 平面SCD ；（Ⅱ）求证：SN ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ?若存在，求出SP PC的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数()ln a f x x x=-，其中a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y W a b a b+=>>：的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆W 的方程.（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 与W 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =.20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足104d -<<；（Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1234566332c c c c c c +++++≤.北京市西城区高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．B 3．D 4．C5．D 6．A 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．25- 10．4 2=-x 11．1- 3 12．256 13． (3,5) 14．1 4[,4]5注：第10、11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==， ………………4分又因为 (0,π)∈A ，所以π3A =. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为 cos 3=B ，(0,π)∈B ，所以sin 3B ==， ………………8分由正弦定理sin sin =a bA B， ………………11分得sin 3sin ==b Aa B. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =，0.3=c . ……………… 3分（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A . ……………… 4分由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604()2005+==P A . …………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:403:5:2=.……………… 10分所以按分层抽样法，购买灯泡数 35210()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为10． (13)分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是矩形，所以//AB CD ， ……………… 1分又因为 AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，所以//AB 平面SCD . (3)分（Ⅱ）证明：因为 , , AB SA AB AD SA AD A ⊥⊥= ，所以⊥AB 平面SAD ， ……………… 5分又因为 SN ⊂平面SAD ，所以AB SN⊥. ……………… 6分因为 SA SD =，且N 为AD 中点，所以 SN AD ⊥. 又因为 AB AD A = ，所以SN ⊥平面ABCD . ……………… 8分（Ⅲ）解：如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN交SC 于点P ，连接PB ，PD . 因为 SN ⊥平面ABCD ，所以 FP ⊥平面ABCD .又因为 FP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD . 在矩形ABCD 中，因为//ND BC ，所以12NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ，所以12NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ，此时12SP PC =. ……… 14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由2()ln f x x x=-，得212()f x x x '=+， ……………… 2分所以 (1)3f '=，又因为 (1)2f =-，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为350x y --=. (4)分（Ⅱ）解：由 ()2f x x >-+，得ln 2a x x x->-+，即2ln 2a x x x x <+-. ……………… 6分设函数2()ln 2g x x x x x =+-，则()ln 21g x x x '=+-， ……………… 8分因为(1,)x ∈+∞，所以ln 0x >，210x ->，所以当(1,)x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->， (10)分故函数()g x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1g x g >=-. ……………… 11分因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立，所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立. 所以1a -≤. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得椭圆W 的半焦距1c =，右焦点(1,0)F ，上顶点(0,)M b ，…… 1分所以直线MF 的斜率为0101-==--MF b k ，解得1b =， ……………… 3分由 222a b c =+，得22a =，所以椭圆W 的方程为2212x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中1k =或2，11(,)A x y ，22(,)B x y .… 6分由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>，（*）由韦达定理，得122412km x x k -+=+,21222212m x x k-=+. ……………… 8分所以||AB ==…… 9分因为原点O到直线y kx m=+的距离d =， ……………… 10分所以1||2AOB S AB d ∆=⋅= ……………… 11分当1k =时，因为AOB S ∆=所以当232m =时，AOB S ∆的最大值12S =，验证知（*）成立； ……………… 12分当2k =时，因为AOB S ∆=所以当292m =时，AOB S ∆的最大值22S =；验证知（*）成立. 所以12S S =. ……………… 14分注：本题中对于任意给定的k ，AOB ∆.20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列：12，14，18. ……………… 2分（Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥，所以210d b b =-<. ……………… 4分因为 514b b d =+，151,0b b >≤，所以 514011d b b =->-=-，解得 14d >-. 所以104d -<<. ……………… 7分（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++. 因为{}n c 为{}n a 的一个6项子列，所以q为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤. ……………… 8分设 (,Kq K L L*=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）.当1K =时，因为 112q L =≤，所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++2345111111()()()()22222+++++≤，所以1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 10分当1K ≠时，因为 556151==⨯K c c q a L是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以 5*()a K M M =⨯∈N ，所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++543223*********()M K K L K L K L KL L=+++++.因为 2L ≥，*,K M ∈N ，所以 234512345611111631()()()()2222232c c c c c c ++++++++++=≤. 综上，1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 13分。

