大一上学期同济版高数第四章不定积分ppt课件
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高数—不定积分讲解和例题-PPT(1)共64页文档
—— 积分学的任务
一、原函数与不定积分的概念
定义1：
已知 f (x)是一个定义在区间I上的函数， 如果存在函数F (x), 使在 I 内的任一点都有
F ( x ) f ( x ) 或 d F ( x ) f ( x ) d x , 则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。
第四章 不定积分
§1. 不定积分的概念与性质
已知物体运动的位置函数 s = s(t)， 求时刻 t 的瞬时速度 v = v(t)。
—— 微分学解决的问题
已知物体运动的速度函数 v = v(t) 求运动的位置函数 s = s(t)。
—— 积分学解决的问题
一般，已知函数 f(x), 要找另一 个函数F(x), 使 F ’(x) = f (x)。
例3. (ex3six n )dxex dx3six d n x
ex3co x sC .
例4.
42x 3x 2x dx
423xdx
4x (3 2)x C.
ln(3 2)
axdxax C. lna
sixn dx co x C s,
f ( x ) g ( x ) d f x ( x ) d x g ( x ) d x .
性质2. 被积函数中不为零的常 数因子可提到积分号外。
k f(x )d x k f(x )d x .(k 0 为)常
利用基本积分表和不定积分性质，可计算 一些简单函数的不定积分。注意3点：
定义2：函数 f (x) 的全体原函数就称为
f (x) 的不定积分。 记作 f(x)dx. 其中 — 积分号 f (x) — 被积函数
f (x) d x — 被积表 x — 积分变量 达式
一、原函数与不定积分的概念
定义1：
已知 f (x)是一个定义在区间I上的函数， 如果存在函数F (x), 使在 I 内的任一点都有
F ( x ) f ( x ) 或 d F ( x ) f ( x ) d x , 则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。
第四章 不定积分
§1. 不定积分的概念与性质
已知物体运动的位置函数 s = s(t)， 求时刻 t 的瞬时速度 v = v(t)。
—— 微分学解决的问题
已知物体运动的速度函数 v = v(t) 求运动的位置函数 s = s(t)。
—— 积分学解决的问题
一般，已知函数 f(x), 要找另一 个函数F(x), 使 F ’(x) = f (x)。
例3. (ex3six n )dxex dx3six d n x
ex3co x sC .
例4.
42x 3x 2x dx
423xdx
4x (3 2)x C.
ln(3 2)
axdxax C. lna
sixn dx co x C s,
f ( x ) g ( x ) d f x ( x ) d x g ( x ) d x .
性质2. 被积函数中不为零的常 数因子可提到积分号外。
k f(x )d x k f(x )d x .(k 0 为)常
利用基本积分表和不定积分性质，可计算 一些简单函数的不定积分。注意3点：
定义2：函数 f (x) 的全体原函数就称为
f (x) 的不定积分。 记作 f(x)dx. 其中 — 积分号 f (x) — 被积函数
f (x) d x — 被积表 x — 积分变量 达式
高等数学课件D4_1不定积分
如引例中, A sin t 的原函数有 A cos t, A cos t 3,
m
m
m
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理1. 若函数 f (x) 在区间 I 上连续, 则 f (x) 在 I 上
存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C
(12) exdx ex C
(13) a xdx a x C ln a
例3. 求
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 若 F(x) 是 f (x)的一个原函数 , 则 f (x)的所有
原函数都在函数族 F(x) C ( C 为任意常数 ) 内 .
证: 1) (F(x) C) F(x) f (x) F(x) C 是 f (x)的原函数
2) 设 (x) 是 f (x)的任一原函数，即
(x) f (x)
又知
F(x) f (x)
[ (x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
故
(x) F(x) C0 (C0 为某个常数)
它属于函数族 F(x) C .
