苏教版高中数学必修4检测：第2章2.3-2.3.1平面向量基本定理含解析
数学必修四2.3.1平面基本定理
若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角.
由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形
两条对角线. 如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°.
→ 又∵OC＝a＋b，且在菱形 OACB 中，
对角线OC平分∠BOA，
∴a与a＋b的夹角是30°.
跟踪训练 3
如图所示，在▱ABCD 中，E，F 分别是
→ → BC，DC 边上的中点，若AB＝a，AD＝b，试以 a，b → → 为基底表示DE，BF.
解
∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
→ → → → → → ∴AD＝BC＝2BE，BA＝CD＝2CF，
1→ 1 → 1→ 1 → 1→ ∴BE＝2AD＝2b，CF＝2BA＝－2AB＝－2a.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与
e1 ＋ e2 ；②e1 － 2e2 与 e2 － 2e1 ；③e1 － 2e2 与 4e2 － 2e1 ；④e1 ＋ e2 与 e1 － e2. 其 ①②④ 中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是 __________.( 写出所有满 足条件的序号) 解析 对于③，4e2－2e1＝－2e1＋4e2
2－λ 1 4 ∴ 2 ＝5，∴λ＝5. 3
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
1.若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法
则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系.
2.若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的 两个不共线向量作为基底，而后用上述方法求解.
数学苏教版高一必修4_第2章2.3.1平面向量基本定理_作业 含解析
数学苏教版高一必修4_第2章2.3.1平面向量基本定理_作业 含解析[学业水平训练]1．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有________(填序号)．①若λ，μ满足λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0；②对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe 1＋μe 2成立的实数λ，μ有无数对； ③线性组合λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量；④当λ，μ取不同的值时，向量λe 1＋μe 2可能表示同一向量．解析：①正确．若λ≠0，则e 1＝－μλe 2，从而向量e 1，e 2共线，这与e 1，e 2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.②不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ惟一确定．③正确．平面α内的任一向量a 可表示成λe 1＋μe 2的形式，反之也成立；④不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe 1和μe 2确定后，其和向量λe 1＋μe 2惟一确定．答案：①③2．e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，且AB→＝2e 1＋k e 2，BC →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．解析：BD→＝BC →＋CD →＝3e 1＋2e 2， ∵A 、B 、D 共线，∴AB →与BD →共线， ∴23＝k 2，即k ＝43. 答案：433．已知OA→＝a ，OB →＝b ，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点，则用a ，b 表示OD→为__________． 解析：∵OD →＝OA →＋AD →，AD →＝AC →＋CD →＝13AB →＋13CB →＝13AB →＋29AB →＝59AB →.∵AB →＝b －a ，∴AD→＝59b －59a ，∴OD →＝a ＋(59b －59a )＝49a ＋59b . 答案：49a ＋59b4．北天门中学期中)若在直线l 上存在不同的三个点A ，B ，C ，使得关于实系数x的方程x 2OA→＋xOB →＋BC →＝0有解，点O 不在l 上，则此方程的解集为_______． 解析：∵A ，B ，C 共线，∴BC→＝λBA →， 由已知可知：BC→＝－x 2OA →－xOB →＝－x (xOA →＋OB →)， 当且仅当x ＝－1时，BC→＝－BA →，故方程的解集为{－1}． 答案：{－1}5．若a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，则a 写成λ1b ＋λ2c 的形式是__________．解析：由题可设a ＝λ1b ＋λ2c ，即－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)，∴⎩⎨⎧－1＝4λ1－3λ2，3＝2λ1＋12λ2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727.∴a ＝－118b ＋727c .答案：a ＝－118b ＋727c6．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．解析：如图所示，设AB→＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ， AF →＝a ＋12b ，又∵AC→＝a ＋b ， ∴AC→＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23， ∴λ＋μ＝43.答案：437．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．证明：如图所示，设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，令AC→＝a ，BC→＝b 为基底， 则AB →＝a －b ，AD →＝a －12b ，BE→＝－12a ＋b . 设AD 与BE 交于点G 1， 且AG1→＝λAD →，BG 1→＝μBE →， 则有AG 1→＝λa －λ2b ，BG 1→＝－μ2a ＋μb .