用矩阵法求解线性规划问题
第三章线性规划的解法习题解答090426y
第三章线性规划的解法§3.1重点、难点提要一、线性规划问题的图解法及几何意义1．图解法。
线性规划问题采用在平面上作图的方法求解，这种方法称为图解法。
图解法具有简单、直观、容易理解的特点，而且从几何的角度说明了线性规划方法的思路，所以，图解法还有助于了解一般线性规划问题的实质和求解的原理。
（1）图解法适用于求解只有两个或三个变量的线性规划问题，求解的具体步骤为：1）在平面上建立直角坐标系；2）图示约束条件，找出可行域。
具体做法是画出所有约束方程(约束条件取等式)对应的直线，用原点判定直线的哪一边符合约束条件，从而找出所有约束条件都同时满足的公共平面区域，即得可行域。
求出约束直线之间，以及约束直线与坐标轴的所有交点，即可行域的所有顶点；3）图示目标函数直线。
给定目标函数Z一个特定的值k，画出相应的目标函数等值线；4）将目标函数直线沿其法线方向向可行域边界平移，直至与可行域边界第一次相切为止，这个切点就是最优点。
具体地，当k值发生变化时，等值线将平行移动。
对于目标函数最大化问题，找出目标函数值增加的方向(即坐标系纵轴值增大的方向)，等值线平行上移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最大值的最优解；对于目标函数最小化问题，找出目标函数值减少的方向(即坐标系纵轴值减少的方向)，等值线平行下移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最小值的最优解。
（2）线性规划问题的几种可能结果：1）有唯一最优解；2）有无穷多个最优解；3）无最优解(无解或只有无界解)。
2．重要结论。
（1）线性规划的可行域为一个凸集，每一个可行解对应该凸集中的一个点；（2）每一个基可行解对应可行域的一个顶点。
若可行解集非空，则必有顶点存在，从而，有可行解必有基可行解。
（3）一个基可行解对应约束方程组系数矩阵中一组线性无关的列向量，对于n 个变量m 个约束方程的线性规划问题，基可行解的个数不会超过!!()!m n n m n m C =-。
单纯形法的矩阵计算例题
1、在使用单纯形法求解线性规划问题时，初始基本可行解通常通过以下哪种方法获得？A. 两阶段法B. 高斯消元法C. 矩阵求逆D. 逐次逼近法（答案）A2、在单纯形表的迭代过程中，当所有检验数均非负时，说明当前解是？A. 无界解B. 无解C. 最优解D. 可行解但非最优（答案）C3、单纯形法中，选择进入基的变量时，通常选择检验数最小的变量，这是？A. 错误的做法B. 正确的做法，但仅当目标函数求最大值时C. 正确的做法，但仅当目标函数求最小值时D. 无论目标函数求最大还是最小，都是正确的做法（答案）B（假设题目中指的是选择绝对值最大的负检验数对应的变量进入基，若求最小值则选择正检验数）4、在单纯形迭代过程中，若出现某个基变量的值为零，而该变量在目标函数中的系数（即检验数）为正，则？A. 该问题无界B. 应立即停止迭代，因为当前解不可行C. 应将该变量从基中换出D. 这种情况不可能发生（答案）C5、单纯形法中，退出基的变量选择通常基于？A. 检验数的大小B. 基变量在约束条件中的系数比值（即比值检验）C. 目标函数中的系数D. 变量的下界或上界（答案）B6、在单纯形迭代过程中，若所有基变量的检验数均为零，则？A. 达到了最优解，且可能存在多个最优解B. 达到了最优解，且唯一C. 问题无解D. 需要进行人工变量调整（答案）A7、单纯形法中，若某个迭代步骤中发现无法找到符合条件的进入基变量（即所有检验数均非负），则？A. 当前解即为最优解B. 问题无解C. 需要引入人工变量继续迭代D. 应检查初始基本可行解的正确性（答案）A8、在构建初始单纯形表时，若目标函数为求最小化，则检验数应如何计算？A. 检验数= 目标函数系数- 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和B. 检验数= 目标函数系数+ 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和的相反数C. 检验数= 目标函数系数直接作为检验数D. 检验数= 约束条件左侧系数与目标函数系数的比值（答案）B（简化描述，实际计算中需考虑基变量的当前值和目标函数系数）9、单纯形法中，当某个基变量的值为负时，说明？A. 当前解不可行B. 当前解可能是最优解，但需进一步验证C. 应立即将该变量从基中换出D. 这种情况在正确执行单纯形法时不可能发生（答案）D（在正确执行时，基变量应始终非负）10、在单纯形迭代过程中，若发现某个非基变量的检验数为正，且该变量对应的约束条件为“≤”类型，则？A. 该变量应被选为进入基的变量B. 该变量不能进入基，因为其检验数为正C. 需要检查该变量的上界是否满足约束D. 该问题可能无解（答案）A（在求最大化问题时，正检验数对应的非基变量是潜在的进入基候选）。
