超空间2 X的连通性及其相关性质
距离空间连续映射的证明
距离空间连续映射的证明距离空间连续映射的证明在数学中，映射的连续性是一种重要的性质，它描述了函数在输入和输出之间的关系的平滑度和连贯性。
而当我们考虑距离空间中的映射时，连续性的概念也具有很高的实用性和意义。
本文将讨论距离空间连续映射的证明，通过深入和广阔地探讨这一主题，我将帮助你全面理解并掌握这一重要的数学概念。
1. 什么是距离空间？距离空间是一种数学结构，它描述了一个集合中任意两个元素之间的距离关系。
在距离空间中，距离函数被定义为一个满足一定条件的函数，它度量了两个元素之间的距离。
常见的距离函数有欧几里得距离、曼哈顿距离等。
2. 什么是连续映射？在数学中，映射是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则或方法。
而连续映射是一种满足一定条件的映射，它在输入和输出之间保持了某种程度的连续性和一致性。
简言之，连续映射的特点是，当输入的元素趋于接近时，输出的映射值也趋于接近。
3. 距离空间连续映射的定义现在，我们将考虑距离空间中的连续映射的定义。
设X和Y是两个距离空间，f是从X到Y的映射。
若对于X中的任意一个元素x以及任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当距离函数d(x,y)<δ时，都有距离函数d(f(x),f(y))<ε成立，那么我们称f是一个连续映射。
4. 距离空间连续映射的证明现在，我们来证明距离空间中的连续映射的性质。
对于给定的x和ε，我们需要找到一个δ来满足连续映射的定义。
证明思路如下：- 假设f是一个距离空间X到Y的连续映射。
- 假设存在x0 ∈ X和ε > 0，使得对于任意的δ > 0，存在y0 ∈ X，使得d(x0, y0) < δ，但是d(f(x0), f(y0)) ≥ ε。
- 推导出矛盾，得到f不是连续映射的结论。
通过这个证明，我们可以清楚地看到连续映射的定义与性质之间的关系。
这样的证明方法，在数学中被广泛使用，它以简练的逻辑推理和严密的证明步骤，为我们解释了距离空间中连续映射的重要性和特性。
遗传σ-ortho紧空间、超空间c（d，x）的性质及刻画
成都理工大学硕士学位论文遗传σ-ortho紧空间、超空间C（D，X）的性质及刻画姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20100501摘 要I遗传ortho σ-紧空间、超空间(,)C D X 的性质及刻画作者简介：李焱，男，1985年7月生，师从成都理工大学曹金文教授，2010年6月毕业于成都理工大学应用数学专业，获得理学硕士学位。
摘 要本论文回答了关于ortho σ-紧空间遗传性的一个问题，获得了遗传ortho σ-紧空间的等价刻画，并且研究了超空间(,)C D X 的一些性质，得到以下主要结论：1.X 是遗传ortho σ-紧空间当且仅当X 的每一个散射分解有一个σ-内部保持的开膨胀。
2.X 是拓扑空间，下列各条等价：(1)X 是遗传ortho σ-紧空间；(2)X 的每个单调递减的闭集族{}:F ααγ<有一个-σ内部保持的开集族n n ω∈=V V 使得对αγ∀<，{}:X F V V F αα-=∈=∅V ；(3)X 的每个单调递增的开集族{:}U ααγ=<U 有一个-σ内部保持的开加细n n ω∈=V V 使得αγ∀<，{}:U V V U αα=∈⊂V 。
3. 设X ，Y 是连续统，映射:f X Y →是合流的当且仅当对任意()D C X ∈，有((,))((),)f C D X C f D Y ∧=。
4. 设X ，Y 是连续统，:h X Y →是同胚映射，那么，我们则有(,)((),)C D X C h D Y ≈。
5. 设X 是连续统，若()D C X ∈，使得对任意的,(,)A B C D X ∈，有A 和B 是可比的，那么(,)C D X 是弧。
6. 设X 是连续统且()D C X ∈，则(,)C D X 的割集既不是D 也不是X 。
7. 设X 是连续统，()D C X ∈，假设(,)A C D X ∈使得D A X 。
那么，A成都理工大学硕士学位论文终止于D 当且仅当A 是(,)C D X 的割集。
关于H-连通空间及Brouwer度的一些研究的开题报告
关于H-连通空间及Brouwer度的一些研究的开题报告 题目：关于H-连通空间及Brouwer度的研究 摘要：本文主要研究H-连通空间及Brouwer度的相关概念和性质，结合算例和图像阐述其关系和应用。首先介绍了H-连通空间的定义和一些基本性质，包括连通性，路径连通性和简单连通性等。接着引入了Brouwer度的概念，讨论了其基本性质及计算方法，并给出了一些典型例题的解法。最后，我们讨论了H-连通空间的Brouwer度问题，探究了它们之间的关系，给出了一些针对不同情况的结论和算例，从而揭示了H-连通空间和Brouwer度在拓扑学中的重要性和应用价值。
关键词：H-连通空间，Brouwer度，连通性，路径连通性，简单连通性，计算方法，应用价值
正文： 一、H-连通空间 H-连通空间是指满足某些特殊条件的拓扑空间，通常与连通性，路径连通性和简单连通性等概念密切相关。正式地定义为：设X为一个非空拓扑空间，若对于任意闭子集A和B，使得X-A和X-B是不连通的，则称X是H-连通的。
H-连通空间的一个重要性质是：若X是H-连通的，则X的每个连通分支都是H-连通的。因此，有时我们可以只研究X的一个连通分支来描述它的H-连通性质。
另一个重要性质是：一个拓扑空间是H-连通的当且仅当其基本群是H-连通的。 二、Brouwer度 Brouwer度是拓扑学中一个重要的度量概念，常用于对拓扑空间的复杂性进行描述。它定义为：设X为一个拓扑空间，若存在一种映射f:X→S^n，使得其中的n为正整数，且f的任何可缩闭合轨道都经过两个以上的点，则称X的Brouwer度为n，记为Br(X)=n。同时，称任意满足上述条件的映射f为具有Brouwer度n的映射。
Brouwer度具有一些基本性质：对于任意同胚空间X和Y，它们的Brouwer度相等；X的闭子集Y的Brouwer度不超过X的Brouwer度；X的Brouwer度不超过其基本群的指数等。另外，计算Brouwer度的方法有很多，比如用拓扑间断续函数的不动点性质计算等等。
数学上连通的定义