又有AG 1→＝AB →＋BG 1→＝(1－μ2)a ＋(μ－1)b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23.∴AG 1→＝23AD →.再设AD 与CF 交于点G 2，同理求得AG 2→＝23AD →. ∴点G 1、G 2重合，即AD 、BE 、CF 交于一点． ∴三角形的三条中线交于一点．8. 如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心G ，且AB→＝a ，AC →＝b ，AP→＝m a ，AQ →＝n b (m >0，n >0)，试问m ，n 的倒数和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．解：因为AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝12(a ＋b )， 所以AG→＝23AD →＝13(a ＋b )， 由于P 、G 、Q 三点共线，则PG→∥GQ →⇔PG →＝λGQ →(λ为正实数)，因为PG →＝AG →－AP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝AQ →－AG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＋13λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－λn ＋13λb ＝0，由于a ，b 不共线，则必有13－m ＋13λ＝13－λn ＋13λ＝0，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，所以1m ＋1n＝3为定值．[高考水平训练]1．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，N 是AC 上一点且AN →＝3NC →，M 是BC 的中点，若用a ，b 表示MN→，则MN →＝________．解析：如图所示，连结BD 交AC 于O 点，则O 为AC ，BD 的中点，又∵AN→＝3NC →， ∴AN ＝3NC ，即N 为OC 的中点，又M 是BC 的中点，∴MN 綊12BO ，又BD→＝AD →－AB →＝b －a ， ∴MN→＝12BO →＝14BD →＝14(b －a )． 答案：14(b －a )2．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB ，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM→＝tCP →，则t 的值为________．解析：∵CP →＝23CA →＋13CB →， ∴3CP→＝2CA →＋CB →， 即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， ∴2AP→＝PB →，即P 为AB 的一个三等分点，如图所示． ∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →， 而CB→＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋(x 2－1)AC →. 又CP →＝CA →－P A →＝－AC→＋13AB →， 由已知CM→＝tCP →可得， x 2AB →＋(x 2－1)AC →＝t (－AC →＋13AB →)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 3x2－1＝－t ，解得t ＝34.答案：343. 如图所示，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP→＝4PM →.证明：记BM →＝e 1，CN →＝e 2，所以AC →＝－3e 2，CM →＝－e 1，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2.因为A ，P ，M 共线，且B ，P ，N 共线，所以存在实数λ，μ，使AP →＝λAM →＝－3λe 2－λe 1；BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2，所以BA →＝BP →＋P A →＝2μe 1＋μe 2＋3λe 2＋λe 1＝(2μ＋λ)e 1＋(μ＋3λ)e 2，又BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，所以⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →， 所以AP ∶PM ＝4∶1，即AP →＝4PM →. 4. 如图，已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面上任意一点，求证：若存在实数p ，q ，r 使得pOA→＋qOB →＋rOC →＝0，且p ＋q ＋r ＝0，则必有p ＝q ＝r ＝0.证明：由题意可得r ＝－(p ＋q )．又∵pOA→＋qOB →＋rOC →＝0， ∴pOA→＋qOB →－(p ＋q )OC →＝0， ∴p (OA→－OC →)－q (OC →－OB →)＝0， 即pCA→－qBC →＝0. ∴pCA →＋qCB →＝0＝0·CA →＋0·CB→. 由平面向量基本定理可知，其分解是惟一的，∴p ＝0，q ＝0，∴p ＋q ＝0，∴r ＝0.故p ＝q ＝r ＝0.。
苏教版必修4高中数学2.3.1《平面向量基本定理》ppt课件1
典例剖析
例 如图，平行四边形ABCD的两条对角
线A相B 交于AD点M，且 =a，MA=bM，B试用MC MD
a,b表示D 向量
、 、、 C
bM
Aa
B
典例剖析
D
bM
Aa
B
C MA 1 AC 1 (a b) 22
MB 1 DB 1 (a b) 22
MC MA 1 (a b) 2
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
a如有果且a一只1平e有1 面一2使e2内对的实任数一1向、2 量
错解：认为是对的 错因分析：错解没有注意到e1和e2如果共线 的正情解况：
如果e1 e2、 是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任一向1 量2 a 有且只
有一对实a 数 1e1 、 2e使2
纠错心得：
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
苏教版数学必修4课件：第2章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
上一页
返回首页
下一页
用XX基X 底表示向量 如图 2-3-2 所示，设 M，N，P 是△ABC 三边上的点，且B→M＝13B→C，
C→N＝13C→A，A→P＝13A→B，若A→B＝a，A→C＝b，试用 a，b 将M→N，N→P，P→M表示出来.
