平行四边形的判定专题练习
初二数学专题训练(判定平行四边形的四种常用方法)(带答案)
初二数学专题训练(判定平行四边形的四种常用方法)类型一 利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定1.如图，两张对边分别平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD ，当线段3AD =时，线段BC 的长为 .2.如图，四边形ABCD 为平行四边形，BAD ∠和BCD ∠的平分线,AE CF 分别交,DC BA 的延长线于点,E F ，交边,BC AD 于点,H G .求证:四边形AECF 是平行四边形.类型二 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定3.如图，D 是ABC ∆的边AB 上一点，//CE AB ，DE 交AC 于点O ，且OA OC =，猜想线段CD 与线段AE 之间的数量关系和位置关系，并证明你的结沦.4. ( 2019·淮安)如图，在ABCD Y 中，,E F 分别是边,AD BC 的中点.求证:BE DF =.5.如图，在ABCD Y 中，,E F 是对角线BD 的两点，且BE DF =，点,G H 分别在BA 和DC 的延长线上，且AG CH =，连接,,,GE EH HF FG .求证:四边形GEHF 是平行四边形.6. (2019·福建)在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC ∆ 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度α得到DEC ∆，点,A B 的对应点分别是点,D E .(1)如图①，连接AD ，当点E 恰好在AC 上时，求ADE ∠的度数.(2)如图②，当60α=︒时，F 是AC 的中点，求证:四边形BFDE 是平行四边形.类型三 利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定7.如图，在ABCD Y 中，分别以,AD BC 为边向内作等边三角形ADE 和等边三角形BCF ，连接,BE DF .求证:四边形BEDF 是平行四边形.类型四 利用对角线互相平分的四边形平行四边形进行判定8.如图，//,,AB DE AB DE AF DC ==.求证:四边形BCEF 是平行四边形.9.在四边形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，点,E F 分别在线段,OA OC 上，且OB OD =，12∠=∠，AE CF =.求证:(1)BEO DFO ∆≅∆.(2)四边形ABCD 是平行四边形.参考答案1.32. 点拨：由DGC BCG ∠=∠，BCG DAH ∠=∠， 可得DGC DAH ∠=∠，//AE CF3. 点拨：由DAO ECO OA OC AOD COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，可得ADO CEO ∆≅∆，AD CE =， 从而证得四边形AECF 是平行四边形， 可得CD AE =，//CD AE4. 点拨：由//,DE BF DE BF =，可得四边形DEBF 是平行四边形，5. 点拨：由GBE HDF BG HD BE DF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩可得GBE HDF ∆≅∆，从而得到GE HF =，GEB HFD ∠=∠ 所以有GEF HFE ∠=∠，//GE HF6. (1) 15ADE ∠=︒(2)点拨：延长BF 交EC 于点G .由90BGE DEC ∠=∠=︒，可得//DE BF ，又AB DE =，12BF AC AB ==， 可得BF DE =. 7. 点拨：由CF AE DCF BAE CD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，可得DCF BAE ∆≅∆，DF BE =.又DE BF =，从而证得四边形BEDF 是平行四边形.8. 点拨：连接,AE DB ，连接BE 交AD 于点O . 先证明四边形ABDE 是平行四边形. 从而得到OB OE =，OA OD =，因为AF DC =，可得OF OC =，得证.9. (1)12OB OD EOB FOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(2)由BEO DFO ∆≅∆可得OE OF = 因为AE CF =，可得OA OC =.。
专题 平行四边形的性质和判定(原卷版)
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》专题 平行四边形的性质与判定【例题1】如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，AE ＝3，EB ＝5，ED ＝4．则CE 的长是（ ）A ．2√2B ．6√2C ．5√5D ．4√5【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝7，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，作DG ⊥AE 于点G 并延长交BC 于点F ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．2√6【变式1-2】如图，在▱ABCD 中，O 为对角线AC 与BD 的交点，AC ⊥AB ，E 为AD 的中点，并且OF ⊥BC ，∠D ＝53°，则∠FOE 的度数是（ ）A ．143°B ．127°C ．53°D ．37°【变式1-3】如图，将平行四边形OABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，若点C 的坐标是（1，3），点A 的坐标是（5，0），则点B 的坐标是（ ）A ．（5，3）B ．（4，3）C ．（6，3）D ．（8，1）【变式1-4】如图，在平行四边形ABCD 中P 是CD 边上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，若AD ＝5，AP ＝8，则△APB 的周长是（ ）A．18B．24C．23D．14【变式1-5】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠ACE的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【变式1-6】▱ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（）A．3≤AB≤4B．2＜AB＜14C．1＜AB＜7D．1≤AB≤7【变式1-7】在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【变式1-8】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE＝OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．【例题2】（2022•南京模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝EF ＝FC．（1）求证：DE∥BF；（2）若BE⊥BC，DE＝6，求对角线AC的长．【变式2-1】（2022春•西吉县校级月考）如图．已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF．【变式2-2】（2022•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．【变式2-3】（2022秋•北碚区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA 的延长线于点F．（1）求证：DE＝AE；（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．【变式2-4】（2022秋•道里区校级月考）在平行四边形ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与△EHC全等的所有三角形．【变式2-5】（2021春•九龙坡区校级期中）在▱ABCD中，∠ABC＝45°，过A作AE⊥CD于E，连接BE，延长EA至F，使CE＝AF，连接DF．（1）求证：DF＝BE；（2）若DF=√34，AD＝3√2，求四边形ADEB的周长．【变式2-6】（2022春•济南期中）如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD 于点F．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长．【例题3】如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．CE＝AF B．BE＝DF C．∠DAF＝∠BCE D．AF∥CE【变式3-1】在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（）①一组对边平行，另一组对边相等②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线③一组对边平行，一组对角相等④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-2】下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，BC＝CDC．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC【变式3-3】四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，∠BAD＝∠BCD；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【变式3-4】如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（）A．∠ADE＝∠E B．∠B＝∠E C．DE＝BC D．BD＝CE【变式3-5】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF【变式3-6】如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是（写出一个即可）．【变式3-7】平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，写出一个能使四边形AECF一定为平行四边形的条件．（用题目中的已知字母表示）【例题4】（2021•江华县一模）如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°．【变式4-1】如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）四边形ABED是平行四边形．【变式4-2】如图所示，△ABC中，D是BC边上中点，AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE，EF∥BC交AB于点F，求证：四边形BDEF是平行四边形．【变式4-3】（2021秋•海阳市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AC上一点，且满足2AF＝CF，连接BF与AD相交于点E．若G为线段BF上一动点，试分析当点G在何位置时，四边形AFDG为平行四边形？【变式4-4】（2022春•顺义区校级月考）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB＝3，AD＝4，求AC的长．【变式4-5】（2021春•西安期末）如图，在△AFC中，∠F AC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式4-6】（2022春•礼泉县期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：△AEF≌△BAC；（2）四边形ADFE是平行四边形吗？请说明理由．