多元函数微分学复习题及答案
第五章-多元函数微分学习题参考答案
第五章-多元函数微分学习题参考答案第五章多元函数微分学习题练习5.11.在空间直⾓坐标系下,下列⽅程的图形是什么形状? (1) )(4222椭圆抛物⾯z y x =+ (2)圆锥⾯）(4222z y x =+(3) 椭球⾯）(19164222=++z y x (4) 圆柱⾯）(122=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --=解：??≥-≥0y x y即??≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),((2) z =解：0≥-y x{}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为3. ()y x f ,对于函数=yx yx +-,证明不存在),(lim 0y x f x →分析：由⼆元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所得极限值不同即可。
证明：①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时，(,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→===②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k kf x y f x y k x kx k k→→---=1.求下列函数的偏导数①;,,33yz x z xy y x z -=求解：23323,3xy x yz y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(yzx z xy z =求解：[]1211ln()2z xy y x xy -?=??=?[]1211ln()2z xy x y xy -== ③222ln(),,z z z x x y x x y=+?求解：1ln()z x y x x x y=+++ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x z x x z ++=+-+++=+++??==??2221()(ln())()()z z x x yx y x y y x y x y x y x y x y ==++=-=?++++ ④;,3z y x ue u xyz=求解；22,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y==+=+? 3222()(())(12)()xyz xyz xyzu u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z==+=+++???=)31()21(222222z y x xyz e z y x xyz xyz e xyz xyz ++=+++y x f y xy ?-?+=→?)1,2()1,2(lim,),(02则解：①22(1)200(2,1)(2,1)0lim lim ()0y y y f y f e e y y +??→?→+?--=??未定式22(1)04(1)10lim 1y y e y +??→?+??-= = 42e ②22201(2,1)(2,1)lim(2,1)24xy y x y y f y f f e xye y=?→=+?-'==?=?3．设23ln(1),111x y z ux y z u u u '''=+++++在点（，，）处求解：2311x u x y z '=+++ 2321yyu x y z '=+++ 22331z z u x y z '=+++ (1,1,1) 1233()|4442x y z u u u '''∴++=++= 4．设2,20xy z zz e xy x y=+=求证: 证明：2xy y z e y e x y-?=?=?Q 22331(2)2x xy y z e x xy e y y-?=??-=-?Q22222323122(2)22x x x xy y y y z z x y xy e ye x xy e y xy e x y y---??∴+=+??-=-?+?? = 0证毕练习5.31.求下列函数的全微分(1) 求z xy =在点（2，3）处当时的全增量与全微分与2.01.0-=?=?y x 解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-?=--+=?f f zx y dz z dx z dy ydx xdy ''=+=+(2,3)0.10.230.12(0.2)0.1dx dy dz==-=?+?-=-（2）求时的全微分当2,1),1ln(22==++=y x y x z解：22222211z z x y dz dx dy dx dy x y x y x y ??=+=+??++++ dy dx dy dx dz323141144112)2,1(+=+++++=（3）,u xy yz zx du =++求解：u u udu dx dy dz x y z=2．计算下列各式的近似值（分析运⽤公式010000000()(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?）（1）03.2)1.10(解：令03.0,2,1.0,10,),(00=?==?==y y x x x y x f y 取2.03(10.1)=00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?01.0ln 1.010)2,10()2,10(12?+?+=-x x yx y y9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+解:令)1ln(),(43-+=y x y x f 取 02.0,1,03.0,100-=?==?=y y x x 原式(10.03,10.02)f =+-23(1,1)11)|(0.03)x -≈+-+34(1,1)1|(0.02)y -+-= 0+005.002.04103.031=?-(3) 0046tan 29sin解：令y x y x f tan sin ),(= 取 00,,,61804180x x y y ππ==-=?=则原式=)1804,1806(ππππ+-f(,)(,)()(,)646418064180x y f f f ππππππππ''≈+-+ =2(,)(,)646411cos tan |()sin sec |2180180x y x y ππππππ?+-+?= 0.5023练习5.41. 求下列函数的导数或偏导数。