数学上连通的定义数学上的连通，又称作集合连通或空间连通，是指一个集合中任意两点之间可以通过某种关系连通起来，使它们位于同一个集合，具有同样的属性。
在几何学中，它用于描述物体的形状和空间关系。
它的定义和表达方式可能因上下文的不同而有所变化，但用于表示几何实体的连通性具有一般意义。
比如，在几何学中，连通性可以用不同的方式来表示。
以二维为例，一个集合是连通的，如果它的任意两点之间均可以通过一段真实的直线把它们连接起来。
在三维几何中，可以用真实的空间直线、曲线或者曲面等来使所有点连接在一起。
同理，在更高维空间中，可以使用相对应的超平面或超曲面来表示连通的属性。
然而，一个集合的连通性可能随着上下文的改变而有所差异，比如在流体力学中，如果集合中的点之间可以多重连接就会定义为连通。
在数学中，连通性也可以用于描述一个集合中的特性，这种情况常用于表示一个空间中的对称性。
比如，在几何学中，当一个集合A 中的任意元素都可以通过某种变换转换到集合B中的某个元素，就可以认为A和B是连通的。
此外，连通性还可以表示一个集合中的网状结构，即一些点都连接在一起，可以形成不同的模型结构。
这种网状结构可以有不同的形式，比如树状结构、环状结构、星状结构等等，可以用来描述正则图形的结构和拓扑关系。
最后，连通性也可以被用于表示某一集合中各个元素之间的联系，或者用于描述某一系统中组件之间的关系。
比如在物理系统中，可以使用连通性来描述某一物理系统中各种力学组件之间的关联。
总之，连通性是一个广义的概念，应用于各个领域，可以表达不同的概念。
它的定义可能会因具体的场景而有所变化，但表达的意思总是清晰明确，有助于我们研究和探讨系统中物体或元素之间的关系。
拓扑空间开集闭集闭包聚点邻域
第一章拓扑空间与拓扑不变量数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分.本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射.然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射.随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等.进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性§1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域一、问题的引入数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,…，x n),Y=(y1,y2,…，y n) 之间的距离d(x,y)= .无论是几维空间，它的距离都有下面的性质：1. d(x,y)≥0 , ∀x,y∈n R;2. d(x,y) = 0 ⇔x = y ;3. d(x,y) = d(y,x) ∀x,y∈n R;4. d(x,z) ≤d(x,y) + d(y,z) , ∀x,y,z∈n R; 这些性质反映了距离的特征.将n R推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义. （一）度量空间1.定义定义1 设X是一个集合，ρ：X×X→R ,如果对于任何x,y,z∈X,有①（正定性）ρ（x,y）≥0 并且ρ (x,y) = 0 ⇔x = y ；②（对称性）ρ (x,y) = ρ (y,x) ；③（三角不等式）ρ (x,z) ≤ρ (x,y) + ρ (y,z)则称ρ是集合X中的一个度量.如果ρ是集合X中的一个度量，则称偶对（X，ρ）是一个度量空间，或径称X 是一个度量空间.而ρ（x,y ）称为从点X 到点Y 的距离.2. 度量空间举例例2.1.1 实数空间R对实数集合，定义ρ：R×R →R 如下：∀x,y ∈R ，令ρ（x,y ）=|x-y| ,易知ρ是R 的一个度量.因此（R,ρ）是一个度量空间.可见，度量空间是实数空间的推广，度量是距离的推广.例2.1.1 n 维欧式空间n R对实数集合R 的n 重笛卡尔积n R =R×R×…×R ，定义ρ：n R ×n R →R 如下：对任意两点x=(x 1 ,x 2,…，x n ),Y=(y 1,y 2,…，y n ) ∈n R ，令ρ（x,y ）=可以验证ρ是n R 的一个度量，偶对（n R ，ρ）称为n 维欧氏空间.有时径称n R 为n 维欧氏空间.n=2时，2R 常称为欧氏平面或平面.例2.1.2 Hilbert 空间H记H 是平方收敛的所有实数序列构成的集合，即H={ x=(x 1 ,x 2,…，x n ) | x i ∈R, i ∈Z + , 21i i x∞=<∞∑ },定义ρ：H×H →R 如下：对于任意x=(x 1 ,x 2,…，x n ),Y=(y 1,y 2,…，y n ) ∈H ，令ρ（x,y ）=.这个定义的合理性及验证<∞以及验证ρ是H 的一个度量，可见P 49 附录.因此（H, ρ） 是一个度量空间，称为Hilbert 空间.例2.1.3 离散的度量空间设（X, ρ）是一个度量空间，称（X, ρ）是一个离散的度量空间或称ρ是一 个离散的度量，如果对每一个x ∈X,存在一个实数0x δ>使得ρ（x,y ）>x δ ,对任何y ∈X ，y ≠ x 成立.如，设X 是一个集合，定义ρ：X×X →R ,使得对于任何x,y ∈X,有0(,)1x y x y x yρ=⎧=⎨≠⎩若若 , 易知ρ 是X 的一个离散度量，度量空间（X, ρ）是离散的.思考题例2.1.5 令X= C ([a,b]) = {f: [a,b]→R |f在[a,b]上连续}，并且对于任意的f , g ∈C ([a,b]),令d(f,g)=⎰b a|f(x)-g(x)|dx, d是C ([a,b])的度量吗？（答案：d是C ([a,b])的度量，因此（C ([a,b])，d）是一个度量空间）3.邻域、开集⑴度量空间的球形邻域及其基本性质定义2. 设（X, ρ）是一个度量空间，x∈X, 对于任意的ε>0，B（x,ε）={y∈X |ρ（x,y）< ε} 称为以x为中心，ε为半径的球形邻域，也称为x的一个ε邻域，也记作Bε(x) .