【例题5】如图，在▱ABCD 中，要在对角线BD 上找两点E 、F ，使A 、E 、C 、F 四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE ＝DF ；②只需要满足AE ⊥BD ，CF ⊥BD ；③只需要满足AE ，CF 分别平分∠BAD ，∠BCD ，④只需要满足AE ＝CF ．则对四种方案判断正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④【变式5-1】如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、DC 的中点，连接AF 、CE 、DE 、BF 、EF ，AF 与DE 交于点G ，CE 与BF 交于点H ，则图中共有平行四边形（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【变式5-2】如图，已知△ABC 是边长为6的等边三角形，点D 是线段BC 上的一个动点（点D 不与点B ，C 重合），△ADE 是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交线段AB ，AC 于点F ，G ，连接BE 和CF ．则下列结论中：①BE ＝CD ；②∠BDE ＝∠CAD ；③四边形BCGE 是平行四边形；④当CD ＝2时，S △AEF ＝23，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【变式5-3】（2022春•南海区月考）如图，在▱ABCD 中，点E 是BC 边的中点，连接AE 并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．【变式5-4】（2022春•重庆月考）已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．【变式5-5】（2022春•南湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．【变式5-6】（2021春•南昌期中）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O的直线交AD，BC于P，Q两点，交BA，DC的延长线于M，N两点．（1）求证：AP＝CQ；（2）连接DM，BN，求证：四边形BNDM是平行四边形．【变式5-7】（2022春•温州校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，作DE ⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连结CF，使∠A＝∠F．（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．（2）连接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，CD＝12，求四边形ADFC的面积．【变式5-8】（2022春•锦江区校级期中）如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD ＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF．（1）求证：△CEF为等边三角形；（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；（3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积．。
(完整版)平行四边形的性质判定练习题
第一部分 平行四边形的性质练习题 例题1、平行四边形得周长为50cm ，两邻边之差为5cm,求各边长。
变题1.平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=_______,BC=________. 变题2.四边形ABCD 是平行四边形，∠BAC=90°,AB=3,AC=4,求AD 的长。
例题2.平行四边形ABCD 中，∠A-∠B=20°,求平行四边形各内角的度数。
变题3.平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=_________,∠B_________. 变题4.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAC=34°, ∠ACB=26°，求∠DAC 与∠D 的度数。
例题3.如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AD,CF ⊥BA 交BA 的延长线于F ，∠FBC=30°,CE=3cm,CF=5cm,求平行四边形ABCD 的周长。
变题5.如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。
1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______,∠D=_______,∠A=______,∠C=_______.2、平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=_______,BC=________.3、平行四边形得周长为50cm ，两邻边之差为5cm,则长边是________ ，短边是__________.4、平行四边形ABCD 中，∠A-∠B=20°, 则∠A=_______ ∠B=________5、.平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=____,∠B_____.6、平行四边形 ABCD 中，∠A+∠C=200°.则：∠A= _______，∠B= _________ .7、如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。
平行四边形的判定练习题(含答案)
平行四边形的判定练习题(含答案)（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________．6．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F 为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．8．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB 的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．10．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC•交EB于F，求证：EF=FB．知能点2 三角形的中位□线11．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．12．如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF•交于点M，连接CF，DE交AD．于点N，求证：MN∥AD且MN=1213．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．14．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD•于E，•若OE=3cm，则AD的长为（）． A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 15．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，•则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？16．如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF的面积．规律方法应用17．如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，•并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少？18．如图所示，在□ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F 分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BD的长度是多少？你是怎样得到的？19．如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．•（BC-AC）．试说明：（1）DE∥BC．（2）DE=12开放探索创新20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD•于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．中考真题实战21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD•为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，•则S四边形EFGH ：S四边形ABCD的值是_________．23．（南京）已知如图19-1-55所示，在Y ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1） △AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．答案:1．C 2．C 3．D4．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）×5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC．又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．7．证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=EF．8．证明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF．∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB//DC．又∵BE=AB，∴BE//DC，∴四边形BDCE是平行四边形．∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．同理，∠BDM=∠DMC．∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG// AD．在□ACED中，AD//CE，∴CE//BG．∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD=BC．∵CE=CD，∴AB//CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BF=FC，∴OF//1AB，即AB=2OF．212．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．又∵EF∥AB，∴EF∥CD．∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．又∵M，N分别为Y ABEF和Y ECDF对角线的交点．∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线．∴MN∥AD且MN=12AD．13．4 14．B15．解：EFGH是平行四边形，连接AC，在△ABC中，∵EF是中位线，∴EF//12AC．同理，GH//12AC．∴EF//GH，∴四边形EFGH为平行四边形．16．解：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，DE=12AC，DF=12BC．又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．∴△EDF为直角三角形．∴S△EDF =12DE·DF=12×3×4=6（cm2）．17．解：∵M，N分别是AC，BC的中点．∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12AB．∴AB=2MN=2×20=40（m）．