求函数的值域

5(1)25x y x -=+22(2)1x xy x x -=-+(3)12y x x=--例题：求下列函数的值域解：（1）12y ≠-所以值域为的一切实数5225xy x -=+5(1)21y x y -=+解得由逆求法152025x ≠+ 12y ∴≠-解：（1）15521225225x y x x -==-+++由12y ≠-所以值域为的一切实数分离常数法2111y x x =--+221331()244x x x -+=-+≥214013x x ∴<≤-+113y ∴-≤<解：（2）1[,1)3-故值域为配方法1y ∴≠解：（2）221x x y x x -=-+2(1)(1)0y x y x y -+-+=由得0∴∆≥113y ∴-≤≤1y = 时无解1y ≠1[,1)3-又故值域为1y ≠ x R∈ 又判别式法211(1)122y t ∴=-++≤(0)t ≥解：（3）12x t -=0t ≥212t x -=令则且1(,]2y ∈-∞则换元法解：（3）1(,]2x ∈-∞定义域y x=12y x =--1(,]2x ∈-∞函数，在都是单调增函数12y ≤1(,]2y ∈-∞故即利用函数的单调性【函数值域及求法：】函数的值域就是函数值的取值范围。

【常见函数的值域】 【求函数值域的方法：】【(1)直接观察法：】对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例如：函数24x y -=，12+=x y 的值域分别是]2,0[和),0()0,(+∞⋃-∞。

【(2)配方法：】配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

形如y =af 2(x )+bf (x )+c (a ≠0)的函数常用配方法求函数的值域。

要注意f (x )的取值范围。

对于二次函数k h x a x f +-=2)()()0(>a 在区间],[n m 上的最值问题，有以下结论： ①若],[n m h ∈，则{})(,)(,)(m ax m in n f m f y k h f y ===； ②若m h <，则)(),(m ax m in n f y m f y ==； ③若m h >，则)(),(m ax m in m f y n f y ==。

0<a 时，可仿此讨论。

例如：求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

求函数y =sin 2x +4cos x +1的值域。

[-3，5]【(3)部分分式法(分离常数或代数式)】 对于形如0,0,)(≠≠-++=c bc ad d cx b ax x f 的函数的值域，一般为}⎩⎨⎧≠∈c a y R y |，这是因为c a c d x ac ad bc c a c d x a b x c a d cd b ax x f ≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+=++=++=1)(。

主要适用于具有分式形式的函数解析式，通过变形，将函数化成y =a +b/g(x)的形式【(4)反求法（反函数法）】直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

对于形如0,0,)()(≠≠-++=c bc ad dx cf bx af y 的函数，若],[)(n m x f ∈，常先求出)(x f （用y 表示），再根据)(x f 的范围求得y 的范围。

例如：求函数y=6543++x x 值域。

【(5)判别式法】判别式法求最值，用途很广，大家也较熟悉，但用判别式求最值是有条件的，即当R x ∈时，使用“∆”求最值万无一失；当],[b a x ∈时，使用“∆”求最值不保险，因为],[b a 不一定包含“∆”求最值点的横坐标。

若解决某些实际问题时，用“∆”求最值方便，也要验证x 量否在已知区间，或是否符合实际。

能转化为 A(y )x 2+B(y )x +C(y )=0 的函数常用判别式法求函数的值域.主要适用于形如 y =(dx 2+ex +f)/(ax 2+bx+c )(a ， d 不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零).对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面.112..22222222ba y 型：直接用不等式性质k+xbxb. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx n x mx nd. y 型x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++【(6)换元法】形如d cx b ax y +±+=的形式，可用换元法，即设d cx t +=，转化成二次函数再求值域（注意0≥t ）。

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例如：求函数y=x+1-x 的值域。

通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元范围)。

【（7）利用函数单调性：】通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例如：求函数y=+-25x log31-x （2≤x ≤10）的值域函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例如：函数y=11+-x x e e ，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ-=+的值域。

110112sin 11|sin |||1,1sin 22sin 12sin 1(1cos )1cos 2sin cos 1)1,sin()sin()11即又由解不等式，求出，就是要求的答案x x x e yy e y e y y y y y y yx y x x y θθθθθθθθθθθθ-+=⇒=>-+-+=⇒=≤+--=⇒-=++-=++=++=+≤≤主要适用于 (1) y =ax +b + (cx +d)1/2 (ac >0)形式的函数; (2)利用基本不等式不能求得 y =x +k/x(k >0)的最值(等号不成立)时【（8）数形结合法】当函数的解析式明显具备某种几何意义， 像两点间的距离公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法.其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例：已知点P （x.y ）在圆x 2+y 2=1上，2,(2),2(,20, (1)的取值范围(2)y-2的取值范围解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线.d 为圆心到直线的距离,R 为半径)(2)令y-2即也是直线d dy x x yk y k x x R d x b y x b R +==+-≤=--=≤例：求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B （-8）间的距离之和。

由上图可知：当点P 在线段AB 上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB ∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞）例：求函数y=1362+-x x+542++x x的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2 ，-1 ）的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，y min =∣AB ∣= )12()23(22+++=43，【（8）数形结合法】 例：求函数y=1362+-x x-542++x x的值域解：将函数变形为：y=)20()3(22--+x -)10()2(22-++x上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0 ）的距离与定点B （-2，1）到点P （x ，0）的距离之差。

即：y=∣AP ∣-∣BP ∣由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P¹，则构成△ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边，有∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB ∣= )12()23(22-++=26即：-26＜y ＜26（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣= 26。

综上所述，可知函数的值域为：（-26，-26）。

注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A ，B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A ，B 在x 轴的同侧。

【（9）不等式法】利用基本不等式a+b≥2ab ，a+b+c≥3abc 3（a ，b ，c ∈R +），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：33()13()32x (3-2x)(0<x<1.5)x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时，应注意使3者之和变成常数）a b c +⋅⋅≤=++≤ 均值不等式法利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域. 要注意满足条件“一正、二定、三等”。

【（10）倒数法】有时直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况。

例：求函数y=32++x x 的值域320112022012时，时，=00y x x y y x y y =++≠==≥⇒<≤+=∴≤≤【（11）多种方法综合运用】总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

2(0)113322x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）x x x x +>++≥=≥函数专讲【函数的性质〃函数的值域】【求函数值域的方法：】【导数法】对于可导函数，可利用导数的性质求出函数的最值，进而求得函数的值域。

例：求函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3，0]上的值域解：由已知得f´(x)=3x2-3令3x2-3=0，解得x=-1或x=1（舍去）∵当-3≤x≤-1时，f´(x)≥0，函数单调递增当-1≤x≤0时，f´(x) ≤0，函数单调递减∴函数f(x)的极大值为f(-1)=3又f(0)=1，f(-3)=-17∴函数f(x)在[-3，0]上的值域是[-17，3]。