上一页
图 2-3-2
返回首页
下一页
【精彩点拨】 以A→B，A→C为基底表示向量M→N，N→P，P→M，注意三角形法则 的应用.
【自主解答】 N→P＝A→P－A→N＝13A→B－23A→C＝13a－23b，M→N＝C→N－C→M＝－13A→C －23C→B＝－13b－23(a－b)＝－23a＋13b，
P→M＝－M→P＝－(M→N＋N→P)＝13(a＋b).
上一页
返回首页
下一页
1.若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或 平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系.
上一页
返回首页
下一页
向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上，若 e1，e2 是基底，则必有 e1≠0，e2≠0，且 e1 与 e2 不共线，如 0 与 e1，e1 与 2e1，e1＋e2 与 2(e1＋e2)等均 不能构成基底.
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 1.若向量 a，b 不共线，且 c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断 c，d 能否作为基 底. 【解】 设存在实数 λ 使得 c＝λd，则 2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ －1)b＝0. 由于 a，b 不共线，从而 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的，从而 c， d 不共线，故 c，d 能作为基底.
返回首页
下一页
高中数学苏教版必修四《2.3.1 平面向量基本定理》课件
∴λ12b＋12c－μ23c－b＝b. 整理得12λ＋μb＋12λ－23μc＝b.
(10 分)
∵b、c 不共线，∴1212λλ－＋μ23＝ μ＝1， 0，
解得λμ＝＝4535，，
(12 分)
【题后反思】 用向量解决平面几何的问题时，常选取两个不 共线的向量作为基底，将相关向量用基底表示，进行向量的线性 运算求解．
由 C，E，M 三点共线知存在实数 n，满足A→E＝nA→M＋(1－n)A→C ＝12na＋(1－n)b.所以13mb＋(1－m)a＝12na＋(1－n)b，
由于 a，b 为基底，所以113－ m＝m＝ 1－12nn， ，
解得mn＝＝4535，，
所以
A→E＝25a＋15b.
规律方法 将两个不共线的向量都作为基底表示其他向量， 基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不 断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或 方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
么对于这一平面内的 任一 向量 a， 有且只有一对实数 λ1，λ2，
使 a＝ λ1e1＋λ2e2
.
(2)基底：把 不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底．
2．正交分解 一个平面向量用一组基底 e1，e2 表示成 a＝λ1e1＋λ2e2 的形式， 我们称它为向量 a 的 分解 ，当 e1，e2 所在直线互相 垂直 时 ， 就称为向量的正交分解． 试一试：如何说明平面向量基本定理中 λ1，λ2 的唯一性？ 提示 平移向量 a，e1，e2，使它们共起点，以 a 为对角线．在 e1，e2 方向上作平行四边形，则这个平行四边形是唯一的．因此 a 在 e1，e2 案 ③
【高中数学必修四】2.3.1平面向量基本定理
e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
a
C
e2
B
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2
e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
C
e2
B
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2
e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
N
e1
O
A
M
a
N
C
e2
B
显然： a OM ON
想一想：
确定一对不共线向量e1， e2 后， 是否平面内任意一个向 量都可以用
1 e1 2 e2来表示呢 ？
讨论：
⑴ 当a与e1或e2 共线时，可令
1或2为0即可使结论成立.