定义 2. f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x) 在 I
上的不定积分, 记作 f (x) dx , 其中
根据牛顿第二定律, 加速度 a(t) F A sin t
高职课件《高等数学》第四章不定积分课件
解法一 sin3xcosxdx sin3xdsinx 1 sin4x C 4
解法二
sin3xcosxdx sin2xcosxdcosx cos3x cosx dcosx
1 cos4x 1 cos2x C
4
2
例4.2.12 求 cos4xdx 。
解
cos4
x
1
ln 1
x'
1 ，于是有 1 x
1
1
x
dx
ln
1
x'
dx
ln
1
x
C
思考：当x 1 时，结果如何呢？
例4.1.5 求 x2 dx
1 x
x 1 。
解
x2
1 x
dx
x2 11 1 x
dx
x
1
1 1
x
dx
1 x2 x ln 1 x C 2
例4.1.6 求
1 dx 。 x
解
1 x
解
tanx
dx
sinx cosx
dx
d cosx
cosx
ln
cosx
C
类似地可得
cotxdx ln sinx C
以上这两个结果是常用的积分公式，请读者熟记。
例4.2.6 求
1
1 e
x
dx
。
解法一 利用 ex ' ex 的特点，在被积函数的分子中增、减项，即
1
1 e
x
dx
1 ex ex 1 ex dx
由于 x2 ' x2 2 ' x2 35 ' 2x ，所以 x2、x2 2、x2 35
都为2x的原函数。那么2x 的原函数有多少个呢？
应用高等数学第4章4-1不定积分27页PPT
一、运算法则 二、进一步的练习
不定积分的运算法则
法则1 被积函数中不为零的常数因子可以提到不定积 分符号外面来，即
kf(x)d x kf(x)dx (k 0 )
法则2 两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不
定积分的代数和，即
注：
f(x ) g (x )d x f(x )d x g (x )d x
意，求 f ( x)dx 时，切记“ C ”，否则求出的只是
f ( x) 的一个原函数，而不是不定积分.
三、进一步的练习
练习1 求下列不定积分：
（1）
e x dx
；（2）
1 dx 1 x2
；（3）
1 x
dx
解 （1）因为 （ex ) ex ，即 e x 是 e x
的一个原函数，所以 exdx ex C
由定理1可知，要求函数 f (x) 的全体原函数，只要找 到它的一个原函数，然后再加上任意常数 C即可.
定理2（原函数存在定理） 如果函数 f (x) 在某区间上连续，那么 f (x)
在该区间上存在原函数. 由于初等函数在其定义区间上连续，因此，
初等函数在其定义区间上存在原函数.
不定积分的概念
定义2 如果 F (x) 是 f ( x) 在某个区间上的一个原
上的已知函数，若存在函数 F( x ) ,使得 F(x)f(x)
或 d[F(x)]f(x)d，x则称 F( x ) 为 f (x) 在区间 I
上的一个原函数.
原函数的两个定理
定理1（原函数族定理） 如果 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 那么 F(x)C是 f (x) 的全体原函数，其中 C 为任意常 数.
.
（2）因为 (arcsxin)
不定积分的运算法则
法则1 被积函数中不为零的常数因子可以提到不定积 分符号外面来，即
kf(x)d x kf(x)dx (k 0 )
法则2 两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不
定积分的代数和，即
注：
f(x ) g (x )d x f(x )d x g (x )d x
意，求 f ( x)dx 时，切记“ C ”，否则求出的只是
f ( x) 的一个原函数，而不是不定积分.
三、进一步的练习
练习1 求下列不定积分：
（1）
e x dx
；（2）
1 dx 1 x2
；（3）
1 x
dx
解 （1）因为 （ex ) ex ，即 e x 是 e x
的一个原函数，所以 exdx ex C
由定理1可知，要求函数 f (x) 的全体原函数，只要找 到它的一个原函数，然后再加上任意常数 C即可.
