二次函数的图像与系数的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系
b2－4ac＞0
b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
1 、已知抛物线的对称轴为直线 x=2，与x轴的一 2 、已知抛物线在 x轴上所截线段长 5. 抛物线与 x轴有两个交点， 个交点为（ -1.5,0） ，则它与 x轴的另一个交点 为 6 ，顶点坐标为（ 2,4 ），求与 x轴 两个交点间的距离为 为 _______ 。这两点之间的距离为 _______ 。 两交点坐标。
-1
2
o
x
思考：若A (x ，B (x ,a) 且关于对称轴对称
1
2
,a)
,在抛物线上，
则对称轴与A,B两点的横坐标有怎样的关系？
A
(x1 ,a)
(x2 ,a) B
x1 x2 抛物线的对称轴x 2
二次函数关于轴对称的规律是什么?
对于顶点式： 关于y轴对称。 2 2 ①y=a(x-h) +k与y=a(x+h) +k两图像关于y轴对称,即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称,横 坐标相反,纵坐标相同. 关于x轴对称。 ②y=a(x-h) +k与y=-a(x-h) -k两图像关于x轴对称,即顶点（h,k）和（h,－k）关于x轴对称,横 坐标相同,纵坐标相反. 关于顶点对称。 ③y=a(x-h) 2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称,即顶点（h,k）和（h,k）相同,开口方向相反. 关于原点对称。 2 ④y=a(x-h) 2+k与y=-a(x+h) -k关于原点对称,即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称,横坐 标相反,纵坐标相反. 对于一般式： 关于y轴对称。 ①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称 关于x轴对称。 ②y=ax 2 +bx+c与y=-ax 2 -bx-c两图像关于x轴对称 关于原点对称。 ③y=ax 2 +bx+c与y=-ax2 +bx-c关于原点对称.
初中数学 二次函数的图像与x轴的交点与系数的关系如何确定
初中数学二次函数的图像与x轴的交点与系数的关系如何确定
二次函数的图像与x轴的交点可以通过系数来确定。
在二次函数的标准形式y = ax^2 + bx + c 中，我们可以使用求根公式或配方法来求解二次方程ax^2 + bx + c = 0的解，这些解就是二次函数与x轴交点的横坐标。
1. 求根公式：
对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解它的解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
根据求根公式，我们可以求得二次方程的两个解x1和x2。
这两个解就是二次函数与x轴交点的横坐标。
2. 配方法：
如果二次方程不容易使用求根公式求解，我们可以尝试使用配方法来将二次方程化简为完全平方的形式。
通过配方法，我们可以将二次方程转化为一个平方的差或和的形式，从而更容易求解。
通过配方法，我们可以将二次方程ax^2 + bx + c = 0变为a(x + p)^2 + q = 0的形式，其中p和q是常数。
然后，我们可以通过移项、开方等操作求解得到x的值，这些值就是二次函数与x轴交点的横坐标。
总结起来，二次函数的系数a、b和c决定了二次函数与x轴交点的横坐标。
具体来说：
-系数a的值决定了二次函数图像的开口方向。
当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。
-系数b的值影响了二次函数图像的水平平移和与x轴交点的横坐标。
-系数c的值影响了二次函数图像与y轴的交点（常数项）。