故A，B两点间的距离是40m．18．解：连接DE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD．∵DF=12CD，AE=12AB，∴DF//AE．∴四边形ADFE是平行四边形．∴EF=AD=1cm．∵AB=2AD，∴AB=2cm．∵AB=2AD，∴AB=2AE，∴AD=AE．∴∠1=∠4．∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，∴∠1=∠A=∠4=60°．∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE．∵AE=BE，∴DE=BE，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°．∴∠ADB=∠3+∠4=90°．=cm）．19．解：延长AD交BC于F．（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．在△ACD与△FCD中，∠ADC=∠FDC，DC=DC，∠ACD=∠FCD．∴△ACD≌△FCD，∴AC=FC，AD=DF．又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC．（2）由（1）知AC=FC，DE=12BF．∴DE=12（BC-FC）=12（BC-AC）．20．解：AE=CF．理由：过E作EG∥CF交BC于G，∴∠3=∠C．∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．∵EF∥BC，EG∥CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．21．答案不唯一，如AB=CD或AD∥BC．22．1223．解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴DF=12CD，BE=12AB，∴DF=BE，∴△AFD≌△CEB．（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD．由（1）得BE=DF，∴AE=CE，∴四边形AECF是平行四边形．。
平行四边形性质和判定综合练习题(含答案)
平行四边形性质和判定综合练习题（含答案）平行四边形性质和判定综合习题精选一•解答题（共26小题）1. （2011?资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形, AE丄BD于E, CF丄BD于F.（1）求证：BE=DF ;（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN , 试判断四边形MENF的形状.2. （2011?昭通）如图所示，平行四边形AECF的对角线相交于点O, DB经过点O,分别与AE ,CF 交于B, D.求证：四边形ABCD是平行四边形.卫 B £3. (2011?徐州)如图，在四边形ABCD中,AB=CD ,BF=DE , AE丄BD , CF丄BD ,垂足分别为E , F.(1)求证：△ ABE CDF ;4. （2011?铜仁地区）已知：如图，在△ ABC中，/ BAC=90 ° , DE、DF是厶ABC的中位线，连接EF、AD .求证：EF=AD .5. （2011?泸州）如图，已知D是厶ABC的边AB上一点，CE II AB ,DE交AC于点0,且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明.B C6. （2010?恩施州）如图，已知，平行四边形ABCD中，AE=CF , M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形MFNE是平行四边形. -三 -78平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边厶ADE和等边△ BCF，连接BE、DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.9. （2006?黄冈）如图所示，DB II AC，且DB= AC , E是AC的中点，求证：BC=DE .10. （2002?三明）已知D、E、F分别是△ ABC各边的中点, 求证：AE与DF互相平分.11•已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线AC 交 BD 于点0,四边形AODE 是平行四边形•求证:AB0E 、四边形DC0E 都是平行四边形.12•如图，已知四边形ABCD 中，点E , F , G , H 分别是13.如图：平行四边形 ABCD 中，MN II AC ,试说明 MQ=NP .四边形AB 、CD 、AC 、BD 的中点，并.一条直线上.求证：EF 和GH 互相平分.，F 、G 、H 有在同SD14•已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点0, EF经过点0并且分别和AB , CD相交于点E，F，点G，H分别为0A，0C的中点•求证：四边形EHFG是平行四边形.15•如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG •(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；(2)若点G、H分别在线段BA和DC 上,其余条件不变，则(1)中的结论是否成立？(不用说明理由)16•如图，在△ ABC中，D是AC的中点，延长线一点，过点A作BE的平行线与线段交于点F，连接AE、CF •(1)求证：AF=CE ;(2)如果AC=EF，且/ ACB=135 °是什么样的四边形，并证明你的结论.B仃•如图平行四边形ABCD中，/ ABC=60。
专题4.2 平行四边形的性质【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题4.2 平行四边形的性质【八大题型】【浙教版】【题型1 利用平行四边形的性质求长度】 (1)【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 (6)【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 (10)【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】 (14)【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】 (19)【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】 (23)【题型7 利用平行四边形的性质求最值】 (29)【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】 (34)【题型1 利用平行四边形的性质求长度】【例1】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠BCD=60°，DC=6，点E、F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，A′E恰好垂直于AD，若AE=5，则B′F的值为2（）A ．3B ．C ．−12D 【答案】C【分析】延长F B ′交AD 于点H ，根据折叠的性质、平行四边形的性质得到A ′G =2A ′E =5，EG Rt△GH B ′中，得到H B ′=12G B ′=12，HG =△HEF 是等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】解：延长F B ′交AD 于点H ，∵A ′E 恰好垂直于AD ，且四边形ABCD 是平行四边形，∴FH 也垂直于AD ，由折叠的性质得AE =A E ′=52，∠A ′EG =∠B ′HG =90°，∠A ′=∠A =60°，A ′B ′=AB =6，∴∠A ′GE =30°，∴A ′G =2A ′E =5，EG =在Rt △GH B ′中，∠B ′GH =30°，B ′G =A ′B ′−A ′G =1，∴H B ′=12G B ′=12，HG =∴EH =EG +GH =由折叠的性质得∠AEF =∠A ′EF ，∴180°−∠HEF =90°+∠HEF ，∴∠HEF =45°，∴△HEF 是等腰直角三角形，∴FH =EH =∴B ′F =−12，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，证明△HEF 是等腰直角三角形是解题的关键．【变式1-1】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，EF 过点O 与AD ，BC 分别相交于E ，F ，若BC =8，OE =2，AB =4，那么四边形EFCD 的周长为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】A 【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD =AB =4，AD =BC =8，再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≅ △COF ，根据全等三角形的性质，得：OF =OE =2，CF =AE ，故四边形EFCD 的周长为CD +EF +AD =16．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD =AB =4，AD =BC =8，OA =OC ，AD ∥BC ，∴∠EAO =∠FCO ，∠AEO =∠CFO ，在△AOE 和△COF 中，∠EAO =∠FCO ∠AEO =∠CFO OA =OC，∴△AOE≅ △COF ，∴OF =OE =2，CF =AE ，∴四边形EFCD 的周长为CD +EF +ED +FC =CD +EF +AE +ED =CD +AD +EF =4+8+2×2=16，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．【变式1-2】（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，▱ABCD 中，AB =6，AD =10，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 于点E ，交BC 于点F ；②分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内相交于点P ；③画射线BP ，交AD 于点Q ，交对角线AC 于点O ．若BA ⊥CA ，则AO 的长度为（ ）A ．3BC ．32D ．【答案】A 【分析】先根据平行四边形的性质得到BC ＝AD ＝10，再利用勾股定理计算出AC ＝8，利用基本作图得到BQ 平分∠ABC ，则根据角平分线的性质得到点O 到BA 的距离等于点O 到BC 的距离，接着利用三角形的面积公式得到S △ABO ：S △BCO ＝AB ：BC ＝OA ：OC ，所以OA =38AC ．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ＝10，∵BA ⊥CA ，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，AC ==8，由作法得BQ 平分∠ABC ，∴点O 到BA 的距离等于点O 到BC 的距离，∴S △ABO ：S △BCO ＝AB ：BC ＝6：10＝3：5，∵S △ABO ：S △BCO ＝OA ：OC ，∴OA ：OC ＝3：5，∴OA ：AC ＝3：8，∴OA =38AC =38×8＝3．【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．【变式1-3】（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在AD上，∠EBA=60°，则ED的值是（）AEB C DA．2【答案】D【分析】由平行四边形的性质可求∠ADB=30°，由直角三角形的性质可求DE=，AE=BH，即可求解．