四元数法空间转换

合集下载

四元数更新算法

四元数更新算法四元数更新算法是一种用于旋转和变换的数学工具，它在计算机图形学、机器人学和虚拟现实等领域中得到广泛应用。

本文将介绍四元数的基本概念和原理，并详细探讨四元数的更新算法。

让我们回顾一下欧拉角和旋转矩阵。

欧拉角是一种描述物体在三维空间中旋转的方式，通常由三个角度组成。

然而，使用欧拉角存在一些问题，比如万向锁（Gimbal Lock）现象，导致旋转的自由度受限。

为了解决这些问题，人们引入了四元数这一更加灵活和高效的数学工具。

四元数是一种复数的推广形式，由一个实部和三个虚部组成。

它可以表示为q = a + bi + cj + dk，其中a、b、c、d分别是四元数的实部和虚部，i、j、k是虚部单位向量。

四元数的乘法、加法和共轭运算定义如下：乘法：q1 * q2 = (a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2) + (a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2)i + (a1c2 - b1d2 + c1a2 + d1b2)j + (a1d2 + b1c2 - c1b2 + d1a2)k加法：q1 + q2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k共轭：q* = a - bi - cj - dk在四元数更新算法中，我们通常使用两个四元数表示初始状态和旋转增量。

初始状态表示物体在初始时刻的旋转状态，旋转增量表示物体经过一段时间后的旋转变化。

我们需要将初始状态和旋转增量转化为四元数，并通过乘法运算来更新物体的旋转状态。

具体而言，四元数的更新算法如下：1. 将初始状态表示为q1 = a1 + b1i + c1j + d1k，将旋转增量表示为q2 = a2 + b2i + c2j + d2k。