第二讲线性规划算法
bi xk yik
注意：xBr=0
3. 基变换——转轴变换
新可行解：x‘=(xB1,…xBr-1,0,xBr+1,…,xBm,0,…，0,xk,0,…，0)
可以证明此解为新的基本可行解。这是因为原来的基 PB1,…,PBm线性无关，而yk=B-1Pk,故Pk=Byk=∑yikPBi， 而PBr的系数yrk≠0，
maxZ=CTX s.t.AX=b X ≥0
A=(B,N)
cB xB C x cN xN
s.t.
Bx B +Nx N =b x0
max z s.t. Bx B +Nx N =b
T z＝cT x +c B B N xN
z
xB
xN
右端项
0 1
B cB
矩阵式： maxZ=CTX
AX=b
X ≥0
线性规划解的概念
若A = ( B, N )， 其中B ( P 1, P 2 , …，Pm )可逆，称B为基矩阵 x1 x2 xB 相应地X＝ , x B为基变量，x N为非基变量 xN xn xB 代入约束：(B,N) b,即Bx B +Nx N =b, x B＝B-1b-B 1Nx N xN
3. 基变换——转轴变换
取某一非基变量xk→换入基（即让xk>0，其余非基变量仍为0） 同时，再从基变量中换出一个变量xBr→作为非基变量。
如何求换入变量xk和换出变量xBr？K=?，r=?
选 k max{ j | j 0}, 令xk 0, 其余非基变量＝0
jR
由AX=b, xB＝B-1b-B1Nx N
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
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生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解⽅式线性规划问题的两种求解⽅式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应⽤⼴泛、⽅法较成熟的⼀个重要分⽀，它是辅助⼈们进⾏科学管理的⼀种数学⽅法。
线性规划所研究的是：在⼀定条件下，合理安排⼈⼒物⼒等资源，使经济效果达到最好。
⼀般地，求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为线性规划问题。
解决线性规划问题常⽤的⽅法是图解法和单纯性法，⽽图解法简单⽅便，但只适⽤于⼆维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适⽤于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及⼤量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量⼤，复杂繁琐。
在这个计算机⾼速发展的阶段，利⽤Excel建⽴电⼦表格模型，并利⽤它提供的“规划求解”⼯具，能轻松快捷地求解线性模型的解。
⽆论利⽤哪种⽅法进⾏求解线性规划问题，⾸先都需要对线性规划问题建⽴数学模型，确定⽬标函数和相应的约束条件，进⽽进⾏求解。
从实际问题中建⽴数学模型⼀般有以下三个步骤；1、根据所求⽬标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求⽬标的函数关系确定⽬标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满⾜的约束条件。
以下是分别利⽤单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种⽅法对例题进⾏求解的过程。
例题：某⼯⼚在计划期内要安排⽣产I、II两种产品，已知⽣产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，⼯⼚中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。
每⽣产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的⽣产数量的哪种组合能使总利润最⼤？这是⼀个典型的产品组合问题，现将问题中的有关数据列表1-1如下：表1-1I II 限量设备 1 2 8台时原材料A 4 0 16单位原材料B 0 4 12单位所获利润 2 3⾸先对例题建⽴数学模型。
问题的决策变量有两个：产品I的⽣产数量和产品II的⽣产数量；⽬标是总利润最⼤；需满⾜的条件是：(1)两种产品使⽤设备的台时<= 台时限量值(2) ⽣产两种产品使⽤原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的⽣产数量均>=0。
最优基矩阵
最优基矩阵
