第五章相似矩阵及二次型

x1 x2
x3 2x3
令 x3 k ，得到对应于2 3 1的全部特征向量为
k 1 x 2k k 2
k 1
2 1 例3：求矩阵 A 0 2
4 1
解：A 的特征多项式为
1 0 特征值和特征向量。 3
2 1 1 2 1
A E 0 2 0 (2 ) 4 3
3 1 0 4 1 0
1 0 0
，得到对应于 1
r
1 0 0 0 1 0 0 0 0
xx12
0 0
0
2 的全部特征向量为x k 0
1
当 2 3 1时，解方程 (A E)x 0
由
2 1 0 A E 4 2 0
r
1 0 1 0 1 2
1 0 1
0 0 0
xx212xx3300
(2) 12 n A
推论方阵 A 可逆
A 有 n 个非零的特征值
四.特征向量的性质：
1.定理2:
若 x1, x2 是 A 对应于特征值 的两个特征向量则 k1x1 k2x2
也是 A 对应于 的特征向量。
2.定理3: 矩阵A的不同特征值对应的特征向量是线性无关的.
五:说明:
1.对数值矩阵,一般用 | I A | 0 , 求其特征值.
2.条件:
(1)定理5:n 阶矩阵 A 与对角阵相似(即 A 能对角化)
A 有 n 个线性无关的特征向量
注：设 A 的 n 个线性无关的特征向量为 x1, x2 ,, xn ， 记矩阵 P (x1, x2,, xn )，则 P 即为相似变换 矩阵，使 P1AP 为对角阵。
即 P 为 A的n个线性无关的特征向量构成的矩阵 证:
2.求非数值矩阵的特征值,则需用定义求解. 3.重根只对应一组线性无关的特征向量. 例:设n阶方阵A满足 A2 A ,证明A的特征值为1或0.
六.补充定理
定理:设 是方阵A对应于特征向量x的特征值,则:
1.对数值k,则k 是矩阵kA对应于特征向量x的特征
值.
2.对于正整数 l ( l ≥2),则 l 是矩阵 Al对应于
特征向量x的特征值.
3.若A为可逆阵.则 量x的特征值.
1
是矩阵 A1 对应于特征向
4. ()是 ( A) 的特征值.
例:设三阶方阵A的三个特征值为1.2.-1,
(1)求矩阵 B A2 3A 2I 的特征值;
(2)求矩阵 C A1 2I 的特征值;
第二节 矩阵相似于对角阵
一.矩阵相似
1)已知二次型求对称阵A: A的主对角线元素 aij 为 xi2 项系数,其它元素 aij aji
为 xi x j 项系数的一半.
2)已知对称阵A求二次型: 上述步骤的逆过程.
例1：二次型f (x1, x2, x3, x4 ) 2x1x2 2x2x3 2x3x4
0 1 0 0
的矩阵为
1 0 0
B 为对称阵
2.化标准型方法:
n
1)定理2:任给二次型 f aij xi x j ,有可逆变换 x Py i, j1 使 f 化成标准形 f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1, 2,, n 是 f 的矩阵 A (aij ) 的特征值。
等价于对任一实对称阵A,总存在可逆阵P,使A合同于对角阵
例3.判别下面矩阵能否相似于对角阵.若能相似于对角矩 阵,求出P和对角阵.
2 1 1
3 1 1
(1) A
0
2 0, (2) A 7 5 1
4 1 3
4 6 2
三.可对角化矩阵的幂:
1k
Ak P
k2
P 1
kn
结论:求 Ak 转化为求特征值及特征向量.
例4.设三阶矩阵A的特征值 1 4, 2 3 1, 对
k1 k1 0 1 0 x k2 0 k2 k1 0 k2 1
4k1 k2 4k1 k2 4 1
三.特征值的性质：
1.定理1:设 A (aij )nn的特征值为1, 2 ,, n ，则 (1) 1 2 n a11 a22 ann
x1
,
x2
,,
xn
a11x1 a12x2 a1n xn a21x1 a22x2 a2n xn
an1x1 an2 x2 annxn
a11百度文库
x1
,
x2
,,
xn
a21
an1
a12 a22
an2
a1n x1
a2n x2
ann
xn
xT
Ax
结论:
a11
其中
A
此时 f (x1, x2,, xn ) a11x12 a22x22 annxn2 2a12x1x2 2a13x1x3 2an1,n xn1xn
a11x12 a12x1x2 a1n x1xn a21x2 x1 a22x22 a2n x2 xn
an1xn x1 an2 xn x2 annxn2
x
k k
k
11
1 1 0 例2：求矩阵 A 4 3 0的特征值和特征向量.
1 0 2
解：A 的特征多项式为
1 1 0
A E 4 3 0 (2 )(1 )2
1 0 2
所以 A 的特征值为 1 2, 2 3 1
当1 2时，解方程 (A 2E)x 0
由 令
A 2E
x3 k
k 1 x 0 k0
k 1
当 2 3 2时，解方程 (A 2E)x 0
4 A 2E 0
1 1 0 0
r
4 0
1 0
1 0
4 1 1
0 0 0
4x1 x2 x3 0 即 x3 4x1 x2
令 x1 k1 , x2 k2 ，得到对应于2 3 2 的全部特征向量为
第五章 矩阵的对角化及二次型 第一节 方阵的特征值与特征向量
一.概念:
1.特征值,特征向量:
设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非零列向量 x 使 关系式 Ax x成立，那么，这样的数 称为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于特征值
的特征向量。 2.特征方程,特征多项式,特征矩阵:
2)方法:(1)拉格朗日配方法;
(2)正交变换法.