【详解】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC+∠DAB=180°，∵∠ADC=105°，∴∠DAB=75°，∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA=75°，∴∠BDA=30°，∴BD=2BH=AD，DH，∴AH=，∵∠EBA=60°，∴∠BEA =180°−∠DAB−∠ABE =45°，∴∠EBH =45°=∠BEH ，∴BH =EH ，∴DE =，AE =，∴ED AE ==故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．【题型2 利用平行四边形的性质求角度】【例2】（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）在▱ABCD 中，AC 、BD 交于点O ．过点O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ，连接DE ．若∠CDE ＝∠CBD ＝15°．求∠ABC 的度数．【答案】45°【分析】由线段垂直平分线的性质得出BE ＝ED ，得出∠CBD =∠BDE =15° ，求出∠ABD =30°，则可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB =OD ，∵OE ⊥BD ，∴BE =ED ，∴∠CBD =∠BDE =15°，∵∠CDE =15°，∴∠BDC =30°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABD =∠BDC =30°，∴∠ABC =∠ABD +∠CBD =30°+15°=45°．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【变式2-1】（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD的两个内角∠A:∠B=1:2，则∠A的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【答案】B【分析】根据平行四边形的性质可得到∠A与∠B是邻角并且互补，再结合∠A:∠B=1:2列方程，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，∵∠A:∠B=1:2，∴∠A+2∠A=180°，解得∠A=60°，故选B．【点睛】本题考查平行四边形性质，熟知平行四边形邻角互补是解答的关键．【变式2-2】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（）．A．130°B．135°C．150°D．125°【答案】B【分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°−2x，∠BCD=225°−2y，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，∵AD=DE=CE，∴AD=DE=CE=BC，∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∵∠DEC=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，∴∠ADE=180°−2x，∠BCE=180°−2y，∴∠ADC=180°−2x+45°=225°−2x，∠BCD=225°−2y，∴∠BAD=180°−(225°−2x)=2x−45°，∴2x−45°=225°−2y，∴x+y=135°，∴∠AEB=360°−135°−90°=135°；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质(两底角相等) ，解题的关键是找到∠AED和∠CEB之间的关系．【变式2-3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC 于点E，G为线段AE上一点且满足EG=BC，AG=CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为_____．【答案】45°【分析】连接DG，根据平行四边形的性质证明△ADG≌△ECG(SAS)，可得DG=CG，∠ADG=∠ECG，然后证明△DGC是等腰直角三角形，进而可以解决问题．【详解】解：如图，连接DG，在平行四边形ABCD 中，AB∥CD ，AD∥BC ，AD =BC ，∵AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ，∴∠DAG =∠GEC =90°，∵EG =BC ，∴EG =AD ，在△ADG 和△ECG 中，AD =EG ∠DAG =∠GEC =90°AG =EC，∴△ADG≌△ECG (SAS)，∴DG =CG ，∠ADG =∠ECG ，∵∠ADG +∠AGD =90°，∴∠EGC +∠AGD =90°，∴∠DGC =90°，∴△DGC 是等腰直角三角形，∴∠DCG =45°，∵AB∥CD ，∴∠BFC =∠DCG =45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADG≌△ECG．【题型3 利用平行四边形的性质求面积】【例3】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC 于E，AF⊥CD于F，AE=3，AF=7，平行四边形ABCD的周长为60，则平行四边形ABCD的面积是（）A．36B．48C．63D．75【答案】C【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为30，设BC为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得BC长，乘以3即为平行四边形的面积．【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为60，∴BC+CD=30，设BC为x，=BC⋅AE=CD⋅AF，∵S▱ABCD∴3x=(30−x)×7，解得：x=21，∴▱ABCD的面积为21×3=63，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，面积等于底×高．【变式3-1】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，m∥n，点C、D、E在直线m上，四边形ABED为平行四边形，若△ABC的面积为5，则平行四边形ABED的面积是______．【答案】10【分析】根据平行线间的距离相等以及平行四边形的对边相等即可得出答案．【详解】解：连接BD，∵m∥n，∴S△ABC=S△ABD，∵四边形ABED为平行四边形，∴AB=DE，∴S△ABC=S△ABD=S△BDE，∴平行四边形ABED的面积等于S△ABD+S△BDE=5+5=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行四边形的性质，根据同底等高的两个三角形面积相等以及等底等高的两个三角形面积相等是解本题的关键．【变式3-2】（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)，B(n,0)，且m，n满足(m+1)2+|n−3|=0，将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段DC，其中点D与点A对应，点C与点B对应，连接AD，BC，CD，得到平行四边形ABCD，连接BD．(1)补全图形，并写出平行四边形ABCD各顶点坐标；(2)平行四边形ABCD的面积是多少？(3)在x轴上是否存在点M，使△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)图见解析，A(−1,0)，B(3,0)，C(4,3)，D(0,3)(2)12(3)存在，(11,0)或(−5,0)【分析】（1）先根据绝对值和偶次方的非负性可得m,n 的值，再根据平移的性质、线段的画法补全图形，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点C,D 的坐标；（2）先求出AB =4，OD =3，再利用平行四边形的面积公式即可得；（3）设点M 的坐标为M (a,0)，则BM =|a−3|，再根据三角形的面积公式建立方程，解方程可得a 的值，由此即可得．（1）解：∵(m +1)2+|n−3|=0，∴m +1=0，n−3=0，解得m =−1，n =3，∴A (−1,0)，B (3,0)，补全图形如下：由平移的性质得：C (3+1,0+3)，D (−1+1,0+3)，即C (4,3)，D (0,3)．（2）解：∵A (−1,0)，B (3,0)，D (0,3)，∴AB =3−(−1)=4，OD =3，则平行四边形ABCD 的面积是AB ⋅OD =4×3=12．（3）解：如图，设点M 的坐标为M (a,0)，则BM =|a−3|，∵△MBD 的面积等于平行四边形ABCD 的面积，∴12OD ⋅BM =12，即12×3|a−3|=12，解得a=11或a=−5，所以存在这样的点M，此时点M的坐标为(11,0)或(−5,0)．【点睛】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换、平行四边形的面积、坐标与图形，熟练掌握平移作图是解题关键．【变式3-3】（2022春·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期中）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】（1）根据要求，画出平行四边形即可；（2）根据要求，画出平行四边形即可．【详解】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求；由图可知：平行四边形ABCD的面积=3×2=6；（2）解：如图，平行四边形EFGH即为所求；由图可知：平行四边形EFGH的面积=3×2=6．【点睛】本题考查网格作图，平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的的关键．【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】【例4】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（）．A．124°B．114°C．104°D．56°【答案】A【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：由折叠得，∠4=∠5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠5=∠3，∴∠3=∠4，又∵∠1=∠3+∠4=48°，×48°=24°，∴∠5=∠4=∠3=12在△ABC中，∠B=180°−∠5−∠2=180°−24°−32°=124°，故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．【变式4-1】（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EF C′D′，E D′交BC于点G，则△GEF的周长为（）A．6B．12C．18D．24【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠EFG=∠DEF=60°，根据折叠的性质得到∠GEF=∠DEF=60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠EFG=∠DEF=60°，∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EF C′D′，∴∠GEF=∠DEF=60°，∴∠EGF=60°，即∠EFG=∠GEF=∠EGF=60°，∴△EGF是等边三角形，∵EF=6，∴△GEF的周长=18，故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．【变式4-2】（2022秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB5BE=AE．则AF长度为_____．