最优基矩阵是线性规划中的一个重要概念，它是指在线性规划问题中，使得目标函数值最小或最大的基变量的集合。
在线性规划中，基变量是指线性方程组中的变量，它们的值可以通过其他变量的值来表示。
而非基变量则是不能通过其他变量的值来表示的变量。
最优基矩阵的求解是线性规划问题的核心之一。
在求解最优基矩阵时，需要使用单纯形法或者内点法等算法。
单纯形法是一种基于迭代的算法，它通过不断地交换基变量和非基变量来寻找最优解。
内点法则是一种基于迭代的算法，它通过不断地向可行域内部移动来寻找最优解。
最优基矩阵的求解过程中，需要注意一些问题。
首先，需要保证基变量的个数等于约束条件的个数。
其次，需要保证基变量的线性无关性。
最后，需要保证基变量的取值范围在可行域内。
最优基矩阵在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以使用最优基矩阵来确定最优的生产方案。
在资源分配中，可以使用最优基矩阵来确定最优的资源分配方案。
在金融领域中，可以使用最优基矩阵来确定最优的投资组合。
最优基矩阵是线性规划中的一个重要概念，它在实际应用中有着广泛的应用。
在求解最优基矩阵时，需要使用单纯形法或者内点法等
算法，并且需要注意一些问题，如基变量的个数、线性无关性和取值范围等。
线性规划
1
2/3 1/ 2 2/3
x4 x4 x4
1 / 3 0 0 1 1 / 3 0
4 c4 cB B
1 3 x5
1
p 4 为非基变量
x 4 的检验公式
T
c 4 0 , c B ( 3 , 5 , 0 ), p 4 ( 0 ,1 , 0 )
s .t .
1 3 x5
1/3 x4 0 x 5 1 / 3
xB B-1b
B-1P4 B-1P5 xN
如果所有的检验数都小于等于零，当前解就是最优解； 如果存在至少一个检验数大于零，且该检验数对应的列
向量B-1Pj中至少有一个正分量，则问题没有达到最优；
单纯形计算表
Cj-CBB-1Pj中B是单位矩 阵，实际计算Cj-CBPj
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
1 1
单纯形法Байду номын сангаас法
max z c B B s .t . xB B
1
b (c N c B B
1
1
N )xN
1
b B
Nx
N
xB , xN 0 1、将问题转化为标准型 2 、最优性检验 如果存在 否则计算 : ，找到一个初始可行基 ；
j 0 , 且 B p j 0 ，该问题无界，停止计 k max{ c j c B B
单纯形法矩阵变换
单纯形法矩阵变换
单纯形法是一种优化算法，用于求解线性规划问题。
在单纯形法中，需要对线性规划问题进行矩阵变换，以便将其转化为标准形式，使得求解过程更加方便。
矩阵变换的具体步骤如下：
1. 将线性规划问题的目标函数转化为最小化形式。
如果原问题是最大化形式，则将目标函数的系数取负。
2. 将线性规划问题的约束条件化为等式形式。
对于不等式形式的约束条件，引入松弛变量或剩余变量，将其转化为等式形式。
3. 引入人工变量。
如果线性规划问题中存在非等式的约束条件，并且约束条件的右侧常数项为负数，则需要引入人工变量，并将人工变量的系数列加入目标函数中。
4. 构造初始的单纯形表。
将所有的变量系数、目标函数系数和约束条件右侧常数项组合成一个矩阵，并添加相应的标识符，构成单纯形表。
5. 进行单纯形迭代。
在每一次迭代中，选择单纯形表中的入基变量和出基变量，并进行相应的变换计算，更新单纯形表中的元素。
6. 判断终止条件。
根据单纯形表中的元素判断是否达到最优解，或者是否存在无界解。
7. 如果达到最优解，读取相应变量的取值，并计算目标函数的值。
8. 如果存在无界解，则问题无解。
通过以上的矩阵变换和单纯形迭代，可以逐步逼近最优解，并最终求解线性规划问题。
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用矩阵法求解线性规划问题
现代科学技术迅猛发展的今天对数学问题的研究提出了更新更高的要求，而线性规划问题在数学领域及科学技术中应用广泛，所以对线性规划问题的求解法要求也越来越高。
教材中介绍的主要是用单纯形法求解，由于线性约束条件是由线性方程组构成的，而方程组的问题可以转化为矩阵的形式。
所以本文结合自己的学习，通过认真分析查阅资料，整理出了用矩阵法求解线性规划问题的步骤，以期对线性规划问题的研究有一定的参考价值。
1、线性规划问题基本知识简介
1.1线形规划问题的标准形式
我们考虑下列线性规划问题：
约束条件为
其中，称为决策变量，变量表示决策方案，满足上述约束条件的决策变量的值称为线性规划问题的可行解，我们把使目标函数达到最大的可行解叫最优解，这个最大的值我们称为最优值；叫价值系数. 在解问题时若要求线性规划问题的极小值，即这时只需令
即可将原问题转化为
即可.