2. 计算两个四元数的乘积：q = q1 * q2。

3. 对计算结果进行归一化处理，得到更新后的四元数：q' = q / |q|，其中|q|表示四元数的模。

空间直角坐标系转换参数计算

空间直角坐标系转换参数计算欧拉角是一种常用的坐标系转换方法，它使用三个角度来描述一个坐标系相对于另一个坐标系的旋转关系。

常用的欧拉角表示方法有绕X轴旋转的俯仰角（pitch）、绕Y轴旋转的偏航角（yaw）和绕Z轴旋转的滚转角（roll）。

通过测量两个坐标系之间的角度差，可以计算出坐标系转换的参数。

四元数是一种更高效的坐标系转换方法，它使用四个实数来表示旋转关系。

四元数具有单位长度的性质，可以通过旋转角度和旋转轴来计算出四元数的分量。

使用四元数进行坐标系转换时，只需要进行简单的乘法和加法运算，可以大大降低计算复杂度。

转移矩阵是一种用矩阵表示的坐标系转换方法，它将一个坐标系转换为另一个坐标系的过程表示为一个变换矩阵。

转移矩阵是一个4x4的矩阵，其中前三行前三列表示旋转矩阵，最后一行前三列表示平移矩阵。

通过相乘运算，可以将一个坐标系的点转换到另一个坐标系中。

计算空间直角坐标系转换参数的方法主要包括以下几个步骤：1.确定参考坐标系和目标坐标系。

在进行坐标系转换之前，需要确定参考坐标系和目标坐标系。

参考坐标系是已知的坐标系，目标坐标系是需要计算的坐标系。

2.测量两个坐标系之间的旋转关系。

通过测量两个坐标系之间的角度关系，可以计算出旋转关系。

在欧拉角法中，可以通过测量俯仰角、偏航角和滚转角来计算旋转关系；在四元数法中，可以通过测量旋转角度和旋转轴来计算旋转关系。

3.计算坐标系转换参数。

根据测量得到的旋转关系，可以计算出坐标系转换的参数。

在欧拉角法中，坐标系转换参数为三个角度；在四元数法中，坐标系转换参数为四个实数；在转移矩阵法中，坐标系转换参数为一个4x4的矩阵。

4.应用坐标系转换参数。

将计算得到的坐标系转换参数应用到需要进行坐标系转换的点上，即可将点从参考坐标系转换为目标坐标系。

总之，计算空间直角坐标系转换参数需要确定参考坐标系和目标坐标系，并通过测量旋转关系来计算转换参数。

欧拉角、四元数和转移矩阵是常用的坐标系转换方法，根据实际需求选择合适的方法进行计算。

四元数法作用

四元数法作用四元数是一种用于表示旋转和方向的数学对象，它由一个实部和三个虚部组成。

四元数可以用来替代旋转矩阵，在计算机图形学、机器人学、物理学等领域有广泛的应用。

具体来说，四元数法在以下方面起着作用：1. 旋转和空间变换：在物理学中，四元数被用于描述旋转和空间变换，如机器人学中的机器人姿态控制和计算机图形学中的三维旋转。

它们还用于电磁场理论、自动控制、量子力学等领域。

例如，考虑一个三维空间中的向量v = xi + yj + zk，其中i、j、k是四元数中的虚数单位。

我们可以使用四元数的乘法运算来旋转这个向量。

假设我们有一个表示旋转的四元数q = cos(θ/2) + sin(θ/2)(ai + bj + ck)，其中θ是旋转的角度，a、b、c是旋转轴的坐标。

那么，通过四元数乘法qvq*（其中q*是q的共轭），我们可以得到旋转后的向量。

2. 解析几何：威廉·弗伦德引入了双线性函数的概念，使得解析几何的研究更加精确和系统化。

双线性函数是指一种同时对两个向量进行线性变换的函数。

它们在矩阵理论中起着重要的作用，以及在微积分、物理学和工程学中的应用。

例如，考虑一个平面上的二次曲线，可以用方程Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0来表示。

通过引入一个双线性函数L(x, y)，我们可以将这个二次曲线的方程改写为L(v, v) = 0，其中v = (x, y)是向量表示的点。

这种表示方式更加简洁和统一，并且有助于进一步研究曲线的性质和变换。

此外，弗伦德提出了轴对称性的概念，并将其应用于几何学中。

轴对称性是指物体相对于某个轴对称图形的性质。

比如圆是关于其直径轴对称的，椭圆是关于其长轴和短轴轴对称的。

通过研究轴对称性，弗伦德揭示了许多几何图形的性质，如对称点的存在性、轴对称图形的对称性等，为数学家们提供了解决几何难题的新思路。

3. 天文学：威廉·弗伦德在天文学领域也取得了重要突破。

四元数与3D空间旋转

四元数与3D空间旋转四元数是一种数学概念，广泛应用于3D空间旋转的表示与计算中。

在计算机图形学、动画、游戏开发等领域，四元数被大量使用，因为其具有简洁高效的性质，能够准确描述空间中的旋转操作。

本文将介绍四元数的基本概念、性质以及在3D空间旋转中的应用。

四元数的概念四元数是由一个实部和三个虚部组成的数学结构，通常表示为$q =w + xi + yj + zk$，其中$w$为实部，$i$、$j$、$k$是虚部单位，满足$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$。

四元数的加法、减法、乘法等运算规则与复数相似，但乘法并不满足交换律。

四元数的性质四元数具有多重性质，包括共轭、范数、逆元等。

其中，四元数的共轭定义为$q^* = w - xi - yj - zk$，四元数的范数定义为$|q| = \sqrt{w^2 + x^2 + y^2 + z^2}$，四元数的逆元满足$q^{-1} = \frac{q^*}{|q|^2}$。

这些性质为四元数的应用提供了基础。

在3D空间中，旋转操作可以通过四元数表示和计算。

设空间中的一个旋转操作为$q_r$，则该操作可以表示为一个单位四元数$q_r =cos(\theta/2) + u \cdot sin(\theta/2)$，其中$\theta$为旋转角度，$u$为旋转轴的单位向量。