3).拉格朗日方法步骤: (1)f中含有某变量平方项: ①把含有此变量的项归并,配方; ②再对其它变量进行配方,直至完全配为平方项. (2)f中不含变量的平方项: ①用一简单逆变换使f中含有新变量平方项, ②按第一种方法进行.
an2 ann
称为 A的 特征多项式。( A E) 称为 A的 特征矩阵。
二.计算方法:
设
为
i
Ann的一个特征值，x
i
为其对应的特征向量，则
Axi i xi
( A i E)xi 0
x i 是( A i E)x 0的解
求 Ann的特征值
求 A E 0的根
求 Ann的对应于特征值 i的特征向量
(2)推论1: 若 n 阶矩阵 A有 n 个相异的特征值,则 A可对角阵化。
注:1)其逆命题不成立.
2)若 为单根,必对应一个线性无关的特征向量. 若 为重根,当 对应线性无关向量个数<n,A不能对
角化.
3)对角阵主对角线元素可由 构成,其顺序同P阵.
(3)推论2:
征向若量A,的则每A可一对个角k化i重特征值有 ki 个线性无关的特
n
aij xi x j i, j1
x1(a11x1 a12x2 a1n xn ) x2 (a21x1 a22x2 a2n xn ) xn (an1x1 an2x2 annxn )
x1(a11x1 a12x2 a1n xn ) x2 (a21x1 a22x2 a2n xn ) xn (an1x1 an2x2 annxn )
应的特征向量为, 1 (1,1,1)T 2 (1,1,0)T
3 (1,0,1)T 求A.
第三节 二次型的标准形
一.二次型及其矩阵:
1.定义:1)含有 n 个变量x1, x2,, xn 的二次齐次函数
f (x1, x2,, xn ) a11x12 a22x22 annxn2 2a12x1x2 2a13x1x3 2an1,n xn1xn
即312
312
x1 x2
00
xx11xx2200
x1 x2
令 x2 k ，得到对应于 1 2 的全部特征向量为
x
k k
k11
当2 4时，对应的特征向量应满足 (A 4E)x 0
即314
314
x1 x2
0 0
x1 x2 0
x1 x2
令 x2 k ，得到对应于 2 4的全部特征向量为
4 1 3
(2 )(2 2) ( 1)( 2)2
所以 A 的特征值为 1 1, 2 3 2 当 1 1时，解方程 (A E)x 0
1 1 1 A E 0 3 0
r
1 0 1 0 1 0
4 1 4
0 0 0
x1
x2
x3
0
0
即
xx12
x3 0
令 x3 k ，得到对应于 1 1的全部特征向量为
1.定义:设 A、B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P，使
P1AP B 称 B 是 A 的相似矩阵,记为A∽B
矩阵P称为相似变换矩阵 2.性质: (1)相似关系是等价关系(自反性,对称性,传递性), (2)定理4：若 A 与 B 相似，则 (1) r(A)=r(B)
(2) |A|=|B| (3)A 与 B 的特征多项式相同,则 A 与 B特征值也相同。
求( A i E)x 0的解
注：一个特征值对应的特征向量可能有无穷多个。
例1：求矩阵
A
3 1
31 特征值和特征向量。
解：A 的特征多项式为
3 A E
1 (3 )2 1 (4 )(2 )
1 3
所以 A 的特征值为 1 2, 2 4
当1 2时，对应的特征向量应满足 (A 2E)x 0
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
x1
x
x2
xn
即二次型 f 可记作 f xT Ax ,其中 A 为对称阵。
二次型 一一对应 对称阵
故称对称阵 A 为二次型 f 的矩阵， f 为对称阵 A 的二次型，
对称阵 A 的秩叫做二次型 f 的秩。
3.二次型与对称阵互表方法
例1.设三阶矩阵 2 0 0 A 0 2 3 0 3 2
与B相似,求 B1 的特征值. 例2.设n阶方阵A与B相似,且 x0 是A对应于特征值0 的特
征向量,证明:P1x0 为B对应于0 的特征向量.
二.方阵相似对角阵的条件:
1
1.概念:若
n
阶矩阵 A 与对角阵
2
n
相似，则 称 A 可对角化。
称为二次型。当 aij为复数时，f 称为复二次型； 当 aij为实数时， f 称为实二次型。
2)：只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）
若标准形的系数 k1, k2,, kn只在 1，－1，0 中取值，
则称为二次型的规范形。
2.二次型与矩阵关系:
取 aij a ji，则 2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi
二.可逆变换化二次型为标准型
1.概念: (1)可逆线性变换:
设一组变量 x1, x2,..., xn 与另一组变量 y1, y2,..., yn 的变换式为
x1 p11 y1 p12 y2 p1n yn x2 p21 y1 p22 y2 p2n yn xn pn1 y1 pn2 y2 pnn yn
简记为x=Py,其中 x (x1, x2,..., xn )T, y ( y1, y2 ,..., yn )T
P ( pij )nn 为可逆阵,称上式为可逆线性变换.
(2)合同
定义3：设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 使
B CT AC ，则称矩阵 A 和 B 合同。
性质:1)A 与 B 合同,则 A 为对称阵 2)合同不改变矩阵的秩. 3)合同是方阵之间又一等价关系.
0 1 0
1 0 1
0 10
二次型 f (x, y, z) x2 3z2 4xy yz
1 2 0
的矩阵为 2
0
1 2
0
1 2
3
3 0 1 例2.求 A 0 2 2 的二次型
1 2 1
f (x1, x2, x3) 3x12 2x22 x32 2x1x3 4x2x3
Ax x
(A E)x 0
齐次线性方程 ( A E)x 0有非零解 R(A E) n
A E 0
称 A E 0为方阵 A 的特征方程，显然特征方程
的n个根即为 A 的n个特征值(实根或复根)。
a11 a12 a1n
记 f () A E
a21
a22
a2n
an1