当约束条件为不等式时，有两种处理方式：当约束条件为“ ”
的不等式时，可在不等式的左端加入非负松弛变量，将不等式变为等式；当约束条件为“”的不等式，可在不等式左端减去一个非负剩余变量（也可称松弛变量），把不等式变为等式约束.
1.2线性规划问题标准形式的矩阵形式
线性规划问题用矩阵描述时为：
其中：
—约束条件的维系数矩阵，一般
—资源向量；—价值向量；—决策变量向量
为便于使用矩阵法求解上述线性规划问题，我们构造如下初始矩阵
这里是一个由约束方程的增广矩阵和价值系数组成的
矩阵，其中是约束条件的个数，是决策变量的个数.而问题中涉及的表示的是矩阵秩，即 .问题的基变量可由矩阵中列向量的最大线性无关组的选取方式来确定。
1.3线性规划问题的最优解
(1)可行解
线性规划问题：
中，满足约束条件的
称为线性规划问题的可行解，而使目标函数值达到最大的可行解称为该问题的最优解.
(2)基
设是约束方程组的维系数矩阵，其秩为,是矩阵中阶非奇子矩阵（）,则称是线性规划问题的一个基.这就是说，矩阵是由个线性独立的列向量组成,不失一般性，可设
称为基向量，与基向量相应的变量为基变量，否则称为非基变量. 为了进一步讨论线性规划问题的解，下面研究约束方程组(1-1) 的求解问题.假设该方程组系数矩阵的秩为，因，故它有无穷多个解，假设前个变量的系数列向量是线性独立的，这时(1-1)式可写成
或
方程组(1-3)的一个基是
设是对应于这个基的基变量
现若令(1-3)式的非基变量，这时变量的个数等于线性方程的个数.用高斯消去法求出一个解
该解的非零分量的数目不大于方程的个数，称为基解.由此可见，有一个基，就可以求出一个基解.
(3)基可行解
满足非负条件，的基解，称为基可行解.
(4)可行基
对应于基可行解的基称为可行基.
单纯形法的基本是用迭代法从初始基可行解出发，判断当前基可行解是否为最优解，如果是则求解结束，否则要进行换基，
即将一个非基变量变为一个基变量（叫做入基），同时将一个基变量变为非基变量（叫做出基），换基的原则是换入使目标函数变化最大的,不断重复上述过程找到问题的最优解为止.
1.4用矩阵法求解线性规划问题的步骤
(1)确定初始基变量，求得初始基可行解.
将矩阵第一列中，得到新的矩阵.重复(2)-(5)直到终止.
2、应用举例
例1.某工厂在计划期内要安排生产两种产品,已知生产单位产品需要设备1台时，原材料4千克，生产单位产品需要设备2台时，原材料4千克，且该工厂共有设备8台时，原材料16千克，原材料12千克.该工厂每生产一件产品可获利2元，每生产一件产品可获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多？
解设分别表示在计划期内产品的产量，则该问题可用数学模型表示为
第二步，比较价值系数，确定进基变量.