通过四元数乘法运算，可以将旋转操作表示为一个四元数。

在逆时针旋转操作下，物体绕旋转轴逆时针旋转的角度为正，绕着旋转轴的左手法则为确定旋转的方向。

通过四元数的乘法运算，可以实现旋转操作的叠加和复合，从而完成复杂的旋转变换。

结语通过本文的介绍，我们了解了四元数的基本概念与性质，以及在3D空间旋转中的应用。

四元数作为一种高效的数学工具，为空间旋转的表示与计算提供了有效的方法。

在实际应用中，掌握四元数的原理与运算规则，能够更加方便地实现3D空间中的旋转操作。

四元数的广泛应用将为计算机图形学与动画领域带来更多的可能性与发展机遇。

基于对偶四元数的三维空间坐标转换直接解法

基于对偶四元数的三维空间坐标转换直接解法马涛峰;卢小平;禄丰年【摘要】利用对偶四元数能同时描述旋转矩阵和平移向量的优势,提出一种适用于大角度的三雏空间坐标转换参数求解模型.该模型解决了传统算法不适用于大旋角的问题,可以直接解算坐标转换参数,且无需迭代初始值.通过模拟数据进行仿真实验表明,该方法无需线性化,计算简便,验证了该方法的正确性与有效性.%The traditional three-dimensional space coordinate transformation model is restricted to solving the coordinate conversion parameters of small angles.This paper proposes a model that is suitable for the coordinate conversion of large angles by using dual quaternion that can simultaneously describe the rotation matrix and the translation vector.The model solves the problem of the traditional algorithm,and can directly calculate the coordinate transformation parameters without initial iteration value.Finally,a simulation experiment is carried out by the simulation data.The numerical example shows that the method does not need linearization and its calculation is simple and convenient.The correctness and effectiveness of it is also verified by the simulation results.【期刊名称】《大地测量与地球动力学》【年(卷),期】2017(037)012【总页数】5页(P1276-1280)【关键词】坐标转换;七参数;对偶四元数;直接解法【作者】马涛峰;卢小平;禄丰年【作者单位】河南理工大学测绘与国土信息工程学院,焦作市世纪大道2001号,454000;河南理工大学测绘与国土信息工程学院,焦作市世纪大道2001号,454000;河南理工大学测绘与国土信息工程学院,焦作市世纪大道2001号,454000;河南省地质矿产勘查开发局,郑州市金水路28号,450012【正文语种】中文【中图分类】P226三维空间直角坐标转换中，布尔莎(Bursa)模型、莫洛金斯基(Molodensky)模型和武测模型等被广泛应用。

四元数旋转原理

四元数旋转原理四元数是一种数学工具，用于描述三维空间中的旋转。

它是由一个实部和三个虚部组成的超复数，通常表示为q = w + xi + yj+ zk，其中w、x、y、z分别是实部和虚部的系数。

四元数旋转原理是指利用四元数来描述和计算物体在三维空间中的旋转变换。

在传统的三维空间旋转中，我们通常使用旋转矩阵来描述旋转变换。

然而，旋转矩阵存在一些问题，比如旋转矩阵的乘法不满足交换律，而且旋转矩阵的表示方式会导致一些计算上的复杂性。

相比之下，四元数具有一些优势，可以更加简洁和高效地描述旋转变换。

四元数旋转的基本原理是利用四元数来表示旋转变换，并通过四元数的乘法来实现旋转的叠加。

在四元数中，单位虚部i、j、k分别对应着三维空间中的x、y、z轴，而实部w则对应着旋转的角度。

通过四元数的乘法运算，我们可以将多个旋转叠加在一起，而不需要像旋转矩阵那样进行繁琐的矩阵乘法运算。

四元数旋转的计算过程可以简单描述为，首先，将旋转变换表示为一个四元数q，其中实部是cos(θ/2)，虚部是sin(θ/2) u，其中θ是旋转角度，u是旋转轴的单位向量；然后，将要旋转的向量表示为一个四元数p，其中实部是0，虚部是向量的坐标；最后，通过四元数的乘法运算q p q^-1，即可得到旋转后的向量。