a
e1 e2
e1 e2
a
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
2.3.1
平面向量基本定理
复习
1.数乘定义？ 2.平面向量共线定理？
a b
复习
3.同起点的三个向量终点共线的充要条件 ： o
A
P
B
OP OA 1 OB R
问题：如果e1 , e2 是同一平面内的两个不 共线的向量， a 是这一 平面内的任一向量，那 么 a 与 e1 , e2 之间有什么关系呢？ » 创设情境、提出问题 怎样探求这种关系？
C
e2
第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
2．3.1平面向量基本定理1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[点睛]当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.用基底表示向量[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC＝a，BD＝b，试用基底a，b表示AB，BC.[活学活用]如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以a，b为基底表示EF，DF，CD.向量夹角的简单求解[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b 与a的夹角又是多少？[活学活用]如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与向量BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．平面向量基本定理的应用[典例]NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP，2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .层级一 学业水平达标1．已知平行四边形ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°2．设点O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b )B ．12(a ＋b )C ．12(b －a )D ．12b ＋a4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2)B ．12(e 1－e 2)C ．12(2e 2－e 1)D ．12(e 2－e 1)5．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43AC B ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13AC D ．AD ＝43AB －13AC6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.8．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．10．证明：三角形的三条中线共点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A ．12(a ＋b )B ．23a ＋13bC ．13a ＋23bD ．13(a ＋b )2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －23bD ．－23a ＋23b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝05．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a ＋________b.6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝34AB＋14AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比．(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO＝x BM＋y BN，求x，y的值．。
最新2018-2019学年苏教版高中数学必修4学业分层测评：第二章 平面向量 2.3.1 Word版含解析
学业分层测评(十八) 平面向量基本定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．【解析】 如图所示，AD →与AB →为不共线向量，可以作为基底.CA →与DC →为不共线向量，可以作为基底.DA →与BC →，OD →与OB →均为共线向量，不能作为基底．【答案】 ①③2．已知向量a 和b 不共线，实线x ，y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ，则x ＋y 的值等于________．【解析】 由平面向量基本定理得⎩⎨⎧ 2x －y ＝5，4＝x －2y ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴x ＋y ＝1.【答案】 13．(2016·苏州高一检测)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.【解析】 ∵AD →＝2DB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →.又∵CD →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23. 【答案】 234．若e 1，e 2是表示平面所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则k 的值为________．【解析】 易知a ∥b ，故设3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)， ∴⎩⎨⎧3＝6λ，－4＝kλ，∴k ＝－8. 【答案】 －85．如图2-3-7所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则a ________0，b ________0.(填“＞”或“＜”)图2-3-7【解析】 由向量的分解可知，a ＜0，b ＞0. 【答案】 ＜ ＞6．设e 1，e 2是不共线向量，e 1＋2e 2与m e 1＋n e 2共线，则nm ＝________. 【解析】 由e 1＋2e 2＝λ(m e 1＋n e 2)，得mλ＝1且nλ＝2， ∴nm ＝2. 【答案】 27．(2016·南京高一检测)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.【导学号：06460053】【解析】 设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ， AE →＝b －12a ，AC →＝b －a ，代入AC →＝λAE →＋μAF →， 得b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2b －⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μa ，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ2＋μ，1＝λ＋μ2，解得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.【答案】 438．如图2-3-8，在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，三边BC ，CA ，AB 的中点依次为D ，E ，F ，则AD →＋BE →＋CF →＝________.图2-3-8【解析】 原式＝12(AB →＋AC →)＋12(BA →＋BC →)＋12(CB →＋CA →)＝0. 