希望以上解释对你理解二次函数图像与x轴的交点与系数的关系有所帮助。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数a 、ｂ、ｃ与图像的关系一、首先就y ＝a ｘ2+b ｘ+c(ａ≠0）中的ａ，b ，c 对图像的作用归纳如下:1 a 的作用：决定开口方向：a > ０开口向上;a ＜ 0开口向下;决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 ｂ的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号,说明02<-a b ,则对称轴在y 轴的左边;b 与a 异号，说明−b 2a >0,则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用:ｃ决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与ｙ轴的交点（0,c) c > ０ 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与ｙ轴的交点在y 轴的负半轴；特别的,c = ０,抛物线过原点.4 a,b,c 共同决定判别式∆=b 2−4ac 的符号进而决定图象与ｘ轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x ＝１时，y=a + b + c ;x= -1时,y=a - ｂ ＋ c .当x = 1时,∣ 若y > 0，则a + ｂ + c >０；∣ 若y ＜ 时０,则ａ + ｂ + ｃ ＜ 0 当ｘ = -1时,∣ 若y > 0，则a － b + c ＞0;∣ 若y < 0，则a － b + ｃ < 0.扩：x ＝２, y=４a + 2b + ｃ ；x= -2, y=4a -２b ＋ ｃ ； x ＝3， ｙ=9a +3 b+ c ;ｘ= -3， y=9a -3b + c 。
反之,给我们相应的二次函数图象,我们可以得到其系数a,b,ｃ以及它们组合成的一些关系结构(例如对称轴−b2a ； 判别式b 2−4ac ; y =a +b +c ……等等）的符号二、经典例题讲解例1 已知二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则a 、b 、ｃ满足（ ) A ．a < 0，ｂ < 0，c ＞ 0 ;B .a ＜ 0，b < 0，c < 0 ;C ． a < 0,b > ０，c ＞ 0 ；D.a > 0，ｂ ＜ ０,c > 0 ；例2(2015呼和浩特)如图,四个二次函数的图像中分别对应的是: ∣2χγa =∣2χγb =∣2χγc =∣2χγd =，则a ， ｂ， c , d 的大小关系是 .A.a ＞ b ＞ c ＞ d ﻩﻩﻩB.a ＞ ｂ > ｄ > cC ．b ＞ a ＞ c > d ﻩﻩﻩﻩD ．ｂ > a ＞ ｄ > c例3已知二次函数ｙ＝a ｘ２+bx+ｃ的图象如图,其对称轴x ＝－1，给出下列结果①b ２>4ac;②a ｂｃ＞0；③2ａ+b ＝０；④a+ｂ+ｃ>0；⑤４ａ－2b ＋ｃ<0,则正确的结论是（ )A 、①②③④ Ｂ、②④⑤ Ｃ、②③④ D 、①④⑤y xO x y O ① ② ④ ③练习1. （２０15•重庆)已知抛物线y=a ｘ2+ｂx+ｃ（ａ≠0）在平面直角坐标系中的 位置如图所示,则下列结论中,正确的是（ ）A 、a>０B 、b<0C 、ｃ<０ Ｄ、a+b+c>0２.(20１5•文山州）已知二次函数ｙ=ax 2＋ｂx ＋c 的图象如图所示,则ａ，b,c 满足( ）A 、a ＜0,ｂ＜0,c ＞0，b 2- ４ac ＞0B 、a ＜0，b ＜0，ｃ<0，b ２- 4a ｃ＞0C 、ａ<０，b>０,ｃ＞0,b 2- 4ａc ＞０D 、a ＞0,b<０，c>0,ｂ2- 4ac>０3.（2015•泸州)已知二次函数y=ax 2+bx+ｃ(a,b ，c 为常数,a ≠0)的图象如图所示，有下列结论:①abc<0，②b 2- ４ac>0,③a-ｂ+c=0，④ａ+b+c ＞0,其中正确结论的个数是（ )A 、１B 、2C 、3D 、44.(20１5•仙游县二模)已知二次函数y ＝ax 2+b ｘ+c （ａ≠0)的图象如图所示,给出以下结论: ①a ＋b+c<0; ②a ﹣ｂ+c ＜０； ③b+２ａ<０； ④ａbc ＞0． \其中所有正确结论的序号是（ )Ａ． ③④ B. ②③ Ｃ． ①④ D. ①②③yx O5.（20１1•雅安)已知二次函数y=ax２+ｂｘ＋c的图象如图,其对称轴x=-１,给出下列结果①b2>4ac；②aｂc>0;③2ａ+b=０;④ａ+b+c＞0;⑤a-b＋ｃ<0，则正确的结论是( ）Ａ、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤6.(20１５•黔南州)如图所示为二次函数y＝ａx2＋bx+c(ａ≠0)的图象，在下列选项中错误的是（）Ａ、ａc＜0 Ｂ、ｘ>1时,y随x的增大而增大C、a+b＋c＞0 Ｄ、方程aｘ2+bx+c=0的根是x1=－１，x2=3能力提升1.已知二次函数y=ａx２+bx+ｃ(a≠0)的图象如下图所示,有下列5个结论：①abc＜0; ②a-ｂ＋ｃ＞0；③２a+b＝0; ④ｂ2- 4ac＞０；⑤a＋b+c＞m(am+b）+c（ｍ＞1的实数)，其中正确的结论有( )A.