2017西城区高三(一模)文数试题及答案(1)

2017年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，那么 A∩∁U B=（）A．{3，5} B．{2，4，6} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，5，6}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．双曲线y2﹣=1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣）B．（，0），（，0）C．（0，2），（0，﹣2） D．（2，0），（﹣2，0）4．函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．则“曲线：y=f（x）过原点”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．在△ABC中，点D满足=3，则（）A． =+B． =﹣C． =+D． =﹣7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（）A．4 B．6 C．4 D．28．函数f（x）的图象上任意一点A（x，y）的坐标满足条件|x|≥|y|，称函数f（x）具有性质P，下列函数中，具有性质P的是（）A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=sinx D．f（x）=ln（x+1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数 y=的定义域为．10．执行如图所示的程序框图．当输入x=ln时，输出的y值为11．圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心坐标是，直线l：x﹣y=0与圆C相交于A，B两点，则|AB|= ．12．函数f（x）=的最小正周期是．13．实数x，y满足，则x2+y2的最大值是；最小值是．14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动．平面区域W由所有满足A1P≥的点P组成，则W的面积是．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知{a n}是等比数列，数列满足a1=3，a4=24，数列{b n}满足b1=1，b4=﹣8，且{a n+b n} 是等差数列．（I ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（II）求数列{b n}的前n项和．16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且atanC=2csinA．（I）求角C的大小；（II）求sinA+sinB的最大值．17．（13分）在测试中，客观题难度的计算公式为P i=，其中P i为第i题的难度，R i为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校髙三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：题号 1 2 3 4 5考前预估难度P i0.9 0.8 0.7 0.6 0.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：1 2 3 4 5题号学生编号1 ×√√√√2 √√√√×3 √√√√×4 √√√××5 √√√√√6 √××√×7 ×√√√×8 √××××9 √√√××10 √√√√×（I）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5实测答对人数实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量S= [（P′1﹣P1）2+（P′2﹣P2）2+…+（P′n﹣P n）2]，其中P′i为第i题的实测难度，P i为第i 题的预估难度（i=l，2，…，n），规定：若S＜0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD，PA=AC．过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G（E，F，G三点均不在棱的端点处）．（I）求证：平面PAB丄平面PBC（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，求的值；（Ⅲ）直线AE是否可能与平面PCD平行？证明你的结论．19．（14分）如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为为，F为椭圆C的右焦点A（﹣a，0），|AF|=3．（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M．直线OM与直线x=4交于点D，过O作OE丄DF，交直线x=4于点E．求证：OE∥AP．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣x2，设l为曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线，其中x0∈[﹣1，1]．（1）求直线l的方程（用x0表示）（2）求直线l在y轴上的截距的取值范围；（3）设直线y=a分别与曲线y=f（x）（x∈[0，+∞））和射线y=x﹣1（x∈[0，+∞））交于M，N两点，求|MN|的最小值及此时a的值．数学试题答案一、1．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，计算即可．【解答】解：全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，∴∁U B={2，3，5，6}；∴A∩∁U B={3，5}．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】复数分母实数化，再化简即可．【解答】解： =故选D．【点评】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．3．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，进而有双曲线的焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为y2﹣=1，其焦点在y轴上，且a=1，b=，则c==2，则其焦点坐标为（0，2）、（0，﹣2）；故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，涉及双曲线的焦点坐标，注意由双曲线的标准方程分析其焦点位置．4．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】将方程的解的个数转化为两个函数的交点问题，通过图象即可解答．【解答】解：函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数，是方程log2x﹣（）x=0的实数根的个数，即log2x=（）x，令f（x）=log2x，g（x）=（）x，画出函数的图象，如图所示：由图象得：f（x）与g（x）有1个交点，∴函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数为1个，故选：B．【点评】本题考查了函数零点的应用问题，也考查了转化思想，数形结合思想的应用问题，是基础题．5．