相似矩阵及二次型

(4) [ x , x ] 0, 且当 x 0时, 有[ x , x ] 0.
著名的Cauchy-Schwarz不等式
[ x , y ]2 [ x , x ][ y , y ]
即
n 2 n 2 x i yi x i yi i 1 i 1 i 1
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六、正交矩阵 定义 若 n 阶方阵 A 满足 AT A E , 则称 A 为正交矩阵. 定理 A 是正交矩阵
AA E
T
A1 AT
A 的列组是规范正交组 A 的行组是规范正交组
பைடு நூலகம்18
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证 (只证第三条) 记 A [1 , 2 ,, n ]
当 [ x , y] 0 时, 称向量 x 与 y正交 .
若 x 0, 则显然 x 与任何向量都正交 .
6
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四、正交向量组
定义 若一个不含零向量的向量组 1 , 2 ,, r 中的 向量两两正交 [ i , j ] 0( i j ) ，则称该向量组为
正交向量组．又如果这些向量都是单位向量 i 1 ,
2 2 11
上式两边与 1 做内积, 注意 [ 1 , 2 ] 0 得
从而
[ 1 , 2 ] 1 [ 1 , 1 ]
[ 1 , 2 ] 2 2 1 [ 1 , 1 ]
12
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我们已求得 1 , 2 已正交, 再求构造 3
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1 , 2 ,, r 两两正交, 可用数学归纳法严格证明.
与 1 , 2 ,, r 等价, 这是因为(只需看三个)
1 1 1 1
2 2 r121
2 r121 2
3 3 r131 r23 2
T 1 记 A r ( A) r n Ax 0 必有非零解. T r 其任一非零解即为所求的 r 1 10
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五、施密特正交化过程
设 1 , 2 ,, r 是一组线性无关的向量, 它就是它
生成的向量空间
L (1 , 2 ,, r )
T j i
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1, 当 i j ij 0, 当 i j
i , j 1,2,, n
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性质 (1) A是正交矩阵，则 A1 和 A 都是正交矩阵；
(2) A，B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；
(3) A是正交矩阵，则 A 1 ；
解 易知 a1 , a2 , a3 线性无关, 用施密特正交化方法
b1 a1 1,1,1,1T
b2 a2
b1 , a2 1,1,0,4T 1 1 4 1,1,1,1T b1 0,2,1,3T 1111 b1 , b1
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] 8 14 0,2,1,3T 1,1,2,0T 3,5,1,1T 1,1,1,1T 4 14 1 0 1 再单位化 b1 1 1 b2 1 2 b3 1 1 1 2 3 b1 2 1 b2 14 1 b3 6 2 1 3 0 线性代数
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§5.7 正定二次型
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T
T
令 x , y x1 y1 x2 y2 xn yn xT y yT x
称 x , y 为向量 x 与 y的 内积 .
3
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性质
(1) [ x , y ] [ y , x ]; ( 2) [x , y ] [ x , y ]; ( 3) [ x y , z ] [ x , z ] [ y , z ];
1 r12 [1 , 2 , 3 ] [ 1 , 2 , 3 ]0 1 0 0
3 r131 r23 2 3
r13 r23 1
1 r12 [ 1 , 2 , 3 ] [1 , 2 , 3 ]0 1 0 0
[ 1 , r ] [ 2 , r ] [ r 1 , r ] r r 1 2 r 1 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ] [ r 1 , r 1 ]

