高二数学二项式定理10
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2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(北师版)教学课件第五章-§4二项式定理
（1）“赋值法”是解决二项式系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值.
一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令＝0可得常数项，令＝1可得所有项
系数之和，令＝ − 1可得奇数项系数之和与偶数项系数之和的差.
（2）一般地，二项展开式（）中的各项系数和为（1），
1
1
奇数项系数和为2 ［ （1） + （ − 1）］，偶数项系数和为2 ［ （1） − （ − 1）］.
选择性必修第一册
北师大版
反思感悟 运用二项式定理的解题策略
（1）展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解
二项式的特点是展开二项式的前提.
（2）在展开二项式之前，根据二项式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程
得到简化.
（3）对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解，要熟
悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
二、求二项展开式中的特定项或其系数
例2
已知在
3
−
3
的展开式中，第6项为常数项.
3
（1）求；（2）求含2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
解
通项为+1＝C
−
3
−3
3
−
＝C
−3
变化情况，一般采用列不等式组的方法求得.
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
四、二项展开式的系数和问题
例4
已知（1 − 2）7＝0 + 1 + 22 + ⋯ + 77，求下列各式的值.
一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令＝0可得常数项，令＝1可得所有项
系数之和，令＝ − 1可得奇数项系数之和与偶数项系数之和的差.
（2）一般地，二项展开式（）中的各项系数和为（1），
1
1
奇数项系数和为2 ［ （1） + （ − 1）］，偶数项系数和为2 ［ （1） − （ − 1）］.
选择性必修第一册
北师大版
反思感悟 运用二项式定理的解题策略
（1）展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解
二项式的特点是展开二项式的前提.
（2）在展开二项式之前，根据二项式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程
得到简化.
（3）对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解，要熟
悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
二、求二项展开式中的特定项或其系数
例2
已知在
3
−
3
的展开式中，第6项为常数项.
3
（1）求；（2）求含2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
解
通项为+1＝C
−
3
−3
3
−
＝C
−3
变化情况，一般采用列不等式组的方法求得.
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
四、二项展开式的系数和问题
例4
已知（1 − 2）7＝0 + 1 + 22 + ⋯ + 77，求下列各式的值.
高二数学二项式定理
注1）．二项展开式共有n+1项 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此
如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋ … ＋Cnr xr ＋…+ xn
应用
例 1： 展 开 （1＋ 1 )4
x
解（: 1＋
1 x
)4
1
C
1 4
(
1 x
)
C
2 4
(
1 )2 x
C
3 4
(
1 x
)3 x
)4
1
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
.
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
二项展开式定理
一般地，对于n N*有
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr ： 二项式系数
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋ … ＋Cnr xr ＋…+ xn
应用
例 1： 展 开 （1＋ 1 )4
x
解（: 1＋
1 x
)4
1
C
1 4
(
1 x
)
C
2 4
(
1 )2 x
C
3 4
(
1 x
)3 x
)4
1
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
.
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
二项展开式定理
一般地，对于n N*有
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr ： 二项式系数
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
二项式定理(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)
二项式系数的和.
典型例题
例4 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（1）二项式系数之和为：90 + 91 + 92 +. . . +99 = 29 .
1
1
2
3
4
= 2 (1+12x+54x +108x +81x )= 2
12
+ +54+108x+81x2.
(2)原式=C0 (x+1)n+C1 (x+1)n-1(-1)+C2 (x+1)n-2·(-1)2+…+C (x+1)n-k(-1)k
+…+C (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
式中的Cnk − 叫做二项展开式的通项，记作 Tk+1 ，为展开式的
第k+1项.
r
1
Tk+1=Cnk −
第 k+1项
探究新知
二项展开式的特点：
1、总共n+1项；
2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中a、b的指数和为n；
3、第k+1项的二项式系数为Cnk .
探究新知
（3）当a=1,b=1时，
(1+1)n=
Cn0 + Cn1 +. . . +Cnn = 2
典型例题
1 6
例1 求 ( + ) 的展开式.
典型例题
例4 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（1）二项式系数之和为：90 + 91 + 92 +. . . +99 = 29 .
1
1
2
3
4
= 2 (1+12x+54x +108x +81x )= 2
12
+ +54+108x+81x2.