【答案】152【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，∵AB5BE=AE，∴AE BE由折叠的性质可知：GE=AE GF=AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABN=∠A=45°，∴△BEN 和△ABM 是等腰直角三角形，∴EN =BN =2BE =1，AM =BM =2AB =6，∴FH =BM =6，在Rt △GEN 中，根据勾股定理，得E N 2+G N 2=G E 2，∴12+G N 2=2，解得GN =±7（负值舍去），∴GN =7，设MF =BH =x ,则GH =GN -BN -BH =7-1-x =6-x ，GF =AF =AM +FM =6+x ，在Rt △GFH 中，根据勾股定理，得G H 2+F H 2=G F 2，∴(6−x)2+62=(6+x)2，解得x =32，∴AF =AM +FM =6+32=152．∴AF 长度为152．故答案为：152．【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．【变式4-3】（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）四边形ABCD 为平行四边形，己知AB BC ＝6，AC ＝5，点E 是BC 边上的动点，现将△ABE 沿AE 折叠，点B ′是点B 的对应点，设CE 长为x ，若点B ′落在△ADE 内（包括边界），则x 的取值范围为____________．【答案】x 2【分析】如图1，当B′在AD上，易证由四边形CD B′E为平行四边形，得到CE=D B′=6−2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当B′在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝CE的另一个临界值，问题得解．【详解】解：如图1，当B′在AD上，此时，AB=A B′，∠B=∠A B′E=∠D，∴B′E∥CD，∵AD∥BC，∴四边形CD B′E为平行四边形，∴CE=D B′=6−如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当B′在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，∴DA＝DE在Rt△ABG和Rt△ACG中，AG2=AB2−BG2=AC2−CG2∴2−B G2=52−(6−BG)2∴BG＝2，∴AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝∴CE＝2；综上：x的取值范围为：x2．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】【例5】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为(1,−1)，(−2,3)，(a,0)，(0,b)．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则a+b的值不可能是（）A．-7B．-1C．1D．7【答案】B【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出a,b的值．【详解】解：分三种情况：①BC为对角线时，∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)∴−2a2=102，302=b−12解得;a=3,b=4∴a+b=7②AB为对角线时，∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)∴−212=a02，3(−1)2=b02解得;a=-1,b=2∴a+b=1③AC为对角线时，∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)∴1a2=−202，−102=b32解得;a=-3,b=-4∴a+b=−7故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．【变式5-1】（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B （0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________．【答案】(0,2)【分析】设点P（0，y），先求出点C，点D坐标，由点C的坐标知点C在垂直于x轴的直线上，由垂线段最短，可得当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即可求解．【详解】解：设点P（0，y），∵PD=AP，点A（-3，0），∴点D（3，2y），∵点A（-3，0）、B（0，-4），四边形ABCD是平行四边形，∴C（6，2y-4），∴点C在x=6这条直线上运动，∴当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即2y-4=0，∴y=2，∴点P（0，2）．故答案为（0，2）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．【变式5-2】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知AD=2，CD=8，∠ADB=135°，S△ABD=6，则D 点的坐标为_______．【答案】（-2，8）【分析】过点B 作BE ⊥y 轴于E 点，交AD 的延长线于点F ，先通过AAS 证出△BOE ≌△CAD ，根据全等三角形的性质得到OE =AD ，BE =CD ，根据三角形的面积即可得到结论．【详解】过点B 作BE ⊥y 轴于E 点，交AD 的延长线于点F ，∵四边形ABOC 是平行四边形，∴AC =OB ，AC ∥OB ，∴∠OGC =∠BOE ，∵AD ∥y 轴，∴∠DAC =∠OGC ，∴∠BOE =∠DAC ，在△BOE 和△CAD 中，∠BEO ＝∠CDA ∠BOE ＝∠CAD BO ＝AC，∴△BOE ≌△CAD （AAS ），∴OE =AD =2，BE =CD =8，∵S △ABD =6，∴12AD •BF =6，×2×BF=6，∴12∴BF=6，∴EF=BE-BF=2，∵∠ADB=135°，∴∠BDF=45°，∴BF=DF=6，∵DF+OE=6+2=8∴D（-2，8），故答案为：（-2，8）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，证得△BOE≌△CAD是解题的关键．【变式5-3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A(0，3)，B(−1，0)，若直线y=−2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是_____________．3【分析】连接BD，设D(m，3)，BD的中点为T，求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．【详解】解：连接BD，设D(m，3)，BD的中点为T，∵B(−1，0)，∴∵直线y=−2x+4平分平行四边形ABCD的面积，∴直线y=−2x+4经过点T，∴32=−2×m−12+4，∴m=72，∴3，3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和求点的坐标，解决本题的关键是连接BD，找到BD的中点坐标．【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】【例6】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．(1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）问的条件下，求证：BF=DG．证明：四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，①∴∠ABD =∠CDB ，∵AE 平分∠BAD ，CH 平分∠BCD ，∴ ② ，∠DCH =12∠BCD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴ ③∴∠BAE =∠DCH ，在△ABF 和△CDG 中，∠ABD =∠CDB ④∠BAE =∠DCH，∴△ABF≌△CDG (ASA)．∴BF =DG【答案】(1)作图见详解(2)AB ∥CD ，∠BAF =12∠BAD ，∠BAD =∠DCB ，AB =CD 【分析】（1）以点C 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC ，DC 于点M ，N ，连接MN ，分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 为半径画弧，交于点P ，连接CP ，交AD 于点H ，交BD 的于点G ，由此即可求解；（2）平行四边形ABCD 中，可知AB =CD ，AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，CH 平分∠BCD ，∠BAF =12∠BAD ，∠DCH =12∠BCD ，从而证明△ABF≌△CDG (ASA)，由此即可求解．【详解】（1）解：如图所示，∴CH 为∠BCD 的角平分线．（2）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD =∠CDB，∵AE 平分∠BAD ，CH 平分∠BCD ，∴∠BAF =12∠BAD ，∠DCH =12∠BCD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠BAD =∠DCB ，∴∠BAE =∠DCH ，在△ABF 和△CDG △CDG 中，∠ABD =∠CDB AB =CD ∠BAE =∠DCH，∴△ABF≌△CDG (ASA)．∴BF =DG ．故答案为：①AB ∥CD ；②∠BAF =12∠BAD ；③∠BAD =∠DCB ；④AB =CD ．【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，三角形全等的判定和性质，掌握角平分线的画法，三角形全等的判定和性质是解题的关键．【变式6-1】（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在▱ABCD 中，点E 是CD 边的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接BE ，BE ⊥AF ．(1)求证：△ADE≌△FCE ；(2)求证：AE 平分∠DAB ；(3)若∠DAB =60°，AB =4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得∠D =∠ECF ，根据对顶角相等，∠DEA =∠CEF ，再根据点E 是CD 边的中点，即可求证；（2）通过证明△ABF为等腰三角形，即可求证；（3）由题意可得，▱ABCD的面积等于△ABF的面积，利用含30°角直角三角形的性质，即可求解．【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∵点E是CD边的中点，∴DE=CE，又∵∠DEA=∠CEF，∴△ADE≌△FCE(ASA)；（2）证明：由（1）可得△ADE≌△FCE，∴AE=EF，即BE为△ABF的中线，∠F=∠DAE，又∵BE⊥AF，∴△ABF为等腰三角形，∴AB=BF，∠F=∠BAE∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠DAB；（3）解：由（2）可得AE平分∠DAB；又∵∠DAB=60°∴∠EAB=30°，∵BE⊥AF，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，∠EAB=30°，AB=4，∴BE=12AB=2，∴AE=∴AF=2AE=由（1）可得△ADE≌△FCE，则S△ADE =S△CEF，∴S▱ABCD=S△ABF=12AF×BE=【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．【变式6-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF(1)求证：AE =CF ；(2)若AD =AE ，∠DFC =140°，求∠DAE 的度数=______【答案】(1)见解析(2)100°【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥DC 、AB =CD 即∠ABE =∠CDF ，然后证得△ABE≅△CDF 即可证得结论；（2）由△ABE≅△CDF 可得∠AEB =∠CFD =140°，进而求得∠AED ，再根据AD =AE 可得∠ADE ，最后根据三角形内角和定理即可解答．