定理1.0.1 度量空间（X, ρ）的球形邻域具有以下性质：①每一点x∈X至少有一邻域，并且x属于它的每一个邻域；②对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；③如果y∈X属于x的某个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域.证明：……⑵度量空间的开集及其基本性质定义3. 设X是一个度量空间，A⊂X，如果,0都，使B(a,ε)∀∈∃>a Aε⊂X ，则称A是X的一个开集.由定理2.1.1的③知，X的球形邻域都是开集.例2.1.7 实数空间R中的开区间都是开集，而半开半闭区间、闭区间都不是开集.两个开区间的并也是开集.可见，度量空间的开集是实数空间开区间的推广.定理1.0.2 度量空间X的开集具有以下性质：①集合X本身和空集Ф都是开集；②任何两个开集的交是开集；③任何一个开集族的并是开集.证……推论U是度量空间的开集的充分必要条件是U是这个空间中若干个球形邻域的并.⑶度量空间中点x的邻域---球形邻域的推广定义4. 设X是一个度量空间，x∈X,U⊂X，如果存在开集V使x∈V⊂U，则称U是x的一个邻域.注：有定义可知，开集V是它的每一点的邻域，但邻域却不一定是开集.如[0，2]是1 的邻域，但它不是开集.定理1.0.3 设X是一个度量空间，x∈X,U⊂X，则U是x的一个邻域⇔存在B(x,ε)⊂U.证明：……本定理为邻域提供了一个等价说法.推论X是一个度量空间，U⊂X，则U是X的一个开集⇔U是其内每一点的邻域.证由定义2.1.3和定理2.1.3 .（二）度量空间之间的连续映射定义5 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y，以及x0∈X，如果对于f (x0)的任何一个球形邻域B(f(x0),ε)，存在x0的某一个球形邻域B(x0，δ)使得f (B(x0，δ))⊂B(f(x0),ε)，则称映射f在x0处是连续的.如果映射f 在X的每一点连续，则称f 是一个连续函数.显然这个定义是数学分析中连续函数定义纯粹形式上的推广.定理1.0.4 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y，则①f在x0点处连续⇔ f (x0)的每一个邻域的原像是x0的一个邻域；② f 是连续的⇔Y中每个开集的原像是 X中的开集.证明：①“⇒”若f在x0点处连续，设U为f (x0) 的一个邻域，据TH2.1.3，有B(f(x0),ε)⊂U，因为f在x0点处连续，所以存在B(x0，δ)使得f (B(x0，δ))⊂B(f(x0),ε)，然而f-1 [B(f(x0),ε)]⊂f-1(U)，而B(x0，δ)⊂ f-1 [B(f(x0),ε)]，所以B(x 0，δ) ⊂ f -1(U)，这说明f -1(U)是 x 0的一个邻域 .“⇐” 设f (x 0)的每一个邻域的原像是x 0的一个邻域，任给f (x 0) 的一个邻域B(f(x 0),ε)，则f -1 [B(f(x 0),ε)]是x 0的一个邻域，据TH2.1.3，x 0有一个球形邻域B(x 0，δ) ⊂ f -1 [B(f(x 0),ε)]，因此f[ B(x 0，δ)] ⊂ B(f(x 0),ε)，所以f 在x 0 点处连续.② “⇒”设f 连续，令V 为Y 中一开集，U= f -1(V ),对于每一个x ∈U ，则f(x) ∈V ，由于V 是开集，所以V 是f(x)的一个邻域，由于f 在每一点x 连续，故由①知U 是x 的一个邻域，由上面的推论知，U 是开集.“⇐”设Y 中每个开集的原像是 X 中的开集，下证f 在任一点x ∈X 连续.设U 是f(x)的一个邻域，即存在开集V 使f(x) ∈V ⊂U ，从而x ∈f -1(V)⊂ f -1(U),由条件f -1(V) 是 X 中的开集，所以f -1(U) 是x 的一个邻域，于是①中必要条件成立.所以f 在点x ∈X 连续.由于x 的任意性，所以f 是连续映射.二、拓扑空间、开集、闭集参照度量空间中开集的基本性质（TH1.1.2） 建立拓扑空间定义1.1.1 设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族，如果T 满足如下条件： ① X ,Ф∈T ； ② 若A,B ∈T ，则A ∩B ∈T ；③ 若T 1 ⊂ T ，则1A A ∈∈ T T . 则称T 是X 的一个拓扑.若T 是X 的一个拓扑，则称偶对（X, T ）是一个拓扑空间，或称集合X 是相对于拓扑T 而言的拓扑空间；或T 不需指出时，径称集合X 是一个拓扑空间.T 中每一个元素叫做拓扑空间（X, T ）或X 中的一个开集；开集的补集称为闭集.说明：⑴ 条件②蕴含着：当n > 1时若A 1 ，A 2 ，… …， A n ∈T ,则A 1∩A 2∩… …∩A n ∈T .（但对无限交不一定成立，见后面的例）⑵ ②、③两条常被称为关于有限交、无限并封闭；⑶ 当T 1 =Ф时，1A A φ∈=∈ T T , 这一点在①中已有规定，因此以后验证③成立只需对T 1 ≠Φ验证即可；⑷ 有拓扑空间的定义和度量空间开集的基本性质知，度量空间都是拓扑空间.关于这一点还有下面的定义：定义1.1.2 设（X, ρ）是度量空间.令T ρ 是由X 中的所有开集构成的集族，据TH1.0.2，T ρ 是X 的一个拓扑.我们称T ρ为X 的由度量ρ诱导出来的拓扑.约定：说度量空间（X, ρ）的拓扑时，如果没有另外说明，就指T ρ ，称其为拓扑空间时就指（X, T ρ） .因此，实数空间R ，n 维欧氏空间R n (特别，欧氏平面R 2),Hilbert 空间H 都可以叫做拓扑空间，其拓扑就是其各自的通常度量诱导出来的拓扑.在实数空间中，（11,a a n n -+）是开集，但11(,){}n Z a a a n n∈+-+=不是开集.这说明无限个开集的交不一定是开集.定理1.1.1 设X 是一个拓扑空间，记F 为所有闭集构成的集族.则： ① X,Ф∈F ； ② 如果A,B ∈F ，则A,B ∪F ；① 如果Ф≠F 1 ⊂ F ，则1A A ∈∈F F .证明 ① 由于X,Ф∈T ，所以Ф=X ′，X=Ф′∈F .② 当A,B ∈F 时，有 A ′,B ′∈T ，从而A ′∩B ′∈T ，因此A ∪B = A 〞∪B 〞=（A ′∩B ′）′∈F .③ 令T 1 ={A |A ′∈F 1 },于是T 1⊂ T ，因此1U U ∈∈T T ，从而1111''()()A A A U A A A U ∈∈∈∈'''===∈F F F T F .