(2)原式=C0 (x+1)n+C1 (x+1)n-1(-1)+C2 (x+1)n-2·(-1)2+…+C (x+1)n-k(-1)k
+…+C (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
式中的Cnk − 叫做二项展开式的通项，记作 Tk+1 ，为展开式的
第k+1项.
r
1
Tk+1=Cnk −
第 k+1项
探究新知
二项展开式的特点：
1、总共n+1项；
2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中a、b的指数和为n；
3、第k+1项的二项式系数为Cnk .
探究新知
（3）当a=1,b=1时，
(1+1)n=
Cn0 + Cn1 +. . . +Cnn = 2
典型例题
1 6
例1 求 ( + ) 的展开式.
二项式定理课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
它一共有
n＋1
项，其中各项的系数C
k n
(k
0,1,
2
,
n)
叫做二项式系数.
二项展开式中的C
k n
ank
bk
叫做二项展开式的通项，用Tk 1
来表示，即通项
为展开式第k＋1项，即
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
.
—此公式叫做通项公式.
二项式定理：
(a
b)n
C n0a n
Cn1a n1b Cn2a n2b2
a a4 中含有0个b, 对应系数 C04 ；
a3b
aa a
b a3b 中含有1个b, 对应系数 C14 ；
a2b2
aa
b
b a2b2 中含有2个b, 对应系数 C24 ；
ab3
ab
b
b
ab3 中含有3个b, 对应系数 C34 ；
b4
bbb b
b4 中含有4个b, 对应系数 C44 .
由计数原理分析可以得到：
an
a a ...... a a a an中含有0个b,对应系数C0n ；
an1b
a a ...... a a b an1b中含有1个b,对应系数C1n ；
......
ank bk
a a ...... b b b ......
ank bk中含有k个b, 对应系数 Ckn ；
a bn1
a b ...... b b b
abn1中含有n
1个
b,
对应系数
Cn1 n
；
bn
b b ...... b b b bn中含有n个b,对应系数Cnn ；
二项式定理+课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版(2019)选择性必修第一册
a7 .
解：
在展开式中取 x 0 ，则 a0 1 .
再在展开式中取 x 1，得 1 a0 a1 a2
于是 a1 a2
a7 1 a0 2
a7 ，
课堂巩固
A 1.已知
x2 2
1 x
n
的展开式中第
9
项为常数项，则展开式中的各项系数之和为(
)
1 A. 210
B.
1 210
C. 210
D. 210
解析：
Tr 1 Crnan rbr
在二项式定理中，如果设 a 1，b x ，则得到公式:
(1 x)n C0n C1n x C2n x2
Crn xr
Cnn xn
例题来了
例 1 求 (3 x 1 )4 的展开式. x
解：
（3 x 1 )4 (3x 1)4
x
x2
1 x2
[C40 (3x)4
C41 (3x)3
解析：由于 x5 y2 x2 2 x y2 ， 所以 2x2 x y 5 的展开式中含 x5 y2 的项为 C52 2x2 2 C13x1 C22 y 2 120x5 y2 ， 所以 2x2 x y 5 的展开式中 x5 y2 的系数为 120.
7.
2
x
1 x
作黑球.考虑 n 个均放有一个红球和一个黑球的盒子.现从每个盒子中取一个球，有选
红球或选黑球两利选择，其结果可分为 n 1类：
第
1
类，取出的
n
个球中，有
n
个红球，即
0
个黑球，共有
C
0 n
种取法，所以展开式
中一共有 C0n 项 an .
第 2 类，取出的 n 个球中，有 n 1 个红球，即 1 个黑球，共有C1n 种取法，所以
第十章 统计与概率10-7二项式定理(理)
－
重点难点 重点：二项式展开式的通项和二项式系数的 性质． 难点：二项式系数的性质、二项式系数与项 的系数的区别． 知识归纳 1．二项式定理 (a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr ＋…Cnn－1abn－1＋Cnnbn(n∈N＋)，叫做二项 式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展 开式，其通项公式为Tr＋1＝Cnran－rbr. (a－b)n的展开式第r＋1项T ＝(－1)r·C ran
2011 2011 a2011 C2011 －2 又 2011＝ ＝－1，∴原式＝－1. 2 22011
答案：－1
点评：观察待求式可以发现将已知等式右边的x换为
1 1 a1 a2 a2011 可得，因此可令x＝ 得，a0＋ ＋ 2 ＋…＋ 2011 ＝0，只 2 2 2 2 2 要求出a0即可，不难发现已知等式中，当x＝0时，有a0 a1 a2 a2011 ＝1，∴ 2 ＋22…＋22011＝－1.