四元数旋转的优点之一是避免了万向节锁问题，即在欧拉角表示下，当旋转角度接近90度时，会出现旋转轴发生跳变的情况，而四元数可以避免这个问题。

另外，四元数旋转也更加高效，因为四元数的乘法运算相比矩阵乘法更简单快速。

在实际应用中，四元数旋转被广泛应用于计算机图形学、动画、虚拟现实等领域。

通过四元数旋转，可以更加准确地描述物体的旋转变换，同时也能提高计算效率和减少计算复杂性。

总的来说，四元数旋转原理是一种高效、简洁的旋转描述和计算方法，它克服了传统旋转矩阵的一些缺点，具有更好的数学性质和计算性能。

通过四元数旋转，我们可以更加灵活地实现三维空间中的旋转变换，为计算机图形学和虚拟现实等领域的发展提供了重要的数学工具和理论基础。

四元数旋转变换-概述说明以及解释

四元数旋转变换-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度来写：四元数是一种数学对象，广泛应用于旋转变换和姿态控制等领域。

它可以用来描述三维空间中的旋转变换，具有很多独特的性质和优势。

在传统的三维空间中，我们通常使用欧拉角或旋转矩阵来描述旋转变换。

然而，欧拉角存在奇异性问题，而旋转矩阵则涉及到复杂的计算和高代数运算。

相比之下，四元数具有简洁、紧凑、可逆和无奇异性等优势，使其成为了一种更为有效的旋转变换描述方法。

四元数的定义在数学上是一种复数扩展，由一个实部和三个虚部组成。

它可以用于表示旋转轴和旋转角度，通过旋转轴和旋转角度的乘积形式来描述旋转变换。

这种形式上的描述使得四元数可以方便地进行数学运算，比如加法、减法和乘法等，从而实现了旋转变换的复合和插值等操作。

本文将从四元数的基本概念开始介绍，包括四元数的定义、表示和运算规则等内容。

然后，我们将详细讨论四元数在旋转变换中的应用，包括如何通过四元数进行旋转变换、如何进行旋转的插值和相对旋转的合成等。

最后，我们将总结四元数旋转变换的优势和应用领域，并给出结论。

通过本文的学习，读者将能够了解四元数在旋转变换中的基本原理和应用方法，掌握四元数的运算规则和操作技巧，进一步提升对旋转变换的理解和应用能力。

同时，本文还将展示四元数相对于其他旋转变换描述方法的优势和特点，为读者在实际应用中选择合适的旋转变换描述方法提供参考。

1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三部分。

引言部分包括概述、文章结构、目的和总结。

在概述中，将简要介绍四元数和旋转变换的背景和重要性。

文章结构部分将详细说明本文的组织结构和每个部分的内容。

目的部分将明确本文的目标和意图。

最后，在总结中将简要回顾本文的主要内容和结论。

正文部分主要包括三个章节：什么是四元数、四元数的定义和性质，以及四元数的旋转变换。

在什么是四元数章节，将解释四元数的基本概念和定义，以及它们在数学和物理中的应用。

四元素

一，四元数介绍旋转，应该是三种坐标变换——缩放、旋转和平移，中最复杂的一种了。

大家应该都听过，有一种旋转的表示方法叫四元数。

按照我们的习惯，我们更加熟悉的是另外两种旋转的表示方法——矩阵旋转和欧拉旋转。

矩阵旋转使用了一个4*4大小的矩阵来表示绕任意轴旋转的变换矩阵，而欧拉选择则是按照一定的坐标轴顺序（例如先x、再y、最后z）、每个轴旋转一定角度来变换坐标或向量，它实际上是一系列坐标轴旋转的组合。