证毕.注：⑴ ②蕴含着，n>1时，A 1，A 2，…，A n 是闭集，则A 1∪A 2∪…∪A n 也是闭集.即闭对有限并封闭； ⑵ ③中要求F 1≠Ф，因为F 1 =Ф时，1A A ∈F 无意义.例1. 平庸空间设X 是一个集合，令T ={X ,Φ}，容易验证T 是X 的一个拓扑，称为X 的平庸拓扑，称 （X ，T ）为平庸空间.在平庸空间中，有且只有两个开集：X ,Φ；有且只有两个开集：X ,Φ.例2.离散空间设X 是一个集合，令T =P (X)，易知T 是X 的一个拓扑，称为X 的离散拓扑，称（X ，T ）为离散空间.在离散空间中，每一个子集都是开集，每一个子集都是开集.离散空间可以记作（X ，P (X)） .例3. 设X={a,b,c},令T ={Φ ,{a} ,{a,b},X },可以验证T 是X 的一个拓扑，因此（X ，T ）为一个拓扑空间.它既不是平庸拓扑，又不是离散拓扑.说明： 对X={a,b,c}，可以为其构造出29个拓扑，其中平庸拓扑最小，离散拓扑最大.可见对同一个集合，它可以有不同的拓扑.例4.有限补拓扑空间设X 是一个集合，令T ={U ⊂ X | U' 是X 的一个有限子集 }∪{Φ}. 易验证T 是X 的一个拓扑，称其为X 的有限补拓扑，（X ，T ）称为有限补拓扑空间.下面验证T 满足拓扑定义中的③成立设T 1 ⊂ T ，若T 1 = Φ，则1A A φ∈=∈ T T ；若存在A 0≠Ф, A 0∈T 1 ,则110)(A A A A A ∈∈'''=⊂ T T 是X 的有限子集，所以1A A ∈∈ T T .所以③成立.问题：当X 是一个有限集合时，X 的有限补拓扑空间又是已知的什么拓扑空间 ？例5. 可数补拓扑空间设X 是一个集合，令T ={U ⊂ X | U' 是X 的一个可数子集 }∪{Φ}. 易验证T 是X 的一个拓扑，称其为X 的可数补拓扑，（X ，T ）称为可数补拓扑空间.（课下验证）问题：当X 是一个可数集合时，X 的可数补拓扑空间又叫做什么拓扑空间 ？（离散拓扑空间） .当X 是有限时，与什么空间是同一个空间？（有限拓扑空间）三、邻域与邻域系、聚点、导集，闭集，闭包1. 邻域邻域系的定义定义1.1.3 设（X ,T ）是一个拓扑空间，x ∈X,U ⊂ X ,如果存在开集V ∈T 使得x ∈V ⊂ U ，则称U 是x 的一个邻域.点x 的所有邻域构成的集族称为点x 的邻域系.由定义，若U 是包含x 的开集，那么它一定是x 的一个邻域，称U 是点x 的一个开邻域.说明：由于X 的子集A 是X 作为度量空间的开集与A 是X 作为拓扑空间的开集是一回事，所以包含x 的集合U 是X 作为度量空间x 的邻域⇔U 是X 作为拓扑空间x 的邻域.定理1.1.2 X 是一个拓扑空间， U ⊂X ， 则U 是X 的一个开集⇔U 是其内每一点的邻域.证明：“⇒”显然.“⇐” 若U =Φ，则结论成立.若U ≠Φ，由条件对每一个x ∈U ，存在开集V x 使x ∈V x ⊂U ，因此{}x x U x U U x V U ∈∈=⊂⊂，所以x x U U V ∈= 为开集.推论 U 是X 的一个开集 ⇔ U 可以表示为开邻域之并.2. 导集，闭集，闭包的概念定义1.1.4 设X 是拓扑空间，A ⊂X ，x ∈X ，如果对x 的每一个邻域U 都有U ∩(A-{x})≠Φ,则称点x 是集合A 的一个聚点.集合A 的所有聚点构成的集合称为A 的导集，记作d(A).如果x ∈A ，并且x 不是A 的凝聚点，既存在x 的一个邻域U 使得U ∩(A-{x})=Φ，则称点x 是集合A 的一个孤立点.集合A 与A 的导集d(A)的并A ∪d(A)称为集合A 的闭包，记作A 或A -.即A = A ∪d(A) .说明 (1)A 的孤立点一定的属于A ，但A 的极限点不一定属于A ；(2)凝聚点、孤立点、导集都是相对于X 的某个拓扑而言的，它与拓扑有关. 因此在谈这些问题时一般都需要明确是相对于那个拓扑来说的.同时也可知：(3) 欧氏空间中有关这几个概念的结论在一般拓扑空间中不见得的成立.(4)若A ⊂d(A)，则称 A 为自密集，若A =d(A)，则称A 为完全集.若d(A)∩A=Φ，则称A 为孤立点集.(5)在离散空间中，由于d(A)=Φ，既没有任何极限点，所以任何子集都是闭集.（我们已知任何子集是开集）.而在平庸空间中，d({x.})=X-{x.}，若A 多于一个点，则d(A)=X，所以在平庸空间中任何真子集都不是闭集3. 导集，闭集，闭包的性质定理1.1.3 设X是一个拓扑空间A⊂X，则①d(Φ)=Φ②若A⊂B，则d(A)⊂d(B)③d(A∪B) =d(A)∪d(B) ④d(d(A))⊂A∪d(A)证明①由于对于每一点x∈X和点x的任何一个邻域U有U∩(Φ-{x})=Φ,所以x∉d(Φ),因此d(Φ)=Φ .②如果x∈d(A),U是x一个邻域,由于U∩(A-{x})≠Φ,所以U∩(B-{x}) ≠Φ，因此x∈d(B).这证明了d(A)⊂ d(B) .③据②及A,B⊂ A∪B得知d(A)，d(B)⊂ d(A∪B)，所以d(A)∪d(B)⊂d(A∪B)，下证d(A∪B)⊂ d(A)∪d(B) .设x∈d(A∪B)，则对x的任何一个邻域U有U∩(A∪B -{x})≠Φ，即U∩[(A-{x})∪(B-{x})]= [U∩(A-{x})]∪[U ∩(B-{x})]≠Φ，所以U∩(A-{x})≠Φ或U∩(B-{x})≠Φ，所以x∈d(A)或x ∈d(B)，所以x∈d(A)∪d(B)，所以d(A∪B) = d(A)∪d(B) .④设x∉ A∪d(A)，则 x∉A 且 x∉d(A) ，所以存在x的一个邻域U 使U ∩(A-{x})=Φ，任意选取x的一个开邻域V，使得V⊂U ，这是我们也有V∩(A-{x})=Φ ,由于x∉A ，所以V∩A =Φ，这也就是说，V中的任何一个点都不是A中的点，因此对于任何y∈V，有V∩(A-{y})=Φ,由于V是y的一个邻域，因此y不是A的凝聚点，即y∉d(A) .这说明V中没有A的任何一个凝聚点.于是x有一个邻域V与A的导集d(A) 无交，即V∩d(A)=Φ，所以V∩（d(A)-{x}）=Φ，所以 x∉d(d(A)).将以上给出的论证概括起来便是：只要x∉ A∪d(A)，便有x∉d(d(A))，这就是说d(d(A))⊂A∪d(A) .证毕.注：d(d(A))⊄d(A)，d(A)⊄ d(d(A)).