(完整版)数列经典讲义(教师版)

Cxiaojun

数列和数列的练习

一、数列及其相关概念

1． 数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限．

2．数列的项及通项：

数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项． 数列的一般形式可以写成：123n a a a a ，，，，，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，又称为数列的通项． 3．数列的通项公式

如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式． 4．数列的分类

数列的分类方式一般有三种：

（1）项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列；

（2）从第2项起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都比它的前一项小的数列

称为递减数列；这两种数列统称为单调数列．各项都相等的数列称为常数列；既不是单调数列，又不是常数列的，称为摆动数列，即有些项小于它的前一项，有些项大于它的前一项；

（3）如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数，则称此数列为有界数列，否则称为无界数列． 5．数列的表示方法

数列是定义域为正整数集（或它的一个有限子集{123}n ，，，，）的一类特殊的函数()f n ，数列的通项公式也就是函数的解析式．

数列的表示方法通常有三种：

（1）通项公式法（对应函数的解析式法）；

（2）图象法（无限多个或有限多个孤立的点，取决于是无穷数列，还是有穷数列）； （3）列表法．

6．数列和函数、集合的区别

（1）数列和函数：数列是以正整数集*N (或它的有限子集){}1234n ，，，，，为定义域的函数()n a f n =． （2）数列和集合的区别和联系：集合是没有顺序的，数列是有顺序的

7．数列的递推公式

如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，1112(2)n n a a a n -==-，≥．

给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法． 8 数列的前n 项和

数列{}n a 的前n 项和定义为：123n n S a a a a =++++．

数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ，且11(1)

(2)n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．

Cxiaojun

一、数列的基本概念

1. （2010年东城一模7） 已知数列{}n a 的通项公式3

log ()1

n n

a n n =∈+*N ，设其前n 项和为n S ，则使4n S <- 成立的最小自然数n 等于（ ）

A ．83

B ．82

C ．81

D ．80

2. （2011年海淀二模5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ ）

A.16 Ｂ.8 Ｃ.22 Ｄ.4

3. 数列{}n a 满足11

11

(2)3n n a a n n N a +-==-≥∈，，，则2008a 等于（ ）

A ．1

3

B ．3

C ． 13-

D ．-3

4. （2011年东城区期末理11）在数列{}n a 中，若12a =，且对任意的正整数,p q 都有

q p q p a a a =+，则8a 的值为 ．

5. （2010年东城二模6）已知函数6(3)3,7

(),

7.x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，若数列{}n a 满足*()()n a f n n =∈N ，且{}n a 是递增数

列，则实数a 的取值范围是

（ ）

A ．9

[3)4

，

B ．9(3)4

，

C ．（2，3）

D ．（1，3）

6. 已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x y ∈R ，，

都有()()()f x y xf y yf x ⋅=+成立．数列{}n a 满足(2)n n a f =()n ∈*N ，且12a =．则数列的通项公式n a =__________________ ．

二、数列的递推公式

7. （2006年重庆12）在数列{}n a 中，若11123(1)n n a a a n +==+≥，，则该数列的通项n a =

8. 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ⋅⋅⋅

⋅=，求数列{}n a 的通项公式n a ．

9. 若数列{}n a 中，13a =，且2+1n n a a =（n 是正整数），则数列的通项公式时n a =

10. 已知数列{}n a ，满足112311+2+3+1)(2)n n a a a a a n a n -==-≥，（，则{}n a 的通项 11)

(2)

n n a n =⎧=⎨

≥⎩

（

11. 求满足下列条件的数列{}n a 的通项公式

（1）已知{}n a 满足+11

21

1

+

412

n n a a a n ==-，，求n a （2）已知{}n a 满足+13n n n a a =，且13a =，求n a