１个Ｂ．2个C．３个D.4个2.（201４•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣３,0),对称轴为x=﹣１.给出四个结论：①b２>4ac; ②2a+b=0；③3a+ｃ=0; ④a+b+c=０．其中正确结论的个数是（)A．1个Ｂ．2个C．３个D．4个3.(２０15•天津)已知二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠０）的图象如图所示，有下列结论:①ｂ2- 4ａc＞0; ②aｂc＞0;③8a+ｃ>０; ④9a+3b+c<０其中，正确结论的个数是( )A、1B、2 Ｃ、3 Ｄ、４４. 如图所示，二次函数ｙ=aｘ２+ｂｘ＋c(ａ≠0）的图象经过点（-１，２）,且与x轴交点的横坐标为ｘ1、x2,其中-２＜x1＜-１，０<x2<1,下列结论:①ａｂc＞０;②4a-2ｂ+c<0；③2a-b>０;④b2＋８a>4ac，正确的结论是。
二次函数的图象与系数a,b,c的关系(教案 教学设计)
设计一、复习导入复习提问：1.二次函数的图象是一条；2.二次函数的一般式；3.二次函数的对称轴。
一般式中的系数a,b,c与图象的联系？二、知识归纳（一）a,b,c 与图象的联系1.a的值与图象的联系a>0,开口向上；a<0,开口向下。
∴a的值决定抛物线的开口方向2.c的值与图象的联系C=0,经过原点；c>0,与y轴交于正半轴；C<0,与y轴交于负半轴。
∴c的值决定抛物线与y轴的交点情况3.a,b的值与图象的联系a,b出现在对称轴，二次函数的对称轴：直线x=ab2-对称轴为直线x=0（y轴），02=-ab，b=0；对称轴在y轴左侧，02<-ab，a，b同号；对称轴在y轴右侧，02>-ab，a，b异号.∴a,b的值决定了对称轴的位置。
练习（平板出题，平板上作答上传）（二）b²-4ac与图象的联系b²-4ac=0，函数图象与x轴有一个交点；b²-4ac>0，函数图象与x轴有两个交点；b²-4ac<0，函数图象与x轴无交点.练习（3min，平板推送选择题）三、练习设计突破练习：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，判断下列说法是否正确。
1.ac<0 （）2.b<0 （）3.b²-4ac<0 （）4.a+b+c<0 （）（2019 益阳）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac<0，②b-2a<0，③b²-4ac<0，④a-b+c<0，正确的是（）A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④（2020 常德）二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b²-4ac>0；②abc<0；③4a+b=0；④4a-2b+c>0；其中结论正确的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1本节采用了多媒体平板辅助教学的方法进行，使本节课既有可视性又有可读性。
二次函数的像与根与系数的推导
二次函数的像与根与系数的推导二次函数是数学中的一种重要函数形式，它具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的表达式，其中a、b、c为实数且a不为0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负。
在本文中，我们将讨论二次函数的像、根和系数之间的关系，并进行相关推导。
一、二次函数的像二次函数的像又称为值域，表示函数在定义域内所有可能的函数值所组成的集合。
要确定二次函数的像，我们需要关注其开口方向以及其他相关的函数特性。
1. 当二次函数的系数a大于0时，即抛物线开口朝上，其像为所有大于等于最低点的y值。
此时，像为实数集(-∞, y_min]。
2. 当二次函数的系数a小于0时，即抛物线开口朝下，其像为所有小于等于最高点的y值。
此时，像为实数集[y_max, +∞)。
需要注意的是，开口方向和a的正负有关，当a为正时开口朝上，a 为负时开口朝下。
二、二次函数的根二次函数的根表示函数在x轴上与x轴相交的点或者称之为零点。
求解二次函数的根可以使用解一元二次方程的方法。
对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以利用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 来计算其根。