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．若“f（x）为奇函数”，则f（0）=0，反之不成立．【解答】解：∵函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．若“f（x）为奇函数”，则f（0）=0，若曲线：y=f（x）过原点”，则f（x）不一定为奇函数．：y=f（x）过原点”是“f（x）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义计算即可．【解答】解：△ABC中，点D满足=3，则=+=+=+（﹣）=+，故选：C【点评】本题考查了向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义，属于基础题．7．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以边长为4的等腰直角三角形为底面，高为4的四面体，计算各条棱的长度可得答案．【解答】解：解：由三视图知：几何体是三棱锥，边长为4的等腰直角三角形为底面，高为4，（如图），∵AC=4，BC=4，AC⊥BC，SO⊥BC，SO=4，OB=OC=2，∴AB=4，AO=SB=SC=2，AOS是三角形直角，∴AS=6．∴棱的最长是AS=6，故选：B．【点评】本题考查的知识点是三视图投影关系，根据已知的三视图，判断几何体的形状和尺寸关系是解答的关键．8．【考点】3T：函数的值．【分析】不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示，函数f（x）具有性质P，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，由此能求出结果【解答】解：不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示：函数f（x）具有性质P，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，在A中，f（x）=x2图象分布在区域①②和③内，故A不具有性质P；在B中，图象分布在区域②和③内，故B不具有性质P；在C中，f（x）=sinx图象分布在区域①和②内，故C具有性质P；在D中，f（x）=ln（x+1）图象分布在区域②和④内，故D不具有性质P．故选：C．【点评】本题考查函数是否具有性质P的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、数形结合思想的合理运用．二、9．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】求该函数的定义域，直接让x≥0，且x﹣1≠0，求解x即可．【解答】解：由x≥0，x﹣1≠0得：x≥0，且x≠1．所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是让根式内部的代数式大于等于0，分母不能为0，属基础题．10．【考点】EF：程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的作用是计算并输出分段函数y=的值，由于x=ln=﹣ln2＜0，可得：y=e=．故答案为：．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案，是容易题．11．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】本题可以将圆的普通方程化成为标准方程，得到圆心坐标和半径长，得到本题结论．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心坐标和半径分别为：（1，1），1．圆心在直线l：x﹣y=0，∴|AB|=2，故答案为：（1，1），2．【点评】本题考查了圆的普通方程和标准方程的互化，本题难度不大，属于基础题．12．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数公式化简只有一个函数名，即可求解周期．【解答】解：函数f（x）===tan2x．∴最小正周期T=．故答案为．【点评】本题主要考查三角函数的化简能力及图象和性质，比较基础．13．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到z最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域：而z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离的平方，点在阴影区域里运动时，点P到点O，OP最大当在点P（1，2），z最大，最大值为02+22=4，Q在直线2x+y﹣2=0，OQ与直线垂直距离最小，可得z的最小值为： =，故答案为：4；．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．14．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】可得P的轨迹就是以A1为球心的球面与面ABCD的交线．即以A为圆心，半径为1的圆面【解答】解：通过作图，当A1P=时，分析得到P在以A1为球心，以为半径的球面上，又点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，由此可得P的轨迹就是球与面ABCD的交公共部分，即以A为圆心，半径为1的圆面，其面积为．故答案为：【点评】本题考查了空间轨迹问题，考查了学生的空间想象能力，是中档题．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由题意得a4=a1q3，∴q 3=8，解得q=2，∴a n =3×2n ﹣1，设等差数列{a n +b n } 的公差为d ，由题意得：a 4+b 4=（a 1+b 1 ）+3d ，∴24﹣8=（1+3）+3d ，解得d=4，∴a n +b n =4+4（n ﹣1）=4n ，∴b n =4n ﹣3×2n ﹣1，（Ⅱ）数列{a n }的前n 项和为=﹣3+3×2n ，数列{a n +b n }的前n 项和为=n （2n ﹣4）=2n 2﹣4n ，故{b n }的前n 项和为2n 2﹣4n+3﹣3×2n【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查了利用分组求和的方法求解数列的前n 项和，是中档题．16．【考点】GH ：同角三角函数基本关系的运用．【分析】（I ）根据正弦定理和商的关系化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C 的值．（II ）利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinA+sinB=sin （A+），由范围＜A+＜，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．【解答】解：（I ）∵2csinA=atanC ，∴由正弦定理得，2sinCsinA=sinAtanC ，则2sinC sinA=sinA•，由sinCsinA ≠0得，cosC=，∵0＜C ＜π，∴C=．（II ）则A+B=，∴B=﹣A ，0＜A ＜，∴sinA+sinB=sinA+sin （﹣A ）=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA=sin （A+），∵0＜A ＜，∴＜A+＜， ∴当A+=时，sinA+sinB 取得最大值，【点评】本题考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，求出C的大小是解决本题的关键，考查了转化思想和数形结合思想，属于基本知识的考查．17．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（I）根据题中数据，统计各题答对的人数，进而根据P i=，得到难度系数；（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可得从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）由S= [（P′1﹣P1）2+（P′2﹣P2）2+…+（P′n﹣P n）2]计算出S值，与0.05比较后，可得答案．