【详解】（1）证明：∵平行四边形ABCD∴AB∥DC ，AB =CD ，∴∠ABE =∠CDF在△ABE 和△CDF 中AB =CD ∠ABE =∠CDF BE =DF∴△ABE≅△CDF (SAS)∴AE =CF ．（2）解：∵△ABE≅△CDF ，∠DFC =140°∴∠AEB =∠CFD =140°∴∠AED =180°−∠AEB =40°∵AD =AE∴∠AED =∠ADE =40°∴∠DAE =180°−∠AED−∠ADE =100°．故答案为：100°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．【变式6-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F.(1)求证：OE=OF；(2)若BC=4，AB=3，OF=2，求四边形CDFE的周长.【答案】(1)见解析(2)四边形CDFE的周长为11【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF(ASA)，则可证得结论；（2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAF=∠OCE，∵在△OAF和△OCE中∠OAF=∠OCEOA=OC∠AOF=∠COE，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OF=OE．（2）解：∵△AOF≌△COE，∴AF=CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∵BC=4，AB=3，OE=OF=2，∴C四边形CDFE =EF+DF+CE+CD=2OE +DF +AF +CD=2OE +AD +CD=4+4+3=11．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．【题型7 利用平行四边形的性质求最值】【例7】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ，若AC =5cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE =CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE =AC =5，∠EAB =∠CAD ，则∠EAC =∠EAB +∠BAC =∠DAC +∠BAC =∠BAD =90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．(2)如图2，在△ABC 中，∠ACB =90°，且AC +BC =4，求线段AB 的最小值．(3)如图3，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，且∠BOC =60°；AC +BD =10，则AD 是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD 的最小值及此时平行四边形ABCD 的面积．【答案】(1)12.5(2)(3)不是，52，4【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形AEC 的面积，从而可以得到四边形ABCD 的面积；（2）由勾股定理可得AB（3）由平行四边形的性质可得BO+CO=5，AD=BC，由勾股定理可求BC=可求BC的最小值，即可求解．【详解】（1）解：由题意可得，AE=AC=5，∠EAC=90°，则△EAC的面积=12×AE⋅AC=12×5×5=12.5(cm2)，即四边形ABCD的面积为12.5cm2，故答案为：12.5；（2）解：∵AC+BC=4，∴BC=4−AC，∵∠ACB=90°，∴AB∴当AC=2时，AB取最小值，最小值为（3）解：如图，过点B作BH⊥AC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，AD=BC，∵AC+BD=10，∴BO+CO=5，∴CO=5−BO，∵∠BOC=60°，BH⊥AC，∴∠OBH=30°，∴HO=12BO，BH==，∴CH=CO−HO=5−32BO，∵BC =∴当BO =52时，BC 有最小值52，即AD 的最小值为52，此时：BO =BC =52，∠BOC =60°，∴ △BOC 是等边三角形，∴S ▱ABCD =4S △BOC =4综上可知，AD 不是定值，AD 的最小值为52，此时平行四边形ABCD 的面积为4．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．【变式7-1】（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC 中，AB =BC =10，AC =12，D 是BC 边上任意一点，连接AD ，以AD ，CD 为邻边作平行四边形ADCE ，连接DE ，则DE 长的最小值为___________．【答案】9.6【分析】设AC,ED 交于点O ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，勾股定理求得OB ，等面积法求得OF ，根据垂线段最短，当点D 与点F ，重合时，OD 最小，进而求得DE 的最小值，即可求解．【详解】设AC,ED 交于点O ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，如图所示，在四边形ADCE 中，AO =CO ，EO =DO ，∵AB =BC =10，∴BO ⊥AC ，∵AC =12，∴AO =CO =6,在Rt △BOC 中，BO ==8，∵S △OBC =12CO ⋅BO =12BC ⋅OF ，∴OF =4.8，当点D 与点F ，重合时，OD 最小，∴ED 的最小值为2OD =9.6．故答案为：9.6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．【变式7-2】（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，BC =6，∠ABC =60°，BE 平分∠ABC ，点F 为BC 上一点，点G 为BE 上一点，连接CG ，FG ，则CG +FG 的最小值为_________．【答案】【分析】在AB 上取一点H ，使BH =BF ，则GF =GH ，所以CG +FG =CG +HG ，因此当C 、G 、H 在同一直线上，且CH ⊥AB 时，CG +FG =CG +HG 最小，最小值为CH ．【详解】在AB 上取一点H ，使BH =BF ，∵BE 平分∠ABC ，∴GF =GH ，∴CG+FG=CG+HG，∴当C、G、H在同一直线上，且CH⊥AB时，CG+FG=CG+HG最小，最小值为CH．∵BC=6，∠ABC=60°，∴∠BCH=30°，∴BC=2BH，BC=3，∴BH=12∴CH=故答案为：【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．，∠ACB=30°，AC⊥AB，【变式7-3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，AO=32点E在AC上，CE=1，点P是BC边上的一动点，连接PE、PA，则PE+PA的最小值是________．【分析】过点A作直线BC的对称点F，连接EF交BC于点P，此时PE+PA有最小值，最小值为EF的长，过点E作直线CF的垂线，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】解：过点A作直线BC的对称点F，连接AF、FC，连接EF交BC于点P，此时PE+PA有最小值，最小值为EF的长，∵点A与点F关于直线BC对称，∴CA =CF ，∠ACB =∠FCB =30°，则∠ACF =60°，∴△ACF 是等边三角形，∵在▱ABCD 中，AO =32，∴CF =AC =2AO =3，过点E 作直线CF 的垂线，垂足为点G ，∵∠ACF =60°，∴∠CEG =30°，∴CG =12CE =12，EG =2，∴FG =FC−CG =52，∴EF ==∴PE +PA【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】【例8】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =9cm ，BC =24cm ，E 是BC 的中点． 动点P 从点A 出发沿AD 向终点D 运动，动点P 平均每秒运动1 cm ；同时动点Q 从点C 出发沿CB 向终点B 运动，动点Q 平均每秒运动2 cm ，当动点P 停止运动时，动点Q 也随之停止运动．(1)当动点P 运动t (0<t <9)秒时，则PD =________；(用含t 的代数式直接表示)(2)当动点Q 运动t 秒时，① 若0<t <6，则EQ =________；(用含t 的代数式直接表示)② 若6<t <9，则EQ =________；(用含t 的代数式直接表示)(3)当运动时间t 为多少秒时，以点P ，Q ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？【答案】(1)9−t ；(2)①12−2t ；② 2t−12；(3)t 为3秒或7秒时．【分析】（1）根据题意得：AP =t ，AD =9，即可得出答案；（2）①若0<t <6，CQ =2t ，CE =12，即可得出EQ =12−2t ；② 若6<t <9，CQ =2t ，CE =12，即可得出EQ =2t−12；（3）分别从当Q 运动到E 和C 之间和当Q 运动到E 和B 之间，去分析求解即可求出答案．【详解】（1）解：根据题意得：AP =t ，AD =9，∴PD =AD−AP =9−t ，故答案为：9−t ；（2）解：①若0<t <6，CQ =2t ，CE =12BC =12×24=12，∴EQ =12−2t ，故答案为：12−2t ；② 若6<t <9，CQ =2t ，CE =12BC =12×24=12，∴EQ =2t−12，故答案为：2t−12；（3）解：如图所示：∵E 是BC 的中点，∴BE =12BC =12×24=12，① 当Q 运动到E 和C 之间时，设运动时间为t ，则：12−2t =9−t ，解得：t =3，② 当Q 运动到E 和B 之间时，设运动时间为t ，则：2t−12=9−t ，。
平行四边形的判定练习题
平行四边形的判定练习题在几何学中，平行四边形是指有四边形的对边两两平行的情况。
平行四边形具有特定的性质和判定方法。
本文将为您提供关于平行四边形的练习题，帮助您巩固对平行四边形的判定方法的理解。
题目一：判断以下四边形是否是平行四边形。
1. ABDC，其中∠ABC = 60°，∠BAD = 120°，AB = AD，BC = CD2. MNOP，其中MN = OP，NO = MP，∠MNO = 80°，∠NOP = 100°3. PQRS，其中∠PQR = 90°，∠SPQ = 40°，∠SPR = 100°，RS = PQ4. XYZW，其中XY = WZ，YZ ≠ XW，∠XYZ = 120°，∠WZY = 60°解答：1. 四边形ABDC满足两对对边平行的条件，且相邻内角互补（∠ABC + ∠BAD = 180°），因此是平行四边形。
2. 四边形MNOP满足两对对边平行的条件，但不满足相邻内角互补的条件，因此不是平行四边形。
3. 四边形PQRS满足对边平行的条件，但不满足相邻内角互补的条件，因此不是平行四边形。
4. 四边形XYZW满足对边平行的条件，但不满足相邻内角互补的条件，因此不是平行四边形。
题目二：已知ABCD是平行四边形，E为AD的中点，F为BC的中点，证明EF平行于AB和CD。
解答：由于ABCD是平行四边形，因此AB和CD是平行的。
根据平行四边形的性质，对角线的中点连线平行于两个相对边。
连接AE和BF，并延长AE和BF交于点G。
由于E是AD的中点，因此AE = ED；同理，由于F是BC的中点，因此BF = FC。
又因为平行四边形的两对对边分别平行，所以AE平行于BF。
根据平行线的性质，如果一条直线与一个平行线的一对内错角相等，则这条直线与这对平行线平行。
我们可以证明∠EAG = ∠CBF，且∠EGA = ∠CFB。
八年级数学下册《平行四边形的判定》练习题及答案解析