－ －2r
＝(－1)r 1C10r 1·11 r·12 2 x Tr＋2＝C10
＋
－
－
，
r＋1
(2x)
＋
9 －r
1 ＋ － · x r 1
－ －2r
＝(－1)r 1C10r 1·9 r·8 2 x
，
C r·10－r≥C r－1·11－r 2 10 2 10 ∴ r 10－r ＋ － C10 · 2 ≥C10r 1·9 r 2 C r≥2C r－1 10 10 ∴ ＋ 2C10r≥C10r 1
(2010· 全国卷Ⅰ，5)(1－x)4(1－ x )3的展开式中x2的 系数是( A．－6 C．0 ) B．－3 D．3
重点难点 重点：二项式展开式的通项和二项式系数的 性质． 难点：二项式系数的性质、二项式系数与项 的系数的区别． 知识归纳 1．二项式定理 (a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr ＋…Cnn－1abn－1＋Cnnbn(n∈N＋)，叫做二项 式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展 开式，其通项公式为Tr＋1＝Cnran－rbr. (a－b)n的展开式第r＋1项T ＝(－1)r·C ran
2011 2011 a2011 C2011 －2 又 2011＝ ＝－1，∴原式＝－1. 2 22011
答案：－1
点评：观察待求式可以发现将已知等式右边的x换为
1 1 a1 a2 a2011 可得，因此可令x＝ 得，a0＋ ＋ 2 ＋…＋ 2011 ＝0，只 2 2 2 2 2 要求出a0即可，不难发现已知等式中，当x＝0时，有a0 a1 a2 a2011 ＝1，∴ 2 ＋22…＋22011＝－1.
－ －2r
＝(－1)r 1C10r 1·11 r·12 2 x Tr＋2＝C10
＋
－
－
，
r＋1
(2x)
＋
9 －r
1 ＋ － · x r 1
－ －2r
＝(－1)r 1C10r 1·9 r·8 2 x
，
C r·10－r≥C r－1·11－r 2 10 2 10 ∴ r 10－r ＋ － C10 · 2 ≥C10r 1·9 r 2 C r≥2C r－1 10 10 ∴ ＋ 2C10r≥C10r 1
(2010· 全国卷Ⅰ，5)(1－x)4(1－ x )3的展开式中x2的 系数是( A．－6 C．0 ) B．－3 D．3
高二数学人选修课件二项式定理
二项式定理是描述二项式展开后各项系数规律的定理，其通项公式 为T(r+1)=C(n,r)a^(n-r)b^r，其中n为二项式的次数，r为当前项 的序号。
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。
高二数学二项式定理
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
问题探究
(1＋2x)7的展开式中第4项的二项式 系数和系数分别是什么？
二项式系数： 系数：
， .
典例讲评例1 求源自的展开式.例2 求 系数.
的展开式中x3的 －84
课堂小结
1.二项式定理是以公式的形式给出
的一个恒等式，其中n是正整数，a，b
可以任意取值，也可以是代数式.
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上 统称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
问题探究
问题探究
问题探究
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
如何证明这个猜想？
形成结论
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展 开式，其中各项的系数 (k＝0，1， 2，…，n)叫做二项式系数.
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次数
为n且按降幂排列；字母b的最高次
（n∈N*）.
；腾耀2 腾耀2平台 腾耀2 腾耀2平台 ；
小说通过讲述剃刀侠在不知不觉中杀死了蓝翎爷的故事，表现了剃刀侠高超的武艺，以及表达了对我国民间奇人的敬佩之情。 （2）小说情节多处暗示了蓝翎爷之死，请简要分析。哪些情节暗示了蓝翎爷之死，请举例：（6分） （3）小说中蓝翎爷和剃刀侠的形象形成多方面的鲜明对照，请 分条概括。（6分） （4）小说写了剃刀侠杀蓝翎爷的故事，请探究其深刻意蕴。（8分） 二． 李叔同的传奇
问题探究
(1＋2x)7的展开式中第4项的二项式 系数和系数分别是什么？
二项式系数： 系数：
， .