定理1.1.4 设X是一个拓扑空间，A⊂X，则A是闭集⇔d(A)⊂A.证明“⇒”设A是闭集，则A'是开集，如果x∉A，则x∈A'，则A'是x的一个邻域，它满足条件：A∩A'=Ф，因此x∉d(A).于是我们有d(A)⊂A.“⇐”设d(A)⊂A.如果x∈A' ，则x∉A，所以x∉d(A)，由聚点的定义x有一个邻域U 使U ∩(A-{x})=Φ，从而U ∩A=Φ，也即U ⊂ A'，这证明，对于任何x ∈A'，A'是x 的一个邻域，因此A'是开集.定理1.1.5 拓扑空间X 的子集A 是闭集 ⇔ A A = .证 A 为闭集⇔ d(A) ⊂A ⇔ A ∪d(A)=A,即A A = .定理1.1.6 X 是拓扑空间，对于任意的集合A,B ⊂X ，有① φφ= ； ② A A ⊂ ； ③ A B A B = ； ④ A A =证明 … …用到 d(A ∪B) =d(A)∪d(B) 和d(d(A))⊂A ∪d(A)定理1.1.7 拓扑空间X 的任何一个子集A 的闭包都是闭集.定理1.1.8 设X 是拓扑空间，F 是由空间X 中所有的闭集构成的族，则对于X 的每个子集A ，有,B B A A B ∈⊃=F .即集合A 的闭包等于包含A 的所有闭集之交.证明 由于A 包含于,B B A B ∈⊃F ，然而后者是一闭集，所以,B B A A B ∈⊃⊂F ；另一方面，因为A 是闭集，并且A A ⊂ ，所以,B B A B A ∈⊃⊂F ，所以,B B A A B ∈⊃=F .说明 因A 是包含A 的闭集，而由定理，又包含于任何一个包含A 的闭集之中.因此我们有结论：一个集合的闭包是包含着这个集的最小闭集.定理1.1.4 设X 是一个拓扑空间，A ⊂X ，则 φ≠U A ；⑵(()())A B A B d A d B ⊂⊂⊂若，则；⑶ A B A B ⊂ ，由⑵可得.一个令人关心的问题是，是否拓扑空间真的要比度量空间的范围更广一点？ 换句话说，是否每一个度量空间都可以由某一个度量诱导出来？定义2.2.3 设（X ，T ）是拓扑空间.如果存在X 的一个度量ρ使得拓扑T 就是由ρ诱导出来的拓扑T ρ ，则称（X ，T ）是一个可度量化空间.注： ⑴是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？ 回答是否定的.因为由§2.1习题2可知，每一个只含有限点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间.然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量的.例2.2.3给出的拓扑空间含三个点，但不是离散空间，就不是可度量化的；⑵ 由此看来，拓扑空间确实比度量空间范围更广；⑶ 拓扑空间在什么条件下可度量化？后面将由专门讨论.二 拓扑空间之间的连续映射及同胚1. 拓扑空间之间的连续映射及性质定义2.2.4 设X 、Y 是两个拓扑空间，f:X →Y ,如果Y 中每个开集U 的原像f -1(U )是X 中的一个开集，则称f 是从X 到Y 的一个连续映射，或简称映射f 连续.问题：常值映射连续吗？——连续.可见连续映射不一定是一一映射.注 设X 、Y 是两个度量空间，f:X →Y 连续.由于视X,Y 为拓扑空间时，其开集与X,Y 作为度量空间时的开集一样，所以由该定义和Th2.1.4知，X,Y 都作为拓扑空间时，f:X →Y 也连续.可见拓扑空间的连续是度量空间之间连续的推广.定理2.2.1 设X 、Y 、Z 是拓扑空间，则② 恒同映射i X ：X →X 是一个连续映射；③ 如果f:X →Y 连续，g:Y →Z 连续，则g.f ：X →Z 也连续.证明 ①如果U 是X 的一个开集，则1()X i U =U,当然也是X 的开集，所以i X连续.② 设f:X →Y 连续，g:Y →Z 连续，设W 是Z 的开集,由于g 连续，所以g -1(W)是Y 中开集；又因为f 连续，所以f -1[g -1(W)]是X 中的开集.因此（g.f ）-1（W ）=f -1[g -1(W)]是X 中的开集.这证明g.f 连续.2. 拓扑空间之间的同胚及性质在数学的许多学科中都涉及两类基本对象.例如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合与映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等.并且对于后者都要提出一类予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，群论中的同构，集合论中的一一映射，以及初等几何中的刚体运动（即平移加旋转）等等，我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射.下面将从连续映射中挑出一类予以关注.这就是同胚映射.定义2.2.5 设X 和Y 都是拓扑空间，如果f:X →Y 是一个一一映射，并且f 和f -1 都连续，则称f 是一个同胚映射或同胚.注：⑴ 直观上说，f 连续表示不撕裂， f -1 连续表示不粘连.f:X →Y 是一个同胚，表示X 到Y 不撕裂、不粘连.⑵ 映射f 是一一映射，一定连续吗？不见得连续.如，设f:Q →Z + 是一一映射（因为有从Q →Z +的单射，也有从Z +→Q 的单射，据定理1.7.9有这样的一一映射f ）若取Q 的拓扑为平庸拓扑，Z +的拓扑为离散的拓扑，则f 不连续.⑶ 连续的一一映射一定同胚吗？不一定.如，令X=R n ,取它的拓扑为离散拓扑，Y= R n ,取它的拓扑为通常度量诱导的拓扑.映射:n R i X Y →是连续的、一一的，但1n R i -不连续.11,{})(){}n R a X a i a a --∈=为开集，但(在Y 中是闭集.所以:n R i X Y →不是同胚. 定理2.2.2 设X 、Y 、Z 是拓扑空间，则① 恒同映射i X ：X →X 是一个同胚；② 如果f:X →Y 是一个同胚，则f -1： Y →X 也是一个同胚；④ 如果f:X →Y 和g:Y →Z 都是同胚，则g.f ：X →Z 也是一个同胚.证明：（以下证明中的根据，可见定理2.2.1，定理1.5.3，定理1.5.4） ① 恒同映射i X 是一个一一映射，并且i X =i X -1 都是连续的，从而i X 是一个同胚.