八年级数学下册《平行四边形的判定》练习题及答案解析一、选择题（共12小题）1. 下面几组条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是( )A. 一组对边相等B. 两条对角线互相平分C. 一组对边平行D. 两条对角线互相垂直2. 在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为( )A. 1cmB. 3cmC. 5cm或3cmD. 1cm或3cm3. 下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A. 一组对角相等B. 对角线互相平分C. 一组对边相等D. 对角线互相垂直4. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C运动，连接BM，CM，AN，DN，则在整个运动过程中，阴影部分面积和的大小变化情况是( )A. 不变B. 一直变大C. 先减小后增大D. 先增大后减小5. 在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动A(0,2)，B(0,4)，连接AC，BD，则AC+BD的最小值为( )A. 2√5B. 2√10C. 6√2D. 3√56. 如图，有a，b，c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线( )A. a户最长B. b户最长C. c户最长D. 三户一样长7. 在同一平面内，已知a∥b∥c，若直线a，b间的距离为3cm，直线a，c间的距离为5cm，则直线b，c间的距离是( )．A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 不确定8. 下列命题中，说法正确的是( )A. 所有菱形都相似B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似C. 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍D. 斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似9. 如图，已知直线a∥b，小王在直线a上任取5个点：P1，P2，P3，P4，P5，经测量发现它们到直线b的距离都是3cm；小丁在直线b上任取5个点：Q1，Q2，Q3，Q4，Q5，经测量发现它们到直线a的距离b也都是3cm．该操作反映了平行线的某种性质，下列对该性质的描述中，不正确的是( )A. 如果直线a∥b，那么直线a上任意一点到直线b的距离都相等B. 如果直线a∥b，那么直线b上任意一点到直线a的距离都相等C. 两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值D. 两条平行线中，一条直线上的任意一点与另一条直线上的任意一点之间的距离都是一个定值10. 平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )A. BE=DFB. AE=CFC. AF∥CED. ∠BAE=∠DCF11. 如图所示，l1∥l2，B，C是l2上的两点，A，D，E是l1上的三点，S△ABC记作S1，S△DBC记作S2，S△EBC记作S3，则( )A. S1>S2>S3B. S3>S2>S1C. S1=S2=S3D. 无法比较12. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和是( )A. 2019B. 2020C. 2021D. 2022二、填空题（共8小题）13. 下列四边形中，是平行四边形的是（请填写序号）．14. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加—个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是 .15. 一个四边形四条边顺次是a，b，c，d，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形是．16. 如图，a∥b，AB⊥b，CD⊥b，AB=4cm，则CD=．17. 已知直线a、b、c互相平行，直线a与b的距离是2厘米，直线b与c的距离是6厘米，那么直线a与c的距离是．18. 如图，已知AD∥BC，AB∥CD，过点A分别画直线BC，CD的垂线，垂足为点E，F．通过度量，可以得到平行线AD与BC间的距离为，平行线AB 与CD间的距离为．19. 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A(−2,1)，B(−3,−1)，C(1,−1)．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是．20. 如图，AD∥BC，E是线段AD上任意一点，BE与AC相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是1，则△BOC的面积是．三、解答题（共6小题）21. 已知：如图所示，C为线段BE上一点，AB∥DC，AB=EC，BC=CD．求证：∠A=∠E．22. 如图，已知点E，F分别在长方形ABCD的边AB，CD上，且AF∥CE．请分别度量AE与CF之间的距离，AF与CE之间的距离（精确到0.1cm）．23. 若两个角的两边分别垂直，其中一个角比另一个角的2倍少30∘，求这两个角的度数．24. 如图，已知E为平行四边形ABCD的边BC上的任一点，DE延长线交AB延长线于点F．试说明S△ABE=S△CEF的理由．25. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥DB，且CF=DE，连接AE，BF，EF．求证：AE=BF．26. 如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A(0,12)，B(a,c)，C(b,0)，并且a，b满足b=√a−21+√21−a+16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）求B，C两点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形?并求出此时P，Q两点的坐标；（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形?并求出P，Q两点的坐标．参考答案与解析1. B2. C3. B4. A【解析】连接MN，过F作WQ⊥AD于Q，交BC于W，过E作EH⊥AD于Q，交BC于P，∴QW=PH，∵AD∥BC，∴WQ⊥BC，∴S△MFD+S△FNC=12×MD×FQ+12×NC×FW=12×(MD+NC)×QW，S△AEM+S△BNE=12×AM×EH+12×BN×EP=12×(AM+BN)×PH，∴阴影部分面积=12×(AD+BC)×QW，∴阴影部分面积不变．5. B【解析】作A(0,2)关于x轴的对称点A′(0,−2)，过A′作A′E∥x轴且A′E=CD=2，故E(2,−2)，连接BE交x轴与D点，过A′作A′C∥DE交x轴于点C，所以四边形CDEA′为平行四边形，此时AC+BD最短等于BE的长，即AC+BD=A′C+BD=DE+BD=BE=√(2−0)2+(−2−4)2=2√10．6. D7. C8. D9. D10. B【解析】A．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；B．如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；C．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AF∥CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴AF∥CE且AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；D．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF，∴AE∥CF且AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意．11. C【解析】同底等高的三角形的面积相等．12. D 【解析】设正方形A，B，C围成的直角三角形的三条边长分别是a，b，c．如图，根据勾股定理，得a2+b2=c2，一次“生长”后，S A+S B=S C=1．第二次“生长”后，S D+S E+S F+S G=S A+S B=S C=1，推而广之，“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022×1=2022．13. ①②③14. 答案不唯一，如：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B= 180∘或∠C+∠D=180∘等.15. 平行四边形16. 4cm17. 4厘米或8厘米18. 4cm，5cm【解析】如图所示：通过度量，得到AE=4cm，AF=5cm，故平行线AD与BC的距离为4cm，AB与CD 的距离为5cm．19. (−6,1)，(2,1)，(0,−3)20. 421. ∵AB∥DC，∴∠B=∠ECD，在△ABC和△ECD中，{AB=EC,∠B=∠ECD, BC=CD,∴△ABC≌△ECD(SAS)，∴∠A=∠E（全等三角形的对应角相等）．22. 过点E作EH⊥AF于点H．经测量可得：AD=3.2cm，EH=1.3cm，则AE与CF之间的距离是 3.2cm，AF与CE之间的距离是 1.3cm．23. 设另一个角的度数为α，则这个角的度数是2α−30∘．因为两个角的两边分别垂直，所以α+2α−30∘=180∘或α=2α−30∘,解得α=70∘或α=30∘,所以2α−30∘=110∘或2α−30∘=30∘．故这两个角的度数分别是110∘，70∘或30∘，30∘．24. 提示：连接BD，因为AD∥BC，所以S△ABE=S△DBE，因为CD∥AF，所以S△EFD=S△BFC，所以S△BED=S△CEF，所以S△ABE=S△CEF．25. ∵CF∥BD且CF=DE，∴四边形CDEF是平行四边形，∴CD∥EF，CD=EF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴AB∥EF，AB=EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE=BF．26. （1）因为b=√a−21+√21−a+16，所以a=21，b=16，故B(21,12)，C(16,0)．（2）根据题意得：QP=2t，QO=t，则：PB=21−2t，QC=16−t，因为当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形，所以21−2t=16−t，计算得出：t=5，所以P(10,12)，Q(5,0)．（3） 当 PQ =CQ 时，过 Q 作 QN ⊥AB ，如图所示，根据题意得：122+t 2=(16−t )2，计算得出：t =72，故 P (7,12)，Q (72,0)，当 PQ =PC 时，过 P 作 PM ⊥x 轴，如图所示，根据题意得：QM =t ，CM =16−2t ，则 t =16−2t ，计算得出：t =163，2t =323， 故 P (323,12)，Q (163,0)．。
平行四边形的性质及判定专题练习
BE
A
M
C
D
【补充】已知平行四边形 ABCD ，BC 2AB ，M 为 AD 的中点，CE AB ．求证：EMD 3AEM ．
A
M
D
E
B
C
【例34】已知：如图，平行四边形 ABCD 中， AE、BE、CF、DF 分别平分 BAD 、 ABC 、 BCD 、
CDA ，BE、DF 的延长线分别交 AD、BC 于点 M、N ．连接 EF ，若 AD 7 ，AB 4 ．求 EF
A
E
D
G HO
B
F
C
【例27】如图， ACD 、 ABE 、 BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形．当 AB AC 时，证明四边 形 ADFE 为平行四边形．
F E
D
A
B
C
【例28】以 ABCD 的对边 AB 、CD 为边分别在外作等边 ABE 、等边 CDF ．求证： 四边形 AECF 是平行四边形．
A
D
E
B
C
【例10】如图， E 、 F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点， BE∥DF ，求证： AF CE ．
A
D
E
F
B
C
【例11】如图，平行四边形 ABCD 中， AE BD 于 E ， CF BD 于 F .求证： AE CF .