多元函数微分学的应用习题及详细解答
（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2
多元函数微分学复习题1
第八章 多元函数微分学复习题一、选择题1．设sinx e z y=，则=∂∂∂yx z2（ ）. (A)sinx e y (B)sinx e e y y +(C)cosx e y - (D) cosx e y3. 设),(y x z z=由方程xyz z y x 2222=++确定，则=∂∂xz（ ） (A)xy z xz y -- (B)xzy yz x -- (C)xy z y xz -- (D)xyz x yz --4. 设xy )y ,x (f =,则f(x,y)在(0,0)点处( ).(A)连续但偏导数不存在 (B)不连续也不存在偏导数 (C)连续且偏导数存在 (D)不连续但偏导数存在 5.=→xxysin lim0x （ ）(A) 不存在 (B) 0 (C) 1 (D) 2 6．设(12)(23),y z x +=+则zx∂=∂( ) (A) 2(12)(23)y y x ++ (B) (12)(23)ln(23)y x x +++(C) 23(12)(23)y y x ++(D)(12)3(23)ln(23)y x x +++7．设,),(22y x xyy x f -=+则=-)2,1(f ( )(A) 31 (B) 31- (C) 3(D)3-8．二元函数33)(3y x y x z--+=的极值点是（ ）(A) (1, 2) (B) (1, -2) (C) (-1, 2)(D) (-1, -1)9. 设)ln(),(22y x x y x f --=，其中0>>y x ，则=-+),(y x y x f （ ）(A))ln(2y x - (B))ln(y x - (C))ln (ln 21y x - (D))ln(2y x - 10．已知xy e z=，则=∂∂-∂∂yzy x z x（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D)211．设),0(1sin)(),(222222≠+++=y x y x y x y x f 则=→→),(lim 00y x f y x （ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 无穷大 (D) 不存在 12．设x y lnz =，则=∂∂x z（ ）. (A) x 1 (B)2x y (C) 2x 1- (D)x1-13. 设xy e z=，则dz ＝ ( )（A ）dx exy（B ）)(xdy ydx e xy +（C ）xdy ydx + （D ） )(dy dx e xy +14．设2ln()zx y =+，则zy∂=∂（ ）. (A)22y x y + (B)22y x y + (C)22y x y -+ (D)2x x y +15. 函数),(y x f z=在点),(00y x 连续是),(y x f 在该点处（ ）(A)可微的充分条件 (B)可微的必要条件 (C)偏导数存在的必要条件 (D)偏导数存在的充分条件 16. 设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f x '(,)32= ( )(A) 59(B) 56 (C) 58(D) 5516．若0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y 。
考研数学一(多元函数微分学)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2006年)若f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是A．若f’x(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)=0．B．若f’0(x0，y0)=0．则f’(x0，y0)≠0．C．若f’x(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0、)=0．D．若f’x(x0，y01)≠0，则f’y(x0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x．y)在约束条件φ(x，y)=0下的极值点。
则必有若f’x(x0，y0)≠0，由①式知，λ≠0，加之原题设φ’y(x，y)≠0，由②式知，λφ’(x0，y0)≠0，从而必有f’y(x0，y0)≠0，故应选(D)．知识模块：多元函数微分学2．(2008年)函数在点(0，1)处的梯度等于A．iB．一iC．jD．一j正确答案：A解析：解1 由知则f’x(0，1)=1，f’(0，1)=0，所以gradf(0，1)=i 解2 由知则gradf(0．1)=i 知识模块：多元函数微分学3．(2010年)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F’2≠0，则A．x．B．z．C．一x．D．一z．正确答案：B解析：由隐函数求导公式得则解 2 等式分别对x，y求偏导得(1)式乘x2加(2)式乘xy得(一z)F’2+F’2(xzx+yzy)=0则xzx+yzy=z (F’2≠0) 知识模块：多元函数微分学4．(2011年)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是A．f(0)＞1，f”(0)＞0．B．f(0)＞1，f”(0)＜0．C．f(0)＜1，f”(0)＞0．D．f(0)＜1，f”(0)＜0．正确答案：A解析：则AC—B2＞0故应选(A)．知识模块：多元函数微分学5．(2012年)如果f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．B．若极限存在，则f(x，y)在(0，0：)处可微．C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在．D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在．正确答案：B解析：解l 由f(x，y)在(0，0)处连续可知，如果存在，则必有又极限则由存在知即由微分的定义知f(x，y)在(0，0)处可微．解2 排除法：取f(x，y)=|x|+|y|，显然，存在，但f(x，y)=|x|+|y|在(0，0)处不可微，这是由于f(x，0)=|x|，而|x|在x=0处不可导，则fx(0，0)不存在．