1. 当判别式Δ = b^2 - 4ac大于0时，方程有两个不同的实根，此时二次函数与x轴有两个交点。
2. 当判别式Δ = b^2 - 4ac等于0时，方程有且仅有一个实根，此时二次函数与x轴有一个切点。
3. 当判别式Δ = b^2 - 4ac小于0时，方程没有实根，此时二次函数与x轴没有交点。
需要注意的是，根的个数和判别式Δ的值有关。
根据根的个数和大小，可以进一步讨论二次函数的图像与方程的相关特性。
三、系数对二次函数的影响与推导系数a、b、c对于二次函数的图像和方程的性质都有重要的影响。
1. 系数a的影响：系数a决定了二次函数的开口方向。
当a大于0时，函数开口朝上；当a小于0时，函数开口朝下。
二次函数中各项系数a,b,c与图像的关系
二次函数中各项系数 a ，b, c 与图像的关系 一、首先就y=ax 2 +bx+c （a 工0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下: a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下; 决定张口的大小：l a I 越大，抛物线的张口越小. b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关. b 与a 同号，说明 _L .. o ，则对称轴在y 轴的左边; 2a b 与a 异号，说明 b -> 0 '口 ，则对称轴在y 轴的右边; 特别的，b = 0,对称轴为y 轴.c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标.抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 特别的，c = 0 ,抛物线过原点. ■ . 2 a,b,c 共同决定判别式 b 2 - 4ac > 0 b 2 - 4ac = 0 b 2 - 4ac < 0 * = b ~4ac 的符号进而决定图象与X 轴的交点 与X 轴两个交点 与X 轴一个交点 与X 轴没有交点 x=1 时，y=a + b + c ； x= -1 时，y=a - b + c .当 x = 1 时，①若 y > 0，贝U a + b + c >0 ； ® 若 y < 时 0，贝Ua +b +c < 0 当 x = -1 时，①若 y > 0，贝U a - b + c >0 ;②若 y < 0，贝U a - b + 扩：x=2, y=4a + 2b + c ; x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c 一.选择题（共8小题） 1 .已知二次函数y=ax +bx+c 的图象大致如图所示，贝U 下列关系式中成立的是 A. a >0 B . b v 0 C. c v 0D . b+2a >0 2.如果二次函数y=a£+bx+c （a ^ 0）的图象如图所示，那么下列不等式成立 几种特殊情况: c < 0 . ;x= -3, y=9a -3b + c 。
二次函数的图像与系数的关系
初三上学期 二次函数（3） 抛物线的图像与系数 班级 姓名 知识点归纳:二次函数的图像与系数的关系 （1）a 的符号由抛物线的开口方向决定： ①开口方向向上⇔a 0； ②开口方向下⇔a 0.（2）b 的符号由抛物线的对称轴与a 的符号共同决定：①若抛物线的对称轴在y 轴的左侧 ⇔b a 、 ； ②若抛物线的对称轴在y 轴的右侧 ⇔b a 、 ； ③若抛物线的对称轴是y 轴⇔b 0.（3）c 的符号由抛物线与y 轴的交点位置决定： ①与y 轴正半轴相交⇔c 0； ②与y 轴负半轴相交⇔c 0； ③经过原点 ⇔c 0；（3）24b ac ∆=-的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定的： ①抛物线与x 轴有2个交点⇔24b ac ∆=- 0 ； ②抛物线与x 轴有1个交点⇔24b ac ∆=- 0 ； ③抛物线与x 轴有没有交点⇔ 24b ac ∆=- 0 .（4）两个特殊代数式c b a ++与c b a +-的符号：（其他特殊代数式类似）c b a ++是抛物线c bx ax y ++=2 (0a ≠）上的点 (1，c b a ++）的纵坐标， c b a +-是抛物线c bx ax y ++=2 (0a ≠）上的点（－1，c b a +-）的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号. （5）只含有a b 、两个字母的代数式的值的确定，一般看对称轴，也可以看两根之和；而只含有a c 、两个字母的代数式的值的确定，一般看两根之积 .