A
D
F
E
B
C
【例12】如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，DE 、AB 的延长线交于点 F ，连接 AE 、CF ．求 证： SABE SEFC ．
的长．
A
M
D
E
F
B
N
平行四边形的判定练习题含答案
平行四边形的判定及中位线知能点1 平行四边形的判定方法1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点3．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形4．如上右图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“∨”，错误的打“×”．（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________．6．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．8．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．10．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC•交EB于F，求证：EF=FB．知能点2 三角形的中位□线11．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．12．如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF•交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MN∥AD且MN=12 AD．13．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．14．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD•于E，•若OE=3cm，则AD的长为（）．A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm15．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，•则四边形EFGH是平行四边形吗为什么16．如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF的面积．规律方法应用17．如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，•并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少18．如图所示，在□ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BD的长度是多少你是怎样得到的19．如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．•试说明：（1）DE∥BC．（2）DE=12（BC-AC）．开放探索创新20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD•于E，EF∥BC 交AC于F，那么AE与CF相等吗请验证你的结论．中考真题实战21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD•为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，•则S四边形EFGH ：S四边形ABCD的值是_________．23．（南京）已知如图19-1-55所示，在Y ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1） △AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．答案:1．C 2．C 3．D4．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）×5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC．又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．7．证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=EF．8．证明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF．∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB//DC．又∵BE=AB，∴BE//DC，∴四边形BDCE是平行四边形．∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．同理，∠BDM=∠DMC．∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG// AD．在□ACED中，AD//CE，∴CE//BG．∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD=BC．∵CE=CD，∴AB//CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BF=FC，∴OF//12AB，即AB=2OF．12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．又∵EF∥AB，∴EF∥CD．∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．又∵M，N分别为Y ABEF和Y ECDF对角线的交点．∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线．∴MN∥AD且MN=12 AD．13．4 14．B15．解：EFGH是平行四边形，连接AC，在△ABC中，∵EF是中位线，∴EF//12 AC．同理，GH//12 AC．∴EF//GH，∴四边形EFGH为平行四边形． 16．解：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，DE=12AC，DF=12BC．又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．∴△EDF为直角三角形．∴S△EDF =12DE·DF=12×3×4=6（cm2）．17．解：∵M，N分别是AC，BC的中点．∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12 AB．∴AB=2MN=2×20=40（m）．故A，B两点间的距离是40m．18．解：连接DE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD．∵DF=12CD，AE=12AB，∴DF//AE．∴四边形ADFE是平行四边形．∴EF=AD=1cm．∵AB=2AD，∴AB=2cm．∵AB=2AD，∴AB=2AE，∴AD=AE．∴∠1=∠4．∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，∴∠1=∠A=∠4=60°．∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE．∵AE=BE，∴DE=BE，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°．∴∠ADB=∠3+∠4=90°．222221AB AD-=-3cm）．19．解：延长AD交BC于F．（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．在△ACD与△FCD中，∠ADC=∠FDC，DC=DC，∠ACD=∠FCD．∴△ACD≌△FCD，∴AC=FC，AD=DF．又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC．（2）由（1）知AC=FC，DE=12 BF．∴DE=12（BC-FC）=12（BC-AC）．20．解：AE=CF．理由：过E作EG∥CF交BC于G，∴∠3=∠C．∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．∵EF∥BC，EG∥CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．21．答案不唯一，如AB=CD或AD∥BC．22．1 223．解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴DF=12CD，BE=12AB，∴DF=BE，∴△AFD≌△CEB．（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD．由（1）得BE=DF，∴AE=CE，∴四边形AECF是平行四边形．。
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1.如图，•已知AD•∥BC，•要使四边形ABCD•为平行四边形，•需要添加的条件是_______．（只需填写一个）
2. 在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形.
3．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且OA=OC，AB∥DC，求证：四边形ABCD是
平行四边形。
4．如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE．求证：四边形ABCD•是平行四边形．
5、如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.
6．如图，已知四边形ABCD和四边形AEFD都是平行四边形，求证：四边形BCFE•是平行四边形．
7．有一个四边形的四边长分别是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd）.
求证：此四边形是平行四边形．
8.如图，已知ABCD，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且AE∥CF，求证：CE∥AF．
9．□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，求证：BE=DF
D
A B
C
O
F
E
O
D
A
CB
10．(变式练习1)如图，已知ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F，G，H分别是OB，OC，OD，
OA•的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．
11、(变式练习2)□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，BM=DN
求证：四边形MFNE是平行四边形
12. (变式练习3)如图，平行四边形ABCD中，E、F是AC上两点，且AE=CF，又点M、N分别在AB、CD上，
且MF∥EN，MN交AC 于O。求证：EF与MN互相平分。
13、(变式练习4)如图所示，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G
是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.
14. □ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，请你自行规定E、F在边AD、BC上的位置，然后补
充题设、提出结论并证明（要求：至少编制两个正确的命题，且补充题设不能相同）.
15.□ABCD中，DE平分∠ADC交AB于E，BF平分∠ABC交CD于F，
求证：（1）四边形 DEBF是平行四边形（2）DE=BF
16.(变式练习)□ABCD中，DE平分∠ADC交BC的延长线于E，BF平分∠ABC交
AB的延长线于F，求证：四边形 DEBF是平行四边形
F
E
C
D
B
A
N
M
F
E
O
D
A
CB
F
E
C
D
B
A
17.已知：如图所示，在ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，求证四边形AECF是平行四边形.
18. (变式练习1)如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、
CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？
19. (变式练习2)如图，E、F分别为口ABCD的边AD、BC的中点。求证：（1）BE=DF；（2）O为GH的中点。
20．如图，已知ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，求证：EF=BC．
21．(变式练习)如图，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出
平行四边形，并选择其中一个平行四边形，说明它是平行四边形的理由．
22.□ABCD中，E在AB上，F在CD上，且AE=CF,
求证：（1）四边形DEBF是平行四边形（2）DE=BF
23.□ABCD中，E在AB上，F在CD上，且AE=CF,M为DE中点，N为FB中点,求证：FM=NE ME=NF
24.□ABCD中，E在AB上，F在CD上，且AE=CF,求证：FM=NE ME=NF
EFCDBA
N
M
EFCDBA
N
M
EFCDBA
A
B
C
F
D
G
H
E
O
25.如图所示，BD是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：四边形AECF为平行四边
形.
26.如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F
(1)求证：△ABE≌△DFE；(2)试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．
27．如图，已知ABCD，分别延长BC，DA至点E，F，如果∠E=∠F.
求证：四边形FBED是平行四边形．
28、 已知如图：在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，
则线段AC与EF是否互相平分？说明理由.
29.如图所示，已知点D是△ABC的边AB上的中点，点E是AC上的一点，DF∥BE,EF∥AB,证明：AE、DF
互相平分
30.如图14，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，
DF∥BE． 求证：（1）⊿AFD≌⊿CEB．（2）四边形ABCD是平行四边形．
31.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，
AF=CE，EF与对角线BD相交于点O，求证：O是BD
的中点．
F
D
BC
A
E
A
D F C B E
32.如图，已知AC∥DE且AC=DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的
中线，•求证：四边形AGDF是平行四边形．
33．如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线，△BME是△AMD绕点M按顺时针方向旋转180°得到的，连
结AE，求证：DE=AC．
34.如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
35.如图所示，某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，EF=FC，甲、乙两人同
时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F，乙乘2路，路线是B→D→C→F，假设两车速
度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由.
36.在平行四边形ABCD中，BN＝DM，BE＝DF，求证：四边形MENF是平行四边形.
37如图，在ABCD中，AB=2AD，延长AD到F,使DF=AD,再延长DA到E,使AE=AD,求证:BF⊥CE.
38．如图19－1－29，ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作两条直线分
别与AB，BC，CD，AD交于G，F，H，E四点。求证：四边形EGFH是平行四边形。
39．如图19－1－30，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，
等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。求证：四边形ADEF是平行四边形。
40．如图19－1－31，在ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F，点G，
H分别为AD，BC的中点，试证明EF和GH互相平分。
41.如图3，在ABC△中，D是BC边的中点，FE，分别是AD及其延长线上
的点，CFBE∥，连结BFCE，，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并
说明理由。
42.如图2，平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH，试说明：
EF与GH相互平分．
图3