定理2（原函数存在定理） 如果函数 f (x) 在某区间上连续，那么 f (x)
在该区间上存在原函数. 由于初等函数在其定义区间上连续，因此，
初等函数在其定义区间上存在原函数.
不定积分的概念
定义2 如果 F (x) 是 f ( x) 在某个区间上的一个原
上的已知函数，若存在函数 F( x ) ,使得 F(x)f(x)
或 d[F(x)]f(x)d，x则称 F( x ) 为 f (x) 在区间 I
上的一个原函数.
原函数的两个定理
定理1（原函数族定理） 如果 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 那么 F(x)C是 f (x) 的全体原函数，其中 C 为任意常 数.
.
（2）因为 (arcsxin)
41不定积分的概念与性质-PPT精品文档
7
不定积分的几何意义:
f ( x) 的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线 .
f (x)dx 的图形
y
f ( x) 的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
o
2019/3/10
x0
x
8
由不定积分定义可知: d (1) f( x )或 d dx 或
f ( x ) d x
利用逆向思维 二、 基本积分表 ( k 为常数) ( 1 ) k d x kxC
sec x C ( 10 ) sec x tan x d x
( 11 ) csc x cot x d x csc x C
x x ( 12 ) e d x e C
x a x C ( 13 ) a d x ln a
( 1 4 )
( 1 5 )
2019/3/10
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
f (x)d x — 被积表达式.
2019/3/10
f ( x ) d x F ( x ) C ( C 为任意常数 ) x x C 称为积分常数 e dx e C 不可丢 ! 2 3 1 x dx 3 x C x d x cos x C sin
2019/3/10 2
第四章
第一节 不定积分的概念与性质
（Conceptions and properties of Indefinite Integrals）
一、原函数与不定积分的概念
二、基本积分表
三、不定积分的性质 四、小结与思考题
2019/3/10 3
一、原函数与不定积分的概念
(Primitive Function and the Indefinite Integral) 定义 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 F ( x ) f ( x ) 或 d F ( x ) f ( x ) d x , 则称 F (x) 为f (x)
高数不定积分-讲解和例题.ppt
tan
x
cos2
d x
x
1 tan
x
dtan
x
ln
tan
x
C
例6：
sin2 x d x
1
cos 2x 2
d
x
1 2
dx
1 2
cos 2x d 2 x
1 x 1 sin2x C. 24
同理， cos2 x d x 1 x 1 sin2x C. 24
例7：
cos4
xd
x
1
cos 2 x 2
f (u)
du
[F (u) C]u( x) F ( x) C. 证明：{ F( x) C } F( x)( x)
f ( x)( x), 得证。
换元公式： f ( x)( x)d x
(x)d x d ( x) f ( x) d ( x)
φ (x) = u
f (u)du F(u) C
x
1 d x d ln x x
1 ln x
d
ln
x
1 u
d
u
ln u
C
ln
ln
x
C.
题目做得熟练后，中间变量 u 可以不写出来。
例2：
11 x2 sin x d x
1 x2
d
x
d(
1) x
sin
1 x
d
1 x
cos 1 C. x
例3： tanxcdo1sxxdcocsoisnsxxxdxln cos x C.
则 f (x)dx F(x) C
就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C .
