高中数学第三章导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修1-1
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.4 导数在实际生活中的应用》6
导数在研究函数中的应用1【学习目标】1熟练掌握函数的单调性，极值与导数的关系；2能运用导数研究解决函数的单调性、极值和最值的有关问题；3．通过小组合作探究，展示评学，提高分析解决综合问题的能力【自主梳理】一、基础训练1．函数()ln f x x x =的单调递增区间是_________递减区间是_________．提炼：利用导数求函数单调区间的一般步骤：2．函数＝33－9＋5的极大值为 ，极小值为 ．提炼：求函数f 极值的一般步骤：3．函数f ＝2co 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ，最小值是____________．提炼：用导数求函数f 最值的一般步骤：① 求函数()y f x =在区间,a b （）上的 ； ② 将极值与 比较，其中最大的一个就是最 值，最小的一个就是最 值．4．已知函数f ＝3＋a 2＋b ＋a 2在＝1处有极值10，则a ＝________,b=_______提炼： 对可导函数f ，f ′0＝0是0点为极值点的__________条件．二、典型例题例1 若函数2()ln f x mx x =+(1)2m =-时，求函数f 单调区间和极值(2)g(x)=f(x)-2x 在定义域内是增函数，求实数m 的取值范围．例2 已知函数()ln ,f x x x = g ＝-2a －3，（1）求函数f 在[]t,t+2(0)t >上的最小值；2对于一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围。
【自主训练】1 设a 为实数，函数f ＝－3＋3＋a1 当a=1时，若对于区间[－3,2]上的任意1，2，都有|f 1－f 2|≤t ，求实数t 的最小值 2是否存在实数a ，使得方程f ＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由＝3＋22＋－4, g ＝a 2－8，1求函数f 在[],1(1)m m >-上的最小值；2在区间[)0,+∞，函数f 的图象在函数g 的图象的上方，求实数a 的取值范围【学有所得】_________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________．。
苏教版高中数学高二选修1-1课件 3.4 导数在实际生活中的应用
12345
解析 答案
3.某公司生产一种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品， 成 本 增 加 100 元 ， 若 总 收 入 R 与 年 产 量 x 的 关 系 是 R(x) ＝ －9x030＋400x，0≤x≤390， 则当总利润最大时，每年生产产品的单 90 090，x>390， 位数是__3_0_0_.
解答
反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之 一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正 确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x) ＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以 知道在这个点取得最大(小)值.
解答
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大.
解答
命题角度2 费用(用料)最省问题
例3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙
需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔
热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔
解析 y′＝－38t2－32t＋36＝－38(t2＋4t－96) ＝－38(t＋12)(t－8)，
当t∈(6,8)时，y′>0；当t∈(8,9)时，y′<0，
故t＝8时，y取最大值.
12345
解析 答案
2.用长为24 m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为 正方形，则这个长方体体积的最大值为__8_ m3. 解析 设长方体的底面边长为x m，则高为(6－2x)m， ∴0<x<3，则长方体的体积为V(x)＝x2·(6－2x)＝6x2－2x3， V′(x)＝12x－6x2. 令V′(x)＝0，得x＝2或x＝0(舍去). ∴当x∈(0,2)时，函数V(x)是增函数；当x∈(2,3)时，函数V(x)是减函数， ∴当x＝2时，V(x)max＝4×2＝8(m3).
【精品】高中数学苏教版选修1-1课件：3.4导数在实际生活中的应用课件(12张)
fx () ' 0 在 D 上 恒 成 立
f () x 在 区 间 D 为 增 函 数
f () x 在 区 间 D 为 减 函 数
fx () ' 0 在 D 上 恒 成 立 注 ： f( x ) '不 恒 为 0
分离参数是解决 不等式恒成立最 常用的方法
数形结合是解决 问题常用方法
分类讨论是解决
问题基本方法
导数在研究函数中的应用（1）
课堂小结
函数的单调性
理论根据
函数的极值
步骤: (1)求函数f(x)的定义域； 函 数 fx ( ) 在 某 区 间 D 上 可 导 (2)求f′(x)； f (x)' 0 f () x 在 区 间 D 为 增 函 数 (3)令f′(x)>0，得增区间； (4)令f′(x)<0，得减区间； f (x)' 0 f () x 在 区 间 D 为 减 函 数 (1) ～（4）同上 f () x 在 区 间 D 为 增 函 数 (5)求极值； fx () ' 0 在 D 上 )
【基础训练】 )xl nx 1．函数 f(x 的单调递增区间是_________递减
区间是_________ ． 用 导 数 求 函 数 单 调 区 间 的 一 般 步 骤 ？
3 x 9 x 5 的极大值为_________，极小值 2．函数 y3 为_________ ． 用 导 数 求 函 数 f ( x ) 极 值 的 一 般 步 骤 ？ f ( x ) x 2 c o s x 在 0 ， 的 3.函数 最大值是_________，最 2 小值是__________ ． 用 导 数 求 函 数 f ( x ) 最 值 的 一 般 步 骤 ？ 3 2 2 () x x a x b xa 4.已知函数 f 在x＝1处有极值10，则a ＝________,b=_______.