练习：1. 抛物线2y ax bx c =++的图像如图1，则____0a ，____0b ，___0c ，24____0b ac ∆=-.2.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，则24__0b a c ∆=-，__0ab ，___0bc ，___0a b c +＋，___0a b c -+（图1） （图2） （图3）3．二次函数2y ax bx c =++的图象如图5所示，对称轴是直线1x =，则___0c ，24____0b ac ∆=-， ___0a b c +＋，___0a b c -+，42___0a b c +＋，2___0a b +，2___0a b -.4．抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0，图像的顶点在第 象限， 24b ac - 0.草图： 理由：5.二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则一次函数y ax b =+的图像可能为… ( )6．二次函数221y ax x a =++-的图象可能．．是 …… ( )7. 已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图6所示，则下列结论：①0ab >；②当1x =-和3x =-时的函数值相等；③40a b +=；④当且仅当0x =时，函数值为2，其中正确的是 .例题1.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③20a b +=；④80a c +>； ⑤930a b c ++<．其中，正确结论的个数是A .2B .3C .4D .5 ……（ ）例题2．如图，已知抛物线23y x bx a =+-过点A (1，0)，B (0，－3)，与x 轴交于另一点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点P ，使PBC ∆为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；（3）在(2)的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．例题3． 如图①，抛物线()024112<+-=m m mx mx y 与x 轴交于点B 、C （点B 在点C左侧），抛物线上另有一点A 在第一象限内，且090BAC ∠= （1）填空：OB = ，OC = ；（2）连结OA ，将OAC ∆沿x 轴翻折后得到ODC ∆，当四边形OACD 是菱形时，求此抛物线的解析式；（3）如图②，设垂直于x 轴的垂线l ：n x =与⑵中的抛物线交于点M ，与线段CD 交于点N ，若直线l 沿x 轴方向左右平移，当n 为何值时，四边形AMCN 的面积取得最大值，并求出这个面积最大值．。
二次函数y=ax2+bx+c的图像与系数a、b、c的关系
抛对物称线轴与是x轴y轴有1个交点
b=0 b2-4ac=0
对 抛称 物轴 线在 与yx轴右无侧交点
a, b异号 b2-4ac<0
例题学习
已知，y=ax2+bx+c的图象如下，试判断a,b,c,b2-4ac的符号。
解： ∵开口向上
∴a>0
抛物线与y轴交于负半轴
∴c<0
y
．·
-1
1x
∵ 对称轴在y轴右侧，
∴ ab>0,而a>0
∴b<0 由图象可知抛物线与x轴有两个交点
∴b2-4ac>0
1.根据图象判断a、b、c及b2－4ac的符号
a_＞___0 b__＜__0 c__＜___0 b2－4ac__＞___0
a__＜__0 b_＝___0
抛物线开口向下
a>0 a<0
2. b的符号
由于二次函数的对称轴是x= －b/2a;a、b共
同决定对称轴的位置.
交点在y轴左侧
ab＞0 交点在y轴右侧
ab＜0
a、b 同号
a、b 异号
左同右异
3.c的符号
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为（0，c)
交点在y轴正半轴
C＞0 交点在y轴负半轴
抛物线过原点
抛物线y=ax2+bx+c的系数的符号由抛物线的 位置决定。它们具有等价的关系。
（1(）3 )ac的的符符号号由由抛抛物线的与开y轴口的确交定点。确定。
交点在开y口轴向正上半轴上
a>0 c>0
交开点口是向原下点 交点在y轴负半轴上
二次函数的图像与系数的关系
二次函数得图像与系数得关系1。