因为价值系数的大小对目标函数值的改变有影响，价值系数大的可以加快目标函数值的改变，故从所有价值系数中选择绝对值最大的正数如，确定该数在矩阵中的位置，然后把该列代表的决策变量作为一个新的基变量取代前一个基变量中的一个变量.在本题中由于2＜3，所以此题中价值系数最大的正数为，它在中占第二列，于是就把作为一个新的基变量.
第三步，依据最小比值原理,找到出基变量，进而求得基可行解.
将所对的那一列的前三个正数分别去除最后列的对应元素，选出所得商中最小的正值并确定出其在中所占的行数，于是把该行所代表的基变量作为出基变量.通过计算可知
那么其对应的行所代表的基变量就作为出基变量被换出而成为非基变量.于是得到矩阵如下：
将矩阵作一系列初等变换，将矩阵中第三行第二列处的值变为1，第二列的其他位置的值变为0，这样得到矩阵
令代入约束条件就求得该可行基对应的可行解
第四步，比较确定矩阵中的最后一行是否还有正数，有则重复二三步，直到最后一行所有元全为非正数为止.题中的最后一行中有正数=2，故重复上述二三步，因，且占中的第一行，故将作为新的基变量，作为非基变量，对作同的初等变换得到从上面的例子我们可以看出，如果所给定的线性规划问题有现成的基，那么我们可以直接写出初始单纯形矩阵.如果所给定的线性规划问题没有现成的基，则可通过引入人工变量的方法得到一个人造基，从而构造一个辅助问题.然后利用例一中使用的单纯形法来求得辅助问题的最优解或判断辅助问题无最优解.此时原问题和辅助问题的解的情况相同.如果原问题有无最优解无法判定，且辅助问题的最优解中已不含人工变量可以去掉辅助问
题的单纯形表中对于原问题来说是多余的行及多余的列.如果辅助问题的最优基中含有人工变量，这时若人工变量所对应的行中非人工变量的系数全为0，则可将此行去掉而使辅助问题的最优基中少一个人工变量.若人工变量所对应的行中某一非人工变量的系数不为0，则以此出发对单纯形表进行适当的变换进行换基.目的是迫使人工变量离基，经有限个步骤以后总可以使辅助问题的最优基中不再含有人工变量，从而得到原问题的初始单纯形表.以上所有的工作都可以用相应的单纯形矩阵代替单纯形表而对单纯形矩阵施行初等行变换达到预期的目的.
3、灵敏度分析
灵敏度分析也叫优化后分析，是研究线性规划模型某些参数或限制量的变化对最优解的影响及其程度的分析过程.灵敏度分析的主要内容包括研究目标函数的系数发生变化时对最优解的影响，约束方程右端系数发生变化时对最优解的影响以及约束方程组系数阵发生变化时对最优解的影响.针对上述情况，我们会作如下思考：如果上述问题中涉及的系数有一个或几个发生变化时，那么我们所求得的最优解又回随这些问题的变化而发生变化吗？或者说它们会发生怎么样的变化以及这些系数在哪个范围内变化时不会影响原问题的最优解或者说不会使问题的最优基发生变化呢？下面我将从资源数量变化和技术系数两方面的变化来讨论它们的变化对线性规划问题最优解和最优基的影响.
3.1资源数量变化的分析
3.2技术系数的变化
讨论技术系数的变化，下面我们以具体例子来说明
例4.分析在原计划中是否应该安排一种新产品.以例1为例，设该厂除了生产产品外，现有一种新产品，已知生产产品每件需消耗原材料A,B各为6千克，3千克，使用设备2台时，每件可获利5元.问改厂是否生产该产品和生产多少？
4、结束语
线性规划的求解问题在运筹学中中是最重要的知识点，且是贯穿运筹学各个章节的重要理论，在研究其他规划方面有非常重要的作用.本文通过对线性规划的矩阵求解法的描述加深了对单纯形法实质的理解，矩阵形式是表达最为简洁又便于理论推证的形式，单纯形法的矩阵描述也为研究修正单纯形法奠定了基础.灵敏度分析作为优化后分析对于线性规划的应用是非常重要的，但在考虑系数变化时一般每次只考虑一个，当多个系数同时变化时，就需要用参数线性规划进行处理，因此，可以把参数线性规划看作是灵敏度分析的扩展.。