【解答】解：（I）根据题中数据，可得抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表所示：；题号 1 2 3 4 5实测答对人数8 8 8 7 2实测难度0.8 0.8 0.8 0.7 0.2（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，共有=10种不同的情况，其中恰好有1人答对第5题的有=6种不同的情况，故恰好有1人答对第5题的概率P==；（Ⅲ）由题意得：S= [（0.8﹣0.9）2+（0.8﹣0.8）2+（0.8﹣0.7）2+（0.7﹣0.6）2+（0.2﹣0.4）2]=0.014＜0.05，故该次测试的难度预估合理．【点评】本题考查的知识点是统计与概率，古典概型的概率计算公式，难度不大，属于基础题．18．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，可得BC⊥面PAB，即平面PAB丄平面PBC．（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，则有PC丄AF，又因为PA=AC，即F为PC中点，可得，（Ⅲ）假设AE∥面PCD，又因为AB∥面PCD，且AE∩AB=A，⇒面PAB∥面PDC，与已知矛盾．【解答】解（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，∵底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD，∴PA⊥BC，BC⊥AB，又因为PA∩AB=A，∴BC⊥面PAB，∵BC⊂面PBC，∴平面PAB丄平面PBC．（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，则有PC丄AF，又因为PA=AC，∴F为PC中点，∴，（Ⅲ）直线AE是不可能与平面PCD平行．假设AE∥面PCD，又因为AB∥面PCD，且AE∩AB=A，⇒面PAB∥面PDC，与已知矛盾．假设不成立，∴直线AE是不可能与平面PCD平行．【点评】本题考查了空间线线、线面、面面位置关系，属于中档题．19．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，依题意列式求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（﹣2，0），设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1），设出直线AP方程为：y=k（x+2）（k≠0），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得M的坐标，进一步求出直线OM的斜率，得到直线OM的方程，再求得D的坐标，得到直线DF的斜率，由OE丄DF可得OE的斜率，则答案得证．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c，依题意，得：，a+c=3，解得a=2，c=1．∴b2=a2﹣c2=3，则椭圆方程为：；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，A（﹣2，0），设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1），设直线AP方程为：y=k（x+2）（k≠0），联立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0．∴，，．即M（），∴直线OM的斜率是，∴直线OM的方程是y=﹣，令x=4，得D（4，﹣）．由F（1，0），得直线DF的斜率是，∵OE丄DF，∴直线OE的斜率为k，∴OE∥AP．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．20．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，求出切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；（2）由直线l的方程，可令x=0，求出y，再求导数，判断导数符号小于等于0，可得函数y的单调性，即可得到所求最值，进而得到l在y轴上截距的范围；（3）设a=e x﹣x2的解为x1，a=x﹣1的解为x2，可得x2=1+e x1﹣x12，求得|MN|=|x2﹣x1|=|1+e x1﹣x12﹣x1|，x1≥0，设y=1+e x﹣x2﹣x，二次求出导数，即可判断函数y的单调性，即可得到所求最小值及a的值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣x2的导数为f′（x）=e x﹣x，可得切线的斜率为k=e x0﹣x0，切点为（x0，e x0﹣x02），切线l的方程为y﹣e x0+x02=（e x0﹣x0）（x﹣x0），即为（e x0﹣x0）x﹣y+e x0（1﹣x0）+x02=0；（2）由直线l：（e x0﹣x0）x﹣y+e x0（1﹣x0）+x02=0，令x=0，可得y=e x0（1﹣x0）+x02，x0∈[﹣1，1]．则y′=e x0（﹣x0）+x0=x0（1﹣e x0），当x0=0时，1﹣e x0=0，则x0（1﹣e x0）=0；当x0＞0时，1﹣e x0＜0，则x0（1﹣e x0）＜0；当x0＜0时，1﹣e x0＞0，则x0（1﹣e x0）＜0；综上可得x0（1﹣e x0）≤0恒成立．则y=e x0（1﹣x0）+x02，在x0∈[﹣1，1]上递减，可得y的最大值为+，最小值为．则直线l在y轴上的截距的取值范围是[， +]；（3）设a=e x﹣x2的解为x1，a=x﹣1的解为x2，可得x2=1+e x1﹣x12，|MN|=|x2﹣x1|=|1+e x1﹣x12﹣x1|，x1≥0，设y=1+e x﹣x2﹣x，则y′=e x﹣x﹣1，y′′=e x﹣1，可得e x﹣1≥0，则y′在[0，+∞）递增，即有1+e x﹣x2﹣x[0，+∞）递增，可得1+e x﹣x2﹣x≥1+1﹣0=2，则|MN|的最小值为2，此时a=1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查方程思想和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，考查运算能力，属于中档题．。

2017-2018学年西城区一模(文)数学试卷及答案

西城区高三统一测试数学（文科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B = （A ）{|1}x x ∈<-R（B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a = （A ）7（B ）7-（C ）1 （D ）1-3．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）54．若函数2,0,()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=（A ）233-（B ）233 （C ）29-（D ）295．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ）33 （B ）932（C ）63+ （D ）623+6．已知二次函数2()f x ax bx c =++．则“0a <”是“()0f x <恒成立”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ= （A ）2-（B ）12-（C ）2- （D ）28．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．满足到直线1AA 和CD的距离相等的点P （A ）不存在（B ）恰有1个（C ）恰有2个（D ）有无数个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数1()ln f x x=的定义域是____． 10．已知x ，y 满足条件 1,1,10, x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥则2z x y =+的最小值为____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____． 12．在△ABC 中，7b =，5c =，3B 2π∠=，则a =____． 13．能够说明“存在不相等的正数a ，b ，使得a b ab +=”是真命题的一组a ，b 的值为____． 14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设等差数列{}n a 的公差不为0，21a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使35n S >成立的n 的最小值．