那么，四元数又是什么呢？简单来说，四元数本质上是一种高阶复数（听不懂了吧。

），是一个四维空间，相对于复数的二维空间。

我们高中的时候应该都学过复数，一个复数由实部和虚部组成，即x = a + bi，i是虚数单位，如果你还记得的话应该知道i^2 = -1。

而四元数其实和我们学到的这种是类似的，不同的是，它的虚部包含了三个虚数单位，i、j、k，即一个四元数可以表示为x = a + bi + cj + dk。

那么，它和旋转为什么会有关系呢？在Unity里，tranform组件有一个变量名为rotation，它的类型就是四元数。

很多初学者会直接取rotation的x、y、z，认为它们分别对应了Transform面板里R的各个分量。

当然很快我们就会发现这是完全不对的。

实际上，四元数的x、y、z和R的那三个值从直观上来讲没什么关系，当然会存在一个表达式可以转换，在后面会讲。

大家应该和我一样都有很多疑问，既然已经存在了这两种旋转表示方式，为什么还要使用四元数这种听起来很难懂的东西呢？我们先要了解这三种旋转方式的优缺点：∙矩阵旋转o优点：▪旋转轴可以是任意向量；o缺点：▪旋转其实只需要知道一个向量+一个角度，一共4个值的信息，但矩阵法却使用了16个元素；▪而且在做乘法操作时也会增加计算量，造成了空间和时间上的一些浪费；∙欧拉旋转o优点：▪很容易理解，形象直观；▪表示更方便，只需要3个值（分别对应x、y、z轴的旋转角度）；但按我的理解，它还是转换到了3个3*3的矩阵做变换，效率不如四元数；o缺点：▪之前提到过这种方法是要按照一个固定的坐标轴的顺序旋转的，因此不同的顺序会造成不同的结果；▪会造成万向节锁（Gimbal Lock）的现象。

03.四元数

03.四元数四元数单位四元数可以⽤来描述三维空间中的旋转，它既是紧凑的，也没有奇异性。

⼀个四元数描述唯⼀⼀个空间旋转，但是⼀个空间旋转可以由互为相反数的两个四元数表⽰。

1.四元数四元数的定义四元数是由四个元构成的数Q(q0,q1,q2,q3)=q0+q1i+q2j+q3kq0,q1,q2,q3是实数，i,j,k是满⾜如下条件的单位向量i⊗i=−1,j⊗j=−1,k⊗k=−1 ⾃⼰与⾃⼰进⾏四元数乘结果为-1。

i⊗j=k,j⊗k=i,k⊗i=j按照i→j→k→i...的顺序两两作四元数乘可以得到下⼀个。

j⊗i=−k,k⊗j=−i,i⊗k=−j按照i→j→k→i...相反的顺序两两作四元数乘可以得到下⼀个的负。

⊗表⽰四元数乘法四元数的表达⽅式⽮量式Q=q0+q其中q0称四元数Q的标量部分，q称四元数Q的⽮量部分。

q是三维空间中的⼀个向量。

复数式Q=q0+q1i+q2j+q3k可视为⼀个超复数，Q的共轭复数记为:Q∗=q0−q1i−q2j−q3k三⾓式Q=cos θ2+u sinθ2式中，u为单位向量，即旋转轴。

θ为实数，即绕单位向量u的旋转⾓度。

指数式Q=e u θ2式中，u和θ同上。

矩阵式Q=q0 q1 q2 q3四元数的⼤⼩—范数四元数的⼤⼩⽤四元数的范数来表⽰：||Q||=q20+q21+q22+q23||Q||=1，则Q成为规范化四元数。

描述旋转的四元数成为规范化四元数。

规范化四元数参与旋转运动时要作归⼀化。

四元数的运算加法和减法：对应实部和虚部相加/减[]Q=q0+q1i+q2j+q3kP=p0+p1i+p2j+p3k则Q±P=(q0±p0)+(q1±p1)i+(q2±p2)j+(q3±p3)k乘法:合并同类项(根据向量i,j,k向量相乘规则)标量乘a Q=aq0+aq1i+aq2j+aq3k其中a为标量四元数乘P⊗Q=(q0+q1i+q2j+q3k)⊗(p0+p1i+p2j+p3k)=(p0q0−p1q1−p2q2−p3q3)+(p0q1+p1q0+p2q3−p3q2)i+(p0q2+p2q0+p3q1−p1q3)j+(p0q3+p3q0+p1q2−p2q1)k =r0+r1i+r2j+r3k写成矩阵形式r0r1 r2 r3=p0−p1−p2−p3p1p0−p3p2p2p3p0−p1p3−p2p1p0q0q1q2q3=M(P)Q或r0r1 r2 r3=q0−q1−q2−q3q1q0q3−q2q2−q3q0q1q3q2−q1q0p0p1p2p3=M′(Q)P注意：四元数乘法不满⾜交换律P⊗Q=M(P)Q≠M′(P)Q=Q⊗P 四元数乘法满⾜分配律和结合律P⊗（Q+R）=P⊗Q+P⊗RP⊗Q⊗R=(P⊗Q)⊗R=P⊗(Q⊗R)此外，还有(P⊗Q)∗=Q∗⊗P∗证明，略。