已知二次函数ｙ＝ax２＋bx＋c(a≠0)得图象如图,有下列５个结论:①ａbc＜0;②3a ＋c〉0;③4a+2ｂ+c>0;④2a＋b=0;⑤b2＞4ac、其中正确得结论得有( )A、1个B、2个C。
3个D、4个2.如图,二次函数y=ａx2＋bx+c(a≠０)得大致图象,关于该二次函数下列说法正确得就是( )A、ａ>0,b＜０,c＞0Ｂ。
ｂ2﹣4ac〈0C。
当﹣1<x＜2时,y＞０D、当x>２时,ｙ随x得增大而增大３。
如图,二次函数图象,过点Ａ(3,０),二次函数图象得对称轴就是直线ｘ=1,下列结论正确得就是( )A。
2a+b=０ B. ａc〉０C、Ｄ.4、已知函数y＝ｍx２—6ｘ+1(ｍ就是常数),若该函数得图象与x轴只有一个交点,则m 得值为( )Ａ. 9B。
０C、９或０ D. 9或１５、如图,二次函数得图象得对称轴就是直线,则下列理论:①,②,③,④,⑤当时,随得增大而减小,其中正确得就是( )、A。
①②③B、②③④Ｃ、③④⑤Ｄ、①③④6、已知y=ax+b得图象如图所示,则y=ａx2＋bx得图象有可能就是( )Ａ、B、Ｃ. D。
７、二次函数ｙ=aｘ2+bx＋c(a≠０)得部分图象如图,图象过点(﹣1,０),对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b＝０;②9ａ+c＜3ｂ;③25a＋5b+c=0;④当x〉２时,y随x得增大而减小、其中正确得结论有( )A. １个B、２个C、3个D。
４个8、如下图,已知经过原点得抛物线y=ａｘ２+bx+c(a≠0)得对称轴就是直线x=—1,下列结论中①ａb＞0,②a+b+ｃ〉0,ƒ③当-2<x＜0时,ｙ＜0.正确得个数就是( )A、0个B、1个Ｃ。
2个Ｄ。
3个９.二次函数与一次函数ｙ=ax+ｃ在同一直角坐标系内得大致图象就是( )A。
B。
C。
Ｄ.1０.如图就是二次函数图象得一部分,对称轴为,且经过点,有下列说法:①;②;③;④若就是抛物线上得两点,则,上述说法正确得就是( )A、①②④ B.③④Ｃ。
二次函数系数abc与图像的关系
确的是（ ）
•y
A）ab<0
•O
•x
B）bc<0
C）a+b+c>0
D）a－b+c<0
•（图1）
例4(青海二次函数 ，
则点
图象如图2所示
在第 象限．
•y
•O •x
•图2
例6．已知 那么抛物线
， 的顶点在（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
•7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所 示，判断下列各式的符号：
•(1)a_•_>_0; b_•_>_0; c_•_<_0; • △ _•_>_0 •(2)a_•_>_0; b_•_<_0; c_•_=_0; • △ __•>_0
•(3)a_•_>_0; b_•_<_0; c_•_>_0; • △ _•_<_0
•(1) •y
•(2) •y
•O •x
•O
•x
•(3) •y
二次函数系数abc与图像的 关系
1.a的作用： •决定开口方向和开口大小 •2.a与b的作用：•左同右异（对称轴的位置） •3.c的作用： •与y轴交点的位置。
•4.
的作用：•与x轴交点的个数。
•5.几个特殊点：•顶点，与x轴交点，与y轴交点， •（1，a+b+c),(-1,a-b+c)
•1、判断下列各图中的a、b、c及△的符号
•(4) •y •O •x
•(4)a_•_<_0; b_•_>_0; c_•_<_0; •O
•x
• △ _•_=_0
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二次函数的图像与系数的关系
Revised by Petrel at 2021 二次函数的图像与系数的关系 1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；
②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＞4ac.其中正确的结论的有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个
2．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象，关于该二次函数下列说法正确的
是（ ） A.a＞0，b＜0，c＞0 B.b2﹣4ac＜0 C.当﹣1＜x＜2时，y＞0 D.当x>2时，y随x的增大而增大
3．如图，二次函数图象，过点A（3，0），二次函数图象的对称轴
是直线x=1，下列结论正确的是（） A.2a+b=0B.ac>0C.D.