y
它们相互平行，即 在横坐标相同的点 处有相同的切线斜 率。
高数第四章第一节不定积分
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例5. 求
x 3 解: 原式 = ∫ x dx = 4 +C 3 +1
4 3
4+1
= 3x
例6. 求 解: 原式=
1 3
+C
∫
1 sin xdx 2
= 1 cos x + C 2
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三、不定积分的性质
1. ∫ k f (x) dx = k∫ f (x)dx (k≠ 0) 2. ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x) d x
1 1 (1 + x2 ) x2 1 = 2 (1) 2 = 2 2 2 2 x 1+ x x (1+ x ) x (1+ x )
2 2 1 sin x + cos x (2) = 2 2 sin x cos x sin2 x cos2 x
= sec x + csc x
2 2
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结束
∫F′(x) dx =F(x) + C
或 ∫ d F(x) = F(x)+ C
结论 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 微分运算与求不定积分的运算是互逆 互逆的
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′ x x+1 实例 = x ∫ xdx = + C. +1 + 1 ( ≠ 1)
+1
二、 基本积分表 (P188-189)
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例5. 求
x 3 解: 原式 = ∫ x dx = 4 +C 3 +1
4 3
4+1
= 3x
例6. 求 解: 原式=
1 3
+C
∫
1 sin xdx 2
= 1 cos x + C 2
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三、不定积分的性质
1. ∫ k f (x) dx = k∫ f (x)dx (k≠ 0) 2. ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x) d x
1 1 (1 + x2 ) x2 1 = 2 (1) 2 = 2 2 2 2 x 1+ x x (1+ x ) x (1+ x )
2 2 1 sin x + cos x (2) = 2 2 sin x cos x sin2 x cos2 x
= sec x + csc x
2 2
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∫F′(x) dx =F(x) + C
或 ∫ d F(x) = F(x)+ C
结论 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 微分运算与求不定积分的运算是互逆 互逆的
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′ x x+1 实例 = x ∫ xdx = + C. +1 + 1 ( ≠ 1)
+1
二、 基本积分表 (P188-189)
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故 ( x ) F ( x ) C 0 (C0 为某个常数 ) F ( x ) C . 属于函数族 定理3：设 (x) 和 F ( x) 是 f ( x ) 的两个不同的原函数， 则它们之间只差一个常数。
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
f (x) — 被积函数;
f (x ) d x — 被积表达式.
(P185)
f ( x ) d x F ( x ) C( C 为任意常数 ) x x C 称为积分常数体现了 e dx e C 全体原函数不可丢 ! 2 1 x3 C x d x 3 x d x cos x C sin
8
不定积分的几何意义:
f (x) 的原函数的图形称为 f (x) 的积分曲线 .
f (x)dx 的图形
y
f (x) 的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
o
x0
x
9
例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 设曲线为 y f (x)
dv 先求 v(t ) . 由 g , 知 dt
x
v ( t ) ( g ) d t g t C 1
由 v ( 0 ) v ,得 C v ,故 0 1 0
v ( t ) g t v 0
o
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
dx 再求 x(t ) . 由 g v v (t )t 0, 知 dt 2 1 g t v t C x ( t ) ( g t v ) d t 0 2 0 2
在区间 I 上的一个原函数 .
4
1 1 例： 是 ln x ln x x x
的一个原函数。
(x ) 2 x
2
x2 是
2
2x
的一个原函数。
( x 5 ) 2 x x 5是 2 x 的一个原函数。
2
2 x 7 是 2 x 的一个原函数。 ( x 7 ) 2 x
( t ) s ( t ) 试求质点在时刻t 的瞬时速度 v(t ). 则 v
逆问题： 已知作直线运动的质点在任一时刻的瞬时
速度 v ( t ), 求质点的运动规律 s s(t).
即已知某一函数的导数或微分要求出原来的函数。
我们引进原函数与不定积分 为了便于研究这类问题， 的概念。 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 则称 F (x) 为f (x) 或 d F ( x ) f ( x ) d x , ( x ) f ( x ) 满足 F
2Байду номын сангаас
a ax ln a
x
ax x 是 a 的一个原函数。 ln a
5
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
f( x ) 在区间 I 上连续 ,则 定理1. 若函数 f( x ) 在 I上
存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
6
F (x )是 f (x )的一个原函数 , 则f (x)的所有 定理 2. 若
原函数都在函数族
F ( x ) C ( C 为任意常数 ) 内 .