四元数与欧拉角的转换

四元数和欧拉角都是机器人手指末端姿态角度表示法，日常应用广泛。

欧拉角是通过旋转轴和旋转角度，即欧拉旋转来实现物体空间姿态表
示的。

四元数是把物体的旋转表示为四个个实数，可以由欧拉角转换
而来，是一种普遍的旋转变换算法。

从原理来看，欧拉角的计算要比四元数麻烦得多，需要通过旋转轴和
旋转角度来实现物体空间姿态的转换，而且容易产生偏差及关节锁死
现象。

另一方面，四元数可以由欧拉角转换而来，不同的欧拉角对应
相同的四元数，实现容易，可以使机械臂快速响应物体空间姿态变化，克服欧拉角复杂换算，直接保存了手指末端的姿态，且操作便利，手
指末端的运动可通过它直接表示，使机器人的设计更精简便捷。

两者的区别在于，欧拉角中仅表示物体空间移动的欧拉旋转，四元数
不仅表示欧拉旋转，而且还包括了平移。

四元数可以表示一个从某一
位置到另一个位置的实际运动，而欧拉角只能表示从某一位置到另一
位置的朝向变化。

需要注意的是，由于欧拉角和四元数本身都有编码位数相限及旋转角
度限制，使得它们都容易发生奇异点现象，也就是机器手指末端发生
抖动。

两者之间相互转换时，也要尽量避免造成反转的现象，否则容
易影响到机械臂的控制速度及姿态精度。

因此在应用中，要根据实际需要选择合适的表示方式，以期达到节省
计算量、提高机器人控制效率及控制精度的目标。

同时，也要认真按
照四元数或欧拉角之间的转换规则，确保正确无误地将其转换为另一
种表示方式。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

四元数法空间转换
四元数法是一种用来描述旋转和空间变换的数学工具。

它由一个实部和三个虚部组成，可以表示三维空间中的旋转和平移操作。

我们来了解一下四元数的基本概念。

一个四元数可以表示为q = a + bi + cj + dk，其中a是实部，bi、cj和dk分别是虚部。

这里的i、j和k是虚数单位，它们满足下面的关系：i² = j² = k² = ijk = -1。

四元数的加法和乘法运算规则与实数类似，但乘法运算时需要考虑虚数单位之间的乘法关系。

四元数法在计算机图形学、机器人学和物理引擎等领域有着广泛的应用。

它可以用来表示物体的旋转、相机的视角变换以及手柄控制器的姿态等。

通过四元数法，我们可以更加简洁和高效地进行空间变换的计算。

在四元数法中，旋转操作可以通过四元数的乘法来实现。

假设我们有两个四元数p和q，它们分别表示两个旋转操作。

我们可以通过将它们相乘得到一个新的四元数r，表示两个旋转操作的组合。

这个过程可以简化为r = pq。

在这个过程中，四元数的虚部表示旋转轴的方向和旋转角度的正弦值，实部表示旋转角度的余弦值。

除了旋转操作，四元数法还可以用来表示平移操作。

平移操作可以通过将一个四元数与一个虚部为零的四元数相加来实现。

假设我们有一个四元数p，它表示一个平移操作。

我们可以将它与一个虚部
为零的四元数q相加得到一个新的四元数r，表示平移操作的组合。

这个过程可以简化为r = p + q。

在这个过程中，四元数的实部表示平移操作的x、y和z分量。

四元数法还可以进行插值和逆运算。

插值可以用来实现平滑的动画效果，而逆运算可以用来计算一个四元数的逆操作。

插值可以通过将两个四元数的旋转轴和旋转角度进行插值来实现，逆运算可以通过将一个四元数的虚部取反来实现。

总结一下，四元数法是一种用来描述旋转和空间变换的数学工具。