【精品】高中数学苏教版选修1-1课件：3.4导数在实际生活中的应用课件(13张)
一辆车占去的路长为d 5 0.18v 0.006v2
1000v 1小时内通过的汽车数量为Q S d 5 0.18v 0.006v2
[练习] P39/4.
【课后作业】 1. 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积 为160m2的污水处理池, 若池外壁造价 为112元/m, 中间隔墙造价为96元/m, 池底造价为100元/m2 (池壁厚度忽略不 记，且池无盖). (1) 当污水处理池的长为多少时, 其总造价最低？ (2) 因地形限制，长、宽都不超过15m, 当污水处理池的 长为多少时，其总造价最低？
回忆:
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的哪些最值问题？ 1.几何方面的应用 (面积和体积的最值) 2.物理方面的应用. (功和功率的最值) 3.经济学方面的应用 (利润的最大值)
[基础练习]
1.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无 盖的铁盒时，在铁皮的四角各剪去一个 面积相等面积相等的小正方形，然后把 四边折起，就能焊接成无盖铁盒，所做 的铁盒容积最大时，在四边剪去的小正 方形的边长为多少?
▲ 阅读理解课本：P38第5行—— 你理解这些图形吗？
Байду номын сангаас
【巩固练习】 1. 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的 宽与高的比为(<1)，画面的上下各留8cm空白，左右 各留5cm空白，怎样确定画面的宽与高的尺寸，能使宣 传画所用纸张面积最小？ 若要求[2 , 3]，则为何值时，能使宣传画所用纸张 3 4 面积最小？ 8 5
[基础练习]
2.将长为104cm的铁丝剪成两段，各围 成长与宽之比为2:1及3:2的矩形，那么这 两个矩形面积之和的最小值为多少?
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.4 导数在实际生活中的应用》2
导数在实际生活中的应用
教学目标：1了解导数在解决实际问题中的作用
2掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题
知识梳理：
1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为________
2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值
3解决优化问题的根本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的___________过程
例题讲解
例1：请你设计一个包装盒如下图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影局部所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点
1假设广告商要求包装盒侧面积S最大，那么应取何值？
2假设广告商要求包装盒容积V最大，那么应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值
例2：一家公司生产某种品牌服装的年固定本钱为10万元，千件并全部销售完，每千件的销售收入为R万元，
且R＝错误!
1求年利润W万元关于年产量千件的函数解析式；
2当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值
元
练习
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用2021隔热层，单位：万元与隔热层厚度单位：cm满足关系：C＝错误!0≤≤10，假设不建隔热层，为隔热层建造费用与2021能源消消耗用之和
1求的值及f的表达式；
2隔热层修建多厚时，总费用f到达最小，并求最小值
小结：。
高中数学 3.4(导数的实际应用)学案(2) 苏教版选修1-1 学案
学习反思：
学习反思：
学习反思：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题
第6题
第7题：
三、训练反其立方和为最小，这两部分应分成______和___.