② 设f:X →Y 是同胚，因此f 是一个一一映射，并且f 和f -1都是连续的. 于是f -1也是一个一一映射并且f -1和(f -1)-1=f 也都连续，所以f -1： Y →X 也是一个同胚.③ 如果f:X →Y 和g:Y →Z 都是同胚，因此f 和g 是一个一一映射,并且f和f -1,，g 和g -1 都是连续的，因此g.f 也是一一映射，并且g.f 和（g.f ）-1 = f -1 .g -1都是连续的，所以g.f ：X →Z 也是一个同胚.定义2.2.6 设X 、Y 是拓扑空间，如果存在一个同胚f:X →Y ，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚与Y .定理2.2.3设X、Y、Z是拓扑空间，则①X与X同胚；②若X与Y同胚,则Y与X也同胚；③若X与Y同胚,则Y与Z同胚,则X与Z也同胚.证明：从定理2.2.2直接可得.说明：⑴在拓扑空间组成的族中，同胚关系是一个等价关系.因此同胚关系将拓扑空间族分成互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚.⑵拓扑空间的某种性质P，如果为某一拓扑空间所具有，则与其同胚的拓扑空间也具有，则称性质P是一个拓扑不变性质或拓扑不变量.简言之，拓扑不变性是同胚的拓扑空间都具有的性质.例如后面将要讨论的集合为开集、闭集、点集的闭包与导集、点的邻域、序列的收敛性以及拓扑空间的连通性、紧致性等都是拓扑不变性质.拓扑不变性质简称拓扑性质.⑶拓扑学的中心任务就是研究拓扑空间的拓扑不变性质.研究拓扑空间的拓扑性质很有意义.如果我们研究某一问题时，研究的是这一空间的拓扑性质，我们可以转化为对其同胚空间的研究，这样就有可能使某些难处理的问题变得简单.当然，证明两个空间的同胚有时是非常困难的事情.实际上我们常常利用拓扑性质来区分空间，说明它们不同胚.一个空间有拓扑性质P，而另一个空间没有性质P，则这两个空间就一定不是同胚的.至此我们已经做完了将数学分析中的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学史上经过了很长时间才完成的工作.在数学的发展过程中，对所研究的问题不断地加以抽象这种做法屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某个方面）的精髓而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程.也正因为如此，新的概念和理论往往有更多的包容.拓扑学无疑也是如此，一方面它使我们对“空间”和“连续”有了更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量处理的映射空间）.这一些我们在学习过程中必然会不断地加深体会.为了对新旧概念的区别有更加深刻的印象，在这两节中给出了一些例子.客观地讲这些例子除去欧氏空间（包括实数空间和Hilbert空间）其他都显得有点怪，明显的是为澄清概念而构造出来的.这些例子只是帮助我们更好地掌握拓扑学的工具.不要误认为拓扑学就是数学分析中的连续函数再加上某些不常见的例子.补充命题，见余玄冰编译《点集拓扑》P50-52.命题1 设X,Y都是拓扑空间，f：X→Y和g：Y→X都连续，且g◦f = i X , f◦g = i Y ，则f是同胚，而且实际上g=f-1 .命题2 映射f：X→R连续⇔∀b∈R，{ x | f(x) <b },{ x | f(x) >b }都是开集.命题3 令f , g：X→R连续. 则①|f|α(α>0)是连续的.（|f|α= |f(x)|α）② a f + b g 连续，其中a,b∈R；③ f ·g是连续的；④若在X上，f(x)≠0，则1f是连续的.注：后面证明定理4.2.5 [ Borsuk—Ulam定理]时用到命题3 .。
集合的基本运算子集与超集
集合的基本运算子集与超集集合的基本运算：子集与超集集合是数学中一种基本的概念，它是由一组确定的元素所组成的。
在集合理论中，有许多基本的运算，其中包括子集与超集的运算。
本文将介绍集合的基本运算，重点讨论子集和超集的定义、性质以及相关的应用。
一、子集的定义与性质子集是指一个集合的所有元素都属于另一个集合的情况。
具体而言，若集合A的每一个元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
换言之，集合A是集合B的子集，意味着A中的元素在B 中都存在。
子集的性质如下：1. 自身是自身的子集：对于任意集合A，都有A⊆A。
2. 空集是所有集合的子集：对于任意集合A，都有∅⊆A，其中∅表示空集。
3. 等价关系具有传递性：如果A⊆B且B⊆C，则A⊆C。
二、超集的定义与性质超集是指包含一个集合的全部元素的集合。
具体而言，若集合A中的每一个元素都属于集合B，则称集合B是集合A的超集，记作B⊇A。
换言之，集合B是集合A的超集，意味着B中的元素包含A中的全部元素。
超集的性质如下：1. 自身是自身的超集：对于任意集合A，都有A⊇A。
2. 全集是任意集合的超集：对于任意集合A，都有A⊆U，其中U 表示全集。
3. 等价关系具有传递性：如果A⊇B且B⊇C，则A⊇C。
三、子集与超集的应用子集和超集的概念及其运算在数学和计算机科学中有广泛的应用。
1. 集合论证明：在集合论证明中，经常需要说明一个集合是另一个集合的子集或超集，以推导出某些结论。
2. 数据筛选与过滤：在数据处理中，可以根据某个集合作为筛选条件，将符合条件的数据子集提取出来。
3. 逻辑推理与判断：在逻辑学和人工智能中，子集与超集的概念被用于描述命题之间的包含关系，以进行逻辑推理和判断。
总结：子集和超集是集合论中的基本运算，它们定义了一个集合是否包含在另一个集合中的关系。
子集表示一个集合的全部元素都属于另一个集合，而超集则表示包含一个集合的全部元素。
子集和超集在数学和计算机科学中有着重要的应用，能够用于证明、数据筛选和逻辑推理等领域。
拓扑空间与连续映射
拓扑空间与连续映射拓扑空间是数学中一个重要的概念，它在分析、代数和几何学等领域都有广泛的应用。
拓扑学研究的主要对象是拓扑空间及其性质，而连续映射是拓扑空间之间的映射关系。
一、拓扑空间的定义拓扑空间是一个非空集合X，加上X的一个子集族T，满足以下三个条件：1. 空集∅和X本身是T的成员。
2. 任意多个T的成员的交集仍然是T的成员。