典例讲评例1 求源自的展开式.例2 求 系数.
的展开式中x3的 －84
课堂小结
1.二项式定理是以公式的形式给出
的一个恒等式，其中n是正整数，a，b
可以任意取值，也可以是代数式.
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上 统称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
问题探究
问题探究
问题探究
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
如何证明这个猜想？
形成结论
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展 开式，其中各项的系数 (k＝0，1， 2，…，n)叫做二项式系数.
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次数
为n且按降幂排列；字母b的最高次
（n∈N*）.
；腾耀2 腾耀2平台 腾耀2 腾耀2平台 ；
小说通过讲述剃刀侠在不知不觉中杀死了蓝翎爷的故事，表现了剃刀侠高超的武艺，以及表达了对我国民间奇人的敬佩之情。 （2）小说情节多处暗示了蓝翎爷之死，请简要分析。哪些情节暗示了蓝翎爷之死，请举例：（6分） （3）小说中蓝翎爷和剃刀侠的形象形成多方面的鲜明对照，请 分条概括。（6分） （4）小说写了剃刀侠杀蓝翎爷的故事，请探究其深刻意蕴。（8分） 二． 李叔同的传奇
高二数学二项式定理
问题探究
(a + b)4 = C 40a 4 + C 41a 3b + C 42a2b2 + C 43ab3 + C 44b4
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a + b)n =
C n0a n + C n1a n- 1b + C n2a n- 2b2 + L
问题探究
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = C 20a2 + C 21ab + C 22b2
问题探究
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) C 30a 3 + C 31a 2b + C 32ab2 + C 33b3
+
C
n n
-
1abn -
1
+
C nnbn
如何证明这个猜想？
形成结论
(a + b)n
=
C n0an
+
C
a1 n-
n
1b
+
L
+
C
ak n-
n
kbk
+
L
+ C nnbn
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，
2，…，n)叫做二项式系数.
问题探究
高二数学二项式定理课件
故 (a+b)3 ＝ C30 a3 ＋C31 a2b ＋ C32ab2 ＋ C33b3
对(a+b)4展开式进行分析:
(每一项怎么来的)
因为(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
展开时，每个括号中要么取a,要么取 b,而且只能取一个来相乘得项,所以展 开后其项的形式有:a4 ,a3b,a2b2, ab3,b4
② 指数：a 按降幂排列，b 按升幂排列， 每一项中a、b的指数和为n
C ③ 系数:第k＋1项的二项式系数为
k n
(r＝0,1,2,…，n）
小试牛刀：
(1)展开：（1 2x）5
（1 2 x)5 C50 (2 x)0 C51(2 x)1 C52 (2 x)2
C
3 5
(
2
x
)3
C54 (2 x)4
展开时，每个括号中要么取a,要么取b, 而且只能取一个来相乘得项,所以展开后 其项的形式有:an ,an-1b,an-2b2, …,bn
最后结果要合并同类项.所以项的系 数为就是该项在展开式中出现的次数. 可计算如下:
因为每个都不取b的情况有1种,即Cn0 , 所以an的系数为Cn0;
因为恰有1个取b的情况有Cn1 种，所 以an-1b的系数为Cn1;
(1)正用：将二项式(a＋b)n 展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到
右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n 的形式，即二项式定理从右到左
使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项
数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．
对(a+b)4展开式进行分析:
(每一项怎么来的)
因为(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
展开时，每个括号中要么取a,要么取 b,而且只能取一个来相乘得项,所以展 开后其项的形式有:a4 ,a3b,a2b2, ab3,b4
② 指数：a 按降幂排列，b 按升幂排列， 每一项中a、b的指数和为n
C ③ 系数:第k＋1项的二项式系数为
k n
(r＝0,1,2,…，n）
小试牛刀：
(1)展开：（1 2x）5
（1 2 x)5 C50 (2 x)0 C51(2 x)1 C52 (2 x)2
C
3 5
(
2
x
)3
C54 (2 x)4
展开时，每个括号中要么取a,要么取b, 而且只能取一个来相乘得项,所以展开后 其项的形式有:an ,an-1b,an-2b2, …,bn
最后结果要合并同类项.所以项的系 数为就是该项在展开式中出现的次数. 可计算如下:
因为每个都不取b的情况有1种,即Cn0 , 所以an的系数为Cn0;
因为恰有1个取b的情况有Cn1 种，所 以an-1b的系数为Cn1;
(1)正用：将二项式(a＋b)n 展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到
右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n 的形式，即二项式定理从右到左
使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项
数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．
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2 x x
n
• 说明:考查二项式通项,注意理 解有理项,常数项的概念. • 方法 :本题属于求二项式的指 定项一类重要问题,它的解法 主要是:设第r+1项为所求指定 项,利用通项公式列出方程,解 方程,利用方程的思想解题.