则排除(A)；若取f(x，y)=x，显然，f(x，y)在(0，0)处可微，但不存在，则不存在，排除(C)．又则不存在，排除(D)．故应选(B)．知识模块：多元函数微分学6．(2013年)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为A．x—y+z=一2．B．x+y+z=0．C．x一2y+z=一3．D．x—y一z=0．正确答案：A解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)一yz+x，则则所求切平面方程为x一(y 一1)+(z+1)=0即x—y+z=一2 知识模块：多元函数微分学7．(2017年)函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量n=(1，2，2)的方向导数为A．12．B．6．C．4．D．2．正确答案：D解析：fx(1，2，0)=2xy|(1，2，0)=4 fy(1，2，0)=x2|(1，2，0)=1 fz(1，2，0)=3z2|(1，2，0)=0 向量n={1，2，2}的方向余弦为则知识模块：多元函数微分学填空题8．(2003年)曲面z=x2+y2与平面2x+4y一z—0平行的切平面方程是_____________．正确答案：2x+4y—z=5解析：曲面z=x2+y2在点(x0，y0，z0)处切平面的法向量为n1={2x0，2y0，一1)而平面2x+4y一z=0的法向量为n2={2，4，一1}．由题设知n1／／n2，则从而有x0=1，y0=2，代入z=x2+y2 得z0=5，n1={2，4，一1}则所求切平面方程为2(x一1)+4(y一2)一(z一5)=0即2x+4y—z=5 知识模块：多元函数微分学9．(2005年)设函数单位向量则正确答案：解析：ux(1，2，3)=uy(1，2，3)=uz(1，2，3)=则知识模块：多元函数微分学10．(2007年)设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yx)，则正确答案：yxy-1f’1+y2lnyf’2．解析：由复合函数求导法知知识模块：多元函数微分学11．(2009年)设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则正确答案：f’2+xf”12+xyf”22解析：知识模块：多元函数微分学12．(2011年)设函数则正确答案：4解析：解1 △解2 由偏导数定义知知识模块：多元函数微分学13．(2012年)正确答案：(1，1，1)解析：知识模块：多元函数微分学14．(2014年)曲面z=z2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为_____________．正确答案：2x—y一z=1．解析：由z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)得z’x=2x(1一siny)一y2cosx，z’x(1，0)=2 z’y=一x2cosy+2y(1一sinx)，z’ y(1，0)=一1所以，曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1．0．1)处的法向量为[*]=(2．一1，一1)，该点处切平面方程为2(x-1)一y一(z一1)=0即2x—y一z=1．知识模块：多元函数微分学15．(2015年)若函数z=z(x，y)由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，则dz|(0，1)=_____________．正确答案：一dx解析：将x=0，y=1代入ez+xyz+x+cosx=2 中得ez+1=2，则z=0．方程ez+xyz+x+cosx=2两端微分得ezdz+yzdx+xzdy+xydz+dx—sinxdx=0 将x=0，y=1．z=0代入上式得dx+dz=0则dz|(0,1)=一dx 知识模块：多元函数微分学16．(2016年)设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z—y2=x2f(x一z，y)确定，则dz|(0，1)=___________.正确答案：一dz+2dy．解析：解1 由原方程知，当x=0，y=1时，z=1．方程(x+1)z一y2=xf(x —z，y)两边求全微分zdx+(x+1)dz一2ydy=2xf(x一z，y)dx+x2[f’1·(dx一dz)+f’2dy] 将x=0，y=1，z=1代入上式得dz|(0，1)=-dx+2dy 解2 由原方程知，当x=0，y=1时，z=1．方程两边分别对x、y求偏导数，有把x=0，y=1，z=1代入上式得所以dz|(0，1)=-dx+2dy 知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x0，y0)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学2．设有三元方程xy－zlny＋exz＝1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z＝z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y＝y(x，z)和z＝z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z＝x(y，x)和z＝z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x＝x(y，z)和y＝y(x，2)．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微分学3．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学4．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(x0，y)在y＝y0处的导数等于零．B．f(x0，y)在y＝y0处的导数大于零．C．f(x0，y)在y＝y0处的导数小于零．D．f(x0，y)在y＝y0处的导数不存在．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学填空题5．设z＝ex－f(x－2y)，且当y＝0时，z＝x2，则＝________。
(多元函数微分学)测试卷解答
B
）.