16．（本小题满分13分）函数π()2cos cos()3f x x x m =⋅-+的部分图象如图所示．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求0x 的值．17．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A 269 167 62% 40 24 60%B 40 12 30% 202 62 31%C 177 57 32% 184 59 32%D 44 26 59% 38 22 58%E 3 2 67% 3 2 67% 总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）18．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，25AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2．（Ⅰ）求证：//EF 平面1A BD ；（Ⅱ）求证：平面1A OB ⊥平面1A OC ；（Ⅲ）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．图1 图219．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠= ，求点B 横坐标的取值范围．20．（本小题满分13分）已知函数()e (ln )x f x a x =⋅+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）记()f x 的导函数为()g x ．当(0,ln 2)a ∈时，证明： ()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(0,1)(1,)+∞ 10．5- 11．3，30x y ±=12．3 13．3,32（答案不唯一） 14．22注：第11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠．因为 2a ，3a ，6a 成等比数列，所以2326a a a =⋅． [ 2分]即 2(1)14d d +=+， [ 4分] 解得 2d =，或0d =（舍去）． [ 6分] 所以 {}n a 的通项公式为2(2)23n a a n d n =+-=-． [ 8分] （Ⅱ）因为 23n a n =-，所以 2121()()222n n n n a a n a a S n n -++===-． [10分] 依题意有 2235n n ->，解得 7n >． [12分] 使35n S >成立的n 的最小值为8． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，有2π()13f =-， [ 2分] 所以 2ππ2cos cos 133m ⋅+=-，解得 12m =-． [ 4分]（Ⅱ）因为π1()2cos cos()32f x x x =⋅--1312cos (cos sin )222x x x =⋅+- [ 6分]213sin cos cos 2x x x =+-31sin 2cos 222x x =+ [ 9分]πsin(2)6x =+． [10分]所以 ()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [11分]所以 02ππ7π326x =+=． [13分] 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为 5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=．所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =． [ 3分]（Ⅱ）记应聘E 岗位的男性为1M ，2M ，3M ，被录用者为1M ，2M ；应聘E 岗位的女性为1F ，2F ，3F ，被录用者为1F ，2F ． [ 4分]从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：111213212223313233,,,,,,,,M F M F M F M F M F M F M F M F M F ． [ 7分]这2人均被录用的情况有4种，即：11122122,,,M F M F M F M F ． [ 8分] 记“从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件K ，则 4()9P K =． [10分] （Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分] 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ． [ 1分] 因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =．因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //HF BC ，12HF BC =，所以 //HF DE ，HF DE =，所以四边形DEFH 为平行四边形， [ 3分] 所以 //EF HD ． [ 4分] 因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD ． [ 5分] （Ⅱ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =．所以 11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1AO DE ⊥． [ 6分] 因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ，所以 1AO ⊥平面BCED ， [ 7分] 所以 1CO AO ⊥． [ 8分] 在△OBC 中，4BC =，易知 22OB OC ==，所以 CO BO ⊥，所以 CO ⊥平面1A OB ， [ 9分] 所以平面1A OB ⊥平面1A OC ． [10分] （Ⅲ）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． [11分] 否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在 Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得 G 为OC 的中点． [12分] 在 △EOC 中，因为 OC GE ⊥，所以 EO EC =，这显然与 1EO =，5EC =矛盾！所以线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得22c a =，22ab =，且222a b c =+． [ 3分] 解得 2a =，2b =．所以椭圆C 的方程为 22142x y +=． [ 5分]（Ⅱ）“椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠= ”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ，使得0PA PB −−→−−→⋅=成立”． [ 6分] 依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则2224m n +=， [ 7分] 且 (2,)(,)0m n t m n --⋅--=，即 2(2)()0m t m n --+=． [ 9分]将 2242m n -=代入上式，得 2(2)()204m m t m ---+=． [10分] 因为 22m -<<，所以 202mt m +-+=，即 22m t =+． [12分] 所以 2222t -<+<，解得 20t -<<，所以点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）11()e (ln )e e (ln )xxx f x a x a x x x'=⋅++⋅=⋅++． [ 2分] 依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=， [ 3分]解得 0a =． [ 4分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 1()e (ln )xg x a x x=⋅++，所以 2211121()e (ln )e ()e (ln )xx x g x a x a x x x x x x'=⋅+++⋅-=⋅+-+． [ 6分]因为 e 0x>，所以()g x '与221ln a x x x +-+同号．