则 1 , 2 ,, r 两两正交, 且与 1 , 2 ,, r 等价. ? ?
T 1 x 0 x1 x2 x3 0 Ax 0 T x1 2 x2 x3 0 2 x 0
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T 1 1 1 1 A T 1 1 2 1 2 求得基础解系(即为所求)为 3 0 1
x y x y.
5
(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证,见P114)
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三、单位向量和 n 维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
[ x, y] 2 当 x 0 , y 0时, arccos x y
称为 n 维向量 x 与 y 的 夹角.
以 aT 左乘上式两端, 得 11T 1 0 1
由 1
T 0 1 1
1
2
0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1 , 2 ,, r 线性无关.
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例1
已知 R 3 中两个正交向量
1 1 试求 3 使 1 , 2 , 3 构成 1 1 , 2 2 R 3 的一个正交基. 1 1 解 这相当于要求方程组的非零解
则称该向量组为规范正交向量组.
若该向量组是一个向量空间 V 的基, 又分别称
为向量空间 V 的正交基和规范正交基.
7
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性质
正交向量组必线性无关.
证 设 α1 ,α2 , ,αr 是正交向量组
又设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r 0
T 1 T AT A E 2 [1 , 2 ,, n ] E T n T 1 T 2 T n 1 1 1 T T T 2 1 2 2 2 n E T T T n 1 n 2 n n
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当建立规范正交基(相当于标准直角坐标系)后, 求一个向量
的坐标就特别方便
11 2 2 3 3
两边分别与 1 , 2 , 3 内积
1 [1 , ], 2 [ 2 , ], 3 [ 3 , ]
(这里就不具体计算了)
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第五章 相似矩阵及二次型
§5.1 向量的内积、长度及正交性 §5.2 方阵的特征值与特征向量 §5.3 相似矩阵 §5.4 对称矩阵的对角化 §5.5 二次型及其标准形 §5.6 用配方法化二次型成标准形 §5.7 正定二次型
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1
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§5.1 向量的内积、长度及正交性
引言
3 3 11 2 2 (1)
(1)式两边与 1 内积, 注意
3
3
2 2
2
[ 1 , 2 ] [ 1 , 3 ] 0
得
[ 1 , 3 ] 1 [ 1 , 1 ]
11
1
(1)式两边再与 2 内积, 类似可得
11 2 2
线性代数
r13 r23 1
1
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a1 (1,1,1,1)T , a2 (1,1,0,4)T , a3 ( 3,5,1,1)T
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例3
求 span(a1 , a2 , a3 ) 的一个规范正交基, 并求向量
a1 a2 a3 (5,5,2,4)T 在该规范正交基下的坐标.
[ 2 , 3 ] 2 [ 2 , 2 ]
线性代数
[ 1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 1 2 从而 3 3 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ]
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施密特正交化方法 设 1 , 2 ,, r 线性无关
令
1 1
n 维向量空间是三维向量空间的直接推广, 但是只定义 了线性运算, 而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了
三维空间丰富的内容.
我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中. 在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积)
x y x y cos( x, y )
建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积
n
4
2
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二、向量的长度及性质 定义
x [ x, x]
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
性质 1. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式
的一个基(坐标系), 如何在向量空间 L 中建立正交的 基(坐标系)? 这个问题就是… 找与 1 , 2 ,, r 等价的正交向量组 1 , 2 ,, r
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以三个向量 1 , 2 , 3 为例, 从几何直观上去求.
2
2
11
1 1
1 1
设 x ( x1 , x2 , x3 )T , y ( y1 , y2 , y3 )T 则
x y x1 y1 x2 y2 x3 y3
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2
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一、内积的定义及性质 定义 设有n 维向量
x ( x1 , x2 ,, xn ) , y ( y1 , y2 ,, yn )
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例2
(例1的一般化, 也称正交基的扩张定理) 设 1 , 2 ,, r 是 R n 中的一个正交向量组, r n ,
证明必可找到 n r 个向量 r 1 ,, n 使 1 , 2 ,, n 构成 R n 的正交基. 证 只需证必可找到 r 1 0 使 r 1 与 1 , 2 ,, r 都正交.
Px x , x R n ， (4) P是正交矩阵，则
即正交变换保持向量的长度不变。
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第五章 相似矩阵及二次型
§5.1 向量的内积、长度及正交性 §5.2 方阵的特征值与特征向量 §5.3 相似矩阵 §5.4 对称矩阵的对角化
§5.5 二次型及其标准形 §5.6 用配方法化二次型成标准形
1 1 / 1
1 , 2 2 2 1 , 1 , 1
[ 1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 3 3 1 2 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ]
2 2 / 2

r r / r
是与 1 , 2 ,, r 等价的规范正交组