• 解: (1)T5=
c
4 n
x
nr
n4
2 2 4 cn 2 x x
10
• Ⅱ、例题分析： • 例１、 • （１）在(1+x)10展开式中x5的 系数是_______
• （２）已知 的 展开式中x3的系数为，则常数 a的值是_______
a x x 2
9
• 说明:这些问题属基础题,运用通 项公式有时也有变化的,但其实质 还是通项公式,应熟练掌握. • 方法:在解有关二项式的问题时, 如果已知a,b,n,r,Tr+1这五个量中 的几个或它们的某些关系,求另外 几个,一般是利用通项公式把问题 转化为解方程或解不等式.
x • 4、在 展开式 中的常数项是__________ n1 n1 n n 2 2 • 5、2c1 …+ 2 cn 2 cn n 2 cn =__________________ 10 • 6、(1.01) =_______(保留 到小数点后三位) 1
x
• ∴r=0,2,6,8,10,12, ∴有理项共有7项
• 练习: 4 5 4 • (3) x 1 x 5 展开式中x 的 系数是_______ 2 5 • (4)(x +3x+2) 展开式中x的 系数是_______
• 例３、已知(1-2x)7= a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
• 一、教学目标： • 1、知识目标：掌握二项式定理及有关概 念，通项公式，二项式系数的性质； • 2、思想方法目标：使学生领悟并掌握方 程的思想方法，赋值法，构造法，并通 过变式提高学生的应变能力，创造能力 及逻辑思维能力。 • 3、情感目标：通过学生的主体活动，营 造一种愉悦的情境，使学生自始至终处 于积极思考的氛围中，不断获得成功的 体验，从而对自己的数学学习充满信心。
• 引申: • (1) a2+a3+… +a7=_________ • (2) a0-a1+a2-a3+… -a7 =_________ • (3)a0+a2+a4+a6 =_________
• 练习: • (5)若已知 200 (1+2x) = a0+ a1(x-1) + 2 200 a2(x-1) + …+ a200(x-1) 求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
4
n 12 2
• 是常数,所以 • (2)Tr+1= c •
r n
n 12 则n=12. 0 2
x
2 r r 2 cn x x
r
n 3 r 2
2 c x
r r 12
n 3 r 2
12 3r Z且 ∴ 2
r=0,1, …,12 …,12
• 即
3r 6 Z 且r=0,1, 2
• 2、在（2- x ）9的展开式中，是它 的第______ 项 ，这项的系数是 ___________ 这项的二项式系数 是 _______________ • 3、设s= (x- 1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1, 则 s 等于( C ) A.(x-2) 4 B. (x-1) 4 C. x 4 D.(x+1)4
• 三、复习策略： • 本节知识的学习或复习要 重视基础，要按教学大纲 和考试说明的要求弄懂遇 按理，适当掌握一些方法， 会分析。
• 一、教学过程： • Ⅰ、课前准备 • （1）填写公式：（a+b）n的二 项展开式 是 ___________________________ • 通项公式是 _______________ ; • (a-b)n的二项展开式是 _______________________ • （1+i)10=____________________
再见!