在点( 0, 1, 2 )处 n Fx , Fy , Fz
( 0 , 1, 2 )
2, 2, 1
∴切平面方程为: 2( x 0) 2( y 1) ( z 2) 0
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5．设函数 u xz 3 yz x z , 则函数 u 在点 (1,-2, 1)处方向导数的最大值为（
2. 设曲面 z = x y上点 P 的切平面平行于平面4 x
+2 y +z =16, 则 P 点到已知平面的距离为( 24 1 ( A)21 ( B) 21 (C ) ( D) 21 21 分析：切平面Π1的法向量为 )
n 1 Fx , Fy , Fz y, x , 1
已知平面Π2的法向量为 n 2 4, 2, 1
z 2 y x 2 y f y f1 ( xe ) y f 2 ( ) y x g (sin y ) y y y
x y 2 y f y f1 xe f 2 2 x g cos y y
2 2 2
Fx 6 x , Fy 4 y , Fz 6z ∴曲面在已知点处的指向外侧的法向量为
n ( Fx , Fy , Fz )
( 0, 3 , 2 )
( 0, 4 3, 6 2 )
1 故所求向量为 n 0, 2, 3 5
0
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8．椭球面 3x 2 y2 z 2 16上点( -1, -2, 3 )处
（D）不能确定
分析:A f xx (0, 0) 2, B f xy (0, 0) 1, C f yy (0, 0) 2
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。
解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在 。
(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。
多元函数微分习题
33、求函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点 ( 2, 2 + 3 ) 的方向的方向导数。 34、求函数 z = ln( x + y ) 在抛物线 y 2 = 4 x 上的点(1,2)处沿着这抛物线在该点处偏向 x 轴正向的切线方向的方向导数.
11、验证 y = e
− kn 2 t
sin nx 满足:
∂y ∂2 y =k 2 . ∂t ∂x
12、求下列函数的全微分： (1) z =
y x2 + y2
;(2) u =
y z x + − x y z
答案：（1） .dz =
− x ( ydx − dy ) (x 2 + y 2 )3
;
(3).df (1,1,1) = dx − dy ( 2).dz = −(
答案: ∆z = −0.119, dz = −0.125. 14、求下列复合函数的一阶偏导数或全导数: （1） 设 z = u 2 + v 2 , 而 u = x + y , v = x − y , 求 : （2） 设 z = u 2 ln v ，而 u =
∂z ∂z , ∂x ∂y
x ∂z ∂z . , v = 3 x − 2 y ，求 , y ∂x ∂y
答案:
π . 4
9、设 T=2 π
l , g
y x
求证:
l
∂T ∂T +g = 0. ∂l ∂g
∂2z ; ∂x∂y
10、(1) z = arctan ， 求:
∂2z 1 − 2 xy 答案： 2 = 2 ∂x (x + y 2 )2
多元函数微积分期末练习题及答案
多元函数微积分期末练习题及答案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--多元函数微积分期末练习题及答案一．填空：1．空间直角坐标系中，点P（2，3，4）Q（2，4，-1）距离∣PQ∣=2．过点P（1，2，3）且与xoy平面平行的平面方程为3．函数z =x2-y2 + 2x - 4y的驻点为4．已知z =f（x,y）的二阶偏导数连续且fxy (x,y) = 4xy+ x 则fyx(x,y)=5．已知在平面区域D内f (x,y)>O,则由D为底 z = f (x,y)为顶的曲顶柱体体积可表示为二．单项选择填空1．点P(0,2,-1)在A 第V卦限B 第 VIII 卦限C x轴上D yoz平面2．方程x2+y2=1在空间直角坐标系中表示A 单位圆B 单位圆包围的平面区域C 圆柱面D 平面3．z =f (x,y) 在(x0, y)点偏导数存在,则在该点A 全微存在B 偏导数连续C 函数连续D A,B,C均不对4．z = f（x,y）在驻点(x0, y)处存在二阶偏导数，且fxy(x。
,y。
) 2-f xx (x。
,y。
)-fyy(x。
,y。
)>O fxx(x。
,y。
) >O 则 (x。
,y。
) 点为函数z = f（x,y）的A 极大值点B 极小值点C 不是极值点D 不能确定25．则等式成立的是A =B =C =D =三．计算题1．求2．z=求全微分dz3．设cos（x+y）+y=0，求4．设x+y2+z2=xy+2z，求5．求 z=2x-4y-x2-y2+5的极值6．改变二次积分积分次序7． D y=x2 y=x围成答案：一、填空：1 2 3 （-1，-2） 435二、单项选择：D C D C A三、计算题：12 34 56 74。
多元函数微分学及其应用复习题
一、填空题 1.=++∞→→y y x yx )1(lim 22e 2. 函数u=ln (222z y x ++)在点M(1, 2, -2)的梯度gradu=92{1, 2, -2} 3. =→→y xy y x )sin(lim 02 2 4. 已知)(xy f z =是可微函数，则=dz dy xy xf dx xy yf )()(''+ 5. 24lim )0,0(),(-+→xy xy y x = 4 6．设r =2gradr ＝ 222xi y j zk ++r r r7.函数u xyz =在点(1,1,1)沿方向(2,1,3)-的方向导数是 08.设),arctan(xy z =则____________,__________=∂∂=∂∂yz x z 9.设,yx z =则=dz _____________10.=∂∂=x z ,x z y 则______________. y z∂∂=_________________11.