3. 有限多个T的成员的并集仍然是T的成员。
二、开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是比较常用的概念。
对于拓扑空间X中的子集A，如果A的所有元素都是X中的内点，则A是X中的开集。
如果A的所有极限点都属于A，则A是X中的闭集。
三、连续映射的定义设X和Y是两个拓扑空间，映射f：X→Y被称为连续映射，如果对于任意开集V∈Y，其原像f^(-1)(V)是X中的开集。
四、拓扑空间的基本性质1. 如果A是拓扑空间X的子集，则A相对于X的拓扑是一个拓扑空间。
2. 有限个拓扑空间的笛卡尔积仍然是一个拓扑空间。
3. 拓扑空间的维度是一个重要概念，维度较低的拓扑空间具有更简单的性质。
五、连续映射的性质1. 连续映射保持拓扑结构，即如果f：X→Y是连续映射，那么f(X)的相对拓扑和Y的拓扑在映射下是一样的。
2. 连续映射的复合仍然是连续映射。
3. 一个映射f：X→Y是连续映射，当且仅当对于X中的每一个闭集B，f^(-1)(B)在X中也是闭集。
六、连续映射的分类根据连续映射的不同特性，可以将它们分为几类，如同胚映射、同胚等。
1. 同胚：如果映射f：X→Y是一个双射并且连续，同时其逆映射f^(-1)：Y→X也是连续的，则称f是X和Y之间的同胚映射，X和Y 也被称为同胚空间。
2. 同伦：如果两个拓扑空间X和Y之间存在一个连续映射f：X×[0,1]→Y，其中[0,1]是区间，使得对于每个t∈[0,1]，都有f(x,t)是X 到Y的连续映射，则称X和Y是同伦空间。
3. 同伦等价：如果存在同胚映射将一个拓扑空间X映射到另一个拓扑空间Y，则称X和Y是同伦等价的。
拓扑空间与连续映射的性质
拓扑空间与连续映射的性质拓扑空间与连续映射是拓扑学中的重要概念，它们在分析和几何等领域具有广泛的应用。
本文将对拓扑空间及连续映射的基本性质进行探讨。
我们首先介绍拓扑空间的定义及其基本性质，然后讨论连续映射的定义及其常见性质。
最后，我们将讨论连续映射的一些特殊性质和几个重要定理。
一、拓扑空间的定义和基本性质拓扑空间是指一个集合及其上定义的一族子集所组成的对象。
具体而言，一个拓扑空间包括一个非空集合X以及X的子集族T，满足以下三个条件：1. 空集和全集属于T；2. T中任意有限个集合的交集仍然属于T；3. T中任意多个集合的并集仍然属于T。
根据上述定义，拓扑空间具有以下基本性质：1. 拓扑空间包含了空集和全集，因此任意一个拓扑空间X都不是空集。
2. 拓扑空间的性质由其定义的拓扑结构T决定，不同的拓扑结构可能导致不同的性质。
3. 拓扑空间中的元素可以是点、线、面等对象，具体的实例由所研究的领域决定。
二、连续映射的定义和性质在拓扑空间中，连续映射是一个重要的概念。
设X和Y是两个拓扑空间，其中映射f：X→Y被称为连续映射，如果对于任意Y中的开集U，其原像f^(-1)(U)是X中的开集。
连续映射具有以下性质：1. 恒等映射是连续的，即对于拓扑空间X，映射f：X→X，f(x)=x 是一个连续映射。
2. 连续映射的复合仍然是连续映射，即对于两个连续映射f：X→Y 和g：Y→Z，它们的复合映射g∘f：X→Z也是连续映射。
3. 连续映射保持拓扑空间的性质，即如果映射f：X→Y是连续映射并且X具有某种性质，那么Y也具有相应的性质。
三、连续映射的特殊性质和定理除了上述基本性质外，连续映射还具有一些特殊的性质和与之相关的定理。
下面介绍其中几个重要的性质和定理：1. 连续映射的像是连通的：若映射f：X→Y是连续映射，且X是连通的拓扑空间，则f(X)是连通的。
2. 连续映射的像是紧致的：若映射f：X→Y是连续映射，且X是紧致的拓扑空间，则f(X)是紧致的。
数学中的拓扑学与空间结构知识点
数学中的拓扑学与空间结构知识点数学的拓扑学是研究空间与连续映射之间关系的一个重要分支。
它研究的是空间的性质，而不关注具体的度量和距离。
拓扑学通过引入拓扑结构，研究了空间中的开集、闭集、连通性、紧性、连续映射等概念。
本文将介绍拓扑学与空间结构的一些基本知识点。
一、拓扑空间拓扑空间是拓扑学的基础概念，是一种通过集合和集合之间的关系来描述空间的数学结构。
一个拓扑空间由两部分组成：一个非空集合X和定义在X上的一组称为拓扑结构的子集。
拓扑结构由开集满足一定条件所构成。
二、开集与闭集在拓扑空间中，开集和闭集是两个重要的概念。
开集是指一个集合的每个点都内含于该集合内，而闭集则是指其补集是开集。
开集和闭集的概念相互补充，且它们具有一些基本的性质，如交和并的封闭性等。
三、连通性连通性是拓扑学中描述空间连通程度的一个概念。
一个空间是连通的，当且仅当不存在将其分割为非空开集A和B的分离集。
连通性可以用来描述空间的整体性质以及空间是否“断裂”。
四、紧性紧性是拓扑学中的一个重要概念，它描述的是空间中点的有限覆盖性质。
一个拓扑空间称为紧的，当且仅当它的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
紧性是一种关于空间紧凑性质的推广，具有许多重要的性质和应用。
五、同胚与拓扑不变量同胚是拓扑学中研究空间间的一种等价关系，它描述的是两个拓扑空间之间的一一对应关系。
如果两个拓扑空间之间存在一个连续和双射的映射，并且该映射的逆映射也连续，则它们是同胚的。
同胚关系可以保持拓扑空间的一些重要性质，如连通性、紧性等。
总结：数学中的拓扑学与空间结构是一门重要的数学学科，它研究的是空间中的性质，并通过引入拓扑结构来描述和分析空间的特征。
本文简要介绍了拓扑空间、开集与闭集、连通性、紧性、同胚与拓扑不变量等知识点。
拓扑学在数学以及与其相关的诸多领域中有着广泛的应用，对于理解和分析空间的特性具有重要的意义。
通过学习拓扑学，我们可以深入理解数学中的空间结构，为解决实际问题提供有力的工具和方法。
数学上连通的定义
数学上连通的定义数学上，连通是指在某种情况下，两个或以上的点可以通过一定的连接形式，即路径连接起来，此连接无论是连续性还是完整性都能符合要求。
一般来说，连通性有两种方式，即符号性连通性和物理性连通性。
符号性连通指网络中任意两点之间，可以通过一定网络中的连接而实现数据传输，这些连接可以是硬件上的元器件，也可以是软件上的程序。
物理性连通指的是物理性的连接，通常两个物理性的连接都是相互接触的，而这些连接通常是金属制品，包括导线和管道，它们之间形成了固定的物理环境，因此可以实现数据的传输。