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孝，可是，盈儿„„”“不管你有啥啊天大的理由，反正你就是不能去你二哥那里！”“娘亲！”“盈儿，爹娘连想都没有想过让你去四川的事 情。五年前是因为你二哥在京城需要有人照应，爹娘没有办法，不得已而为之的事情。去年是因为有你二哥壹路同行，而且你二哥也没有娶妻， 所以娘才同意你去四川。现在的情况完全不壹样咯！你二哥已经娶咯嫂子，你过去不是要受嫂子的气吗？而且自古蜀道艰险，爹娘能让你壹各姑 娘家，孤零零地壹各人走那条险路吗？再有咯，京城可是在天子脚下，要啥啊有啥啊，不比那蛮夷之地强多咯？在京城里给你觅得壹各佳婿，总 比你嫁到山高路远的巴蜀之地好啊！你二哥那是去上任，总有回来的那壹天，你假如是嫁到咯那里，啥啊时候能让娘亲再见到你啊！这可是壹辈 子怕是要见不到咯啊！”年夫人越说越伤心，越说越动情，到最后，竟然伏在桌案上抬不起身来。玉盈也是被娘亲的话感动得热泪盈眶，更为自 己只为咯躲避王爷而惹得娘亲如此伤心而内疚不已。见娘亲哭得难以自持，她扑通壹下子就跪倒在咯年夫人的面前：“娘亲，玉盈不孝，伤咯娘 亲的心，盈儿再也不去四川咯，盈儿这就跟你回京城，好吗？娘啊，您不要再哭咯，盈儿知错咯。”“盈儿，自从你来到年府的第壹天，娘就壹 直拿你当亲生的闺女看待，凝儿有的，你壹定不能缺咯！这是娘对你亲生爹娘许下的承诺。”“娘，盈儿知错咯，您千万不要再难过咯。盈儿壹 定跟爹娘回京城，壹定为爹娘恪尽孝道，为爹娘养老送终„„”“傻孩子，爹娘怎么会要你养老送终呢！爹娘只要你嫁得壹各良人佳婿就是最大 的心愿。”“娘，盈儿说过咯，盈儿不会嫁人的，假如娘亲壹定要盈儿嫁人，盈儿还不如进咯道观做姑子！”“盈儿！你”年夫人壹口气堵在心 中，顿觉胸闷气短，直挺挺地就要栽倒。眼见着闯咯大祸的玉盈吓得啥啊也不敢再说，壹边喊人请大夫，壹边将娘亲扶到咯床上。大夫很快就请 来，仔细诊治壹番，见没有大碍，留下方子就走咯。大夫走后，年老爷、玉盈壹直守在夫人的身边。眼见着天色已晚，年老爷看看玉盈，又看看 夫人，想咯壹下，他对玉盈发咯话：“大夫看过咯，没有啥啊大碍，你早些回去歇息，明天再来照料娘亲，现在有爹爹陪着就可以咯。”“爹爹， 您的身体会受不住的，这些还是由盈儿来做吧。”“爹爹说啥啊，你听啥啊就是咯，爹爹自有爹爹的安排。”玉盈见状，只好和翠珠两人又忙咯 半天，把壹切料理妥当才离开。听见玉盈走咯，年夫人才慢慢地睁开咯眼睛。果然猜得不假，年大人心中有咯底。第壹卷 第201章 疑问“夫人 这又是为何事跟盈儿闹咯脾气？气坏咯身体可就不值当咯。”“唉，老爷，妾身这可就是想不
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________
• 说明:二项展开式是一个恒等 式,因此对特殊值仍然成立.这 是求二项式系数和的基础.常 采用的方法是“赋值法”,它 普遍用于恒等式,是一种重要 的方法.
• 略解: 令x=0, 则a0=1 令x=1, 则a0+a1+ … +a7= -1 ∴ a1+ a2+… +a7= -2 • 其它类似可得.
• 解(1) c • (2)Tr+1=
a c x
r 9 9r
5 10
252
r r 2
• 依题意 ,r=8 含的项为 4 1 8 9 第9项,其系数为 18 c9 a 4 2 9 a 9 即 得 a=4.
16 4
3r x 1 r 9 r 2 9 1 c9 a x 2 2
3r 9 3 2
• 练习： • (1)在(1-x3)(1+x)10的展开式 5 中x 的系数是（ ） A.-297 B.-252 C. 297 D. 207 9 4 2 3 • (2)(x+y+z) 中含x y z 的项 的系数是_______________
• 例２、已知 的展开式中第五项是常数， (1)求n; (2)展开式中共有多少有理项？
二项式定理 及其系数的性质
长宁中学数学组 李昌源
• 一、本节教材地位及命题趋势： • 高考对本单元的特点是基础和 全面，每年对本单元知识点的考 查没有遗漏。估计每年一道排列 组合题，一道二项式定理题是不 会变的，试题难度仍然回维持在 较易到中等的程度。二项式定理 的试题是多年来最缺少变化的试 题，今后也很难有什么大的改变。