【答案】 0 二、解答题9．如图2-3-9，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →.图2-3-9【解】 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b . EG →＝EA →＋AD →＋DG → ＝－12AB →＋AD →＋13DC → ＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .10．设e 1，e 2为两个不共线的向量，a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，试用b ，c 为基底表示向量a .【解】 设a ＝λ1b ＋λ2c ，λ1，λ2∈R ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)， 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2， ∴⎩⎨⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c .能力提升]1．如图2-3-10，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.图2-3-10【解析】 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC → ＝AB →＋34(AC →－AB →) ＝34AC →＋14AB → ＝34b ＋14a . 【答案】 34b ＋14a2.如图2-3-11，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为________．图2-3-11【解析】 设NP →＝λNB →，NP →＝AP →－AN →＝mAB →＋29AC →－14AC →＝mAB →－136AC →， λNB →＝λ(AB →－AN →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－14AC →＝λAB →－λ4AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，－136＝－λ4，∴m ＝λ＝19.【答案】 193．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．【解析】 如图，分别在AB →，AC →上取点E ，F ， 使AE →＝34AB →，AF →＝14AC →， 在BC →上取点G ，使BG →＝14BC →， 则EG ∥AC ，FG ∥AE ， ∴AG →＝AE →＋AF →＝AM →， ∴M 与G 重合，∴S △ABM S △ABC ＝BM BC ＝14. 【答案】 144．如图2-3-12，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，试问：1x ＋1y 是否为定值？图2-3-12【解】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →＝x a ，AN →＝y b ，AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝14(a ＋b )，∴MG →＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ，MN →＝AN →－AM →＝y b －x a ＝－x a ＋y b .∵MG →与MN →共线，∴存在实数λ，使MG →＝λMN →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧14－x ＝－λx ，14＝λy ，消去λ，得1x ＋1y ＝4，∴1x ＋1y 为定值.。
苏教版数学高一必修4试题 平面向量基本定理
2.3.1 平面向量基本定理双基达标 限时15分钟1．若e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是________． ①e 1－2e 2和e 1＋2e 2；②e 1与3e 2；③2e 1＋3e 2和－4e 1－6e 2；④e 1＋e 2与e 1.解析 2e 1＋3e 2与－4e 1－6e 2共线不能做为基底．答案 ③2．若a ，b 不共线，且(λ－1)a ＋(μ＋1)b ＝0(λ，μ∈R )，则λ＝________，μ＝________. 解析 λ－1＝0，μ＋1＝0，∴λ＝1，μ＝－1.答案 1 －13．设e 1、e 2是平面内两个向量，则有________．(写出正确的所有序号)①e 1、e 2一定平行；②e 1、e 2的模一定相等；③对于平面内的任意向量a 都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )；④若e 1、e 2不共线，则对平面内的任一向量a 都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )．答案 ④4．设e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a ＝e 1＋λe 2与向量b ＝－e 1＋2e 2共线的条件是λ＝________.解析 由于a ∥b ，因此只需基底对应系数成比例即可，即1－1＝λ2，∴λ＝－2. 答案 －25．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是________．(写出正确的所有序号)答案 ①③6.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →，PM →表示出来．解 MN →＝CN →－CM →＝13CA →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b . 综合提高 限时30分钟7．若e 1，e 2是表示平面所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则k 的值为________．解析 当a ∥b 时，a ，b 不能作为一组基底，故存在λ，使得a ＝λb ，即3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)，∴6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝12，k ＝－8. 答案 －88．如图所示，在△ABC 中，P 为BC 边上的一点，且BP →＝32PC →， (1)用AB →、AC →为基底表示AP →＝________.(2)用AB →、PC →为基底表示AP →＝________.答案 (1)25AB →＋35AC → (2)AB →＋32PC → 9．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p 的结果是________(其中a ，b 不共线)．解析 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＝2x a －3x b ＋4y a －2y b∴3a ＋2b ＝(2x ＋4y)a ＋(－3x －2y)b由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2得：x ＝－74，y ＝138.∴p ＝－74m ＋138n 答案 p ＝－74m ＋138n 10．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析 设AB →＝a ，AD →＝b 则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ∴AC →＝23(AE →＋AF →)即λ＝μ＝23∴λ＋μ＝43. 答案 4311．如图在▱ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c 、d 表示AB →和AD →.