曲面32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的切平面方程为___________________法线方程为12.设(),z z x y = 由方程02=+--z xy e z e ，求x z∂∂=________________二、选择题1. 设函数()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,00,0,1sin ,22y x y x y x xy y x f ，则函()y x f ,在()0,0处（C ）(A)．不连续 (B)．连续但不可微 (C)．可微 (D)．偏导数不存在2. 设函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在，则()y x f ,在点()00,y x 处 (D )(A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立3. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f ，则在)0,0(点关于),(y x f 叙述正确的是（ B ）(A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在(C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在4.设22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩，则在)0,0(点关于),(y x f 叙述正确的是（ A ） (A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在(C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在5. 函数 22y x z +=在点()0,0处 ( C )(A).不连续 (B)．连续且偏导数存在 (C).取极小值 (D).无极值6. 判断极限()=+→→y x x y x 00lim (A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定7. 判断极限()=+→→22200lim y x y x y x (A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定8.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值9. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值9. 函数y x xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ]A. 在点(2, 5)处取极大值B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值10.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的[ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件11.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件12.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ]A. 必要而非充分条件B. 充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件三、计算题P65 例1-4P69 1、 （1）（3） （5）； 6 、（1） （2）P73 例1-2P75 1、（1）（4）；2P79 例 1-3P82 1-3P89 1、 2 、4 P99 例6-7P102 例1P106 例3P111 例4-5P116 例7欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
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第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题
1. 极限limxyxyxy00242= （提示：令22ykx） （ B ）
(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数fxyxyyxxyxy(,)sinsin11000，则极限lim(,)xyfxy00= （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2
3、设函数fxyxyxyxyxy(,)222222000，则(,)fxy （ A ）
（提示：①在220xy，(,)fxy处处连续；②在0,0xy ，令ykx，22222000limlim0(0,0)1xxykxkxfxkxk
，故在220xy，函数亦连续.所以，
(,)fxy在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续
4、函数zfxy(,)在点(,)xy00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ）
(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设uyxarctan，则ux= （ B ）
(A) xxy22 (B) yxy22 (C) yxy22 (D) xxy22
6、设fxyyx(,)arcsin，则fx'(,)21 （ A ） （A）14 （B）14 （C）12 （D）12 7、设yxzarctan，vux，vuy，则vuzz （ C ） （A）22vuvu （B）22vuuv （C）22vuvu （D）22vuuv 8、若fxxxxfxxxx(,),(,)'232612，则fxxy'(,)2= （ D ） (A) x32 (B) x32 (C) 21x (D) 21x
9、设zyx，则()(,)zxzy21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1
10、设zxyexy，则zxxx'(,) （ D ）