设 221()ln h x a x x x=+-+， [ 7分] 则 223322(1)1()x x x h x x x -+-+'==．所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞单调递增． [ 8分] 因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10h a =+>，11()ln 022h a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得 0()0h x =． [10分]()g x 与()g x '在区间1(,1)2上的情况如下：x01(,)2x 0x0(,1)x()g x ' -+ ()g x↘ 极小值↗所以 ()g x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以若(0,ln 2)a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()g x 的极小值点． [11分]令 0()0h x =，得 00212ln x a x x -+=，所以 00000212()e (ln )e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<． [13分]。

北京市西城区2017届高三一模考试数学文试题Word版含答案

西城区高三统一测试数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么UA B =（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ）2)，(0,2) （B ）2,0)，(2,0) （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为（A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+ （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（A ）43 （B ）6 （C ）42 （D ）258．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性质P ．下列函数中，具有性质P 的是（A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()xf x 的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____． 11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin 4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足15A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5 考前预估难度i P测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号题号123 4 5 1 ×√ √ √ √2 √ √ √ √ ×3 √ √ √ √× 4 √ √ √ ××5 √ √√√ √6 √××√ × 7 ×√√√× 8 √ ×× × × 9 √ √ ××× 10√√√√×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5 实测答对人数实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值；（Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）；（Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．1211．(1,1)；212．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==，解得 2q =． [ 2分]所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分]所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分]由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分]所以 1cos 2C =． [ 4分]因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分]（Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]33sin 2A A = [ 9分]π3sin()6A +． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以当π3A =时，sin sin A B +取得最大值3． [1317．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度[4分]所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分]（Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分] 又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分]所以12PF PC =．[ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行．[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分]所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分]所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=．因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -．[ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分]所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分]所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP DF ⊥． [13分]因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-．所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：x1-(1,0)- 0 (0,1) 1()g x '-0 -()g x21e 2+ ↘ 1↘12百度文库 - 让每个人平等地提升自我1111 所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==，所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分] （Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形．[ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分]设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞，所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>，所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增，所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增，[12分]所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =．[13分]。

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