解 设AB →＝a ，AD →＝b ，则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得：BN →＝12b ，DM →＝12a . AD →＋DM →＝AM →，即b ＋12a ＝c .① AB →＋BN →＝AN →，即a ＋12b ＝d .② 由①②可得a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )， 即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )． 12．若e 1，e 2是不共线向量，且AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)若A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值；(2)问A 、B 、C 三点能否共线？解 (1)BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2∵A 、B 、D 共线，故存在实数λ使AB →＝λBD →得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ，k ＝－4λ，得k ＝－8. (2)设实数t 使AB →＝tCB →，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝t ，k ＝3t ， 故存在k ＝6时，AB →＝2CB →，当k ＝6时，A 、B 、C 三点共线．13．(创新拓展)已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？解 假设存在λ，μ使d 与c 共线，即d ＝k c (k ∈R )．∵d ＝λa ＋μb ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2k c ＝2k e 1－9k e 2∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ， ①3μ－3λ＝－9k. ② 由①②知λ＝－2μ.即只要λ＝－2μ，即能使d 与c 共线．。
苏教版2017高中数学(必修四)第2章2.3.1平面向量基本定理 PPT课件
λ1e1＋λ2e2 的 一个平面向量用一组基底 e1，e2 表示成 a＝ ____________
形式，我们称它为向量 a 的分解．当 e1 与 e2 所在直线
互相垂直 时，这种分解也称为向量 a 的正交分解． ____________
第2章
平面向量
2.向量共线定理与平面向量基本定理的关系 (1)由平面向量共线定理知，任意一个向量可以用一个与它 共 线的非零向量来线性表示，而且这种表示是惟一的； (2)由平面向量基本定理知，任一平面向量可以用不共线的 两 个非零向量来线性表示，而且这种表示是惟一的； 上述两个定理都可以看成(在一定范围内的)向量分解“惟一 性 ”定理．
第2章
平面向量
2．平面向量的基底是不惟一的，一个向量在某一组基底下 是 的分解________ 惟一的．(填“是”或“不是”)
解析：平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的惟一性是相 对 于
基底e1，e2而言的．平面内任意两个不共线的向量都可作为 基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是惟 一的．同一平面可以有不同的基底，就像平面上可选取不同 的坐标系一样，在不同基底下的实数对λ1、λ2不同．
第2章
平面向量
1．下面三种说法：
① 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底；
②一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面内所
有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量． ②③ 其中正确的说法是__________ ． 解析：平面内的一对向量只要不共线均可作为表示这个平 面 内所有向量的基底,基底本身也可以用这组基底表示.故 ① 错, ②对；由于零向量与平面内的任一向量共线，故③正确．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2章 平面向量 2.3 向量的坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理
A 级 基础巩固
1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1
－2e 2的关系是( )
A ．不共线
B ．共线
C ．相等
D ．不确定
解析：因为a ＋b ＝3e 1－e 2，且c ＝6e 1－2e 2， 所以c ＝2(a ＋b)．所以a ＋b 与c 共线． 答案：B
2．已知AD 是△ABC 的BC 边上的中线，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →
＝( ) A.1
2(a －b) B ．－1
2(a －b)
C ．－1
2(a ＋b)
D. 1
2
(a ＋b) 解析：如图所示，
因为AE →＝AB →＋AC →＝2AD →， 所以AD →＝1
2(a ＋b)．
答案：D
3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列说法正确的是( ) A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0
B ．对空间任意向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈R
C ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈R
D ．对于平面α内任意向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对 解：B 错，这样的a 只能与e 1，e 2在同一平面内，不能是空间任一向量；C 错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e 1＋λ2e 2的形式，故λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对．
答案：A
4．已知A ，B ，D 三点共线，且对任一点C ，有CD →＝43CA →＋λCB →
，则λ＝( )
A.23
B.13 C ．－13
D ．－23
解析：因为A ，B ，D 三点共线，
所以存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t(CB →－CA →
)． 所以CD →＝CA →＋t(CB →－CA →)＝(1－t)CA →＋tCB →.
所以⎩⎨⎧1－t ＝43，t ＝λ，
解之得λ＝－13
.
答案：C
5．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y)a ＋(2x －3y)b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．
解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线． 因为(3x －4y)a ＋(2x －3y)b ＝6a ＋3b ， 所以⎩⎨⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.
答案：3
6．如果3e 1＋4e 2＝a ，2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为已知向量，则e 1＝________，e 2＝________．
解析：由⎩⎨⎧a ＝3e 1＋4e 2，b ＝2e 1＋3e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝3a －4b ，e 2＝3b －2a.。