2.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大
2.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？
课题
导数的实际应用2
课型
习题
时间
09/ 10 /
学习目标
能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题。
学习重点
导数在解决实际问题中的应用。
一、要点回顾
1.解决实际问题的基本步骤是什么？
2.利用导数求函数最值的解题格式如何规X？
二、课堂训练
1.见课本（文P86习题，理科见相应部分）
第1题：
【精编】苏教版高中数学选修(1-1)课件3.4导数在实际生活中的应用-精心整理
2
即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
例3在如图所示的电路中，已知 电源的内阻为r，电动势为ε， 外电阻R为多大时，才能使电功 率最大？最大电功率是多少？
R
rε
例4.强度分别为a,b的两个光源A,B,他们间 的距离为d，试问：在连接这两个光源的线 段AB上，何处照度最小？试就a=8,b=1,d=3 时回答上述问题（照度与光的强度成正比， 与光源距离的平方成反比）
S=2π Rh+2π R2
S
由V=π R2h，得
(R) 2 R V
h 2
V
R2
R2
，则
2V 2
R2Βιβλιοθήκη R2R令 S '(R) 2V 4 R 0 解得，R，从3 V而
R2
2
h V V
3 4V 2 3 V
R2 ( 3 V )2
x
60 x
x x
60
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 h 60 x cm，
2
V (x) x2h 60x2 x3 (0 x 60)
2
得箱子容积 V (x) 60x 3x2 2
令 V (x) 60x 3x2 0 ，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得 V(40)=16000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时 ，箱子容积很小，因此，16000是最大值。
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3
例2：圆柱形金属饮料罐的容积一定 时，它的高与底与半径应怎样选取， 才能使所用的材料最省？
优化方案数学精品课件(苏教版选修1-1)3.4 导数在实际生活中的应用
256m 1 (2)由(1)知，f′(x)＝－ 2 ＋ mx x 2 m ＝ 2(x －512).8 分 2x 令 f′(x)＝0，得 x ＝512，所以 x＝64. 当 0<x<64 时， f′(x)<0， f(x)在区间(0,64) 内为减函数； 当 64<x<640 时，f′(x)>0，f(x)在区间 (64,640)内为增函数．
利润最大、________ 1．生活中经常遇到求________ 用料最省 效率最高等问题，我们通常把这些问题称 、________ 为优化问题．
2．解决优化问题的基本思路是：
问题探究
设两正数之和为常数 c，能否借助导数求两 a＋ b 数之积的最大值，并由此证明不等式 2 ≥ ab(a，b>0)?
所以 f(x)在 x＝64 处取得最小值，12 分 m 640 此时 n＝ －1＝ －1＝9. x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小.14 分
【名师点评】 在求实际问题中的最大值或 最小值时，一般先设自变量、因变量，建立 函数关系式，并确定其定义域，利用求函数 最值的方法求解，注意结果应与实际情况相 符合．
3． 4
导数在实际生活中的应用
学习目标 1.进一步熟练函数的最大值与最小值的求 法． 2．会解有关函数最大值、最小值的实际问 题．
课前自主学案
3．4
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1 ．函数 f(x) ＝ x3－3x ＋1 在区间 [ － 3,0]上的 3，－17 最大值、最小值分别为__________.
课堂互动讲练
考点突破 面积、体积最大问题
判断题目中所涉及的几何图形，选用面积、 或体积公式列出目标函数，利用导数法求最 值．
【新】高中数学第3章导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用课件苏教版选修1_1
4．某工厂要围建一个面积为 512 m2 的矩形堆料场，一边可以利用原 有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省， 堆料场的长和宽应分别为(单位：m)________.
解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短． 设场地宽为 x 米，则长为51x2 m， 因此新墙总长 L＝2x＋51x2(x>0)，则 L′＝2－5x122. 令 L′＝0，得 x＝16 或 x＝－16(舍去)． 此时长为51162＝32(m)，可使 L 最短．
(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
[思路点拨] 解答本题可先根据题目条件写出函数关系式，再利 用导数方法求最值．
[精解详析] (1)设需新建 n 个桥墩， 则(n＋1)x＝m，即 n＝mx －1. 所以 y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋ x)x ＝256mx －1＋mx (2＋ x)x ＝25x6m＋m x＋2m－256.