(A)2122xxex() (B)2122xxex() (C)xxex()122 (D)xxex()122 11、曲线xtytzt24sin,cos,在点(,,)202处的法平面方程是 （C ） (A) 242xz (B) 224xz (C) 42yz (D) 42yz 12、曲线45xyyz,,在点(,,)824处的切线方程是 （A ） (A) 842204xzy (B)xyz122044 (C) xyz85244 (D)xyz3514
13、曲面xzyxzcoscos22在点2120,,处的切平面方程为 （D ） （A）xz1 （B）xy1 （C）xy2 （D）xz2 14、曲面xyzxyz2236在点(,,)321处的法线方程为 （A ） （A）xyz58531918 （B）xyz3823118 （C）83180xyz （D）831812xyz 15、设函数zxy122，则点 (,)00是函数 z的 （ B ） （A）极大值点但非最大值点 （B）极大值点且是最大值点 （C）极小值点但非最小值点 （D）极小值点且是最小值点 16、设函数zfxy(,)具有二阶连续偏导数，在Pxy000(,)处，有 2)()(,0)()(,0)(,0)(000000PfPfPfPfPfPfyxxyyyxxyx，则（ C ） （A）点P0是函数z的极大值点 （B）点P0是函数z的极小值点 （C）点P0非函数z的极值点 （D）条件不够，无法判定 17、函数fxyzz(,,)2在222421xyz条件下的极大值是 （ C ） (A) 1 (B) 0 (C)1 (D) 2 二、填空题
1、极限limsin()xyxyx0= .答：
2、极限limln()xyxyexy01222= .答：ln2 3、函数zxyln()的定义域为 .答：xy1 4、函数zxyarcsin的定义域为 .答：11x，y0
5、设函数fxyxyxyyx(,)ln22，则fkxky(,)= .答：kfxy2(,) 6、设函数fxyxyxy(,)，则fxyxy(,)= .答：222xyx
（22()()(,)()()2xyxyxyfxyxyxyxyx
Q）
7、设fxyxyxyAxy(,)ln()//11212222222，要使fxy(,)处处连续，则 A= .答：ln2 8、设fxyxyxyxyAxy(,)tan()(,)(,)(,)(,)22220000，要使fxy(,)在（0，0）处连续，则A= .答：1 9、函数221xyzx的间断点是 .答：直线10x上的所有点
10、函数fxyxyyx(,)cos122的间断点为 .答：直线yx及x0 11、设zxyysin()3，则zxxy21_________ .答：3cos5
12、设fxyxy(,)22，则fy(,)01= _________ .答：1 13、设uxyzxyz(,,)，则)3,2,1(du=_________ .答：38316182ddlndxyz 14、设uxxy22，则在极坐标系下，ur= _________ .答：0 15、设uxyyx，则22ux= _________.答：23yx 16、设uxxyln，则2uxy= ___________ .答：1y 17、函数yyx()由12xyey所确定，则ddyx= ___________ .答：22xyexy 18、设函数zzxy(,)由方程xyzxyz2所确定，则zy= _______ .答：2112xyzxy
19、由方程xyzxyz2222所确定的函数zzxy(,)在点（1，0，－1）处的全微分dz= _________ .答：ddxy2 20、曲线xtytzt23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________. 答：xyz122213 21、曲线xteyeztettt232222,,在对应于 t1点处的法平面方程是___________. 答：01132eyx
22、曲面xeyezeeyzx223321在点(,,)210处的法线方程为_________ . 答：ezeyx22212 23、曲面arctanyxz14在点(,,)210处的切平面方程是_________.答：yz21 24、设函数zzxy(,)由方程123552422xxyyxyezz确定，则函数z
的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数zxyxy2346122的驻点是_________.答：（1，1）
25、若函数fxyxxyyaxby(,)22236在点 (,)11处取得极值，则常数a_________， b_________.答：a0，b4 26、函数fxyzx(,,)22在xyz22222条件下的极大值是_______答：4
三、计算题 1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.
(1) 221zxy (2)ln()zxy
(3)1ln()zxy (4)ln(1)zxy 解：(1)要使函数221zxy有意义，必须有2210xy，即有221xy. 故所求函数的定义域为22{(,)|1}Dxyxy,图形为图 (2)要使函数ln()zxy有意义，必须有0xy.故所有函数的定义域为(,)|0Dxyxy，图形为图
(3)要使函数1ln()zxy有意义，必须有ln()0xy，即0xy且1xy. 故该函数的定义域为(,)|01Dxyxyxy，，图形为图 (4)要使函数ln(1)zxy有意义，必须有10xy.故该函数的定义域为{(,)|1}Dxyxy，图形为图
O1x
y
O1xyx+y=0 图 图 O1x
yx+y=0x+y=1
1
O1xyy=1/x1-1-1 图 图
2、求极限limsinxyyxxy00211 .
解：limsinxyyxxy00211limsin()xyyxxyxy00211= 4 3、求极限limsin()xyxyxyxy0023211 . 解：原式=lim()sin()xyxyxyxyxy00232211limsin()xyxyxyxy00211112 4、求极限limxyxxyexy00416 . 解：limxyxxyexy00416lim()xyxxyexyxy00416= -8 5、设uxyyxsincos，求 uuxy,. 解：uyyxxsinsin uxyxycoscos 6、设zxeyeyx，求zzxy,. 解：zeyexyx zxeeyyx
7、设函数zzxy(,)由yzzxxy3所确定，试求zxzy,（其中xy0）. 解一：原式两边对x求导得 yzxxzxzy0，则zxzyyx同理可得：zyzxyx