4．已知函数y=mx2－6x+1（m是常数），若该函数的图象与x轴只有一个交
点，则m的值为（） A.9B.0C.9或0D.9或1 5．如图，二次函数2yaxbxc的图象的对称轴是直线1x，则下列理论：①0a，0b②20ab，③0abc，④0abc，⑤当1x时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）．
A.①②③B.②③④C.③④⑤D.①③④ 6．已知y=ax+b的图象如图所示，则y=ax2+bx的图象有可能是（ ）
A.B.C.D. 7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为
直线x=2，下列结论： ①4a+b=0； ②9a+c＜3b； ③25a+5b+c=0； ④当x＞2时，y随x的增大而减小． 其中正确的结论有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个
8．如下图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列
结论中①ab>0，②a+b+c＞0， ③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（ ） A.0个B.1个C.2个D.3个
9．二次函数与一次函数y=ax+c在同一直角坐标系内的大致图象是()
A.B.C.D. 10．如图是二次函数20yaxbxca图象的一部分，对称轴为12x，且经过
点2,0，有下列说法：①0abc；②0ab；③420abc；④若120,,1,yy是抛物线上的两点，则12yy，上述说法正确的是（）
A.①②④B.③④C.①③④D.①② 11．在同一坐标系中，一次函数2yax与二次函数2yxa的图象可能是（）
A.B.C.D. 12．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则点（a,bc）在（ ） A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则使y＜0的x的取值范围为_____________________________． 14．已知二次函数2yaxbxc的图象与x轴交于点20，，10x，，且
112x，与y轴的正半轴的交点在02，的下方．下列结论：
①420abc；②0ab；③20ac；④210ab．其中正确结论有_______________.（填序号） 15．已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：
①0abc；②1abc；③0abc；④420abc；⑤20ba其中所有正确结论的序号是__________（填序号）
16．如图，二次函数2yaxbxc的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和
（1，0），且与y 轴相交于负半轴。给出四个结论：①0abc；②20ab；③1ac；④1a，其中正确结论的序 号是___________参考答案 1．D 【解析】由题意得：则：. 得故①正确；3a+c=<0,故②错误； 当x=2时，即4a+2b+c＞0，故正确； 由于，即2a+b=0，故④正确； 由于函数图像与x轴有两个交点，即b2＞4ac，故⑤正确. 综上所述，故选D.
2．D
【解析】试题分析：由抛物线开口方向得a>0，由抛物线的对称轴位置得b<0，由抛物线与y轴的交点位置得c<0，于是可对A选项进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数可对B选项进行判断；根据函数图象，利用函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围对C选项进行判断；根据二次函数的增减性可对D选项进行判断． 解：∵抛物线开口向上， ∴a>0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b<0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c<0，所以A选项错误； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b24ac>0，所以B选项错误； ∵抛物线与x轴交于点( 1,0)、(2,0)，
∴当1∵x>2在对称轴的右侧， ∴y随x的增大而增大，所以D选项正确。 故选D. 点睛：本题主要考查二次函数图象与系数符号的关系及二次函数的增减性.通过分析函数图象得出相关结论是解题的关键.
3．A
【解析】由图象可知，抛物线开口向下，a＜0；对称轴为直线=1，则b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c＞0，即得ac<0，选项B错误；由对称轴为直线=1，可得2a+b=0，选项A正确；由对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），所以x=-1时，y=a-b+c=0，选项C不正确．由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
可得，即，选项D不正确，故选A. 点睛：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象与系数的关系： ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．C
【解析】①当m=0时,函数y=mx26x+1的图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时,若函数y=mx26x+1的图象与x轴只有一个交点,则方程mx26x+1=0有两个相等的实数根， 所以△=(6)24m=0，m=9.
综上,若函数y=mx26x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.
故选：C 点睛：此题考查了抛物线与x轴的交点或一次函数与x轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用. 5．C 【解析】①根据抛物线开口向下即可得出a<0，结合抛物线的对称轴为x=1可得出b=-2a>0，①错误；②由①得出b=-2a，将其代入2a-b可得出2a-b=4a<0，②错误；③根据函数图象可知当x=1时y>0，将x=1代入抛物线解析式即可得出a+b+c>0，③正确；④根据函数图象可知当x=-1时，y<0，将x=-1代入抛物线解析式即可得出a-b+c<0，④正确；⑤根据函数图象即可得出x>1时y随x的增大而增大，⑤正确.综上即可得出结论. 解：∵0a，0b，∴①错误． 又∵1
2ba，∴2ba，240aba．∴②错误．
又∵当1x时0y，∴0abc，∴③正确 当1x时0y，∴0abc，∴④正确． 又∵当1x时y随x的增大而减小．∴⑤是正确． 6．D 【解析】试题解析：∵y=ax+b的图象过第一、三、四象限， ∴a＞0，b＜0， 对于y=ax2+bx的图象，
∵a＞0， ∴抛物线开口向上，
∵x=-2ba＞0，
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∵c=0， ∴抛物线过原点．
故选D． 7．D 【解析】已知抛物线的对称轴为直线x==2，可得b=-4a，即4a+b=0，①正确；由图象可知当x=-3时，y＜0，所以9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，②正确；已知抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=2可得抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），所以25a+5b+c=0，③正确；观察图象可知当x＞2时，y随x的增大而减小，④正确．故选D． 点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位