连通在数学上有着多种定义，例如，在拓扑学中，连通是指数学空间中点集由一个一致性实体组成，且任意两点之间都是可达的。
也可以使用集合论中的术语来描述，即点集之间若能够互相联系，则任意两点之间都是相连的，而且两点之间的连接无论是连续性还是完整性都能符合要求。
数学拓扑学中连通的定义，还有另一个细分概念，即强连通性，这种连通性要求点集之间能够联系起来，而且它们之间的联系也必须是一致的，也就是说，这种联系不会因为路径的不同而改变。
在图论中，连通是指图的点和边组成的集合，它们之间无论任何两点，都可以通过有限条路径相连，而这成为图中的连通性的概念。
图的连通性描述的是图的结构特性，比如任意两点之间的联系，以及存在连通路径的数量等，在工业和科学领域中，图的连通性显示出重要的作用。
在组合数学中，连通分量也是一个重要概念，它是指在无向图中，任意两点之间都有一条路径相连，而这个路径必须是一致的，也就是说，无论我们从哪里出发，都可以到达另一个点，并且这个路径是同一条。
综上所述，数学上连通的定义有很多，比如拓扑学中的连通，集合论中的连通，图论中的连通以及组合数学中的连通分量等，它们之间可以互相补充，而且也有很多共同之处，例如有任意两点之间均有一条连通路径、路径要求连续性和完整性等。
这些定义，都在某种程度上描述了点集之间的连通关系，而且也在实际应用中发挥着重要的作用。
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｛ Ｅ∈２ Ｅ∈ ＵＵ 且 ＥＮＵ ≠ ｊ 对 每个 ≤ ． ｌ ， ２ 『 ｝
第 ２ ７卷 第 ２期
２１ ０ １年 ４月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ ｏ１ ２ Ｎ ．２ ． ７， ｏ Ａ ｐ ． ０１ ｒ２ １
超空 间 ２ ｘ的连 通性 及 其 相 关 性 质
张美 丽 ， 许 品 刚 ， 邓 波
（ 军大连舰艇 学院 基础部 ， 宁 大连 １６１） 海 辽 １０ ８
引理 １ 设 （ Ｔ） Ｘ， 是拓 扑空 间 ， 定义 映 射 ｉＸ一 ２ 即 （ ） ｛ ， ｉ ： ， ｚ 一 Ｘ） 则 是连 续 映射．
证 设 Ｕ∈Ｔ， Ｕ≠ ， 则
ｉ （ 己） 一 ｛ （， ） ｚＥＸｌ（ ＥＵ｝ ｛ ） 一 ＥＸｌＸ｝ ｛ ∈Ｕ） 一Ｕ；
若 己 Ｌ … ， ， ，， Ｕ ∈Ｔ， 则
命 题 ２ １ 设 （ Ｔ） 拓扑 空 间 ， ． Ｘ， 是 则 Ｘ） （ ， ） 在 ２ 中是稠 密 的．
。。
证 对 任 意 的 Ｕ∈Ｔ， Ｕ≠ ， 然 Ｕ 包 含有 限子 集 （ ， 显 Ｘ） 而 Ｘ） Ｕ （ ， 以 （ ｎ Ｘ） 一 Ｘ） 所 Ｕ＞
＝ ｌ
≠ ； 同理 ， Ｕ Ｕ ， 设 ， … Ｕ 为非 空开 集 ， Ｘ ＥＵ （ ≤忌 ，１ ≤ ） 则 ， ｛ １ｚ ， ， ｝ Ｘ， ＞ Ｘ， ＞ ｚ ， … Ｅ＜ Ｕ１ ｎ＜ Ｕ２ ｎ…（ Ｕ ｎ （ ≠ ． Ｘ， ＞ Ｘ）
ｉ ｌ ＝
其 中 Ｘ —Ｘ，≤ １ ≤ ， Ｐ 是连 续 映射． 则 引理 ２２ 设 （ Ｔ） Ｌ Ｘ， 是拓 扑 空 间 ， 则如 果 ＡｃＸ 是闭 （ 或开 ） ， ｛ 集 则 Ｅ∈２ Ｅ ｌ ｔＡ｝ （ ， 是 闭 在 ２ Ｔ）
（ 开） ． 或 集
推论 １ 设 （ Ｔ） 拓 扑空 间． Ｘ， 是 如果 ＡｃＸ 是 闭 的 ， ｛ 则 Ｅ∈２ Ｉ ＥｎＡ≠ｊ ｝ （ ， ｖ 是 闭 的． ２ 在 ２ Ｔ） 『
ｉ （ Ｘ， ｎ （ ， ） … （ ， ＞ ＜ Ｕ ） Ｘ Ｕ。 ｎ Ｘ Ｕ ）
［ 稿 日期 ］ ２ ０ —６０ ； ［ 改 日期 ］ ２ ０—０２ 收 ０ ８０ —２ 修 ０ ８１— １ ［ 金 项 目］ 海 军 大连 舰 艇 学 院 科 研 基 金 资 助 项 目 （０ ０科 ３ 号 ） 基 ２１ ６
１ 预 备 知 识
超 空 间上 有许 多不 同 的相 容 拓 扑． 其 中 我 们 熟 知 的 拓 扑 就 是所 谓 有 限 拓 扑 ， Ｖｉ ｏ ｉ 拓 扑． 这 即 ｅ ｒ一 ｔ ｓ
１５ ９ １年 ， ｃ ａｌ的文献 ［ ］ 于 赋 予 有 限 拓 扑 的 超 空 间 性 质 进 行 了 系 统 的 讨 论 ． 文 研 究 了赋 予 Ｍｉ ｅ ｈ １对 本 Ｖｉｔｒ 拓 扑 的超 空 间 ２ 的连通 性及 其 相关 性质 ． 改进 了 文［ ］ ｃ ｅｌ ｅｏｉ ｓ 这 １ Ｍｉ ａ 一些 定 理 的结论 ． ｈ 定义 １ 设 （ ｘ， Ｔ）是 拓 扑 空 间 ，２ 是 拓 扑 空 间 （ Ｙ）的 非 空 闭 子 集 的 全 体 ，则 Ｘ， ｛Ｕ） ∈Ｔ｝ ｛Ｘ， ） ∈Ｔ） ２ （ ｌ Ｕ ＜ ｌ 是 的一 个 拓 扑 Ｔ 的 子 基． 扑 丁 拓 ｖ称 为 ２ 的有 限 拓 扑 ， 称 为 也
第 ２期
张 美丽 ， ： 空 间 ２ 等 超 的连 通性 及其 相 关性 质
１５ ０
一｛ ｚ∈Ｘｌ（ ） Ｎ（ Ｕ ≠ ，≤ ） ｚ ∈ ｉ Ｘ， ＞ １ ≤
ｉ＝ ｌ
＝ ｛ ∈ＸＩ ＝ｚ ＝ Ｘ∈Ｕ １ ≤ ｝ ＮＵ ，≤ 一 ．
ｉ １ ＝
命题 ２ ２ 设 （ 丁） 拓 扑 空 间 ，自 然 映 射 Ｐ ： ． Ｘ， 是 一 ｛ … ， ， 连续 映射 ． ｚ ， ｚ ｝Ｐ 是
证 因为 Ａ 在 Ｘ 中是 闭 的 ， 以 Ｘ＼ 所 Ａ—Ｂ在 Ｘ 中是 开 的． 由引 理 ２知
ｚ＝ ｌ
记号 ： Ｘ） ｛ ＥＣ Ｘ， Ｚ（ 一 Ｅｌ Ｅ是 Ｘ 的非 空 紧子集 ｝ ； （ 一｛ Ｘ） Ｅ∈２ Ｅ 中至多 有 ｎ个 ｘ 中的元 素 ｝ ｌ ； ｘ） ｛ 一 Ｅ∈２ Ｅ 中有 有 限多个 Ｘ （ ｘ Ｔ ） 连 通 性 ２ ，ｖ的
［ 摘 要 ］ 研 究 了赋 予 Ｖｉ ｏｉ拓 扑 的 超 空 间 ２ 的 连 通 性 及 其 相 关 性 质 ． 改 进 了 Ｍｉｈａ￣ 一 个 定 ｅｒ ｔ ｓ 这 ｃ ｅｌ 的
理 的结 论 ．
［ 键 词 ］ 连 通 性 ； 部 连 通 性 ； 路 连 通 性 ； ｅｏｉ 拓 扑 ； 空 间 关 局 道 Ｖｉ ｒ ｔ ｓ 超 ［ 中图 分 类 号］ Ｏ ８ ． １９１ ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ７ —４ ４ ２ １ ） ２０ ０ —３ 文 ６ ２１ ５ （０ １ ０ —１４０