5．已知某生产厂家的年利润 y(单元：万元)与年产量 x(单位：万件) 的函数关系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最 大年利润的年产量为________万件． 解析：因为 y′＝－x2＋81，所以当 x＞9 时，y′＜0；当 x ∈(0,9)时，y′＞0，所以函数 y＝－13x3＋81x－234 在(9，＋ ∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以 x＝9 是函数的极 大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以 函数在 x＝9 处取得最大值．
由上表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是 最大值点．
所以，当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 答：当销售价格为 4 元/kg 时，商场每日销售该商品所获得的 利润最大．
高中数学 3.4导数的应用1教案 苏教版选修1-1
导数在实际生活中的应用（一）班级_____________姓名_______________教学目标：1．通过对利润最大、用料最省、效率最高等优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用。
2．通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题及数学建模能力的提高。
任务1：根据已学知识回答下列问题：（1）利用导数求函数最值的步骤是：。
（2）解应用题的步骤是：任务2：根据所完成的例题，总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各之间的关系，列出实际问题的，写出相应的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程；(3)比较函数的区间端点对应的函数值和，确定最值；(4)回到实际问题，。
练习：1.在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)60的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做2.在边长为cm成一个无盖的方底铁皮箱。
箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？任务3：在解决实际问题过程中体会数学建模思想。
【典型例题】例1 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底半径，使的所用材料最省？注意：本题还有其他的解法吗？ 。
例2 94P 如图所示的电路中，已知电源的内阻为r ，电动势为ε，外电阻R 为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？例3 强度分别为b a ,的两个光源B A ,，它们之间的距离为d 。
试问在连接这两个光源的线段AB 上何处照度最小？试就3,1,8===d b a 时回答上面问题（照度与光的强度成正比，与光远距离的平方成反比）。
《导数在实际生活中的应用》反馈练习1．把长为cm 60的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时面积最大？2．把长cm 100的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积和最小？3. 出版社出版某一读物，一页上所印文字占去150cm 2，上、下边要留1.5cm 空白，左、右要留1cm 空白。
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1 3.4 导数在实际生活中的应用 学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
知识点 生活中的优化问题 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为________________． 2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程． 类型一 几何中的最值问题 命题角度1 平面几何中的最值问题 例1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．
(1)将S表示为θ的函数； (2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值． 跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值． 2
命题角度2 立体几何中的最值问题 例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题． (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程． 跟踪训练2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________ cm3. 3
类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题 例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，
且R(x)＝ 10.8－130x2，010. (1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．
反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本； (2)利润＝每件产品的利润×销售件数． 跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价
格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
命题角度2 费用(用料)最省问题 4
例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年
的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练4 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块空地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为(560＋48x)元．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 5
1．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可
近似地用函数表示为y＝－18t3－34t2＋36t－6294，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是________时． 2．用长为24 m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为________ m3. 3．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，
若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝ －x3900＋400x，0≤x≤390，90 090，x>390， 则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是________． 4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 6
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． 2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
提醒：完成作业 第3章 §3.4 7
答案精析 知识梳理 知识点 1．优化问题 3．数学建模 题型探究 例1 解 (1)BM＝AOsin θ＝100sin θ， AB＝MO＋AOcos θ ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)．
则S＝12MB·AB＝12×100sin θ×(100＋100cos θ) ＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)． 令S′＝0，
得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，
此时θ＝π3. 当θ变化时，S′，S的变化情况如下表： θ (0，π3) π3 (π3，π)
S′ ＋ 0 －
S ↗ 极大值 ↘
所以，当θ＝π3时，S取得最大值为Smax＝3 7503 m2， 此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m. 跟踪训练1 解 设点B的坐标为(x,0)，且0∵f(x)＝4x－x2图象的对称轴为x＝2， ∴点C的坐标为(4－x,0)， ∴BC＝4－2x，BA＝f(x)＝4x－x2. ∴矩形面积为y＝(4－2x)(4x－x2)＝16x－12x2＋2x3， y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)， 8
令y′＝0，解得x＝2±233， ∵0∵当00，函数单调递增； 当2－233∴当x＝2－233时，矩形的面积有最大值3293. 例2 解 (1)由题意知，包装盒的底面边长为2x cm， 高为2(30－x)cm， 所以包装盒侧面积为S＝42x×2(30－x)
＝8x(30－x)≤8×(x＋30－x2)2 ＝8×225， 当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15. (2)包装盒容积V＝2x2·2(30－x) ＝－22x3＋602x2(0所以V′＝－62x2＋1202x＝－62x(x－20)． 令V′>0，得0令V′<0，得20所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为202 cm，高为102 cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.
跟踪训练2 4 00027π 例3 解 (1)当0W＝xR(x)－(10＋2.7x)
＝8.1x－x330－10， 当x>10时， W＝xR(x)－(10＋2.7x)
＝98－1 0003x－2.7x，