) ( F ( x ) C ) 证: 1) F (x ) f (x
F ( x ) C 是 f ( x ) 的 全 体 原 函 数 . 2 )设 ( x ) 是 f( x ) 的任一原函数 ， ( x ) f ( x ) ( x ) f ( x ) 又知 F f ( x ) f ( x ) 0 [ ( x ) F ( x ) ] ( x ) F ( x )
y 2 x
2 y 2 x d x x C
y
(1, 2)
o
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
2 2 1 C C 1
x
因此所求曲线为 yx2 1
10
力, 求它的运动规律.
例2. 质点在距地面 x 0 处以初速 v 0 垂直上抛 , 不计阻
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
大一上学期同 济版高数第四 章不定积分
第四章 不定积分
微分法: F ( x ) ( ? )
积分法: ( ? ) f ( x )
互逆运算
2
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章
3
一、 原函数与不定积分的概念 引例: 已知作直线运动的质点的运动规律是 s s(t)
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
f (x) — 被积函数;
f (x ) d x — 被积表达式.
(P185)
f ( x ) d x F ( x ) C( C 为任意常数 ) x x C 称为积分常数体现了 e dx e C 全体原函数不可丢 ! 2 1 x3 C x d x 3 x d x cos x C sin
8
不定积分的几何意义:
f (x) 的原函数的图形称为 f (x) 的积分曲线 .
f (x)dx 的图形
y
f (x) 的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
o
x0
x
9
例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 设曲线为 y f (x)
dv 先求 v(t ) . 由 g , 知 dt
x
v ( t ) ( g ) d t g t C 1
由 v ( 0 ) v ,得 C v ,故 0 1 0
v ( t ) g t v 0
o
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
dx 再求 x(t ) . 由 g v v (t )t 0, 知 dt 2 1 g t v t C x ( t ) ( g t v ) d t 0 2 0 2
在区间 I 上的一个原函数 .
4
1 1 例： 是 ln x ln x x x
的一个原函数。
(x ) 2 x
2
x2 是
2
2x
的一个原函数。
( x 5 ) 2 x x 5是 2 x 的一个原函数。
2
2 x 7 是 2 x 的一个原函数。 ( x 7 ) 2 x
( t ) s ( t ) 试求质点在时刻t 的瞬时速度 v(t ). 则 v
逆问题： 已知作直线运动的质点在任一时刻的瞬时
速度 v ( t ), 求质点的运动规律 s s(t).
即已知某一函数的导数或微分要求出原来的函数。
我们引进原函数与不定积分 为了便于研究这类问题， 的概念。 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 则称 F (x) 为f (x) 或 d F ( x ) f ( x ) d x , ( x ) f ( x ) 满足 F
2Байду номын сангаас
a ax ln a
x
ax x 是 a 的一个原函数。 ln a
5
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
f( x ) 在区间 I 上连续 ,则 定理1. 若函数 f( x ) 在 I上
存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
6
F (x )是 f (x )的一个原函数 , 则f (x)的所有 定理 2. 若
原函数都在函数族
F ( x ) C ( C 为任意常数 ) 内 .
) ( F ( x ) C ) 证: 1) F (x ) f (x
F ( x ) C 是 f ( x ) 的 全 体 原 函 数 . 2 )设 ( x ) 是 f( x ) 的任一原函数 ， ( x ) f ( x ) ( x ) f ( x ) 又知 F f ( x ) f ( x ) 0 [ ( x ) F ( x ) ] ( x ) F ( x )
y 2 x
2 y 2 x d x x C
y
(1, 2)
o
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
2 2 1 C C 1
x
因此所求曲线为 yx2 1
10
力, 求它的运动规律.
例2. 质点在距地面 x 0 处以初速 v 0 垂直上抛 , 不计阻
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
大一上学期同 济版高数第四 章不定积分
第四章 不定积分
微分法: F ( x ) ( ? )
积分法: ( ? ) f ( x )
互逆运算
2
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章
3
一、 原函数与不定积分的概念 引例: 已知作直线运动的质点的运动规律是 s s(t)